семинар по производной

Семинар по теме ""Производная, непрерывность функции, касательная к графику""
План .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Исторические сведения.
Непрерывность функции. Примеры из физики.
Точки разрыва функции.
Касательная к графику функции. Геометрический смысл производной.
Физический смысл производной.
Групповая работа.
Индивидуальная работа.
Дидактические игры: "Лото", "Домино".
Содержание работы.
План семинара сообщается учащимся за несколько дней. Возможна работа в группах по первим пяти вопросам плана. Необходимо рекомендовать дополнительную
литературу.
1. Исторические сведения.
Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия. Понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартал
( около 1500 - 1557 гг. ) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета
снаряда.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в
Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори, а также в работах Ньютона. Учащиеся могут рассказать несколько фактов из б
Ньютона.
Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лейбниц, Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.
Однако у создателей дифференциального исчисления возникли проблемы, связанные с тем, что точные определения таких основных понятий как предел,
непрерывность, действительное число, отсутствовали, рассуждения содержали логические пробелы, а иногда были ошибочны. Таким образом, "новая" математика
не отвечала стандартам строгости, привычным для ученых, воспитанных на классических образцах греческих математиков. Гениальная интуиция таких гигантов,
как Ньютон,
Лейбниц, Эйлер помогала им избегать ошибок.
Характерны 2 высказывания, относящиеся к 18-му столетию. Известный математик М. Ролль писал, что новая наука есть коллекция гениальных ошибок. А
великий французский мыслитель - Вольтер заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых
не может быть доказано.
Начальный период развития новых ветвей математики, связанных с понятиями функции, бесконечно малых величин, пределов и производных, был охарактеризова
Марксом как "мистический".
Лозунгом многих математиков 17 века был: "Двигайтесь вперед, и вера в правильность результатов к вам придет".
2. Непрерывность функции.
Рассказать о двух определениях непрерывности функции y(x) в точке х0:
1) на языке приращений ( если
2)
х
0, то и
y
0)
y(x) = y(x0)
Отметить, что если функция y(x) непрерывна в любой точке интервала ( отрезка ), то ее график непрерывен на этом интервале ( отрезке ), и обратно,
непрерывность графика y(x) влечет непрерывность y(x) во всех его точках. Функция, непрерывная в любой точке отрезка (интервала), называется непрерыв
на нем.
Непрерывная функция выражает свойство, с которым нам часто приходится встречаться на практике, заключающееся в том, что малому приращению
независимой переменной соответствует малое приращение зависимой от нее переменной ( функции ).
Прекрасными примерами неприрывной функции могут служить различные законы движения тел S = f(t), выражающие зависимость пути S, пройденного
телом, от времени t. Время и пространство непрерывны, при этом тот или иной закон движения устанавливает между ними определенную
непрерывную связь, характеризующуюся тем, что малому приращению времени соответствует малое приращение пути.
К абстракции неприрывности человек пришел, наблюдая окружающие его так называемые сплошные среды - твердые, жидкие или газообразные, например
металлы, воду, воздух. На самом деле каждая физическая среда представляет собой скопление большого числа отделенных друг от друга движущихся
частиц. Однако эти частицы и расстояния между ними настолько малы по сравнению с объемами сред, с которыми приходится иметь дело в
макроскопических физических явлениях, что многие такие явления можно достаточно хорошо изучать, если считать приближенно массу изучаемой
среды непрерывно распределенной, без всяких просветов в занимаемом ею пространстве. На таком допущении базируются многие физические
дисциплины, например, гидродинамика, аэродинамика, теория упругости.
3. Точки разрыва.
Пусть функция y(x) определена в некоторой "проколотой" окрестности точки x = a. Если в самой точке а функция не определена, или определена,
но не является непрерывной в этой точке, то точку называют ТОЧКОЙ РАЗРЫВА функции y(x). ( "Проколотой" - окрестностью точки а называют
объединение двух интервалов (а- ;а) U (а;а+ ). Иными словами интервал (а- ;а+ ) без точки а. )
Если функция y(x) имеет разрыв в точке а, но можно добиться непрерывности функции в точке а, изменив ее значение в этой точке или доопределив
ее в этой точке, то говорят, что в точке а функция y(x) имеет УСТРАНИМЫЙ РАЗРЫВ.
Рассмотреть примеры функций:
Не следует думать, что в любом случае разрыв функции может быть устранен. Так, функция y=|x|/x имеет неустранимый разрыв в точке х = 0. Он называетс
СКАЧКОМ. Также неустранимый разрыв имеет в точке х = 0 функция y = 1/x2. Такой разрыв называется ПОЛЮСОМ функции.
4. Касательная к графику функции. Геометрический смысл производной.
5.Физический смысл производной.
Эти вопросы учащиеся могут подготовить по учебнику или другой книге.
6. Групповая работа.
Создано 5 рабочих групп, которым предлагаются вопросы, подготовленные на карточках.
1. Является ли неприрывной функция y(x)? Чему равно значение функции в точке х = 0?
2. Существует ли производная функции y(x) в точке х = а?
7. Индивидуальная работа.
Цель: проверка знаний по некоторым формулам дифференцирования, по определению производной, геометрическому смыслу производной.
1 вариант.
Написать производные функций:
x2, x, kx - b, C.
2 вариант.
а) Что означает y'(x) = 0 ?
б)
y/ x
?
в) к = ? ( к - угловой коэффициент касательной )
г) Написать производные функций: 1/x, |x|.
3 вариант.
а) Определение непрерывности функции в точке х0.
б) Знак производной в зависимости от угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс.
в) Привести пример функции, не имеющей производную в некоторой точке.
8. Лото.
1. y(x0 + x)
2. y(x0 - x) - y(x0)
3. x - x0
4. (x)'
5. (C)'
6. (1/x)'
7. ( )'
8. Определение производной.
9. Угловой коэффициент касательной равен ...
10. Является ли дифференцируемая функция непрерывной?
Ответы: y(x),
y,
x, 1, 0, -1/x2, 1/2
Ложные ответы: y(x0), нет, -1, -1/x, 1/
"Домино".
Начальная карточка:
x'
(C)'
,
y/ x
.
y'(x0), y'(x0), да.
2.
0
(kX + b)'
4.
(
1
)'
6.
k
(5x)'
2x
1/2
8.
10.
5
0
(1/x)'
(x2)'
12.
14.
5'
(4x2)'
16.
-1/x2
18.
8x
В конце работы необходимо подвести итоги, поставить оценки.
Дополнительная литература.
1.
2.
3.
4.
5.
Н.Я. Виленкин "Пределы, непрерывность".
С.М. Никольский "Элементы математического анализа".
М.А. Доброхотова, А.Н. Сафонов "Функция, ее предел и производная".
Р.Б. Райхмист "Графики функций".
Библиотечка "Квант" "Замечательные ученые".