Нестандартные задачи конкурсных экзаменов

1
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Рабочая программа по элективному предмету «Решение нестандартных задач» для
11в, составлена на основе авторской программы. (Решение нестандартных задач. - ИПК и
ПРО Курганской области. Куран, 2006); в соответствии с учебным планом школы на 20142015 учебный год; календарным графиком школы на 2014-2015 учебный год.
Программа элективного учебного предмета предполагает изучение теории и
отработку практических навыков по рассматриваемым вопросам и рассчитана на 34 часа в
год, 2часа в неделю во втором полугодии.
Материал данного курса содержит нестандартные методы, которые позволяют более
эффективно решать различные задачи.
К нестандартным задачам традиционно относятся задачи, которые выделяются
необычной формулировкой, а также задачи, для решения которых требуются умения
нестандартно мыслить, переносить известные методы решения в непривычные ситуации,
проявлять находчивость и сообразительность.
Нестандартные
задачи
способствуют
развитию
логического
мышления,
математической интуиции, творческих способностей, прививают навыки исследовательской
работы.
Наряду с основной задачей обучения математике – обеспечение прочного и
сознательного овладения учащимися системой математический знаний и умений – данный
элективный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, развитие
математических способностей, ориентацию на профессию, существенным образом
Цели элективного учебного предмета:
 углубление курса алгебры и начал анализа 11 класса;
 изучение современных нестандартных методов решения в соответствии с
программой для поступающих в вузы и требованиями, предъявляемыми к выпускникам на
едином государственном экзамене;
 развитие
логического
мышления,
пространственного
воображения,
алгоритмической культуры;
 овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной
жизни, для изучения естественно-научных дисциплин, для получения образования в
областях, требующих углубленной математической подготовки;
 воспитание средствами математики культуры личности, знакомство с историей
развития математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики
для общественного прогресса.
Задачи элективного учебного предмета:
 повышение математической подготовки учащихся, овладение знаниями и
умениями в объеме, необходимом для успешной сдачи экзаменов и продолжения
математического образования;
 систематизация нестандартных методов при решении текстовых задач,
преобразовании тригонометрических выражений, решение уравнений и неравенств,
содержащих обратные тригонометрические функции, показательные и логарифмические
функции;
 решение комплексных задач, связанных с построением графиков функций и фигур,
вычислением периметров и площадей построенных фигур.
Формы работы: лекционно-семинарская, групповая и индивидуальная.
Методы работы: исследовательский и частично-поисковый.
Виды деятельности на занятиях: лекция, беседа, практикум, консультация, работа с
компьютером.
Особенности курса:
1. Краткость изучения материала.
2. Практическая значимость.
3. Нетрадиционные формы изучения материала.
2
Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки учащихся,
которые содержат следующие компоненты: знать/понимать — перечень необходимых для
усвоения каждым учащимся знаний; уметь — перечень конкретных умений и навыков по
русскому языку, основных видов речевой деятельности; выделена также группа знаний и
умений, востребованных в практической деятельности ученика и его повседневной жизни:
 решения несложных практических расчетных задач, в том числе с использованием
при необходимости справочных материалов, компьютера;
 устной прикидки и оценки результата вычислений; проверки результата
вычислений, с использованием различных приёмов;
 описания реальных ситуаций с помощью числовых и алгебраических выражений,
математических моделей;
 выстраивания аргументации при доказательстве и диалоге;
 решения практических задач в повседневной жизни с использованием действий с
числами и процентами, нахождения длин, площадей, объёмов фигур, определение времени,
скорости и расстояния.
Содержание учебного элективного предмета
Тема №1
Текстовые задачи и техника их решения (8 ч.)
Классификация и методы решения текстовых задач. Задачи на движение
(прямолинейное движение в одном направлении и навстречу друг другу, движение по реке,
движение по окружности). Задачи на работу, в том числе на совместную работу. Задачи на
проценты, в том числе экономического содержания. Задачи на числовые зависимости. Задачи
на смеси, сплавы, растворы. Нестандартные текстовые задачи. Задачи, в которых число
неизвестных больше числа уравнений. Задачи, решаемые с помощью неравенств. Задачи, в
которых требуется найти наибольшее ли наименьшее значения выражения.
Тема № 2
Преобразование тригонометрических выражений (3 ч.)
Преобразование
тригонометрических
выражений
с
помощью
основных
тригонометрических
формул.
Вычисление
значений
выражений,
содержащих
тригонометрические
функции.
Преобразование
тригонометрических
выражений
нестандартными методами.
Тема № 3
Функции и графики (5 ч.)
Построение графиков тригонометрических функций и их преобразование. Операции
над графиками функций: сложение и умножение графиков. Построение графиков функций,
которые задаются аналитическим выражением, содержащим модуль или несколько модулей.
Построение графиков сложных функций. Преобразование графиков функций. Исследование
функции по графику. Изображение на координатной плоскости фигур, заданных
уравнениями, неравенствами и их системами.
Тема № 4
Обратные тригонометрические функции (6 ч.)
Обратные тригонометрические функции. Построение и преобразование графиков
обратных тригонометрических функций. Вычисление значений тригонометрических
функций от обратных тригонометрических и, наоборот. Преобразование выражений и
доказательство тождеств, содержащих обратные тригонометрические функции. Построение
графиков. Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции.
Тема № 5
Решение нестандартных тригонометрических уравнений и неравенств (6 ч.)
Применение свойств функций и числовых неравенств при решении
тригонометрических уравнений. Решение уравнения, основанное на области определения
3
входящих в него функций.
Использование области значений, ограниченности, четности или нечетности функций.
Оценка выражений с помощью неравенств. Тригонометрические уравнения, содержащие
более одного неизвестного. Тригонометрические уравнения и неравенства с модулем и
параметром.
Тема № 6
Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств (6 ч.)
Использование свойств показательных и логарифмических функций при решении
задач. Решение показательных уравнений и неравенств различными методами.
Преобразование выражений, содержащих логарифмы. Решение логарифмических уравнений
и неравенств различными методами. Решение логарифмических и показательных уравнений
с параметром.
Учебно- тематический план
№ п/п
I.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
II.
1.
2.
3.
III.
1.
2.
3.
4.
5.
IV.
1.
2.
Наименование разделов тем
Количество часов
Текстовые задачи и техника их решения
8
Классификация и методы решения текстовых задач. Задачи на
1
движение.
Задачи на совместную работу.
1
Задачи на проценты.
1
Задачи экономического содержания.
Задачи на числовые зависимости.
1
Задачи аналитического содержания
1
(на смеси, сплавы, растворы).
Нестандартные текстовые задачи.
1
Задачи, в которых число неизвестных
1
больше числа уравнений.
Задачи, в которых требуется найти наибольшее и наименьшее
1
значения некоторого выражения.
Преобразование тригонометрических
3
выражений
Преобразование тригонометрических выражений с помощью
1
основных тригонометрических формул.
Вычисление
значений
выражений,
содержащих
1
тригонометрические функции.
Преобразование
тригонометрических
выражений
1
нестандартными методами.
Функции и графики
5
Построение графиков функций без помощи производной.
Арифметические операции над графиками функций:
1
сложение и умножение графиков.
Построение графиков функций, содержащих модуль или
1
несколько модулей.
Построение графиков сложных функций.
1
Преобразование графиков функций. Исследование функций
1
по графику.
Изображение на координатной плоскости фигур, заданных
1
уравнениями, неравенствами и их системами.
Обратные тригонометрические функции
6
Обратные тригонометрические функции. Функция y=arcsin х;
1
у = arccos x; у= arctg x; y= arcctg x. Графики и свойства.
Вычисление значений тригонометрических функций и
1
4
3.
4-5.
6.
V.
1.
2.
3.
4.
5-6.
VI.
1.
2.
3.
4.
5-6.
обратных тригонометрических, и наоборот.
Доказательство тождеств, содержащих
обратные тригонометрические функции.
Уравнения и неравенства, содержащие
обратные тригонометрических функции.
Построение графиков.
Решение нестандартных тригонометрических уравнений
и неравенств
Решение уравнения, основанное на области определения
входящих в уравнение функций.
Использование области значений, ограниченности синуса и
косинуса для решения тригонометрических уравнений.
Тригонометрические уравнения, содержащие более одного
неизвестного.
Тригонометрические уравнения
с модулем.
Тригонометрические уравнения
с параметром.
Решение показательных и логарифмических уравнений и
неравенств
Использование свойств показательной и логарифмических
функций при решении задач.
Решение показательных уравнений и неравенств различными
методами.
Решение логарифмических уравнений и неравенств
различными методами.
Решение логарифмических и показательных уравнений с
параметром.
Решение тестов повышенной сложности
1
2
1
6
1
1
1
1
2
6
1
1
1
1
2
Требования к уровню подготовки учащихся по учебному курсу.
В результате изучения данного элективного курса учащиеся должны уметь решать
задачи по различным темам курса алгебры и начал анализа, используя стандартные и
нестандартные методы и приемы:
 уметь использовать свойства функций для решения нестандартных
тригонометрических уравнений;
 усвоить алгоритмы решения текстовых задач различного содержания; закрепить
умения в решении рациональных уравнений и их систем;
 иметь четкое представление о темах задач единого государственного экзамена, об
основных методах их решения;
 приобрести опыт в построении графиков функций, а также фигур, заданных на
координатной плоскости уравнениями и неравенствами;
 решать задачи с параметрами, содержащими тригонометрические, обратные
тригонометрические, показательную, логарифмическую функции.
5
№
дата
проведения
по
плану
1
тема урока
факт.
3
контрольнооценочная
деятельность
вид
Текстовые задачи и техника их решения (8 часов)
Знать:
зависимости
между -текущий
скоростью,
временем
и
расстоянием, ценой, количеством и
Классификация и
стоимостью.
методы решения
Решение задач с помощью
Понимать: роль математической
текстовых задач.
рациональных уравнений.
модели при решении текстовых
Задачи на
задач.
движение.
Уметь: решать текстовые задачи на
зависимости между величинами.
Задачи
совместную
работу.
2
Календарно-тематическое планирование.
элементы содержания
Знать/
понимать. Уметь
на Решение задач с помощью Знать:
зависимости
между -текущий
рациональных уравнении.
выполненной
работой,
производительностью
труда
и
временем,
затраченным
на
выполнение работы.
Понимать: роль математической
модели при решении текстовых
задач.
Уметь: решать текстовые задачи на
зависимости между величинами.
Задачи
на
проценты.
Задачи
экономического
содержания.
-текущий
Решение текстовых задач, в
том
числе
составлением
уравнения
и
буквенного
выражения
6
Знать: алгоритмы решения задач на
проценты.
Понимать:
как
использовать
математические
формулы,
алгоритмы, модели для решения
форма
лекция
УО
ПР
4
5
Задачи
числовые
зависимости
текстовых задач.
Уметь: решать текстовые задачи.
Уметь:
на Решение текстовых задач на Знать: алгоритмы решения задач.
-текущий
числовую зависимость.
Понимать:
как
использовать
математические
формулы,
алгоритмы, модели для решения
текстовых задач.
Уметь: решать текстовые задачи.
Задачи
аналитического
содержания
(на смеси, сплавы,
растворы)
тест
Решение текстовых задач, в
том
числе
составлением
уравнения
и
буквенного
выражения
Нестандартные
текстовые задачи
Содержательные задачи из
различных областей науки и
техники.
Задачи, в которых
число
неизвестных
больше
числа
уравнений
Задачи, в которых
требуется найти
наибольшее
и
Решение задач, в которых
число неизвестных
больше числа уравнений.
6
7
8
ПР
Решение
практических
заданий на нахождения fнаиб. и
fнаим.
7
Знать: алгоритмы решения задач
подобного рода.
Понимать:
как
использовать
математические
формулы,
алгоритмы, модели для решения
текстовых задач.
Уметь: решать текстовые задачи.
Знать: алгоритмы решения систем
уравнений и неравенств.
Понимать: роль изученных методов
в
работе
с
математической
моделью.
Уметь: применять полученные
знания
для
решения
содержательных задач из различных
областей науки и техники.
Знать: алгоритмы решения задач
Понимать:
как
использовать
модели для решения текстовых
задач.
Уметь: решать задачи
Знать:
алгоритмы
решения,
определения.
Понимать:
роль
исследования
-текущий
-текущий
С.Р.
-текущий
-текущий
тест
наименьшее
значения
некоторого
выражения.
9
10
11
12
математических
моделей
на
отыскание fнаиб. и fнаим.
в
прикладных задачах.
Уметь:
применять
алгоритм
отыскания
наибольшего
или
наименьшего значения величин.
Преобразование тригонометрических выражений (3 часа)
Преобразование
Преобразование
Знать: формулы.
тригонометрическ тригонометрических
Понимать: применение данных
их выражений с выражений.
Основные формул и знаний при решении
помощью
тригонометрические
заданий уровня «В» и «С».
основных
тождества.
Формулы Уметь: применять полученные
тригонометрическ приведения.
знания
при
выполнении
их формул.
.
практических заданий.
Вычисление
Свойства тригонометрических Знать:
алгоритм
построения
значений
функций,
их
графики. графиков
тригонометрических
выражений,
Графический метод решения функций и решения уравнений и
содержащих
уравнений
и
неравенств. неравенств графически.
тригонометрическ Графики
гармонических Понимать:
возможности
ие функции.
колебаний.
графического представления, как
средство описания моделей задач.
Уметь: строить графики, пользуясь
алгоритмом и искать решения
уравнений и неравенств.
Преобразование
Преобразование
Знать: формулы.
тригонометрическ тригонометрических
Понимать: применение данных
их
выражений выражений
с
помощью формул и знаний при решении
нестандартными
формул.
заданий уровня «В» и «С».
методами.
Уметь: проводить рассуждения,
приводящие
к
определенным
решениям.
Функции и графики (5 часов)
Построение
Определение
изученных Знать: изученные определения;
графиков функций свойств функции. Алгоритм алгоритм исследования функции.
8
-текущий
УО
-текущий
ПР
-текущий
тест
-текущий
ПР
без
помощи исследования функции.
производной.
Арифметические
операции
над
графиками
функций:
сложение
и
умножение
графиков.
13
14
15
16
Построение
графиков
функций,
содержащих
модуль
несколько
модулей.
Построение графиков функции.
или
Построение
Определение
сложной
графиков сложных функции. Нахождение области
функций.
определения.
Построение
графиков сложной функции.
Понимать:
использование
определений,
свойств,
при
исследовании функции;
возможность
графического
представления,
как
средства
описания
моделей
реальных
процессов.
Уметь: использовать полученные
знания при исследовании функции
по алгоритму;
«читать» графики функций.
Знать:
алгоритмы построения графиков.
Понимать:
использование
алгоритмов при использовании и
построении графиков функции.
Уметь:
строить
графики по
аналитической
модели,
содержащей модули.
Знать:
определение сложной
функции.
Понимать:
использование
определения, свойств в построении
графиков.
Уметь: применять полученные
знания при нахождении Д(у)
функции и построения графиков.
Уметь:
строить
графики
по
аналитической
модели,
содержащей модули.
Преобразование
Построение графиков функции.
графиков
функций.
Исследование
функций
по
графику.
Изображение на Графики
элементарных Знать:
9
графики
элементарных
-текущий
ПР
-текущий
ПР
-текущий
СР
-текущий
тест
координатной
плоскости фигур,
заданных
уравнениями,
неравенствами и
их системами
17
18
19
функций.
Алгоритм
нахождения
множества
решений
неравенства на плоскости.
Решение
систем
на
координатной плоскости.
функций,
алгоритм
решения
неравенств
с
помощью
координатной плоскости.
Понимать:
Целесообразность
графического
представления
решения уравнений и неравенств.
Уметь:
строить
графики
и
используя алгоритм, находить
решения неравенства.
Обратные тригонометрические функции (6 часов)
Обратные
Определение
и
свойства Знать: определения, свойства.
-текущий
тригонометрическ обратных тригонометрических Понимать:
использование
ие
функции. функций, их свойства и определения
и
свойств
при
Функция y=arcsin графики; вычисление значения построении графиков.
х;
выражения,
содержащего Уметь: строить графики и находить
у = arccos x; у= обратные тригонометрические значения выражения, содержащего
arctg x; y= arcctg x. функции
обратные
тригонометрические
Графики
и y = arcsin x, y = arccos x.
функции.
свойства.
Определение
и
свойства Знать: определения, свойства.
-текущий
Вычисление
обратных тригонометрических Понимать:
использование
значений
функций, их свойства и определения
и
свойств
при
тригонометрическ
графики. Вычисление значения построении графиков.
их функций и
выражения,
содержащего Уметь: строить графики и находить
обратных
обратные тригонометрические значения выражения, содержащего
тригонометрическ
функции y = arctg x, y = arcctg обратные
тригонометрические
их, и наоборот.
x.
функции.
Определение
и
свойства Знать: определения, свойства.
-текущий
Доказательство
обратных тригонометрических Понимать:
использование
тождеств,
функций, их свойства и определения
и
свойств
при
содержащих
графики. Вычисление значения построении графиков.
обратные
выражения,
содержащего Уметь: строить графики и находить
тригонометрическ
обратные тригонометрические значения выражения, содержащего
ие функции.
функции
y = arctg x, y = обратные
тригонометрические
10
УО
ПР
ПР
функции.
Знать:
свойства
обратных
Уравнения
тригонометрических
функций,
неравенства,
методы решения уравнений.
содержащие
Понимать: применение свойств
обратные
функций при решении уравнений.
тригонометрическ
Уметь:
решать
уравнения
их функции.
различными способами.
Методы решения уравнений, Знать:
свойства
обратных
Уравнения
и
содержащих
обратные тригонометрических
функций,
неравенства,
тригонометрические функции. методы решения уравнений.
содержащие
Понимать: применение свойств
обратные
функций при решении уравнений.
тригонометрическ
Уметь:
решать
уравнения
их функции
различными способами.
Построение
Определение
и
свойства Знать: определения, свойства.
графиков.
обратных тригонометрических Понимать:
использование
функций, их свойства и определения
и
свойств
при
графики.
построении графиков.
Уметь: строить графики обратных
тригонометрических функций.
Решение нестандартных тригонометрических уравнений и неравенств (6 часов)
Обобщение знаний и умений по Знать:
графики
элементарных
Решение
решению
уравнений
и функций; алгоритм.
уравнения,
неравенств
графическим Понимать:
роль
графического
основанное
на
методом.
метода в отыскании числа корней
области
уравнения и исследовании решении
определения
неравенства.
входящих
в
Уметь: применить полученные
уравнение
знания. Для отыскания числа
функций.
корней
уравнения
и
для
исследования.
Использование
Использование
области Знать: свойства функций
области значений, значений,
ограниченности, Понимать:
возможности
arcctg x.
Методы решения уравнений,
и
содержащих
обратные
тригонометрические функции.
20
21
22
23
24
11
-текущий
ПР
-текущий
С.Р.
-текущий
ПР
-текущий
УО
-текущий
ПР
ограниченности
четности
синуса и косинуса функций.
для
решения
тригонометрическ
их уравнений.
25
26
27
28
или
нечетности графического представления, как
средства решения уравнений.
Уметь:
использовать
свойства
функции при решении уравнений и
решать уравнения,
используя
свойства ограниченности функций.
Алгоритм
решения Знать:
методы
разложения
алгебраических
уравнений многочлена на множители.
высших степеней.
Понимать: роль полученных ЗУ
Тригонометричес
при решении уравнений высших
кие
уравнения,
степеней.
содержащие более
Уметь:
применять
изученные
одного
алгоритмы и теоремы при решении
неизвестного.
уравнений
высших
степеней.
Аргументировать
подходы
к
выполнению заданий.
Решение
уравнений, Знать: определение модуля, методы
содержащих модуль.
решения уравнений, содержащих
модуль.
Тригонометричес
Понимать:
необходимость
кие уравнения
определения общей идеи решения
с модулем.
уравнений.
Уметь:
решать
уравнения,
содержащие модули.
Тригонометричес Решение тригонометрических Знать: методы решения.
кие уравнения
уравнений с параметрами.
Понимать:
необходимость
с параметром.
определения
идеи
и
последовательности
этапов
решения уравнений, содержащих
параметр.
Уметь: решать уравнения.
Тригонометричес Решение тригонометрических Знать: методы решения.
кие уравнения
уравнений с параметрами.
Понимать:
необходимость
с параметром.
определения
идеи
и
12
-текущий
тест
-текущий
УО
-текущий
УО
-текущий
СР
29
30
31
последовательности
этапов
решения уравнений, содержащих
параметр.
Уметь: решать уравнения.
Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств (6 часов)
Текстовые
задачи
на Знать:
алгоритм
составления -текущий
составление математической математической
модели
по
Использование
модели.
условию.
свойств
Понимать: роль изученных методов
показательной и
в
работе
с
математической
логарифмических
моделью.
функций
при
Уметь: применить полученные
решении задач.
знания составления математической
модели по текстовой задаче.
Приемы и методы решения Знать: приемы и методы решения -текущий
показательных уравнений и показательных
уравнений
и
Решение
неравенств.
неравенств.
показательных
Понимать:
необходимость
уравнений
и
изученного материала при решении
неравенств
уравнений и неравенств.
различными
Уметь: применить полученные
методами.
знания при решении показательных
уравнений и неравенств.
Решение
логарифмических Знать:
алгоритмы
решения -текущий
уравнений
и
неравенств уравнений различными методами.
Решение
изученными методами.
Понимать: роль изученных методов
логарифмических
при исследовании алгебраической
уравнений
и
модели.
неравенств
Уметь: применить знания при
различными
решении
логарифмических
методами.
уравнений и неравенств; уметь
выбрать
рациональный
метод
решения неравенств, анализируя
13
УО
ПР
ПР
условия.
Приёмы решения уравнений.
32
33
34
Знать: приемы решения уравнений. -текущий
Понимать: роль изученных приемов
при решении систем уравнений.
Уметь:
применить
и
систематизировать
ранее
изученные методы в решении
математических моделей.
Решение
тестов Решение тестов повышенной Знать методы решения различных -текущий
повышенной
сложности
заданий
сложности
Понимать:
проводимые
рассуждения,
основываясь на
теоретический материал.
Уметь: применить полученные
знания при решении тестов.
Решение
тестов Решение тестов повышенной Знать методы решения различных -текущий
повышенной
сложности
заданий
сложности
Понимать:
проводимые
рассуждения,
основываясь на
теоретический материал.
Уметь: применить полученные
знания при решении тестов.
ПР
Решение
логарифмических
и показательных
уравнений
с
параметром.
14
ПР
тест
6. Описание учебно-методического и материально-технического обеспечения
образовательного процесса
Учебно-методическое обеспечение образовательной Материально-техническое
деятельности
обеспечение
образовательной деятельности
Для учащихся
1. Дорофеев Г.В., Седова Е.А., Шестаков С.А.. ЕГЭ. Демонстрационный материал:
Математика. — Москва: Эксмо, 2006 г.
1. Демонстрационный материал
2. Кириченко Ю.В.. Репетитор по математике. — Ростов- (картинки предметные, таблицы) в
на-Дону: Феникс, 1997 г.
соответствии с основными темами
3. Махров В.Г., Махрова В.Н.. Новый репетитор по программы обучения.
математике. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2004 г.
2. Наборы тематических картинок в
4. Титаренко A.M.. Форсированный курс подготовки к соответствии с тематикой.
экзамену по математике. Практикум. — Москва, 2011.
Раздаточный
дидактический
5. Ткачук В.В. Математика — абитуриенту. — Москва, материал:
1994 г. — Том 1,2.
1. Карточки с индивидуальными
заданиями.
2. Таблицы, схемы, рисунки.
Для учителя
1. Горнштейн П.И., Мерзляк А.Г. и др. Подводные 1.
Персональный
компьютер
рифы конкурсного экзамена по математике. — Киев, 1994 учителя;
г.
2. Интерактивная доска;
2. Горячев А.П.,
Гришин С.А. и др. Cборник 3. Мультимедийный проектор;
конкурсных и олимпиадных задач по математике. — М., 4.
Многофункциональное
2001 г.
устройство с лазерной печатью;
3. Кравцев СВ., Макаров Ю.Н. и др. Методы решения 5. Колонки;
задач по алгебре. Москва, 2001 г.
6.
Источник
бесперебойного
4. Куланин Е.Д., Федин С.Н.. 5000 конкурсных задач по питания;
математике. — Москва, 1999 г.
7. Классная доска;
1. Натяганов В.Л., Лужина Л.М.. Методы решения задач 8. Стол учительский с тумбой;
с параметрами. — Издательство МГУ, 2003 г.
9. Ученические столы 2-х местные
5. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., с комплектом стульев.
Конкурсные задачи по математике. — Москва: Наука,
1992 г.
6. Титаренко A.M.. Форсированный курс подготовки к
экзамену по математике. Практикум. — Москва, 2005 г.
15
16