Элективный курс «Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики» 10-11 классы Пояснительная записка Общая характеристика элективного курса Данный элективный курс рекомендован Министерством образования Российской Федерации (Элективные курсы в профильном обучении. Образовательная область «Математика»/Министерство образования РФ – национальный фонд подготовки кадров. - М: Вита-Пресс, 2004г стр96 ISBN 5-77-56). Программа элективного курса ориентирована на учащихся, закончивших девять классов общеобразовательной школы, которые с интересом изучали математику, имеют хороший уровень математической подготовки и связывают с ней дальнейшее обучение в ВУЗе. Это учитывает региональный подход в образовательной области «Математика», который выражается в повышении уровня математического образования, что соответствует экономико-хозяйственной специфике Челябинской области. Курс дает широкие возможности повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа. В курсе решается и разбирается большое число сложных задач, многие из которых понадобятся при учебе в высшей школе. Рассматривается актуальная тема «Алгебраические задачи с параметром». В ходе изучения данной темы учащимися будут разобраны такие важные вопросы, как: рациональные задачи с параметром, иррациональные задачи с параметром, параметр и модули, критические значения параметра, метод интервалов в неравенствах с параметром, замена переменной в задачах с параметром, решение задач с помощью «разрешения относительно параметра», метод координат (или горизонтальных сечений) в задачах с параметром, метод областей в рациональных и иррациональных неравенствах с параметром, применение производной при анализе и решении задач с параметром, выписывание и «собирание» ответа в задачах с параметром. Цели курса – создание условий для реализации профильного обучения; обеспечить преемственность средней и высшей школы, вооружить учащихся простым и эффективным средством решения более широкого, по сравнению с общеобразовательной школой, класса задач; обеспечить для наиболее способных школьников повышенный уровень изучения математики; формирование целостной системы математических знаний и базы для продолжения математического образования в ВУЗах различного профиля. Задачи курса: Расширить сферу математических знаний учащихся; Расширить представление учащихся о многочленах, показать их роль и место в развитии теории решения уравнений и неравенств; Обобщить основные методы решения уравнений, неравенств различных видов, а также систем уравнений и неравенств; Дать учащимся представления о задачах с параметрами, рассмотреть основные типы и методы решения задач с параметрами; Познакомить учащихся с математикой как с общекультурной ценностью, выработать понимание того, что математика является инструментом познания окружающего мира и самого себя; Развивать навыки организации умственного труда и самообразования. Нормативно-правовое и инструктивно-методическое обеспечение Преподавание математики осуществляется в соответствии с требованиями следующих нормативных документов: Федеральный уровень 1. Федеральный закон от 29.12.2012 г. № 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» (редакция от 23.07.2013). 2. Об утверждении Федерального компонента государственного образовательного стандарта начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования / Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 05.03.2004 г. № 1089. 3. О примерных программах по учебным предметам федерального базисного учебного плана / Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 07.07.2005 г. № 03-126. 4. Об утверждении Федерального перечня учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего образования / Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 31.03.2014 г. № 253. 5. Об утверждении СанПиН 2.4.2.2821-10 «Санитарно-эпидемиологические требования к условиям и организации обучения в образовательных учреждениях» / Постановление Главного государственного санитарного врача Российской Федерации от 29.12.2010 № 02-600 (Зарегистрирован Минюстом России 03.03.2011 № 23290). 6. Об утверждении перечня организаций, осуществляющих издание учебных пособий, которые допускаются к использованию в образовательном процессе в имеющих государственную аккредитацию и реализующих образовательные программы общего образования образовательных учреждениях / Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 14.12.2009 г. № 729 (Зарегистрирован Минюстом России 15.01.2010 г. № 15987). 7. О внесении изменений в перечень организаций, осуществляющих издание учебных пособий, которые допускаются к использованию в образовательном процессе в имеющих государственную аккредитацию и реализующих образовательные программы общего образования образовательных учреждениях / Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 13.01.2011 г. № 2 (Зарегистрирован в Минюсте РФ 08.01.2011 г. № 19739),/ Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 16.02.2012 г. № 2 (Зарегистрирован в Минюсте РФ 08.02.2011 г. № 19739). Региональный уровень 1. О внесении изменений в областной базисный учебный план для общеобразовательных организаций Челябинской области, реализующих программы основного общего и среднего общего образования / Приказ Министерства образования и науки Челябинской области от 30.05.2014 № 01/1839. 2. О разработке рабочих программ учебных курсов, предметов, дисциплин (модулей) в общеобразовательных учреждениях Челябинской области / Письмо Министерства образования и науки Челябинской области от 31.07.2009 г. №103/3404. 3. Письмо Министерства образования и науки Челябинской области от 30 июля 2014 г. № 03— 02/4959 «Об особенностях преподавания учебных предметов в общеобразовательных организациях Челябинской области в 2014-2015 учебном году». 4. Об утверждении Концепции профориентационной работы образовательных организаций Челябинской области на 2013-2015 год / Приказ Министерства образования и науки Челябинской области от 05.12.2013 г. № 01/4591. Школьный уровень 1. Учебный план МБОУ СОШ №45 на 2014-2015 учебный год; 2. Положение о порядке разработки и утверждения рабочих программ учебных курсов, предметов, дисциплин (модулей) в МБОУ СОШ №45( протокол педсовета №1 от 28.08.14, приказ МБОУ СОШ №45 от 28.08.14 №1). Место элективного курса в школьном учебном плане В учебном плане школы на изучение элективного курса в 10 и 11 классах отводится 70 часов ( 1 час в неделю, в т.ч. 10 класс – 35 часов 11 класс – 35 часов. Предусмотрены следующие формы занятий: лекция, беседа, семинар, работа в группах, практикум. Виды контроля: написание рефератов, на предложенные учителем темы, индивидуальные и творческие задания, в которых необходимо провести небольшое самостоятельное исследование, тематические самостоятельные и контрольные работы. Содержание курса 10 класс Тема 1. Логика алгебраических задач (7ч). Элементарные алгебраические задачи как предложения с переменными. Множество решений задачи. Следование и равносильность (эквивалентность) задач. Уравнения с переменными. Числовые неравенства и неравенства с переменной. Свойства числовых неравенств. Сложные (составные) алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений. Системы и совокупности задач. Алгебраические задачи с параметрами. Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность. Интерпретация задач с параметрами на координатной плоскости. Тема 2. Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения (19ч). Представление о целых рациональных выражениях. Многочлены над полями R, Q и над кольцом Z. Степень многочлена. Кольца многочленов. Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком. Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни. Полностью разложимые многочлены и теорема Виета. Общая теорема Виета. Элементы перечислений комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля. Квадратный трёхчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета. Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема знаков квадратного трёхчлена. Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечётной степени. Угадывание корней и разложение. Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано. Графический анализ кубического уравнения х3 + Ах = В. Неприводимый случай (три корня) и необходимость комплексных чисел. Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены. Линейная замена, основанная на симметрии. Угадывание корней. Разложение. Метод неопределённых коэффициентов. Схема разложения Феррари. Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами. Приёмы установления иррациональности и рациональности чисел. Тема 3. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства (9ч). Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические, возвратные многочлены и уравнения. Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения. Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений. Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупности систем. Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств. Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств. Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. стандартные неравенства. Метод областей. 11 класс Тема 1 Рациональные алгебраические системы (5ч). Уравнение с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения с двумя переменными. Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем. Однородные системы уравнений с двумя переменными. Замена переменных в системах уравнений. Симметрические выражения от двух переменных. Теорема Варинга-Гаусса о представлении симметрических многочленов через элементарные. Рекуррентное представление сумм степеней через элементарные симметрические многочлены. Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными. Метод разложения при решении систем уравнений. Метод оценок и итераций при решении систем уравнений. Оценка значений переменных. Сведение уравнений к системам. Системы с тремя переменными. Основные методы. Системы Виета с тремя переменными. Тема 2. Иррациональные алгебраические задачи (15ч). Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятие арифметических и алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения. Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями. Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки. Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами. Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам. Освобождение от кубических радикалов. Метод оценки. Использование монотонности. Использование однородности. Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства сложнее уравнений? Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (Сведение к системам и совокупностям систем). «Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем. Теоремы о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств. Замена при решении иррациональных неравенств. Использование монотонности и оценок при решении неравенств. Уравнение с модулями. Раскрытие модулей - стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей. Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схема освобождения от модулей в неравенствах. Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах (правила знаков). Иррациональные алгебраические системы. Основные приемы. Смешанные системы с двумя переменными Тема 3. Алгебраические задачи с параметрами (15ч). Что такое задача с параметрами? Аналитический подход. Выписывание ответа (описание множеств решений) в задачах с параметрами. Рациональные задачи с параметрами. Запись ответов. Иррациональные задачи с параметрами. «Собирание» ответов. Задачи с модулями и параметрами. Критические значения параметра. Метод интервалов в задачах с параметрами. Замена в задачах с параметрами. Метод разложения в задачах с параметрами. Разложение с помощью разрешения относительно параметра. Системы с параметрами. Метод координат (метод «Оха», или горизонтальных сечений) в задачах с параметрами. Идея метода. Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических уравнений с параметрами. Уединение параметра и метод «Оха». Метод «Оха» при решении рациональных иррациональных алгебраических неравенств и систем неравенств с параметрами. Метод областей в рациональных и иррациональных неравенствах с параметрами. Замена при использовании метода «Оха». Задачи с модулями и параметрами. Задачи на следование и равносильность задач с параметрами. Аналитический подход. Метод координат. Применение производной при анализе и решении задач с параметрами. Распределение часов по темам №п/п Тема Количество часов 10 класс 1. 2. 3. 1. 2. 3. Логика алгебраических задач. Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства. Всего 11 класс Рациональные алгебраические системы Иррациональные алгебраические задачи Алгебраические задачи с параметрами Всего 7 19 9 35 5 15 15 35 Календарно – тематический план элективного курса 10 класс № п/п № урока темы 1 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 19 20 21 22 23 24 25 26 11 12 13 14 15 16 17 18 19 27 1 28 29 2 3 30 4 31 32 5 6 Дата Наименование разделов, тем 1. Логика алгебраических задач (7 ч). Элементарные алгебраические задачи как предложения с переменными. Следование и равносильность (эквивалентность) задач. Уравнения и неравенства с переменной. Сложные (составные) алгебраические задачи. Алгебраические задачи с параметрами. Логические задачи с параметрами. Интерпретация задач с параметрами на координатной плоскости. 2. Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения (19 ч). Представление о целых рациональных выражениях. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Следствия из теоремы Безу. Полностью разложимые многочлены и теорема Виета. Общая теорема Виета. Элементы перечислений комбинаторики. Квадратный трёхчлен. Квадратичные неравенства. Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечётной степени. Куб суммы/разности. Формула Кардано. Графический анализ кубического уравнения х3 + Ах = В. Уравнения четвёртой степени. Представление о методе замены. Линейная замена, основанная на симметрии. Метод неопределённых коэффициентов. Полиномиальные уравнения высших степеней. Приёмы установления иррациональности и рациональности чисел. 3. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства (9 ч). Представление о рациональных алгебраических выражениях. Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений. Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений. Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупности Примечание 33 7 34 8 35 9 систем. Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств. Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств. Неравенства с двумя переменными. Метод областей. 11 класс № п/п № урока темы 1 2 1 2 3 4 5 3 4 5 6 7 8 1 2 3 9 4 10 5 11 12 13 14 6 7 8 9 15 16 10 11 17 18 19 12 13 14 20 15 21 22 23 24 25 26 27 28 1 2 3 4 5 6 7 8 Дата Наименование разделов, тем Рациональные алгебраические системы (5ч). Симметрические выражения от двух переменных. Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными. Метод оценок и итераций при решении систем уравнений. Сведение уравнений к системам. Системы Виета с тремя переменными. 2. Иррациональные алгебраические задачи (15ч). Иррациональные алгебраические выражения и уравнения. Уравнения с квадратными радикалами. Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами. Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам. Метод оценки. Использование монотонности. Использование однородности. Иррациональные алгебраические неравенства. Эквивалентные преобразования неравенств. «Дробно-иррациональные» неравенства. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств. Замена при решении иррациональных неравенств. Использование монотонности и оценок при решении неравенств. Уравнение с модулями. Неравенства с модулями. Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах (правила знаков). Иррациональные алгебраические системы. 3. Алгебраические задачи с параметрами (15ч). Рациональные задачи с параметрами. Иррациональные задачи с параметрами. Задачи с модулями и параметрами. Метод интервалов в задачах с параметрами. Замена в задачах с параметрами. Метод разложения в задачах с параметрами. Системы с параметрами. Метод координат (метод «Оха», или горизонтальных 1. Примечание 29 9 30 10 31 11 32 33 34 12 13 14 35 15 сечений) в задачах с параметрами. Идея метода. Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических уравнений с параметрами. Метод «Оха» при решении рациональных иррациональных алгебраических неравенств и систем неравенств с параметрами. Метод областей в рациональных и иррациональных неравенствах с параметрами. Замена при использовании метода «Оха». Задачи с модулями и параметрами. Задачи на следование и равносильность задач с параметрами. Метод координат. Применение производной при анализе и решении задач с параметрами. Учебно-методическое обеспечение курса 1. С.М. Никольский. Алгебра и начала анализа, 10 класс. – М.: Просвещение, 2008. 2. С.М. Никольский. Алгебра и начала анализа, 11 класс. – М.: Просвещение, 2008. 3. Н. Я. Виленкин. Алгебра и начала анализа, 10 класс. – М.: Просвещение, 1992. 4. Н. Я. Виленкин. Алгебра и начала анализа, 11 класс. – М.: Просвещение, 1993 5. Б. Г. Зив, В. Л. Гольдич. Алгебра и начала анализа, 10 класс. – С.-Петербург, 2003. 6. С.М. Саакян, А. М. Гольдман, Д. В. Денисов. Задачи по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. – М.: Просвещение, 1990. 7. В. И. Заляпин, Ю. Г. Малиновский, В. А. Могильницкий. Математика. В помощь поступающим. – Челябинск: Издательство Татьяны Лурье, 2000. 8. В.А.Антонов, П. А. Ческидов. Математика. Основные методы решения задач.Часть1 – Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2000. 9. В.А.Антонов, П. А. Ческидов. Математика. Основные методы решения задач.Часть2 – Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2001. 10. А.П. Ершова, В.В. Голобородько. Алгебра и начала анализа 10 -11 кл. Самостоятельные и контрольные работы. – М.: Илекса, 2005. 11. Журнал «Математика в школе». 12. А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. Алгебраический тренажер. – М.: Илекса, 2007. 13. Л. Я. Фальке и др. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе. – М.: Народное образование, 2005. 14. А. М. Титаренко. Математика. 6000 задач и примеров, 9-11 кассы. – Эксмо, 2007. 15. Ф.Ф. Лысенко.Тематические тесты. Математика. ЕГЭ- 2008. Часть 2. – Ростов на Дону, Легион, 2008 . 16. М. К. Потапов, А. В. Шевкин. Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 11кл : базовый и профильный уровни. – М.: Просвещение, 2007. 17. М. К. Потапов, А. В. Шевкин. Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 10кл: базовый и профильный уровни. – М.: Просвещение, 2008. 18. М. И. Шабунин, М. В. Ткачева и др. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10кл. – М.: Просвещение, 2009. 19. М. И. Шабунин, М. В. Ткачева и др. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11кл. – М.: Просвещение, 2009. Требования к уровню подготовки учащихся В результате изучения курса учащиеся должны знать: Стандартный вид многочлена от нескольких переменных; Стандартную форму целых рациональных выражений; Обобщенную теорему Виета для высших степеней; Общие методы решения уравнений и неравенств: метод замены переменных, метод оценки, метод интервалов, метод областей; Общие методы решения систем: метод подстановки, метод исключения переменной, метод замены переменной, метод разложения, метод оценок; Эквивалентные и неэквивалентные преобразования иррациональных выражений; Схемы раскрытия модулей в уравнениях и неравенствах; Различные типы задач с параметрами и основные методы их решения. В результате изучения курса учащиеся должны уметь: Выполнять деление многочлена на многочлен; Находить корни многочлена с использованием теоремы Безу и следствий из нее, с использованием метода замены переменной; Решать дробно-рациональные уравнения методом замены переменной; Решать дробно – рациональные неравенства методом сведения их к совокупности систем, методом интервалов, методом оценки; Изображать множество решений неравенства двумя переменными на координатной плоскости; Решать системы и неравенства различными способами; Решать иррациональные уравнения и неравенства методом сведения к системам совокупности систем, освобождение от радикалов, методом оценки, методом интервалов; Применять метод интервалов, метод разложения, метод горизонтальных сечений метод областей при решении задач с параметрами.