02-Оглавление1
advertisement
ОГЛАВЛЕНИЕ Г л а в а 1. Аналитическая геометрия ........................................ Стр. 9 Декартовы координаты на прямой и на плоскости ................ Простейшие задачи на плоскости ............................................ Линии и их уравнения ............................................................... Угловой коэффициент прямой ................................................. Различные виды уравнения прямой ......................................... Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой ................................................................................... 1.7. Общее уравнение линий второго порядка ............................... 1.8. Окружность ................................................................................ 1.9. Парабола ..................................................................................... 1.10. Эллипс ........................................................................................ 1.11. Гипербола .................................................................................. 1.12. Векторы. Коллинеарность и равенство векторов. Линейные операции и их свойства ............................................................ 1.13. Декартовы координаты точки в пространстве. Радиус – – вектор точки ........................................................................... 1.14. Координаты вектора. Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме ....................................... 1.15. Скалярное произведение двух векторов. Длина и направляющие косинусы вектора ..................................................... 1.16. Различные виды уравнения плоскости ................................... 1.17. Расстояние от точки до плоскости .......................................... 1.18. Прямая линия в пространстве .................................................. 1.19. Взаимное расположение прямой и плоскости ....................... 9 11 13 15 15 Г л а в а 2. Введение в анализ ..................................................... 43 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 2.1. Понятие множества. Числовые множества. Логические символы ............................................................................................. 2.2. Определение функции. Основные способы её задания ......... 2.3. Основные элементарные, сложные и элементарные функции ...................................................................................... 2.4. Предел независимой переменной. Окрестность точки .......... 2.5. Предел функции в точке. Односторонние пределы .............. 3 19 20 21 22 24 26 29 31 32 34 37 39 39 41 43 44 45 46 47 2.6. Предел функции в бесконечности. Односторонние пределы в бесконечности ......................................................................... 2.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их основные свойства ..................................................................... 2.8. Формулировки основных теорем о пределах функций .......... 2.9. Два замечательных предела. Понятие о натуральных логарифмах и экспоненте ........................................................ 2.10. Точки непрерывности и точки разрыва функции .................. 2.11. Свойства функций, непрерывных на отрезке ......................... Г л а в а 3. Дифференциальное исчисление ........................... 3.1. Определение производной, её геометрический и физический смысл .......................................................................................... 3.2. Дифференцируемость и непрерывность функции. Формулы дифференцирования ................................................................. 3.3. Правила дифференцирования элементарных функций. Производная неявной функции ............................................... 3.4. Дифференциал функции. Производная функции, заданной параметрическими уравнениями ........................................... 3.5. Производные высших порядков. Физический смысл производной второго порядка ............................................... 3.6. Основные теоремы дифференциального исчисления ........ 3.7. Определение монотонных функций. Достаточные условия монотонности ............................................................................ 3.8. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума ................................................................................. 3.9. Наибольшее и наименьшее значения функции ................. 3.10. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба ..................................................................................... 3.11. Асимптоты графика функции ................................................ 3.12. План полного исследования функции и построения её графика ...................................................................................... 48 49 50 52 53 55 57 57 58 60 61 62 63 66 67 68 69 70 72 Г л а в а 4. Функции нескольких переменных ........................ 73 4.1. Основные понятия ................................................................... 4.2. Частные производные и полный дифференциал функции двух переменных ...................................................................... 4.3. Производная по направлению и градиент .............................. 4.4. Частные производные высших порядков ............................... 4.5. Экстремум функции двух переменных ................................... 4.6. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных ............................................................................... 4.7. Условный экстремум функции двух переменных. Метод множителей Лагранжа ............................................................. 73 4 74 76 77 79 81 81 Г л а в а 5. Интегральное исчисление .......................................... 83 5.1. Первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла ................................................... 5.2. Таблица неопределённых интегралов. Метод непосредственного интегрирования ........................................................ 5.3. Метод интегрирования заменой переменной ........................ 5.4. Метод интегрирования по частям ........................................... 5.5. Специальные приёмы интегрирования некоторых тригонометрических и иррациональных функций .......................... 5.6. Понятие о «неберущихся» интегралах и интегрировании в конечном виде ......................................................................... 5.7. Понятие определённого интеграла ......................................... 5.8. Геометрический смысл определённого интеграла ................ 5.9. Основные свойства определённого интеграла ....................... 5.10. Вычисление определённого интеграла .................................. 5.11. Определённый интеграл с переменным верхним пределом. Теорема существования ........................................................ 5.12. Несобственные интегралы первого рода ............................... 5.13. Вычисление площади плоской фигуры ................................. 5.14. Определение определённого интеграла как предела интегральной суммы ......................................................................... 100 Г л а в а 6. Матрицы и определители ........................................ 102 Числовые матрицы и действия над ними ............................... Определители квадратных матриц .......................................... Свойства определителей ......................................................... Обратная матрица .................................................................... 102 110 114 118 Г л а в а 7. Системы линейных уравнений .............................. 121 7.1. Основные понятия ................................................................... 7.2. Система n линейных уравнений с n неизвестными ......... 7.3. Элементарные преобразования матриц и систем линейных уравнений .................................................................................. 7.4. Метод Гаусса ............................................................................ 7.5. Система линейных уравнений с базисом. Метод Жордана – Гаусса .................................................................... 7.6. Ранг матрицы ............................................................................ 7.7. Условие совместности систем линейных уравнений ............ 7.8. Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы ..................................................................................... 121 123 Г л а в а 8. Линейное программирование ................................. 147 8.1. Задачи математического и линейного программирования ... 147 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 5 83 84 86 87 90 91 92 92 94 95 97 97 99 127 130 134 139 142 144 8.2. Экономико-математические модели простейших задач линейного программирования ................................................ 8.3. Каноническая форма задачи линейного программирования .............................................................................................. 8.4. Выпуклые множества ............................................................... 8.5. Многоугольники и многогранники ......................................... 8.6. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования .................................................................................. 8.7. Свойства задачи линейного программирования .................... 8.8. Графический метод решения задачи линейного программирования .................................................................................. 8.9. Симплексный метод решения задачи линейного программирования. Критерий оптимальности решения ..................... 8.10. Алгоритм симплексного метода .............................................. 8.11. Симметричные взаимно двойственные задачи ...................... 8.12. Теоремы теории двойственности ............................................ 8.13. Анализ двойственных оценок ресурсов ................................. 149 152 154 156 158 160 163 166 170 173 175 178 Г л а в а 9. Дифференциальные уравнения ............................ 180 9.1. Понятие о дифференциальном уравнении ............................. 9.2. Уравнения первого порядка. Основные понятия и определения .......................................................................................... 9.3. Уравнения с разделяющимися переменными ........................ 9.4. Однородные уравнения ............................................................ 9.5. Линейные уравнения и уравнение Бернулли ......................... 9.6. Уравнения второго порядка, приводящиеся к уравнениям первого порядка ....................................................................... 9.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Определения и основные свойства ......................................... 9.8. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа. Формулы Эйлера ..................................................................... 9.9. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида .................................................................................... 180 Г л а в а 10. Числовые и степенные ряды .............................. 205 Последовательность и её предел ............................................ Числовые ряды и их свойства ................................................. Необходимый признак сходимости ряда ............................... Признаки сходимости положительных рядов ....................... Знакочередующиеся и знакопеременные ряды .................... Степенные ряды ....................................................................... Свойства степенных рядов ..................................................... 205 207 210 212 216 219 223 10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. 10.7. 6 181 186 187 189 190 193 196 200 10.8. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ................................................................................ 10.9. Примеры применения рядов ................................................... 224 230 Г л а в а 11. Теория вероятностей ............................................... 233 11.1. Испытания и события. Поле случайных событий. Полная группа событий ....................................................................... 11.2. Вероятность события. Аксиомы теории вероятностей. Классическое и статистическое определения вероятности... 11.3. Основные формулы комбинаторики ...................................... 11.4. Теорема сложения вероятностей ............................................ 11.5. Правила умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности ............................................................................ 11.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса .................. 11.7. Понятие дискретной случайной величины ........................... 11.8. Гипергеометрическое распределение ................................... 11.9. Биномиальное распределение ................................................ 11.10. Распределение Пуассона ........................................................ 11.11. Математическое ожидание дискретной случайной величины ......................................................................................... 11.12. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины ..................................................... 11.13. Закон больших чисел .............................................................. 11.14. Интегральная функция распределения. Непрерывная случайная величина ............................................................... 11.15. Дифференциальная функция распределения ....................... 11.16. Числовые характеристики непрерывной случайной величины .................................................................................. 11.17. Закон равномерного распределения на отрезке ................... 11.18. Показательное распределение. Показательный закон надежности .............................................................................. 11.19. Нормальный закон распределения ........................................ Г л а в а 12. Математическая статистика ................................... 12.1. Задачи математической статистики. Общие сведения о выборочном методе ............................................................... 12.2. Статистическое распределение выборки .............................. 12.3. Графическое изображение статистического распределения. Эмпирическая функция распределения ......................... 12.4. Числовые характеристики генеральной и выборочной совокупностей .......................................................................... 12.5. Точечные оценки параметров распределения ....................... 12.6. Интервальные оценки параметров распределения ............... 7 233 235 239 241 242 244 246 247 248 249 250 253 255 258 260 263 264 266 268 272 272 273 274 277 279 280 12.7. Принцип практической невозможности маловероятных событий .................................................................................... 12.8. Статистическая гипотеза и общая схема её проверки ........ 12.9. Проверка гипотезы о законе распределения по критерию Пирсона .................................................................................... 12.10. Условные распределения и регрессии .................................. 12.11. Ковариация и коэффициент корреляции ............................. 12.12. Уравнения прямых регрессии и статистические оценки их параметров ........................................................................ 282 283 285 288 290 294 Г л а в а 13. Экономико-математические модели .................. 297 13.1. Математические модели и точность экономических расчётов ................................................................................... 13.2. Равновесие спроса и предложения ........................................ 13.3. Максимальная прибыль ........................................................ 13.4. Предельный анализ в экономике ........................................... 13.5. Эластичность экономических функций ................................ 13.6. Зависимость спроса от цен и доходов .................................. 13.7. Экономический смысл частных производных ..................... 13.8. Полезность товаров и услуг ................................................... 13.9. Балансовые модели ................................................................ 13.10. Цепи Маркова ......................................................................... 297 297 300 302 306 308 310 312 315 318 8
