МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования «Алтайский государственный университет»
филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего
профессионального образования «Алтайский государственный университет» в г. Камень-на-Оби
среднее профессиональное образование
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
Финансовая математика
(наименование учебной дисциплины)
Уровень основной образовательной программы
базовый
(базовый, повышенный)
Специальность
Форма обучения
080110 «Банковское дело»
очная
(очная, заочная)
Срок освоения ОПОП
1 год 10 месяцев
(нормативный или сокращенный срок обучения)
При разработке программы в основу положены:
ФГОС СПО по специальности
080110 «Банковское дело»
утвержденный Министерством образования и науки РФ
«24 » июня 2010 г.
Программа одобрена на заседании УМС филиала АлтГУ в г. Камень-на-Оби
от «___» ________20__г., протокол № ___
Разработчики:
преподаватель филиала АлтГУ в г.Камень-на-Оби
(занимаемая должность)
Е.А. Шварц
(подпись)
Рецензенты:
_____________________________________________
(занимаемая должность)
____________
(подпись)
Председатель учебно-методического совета:
Директор филиала
(занимаемая должность)
______________
(подпись)
О.А. Иванова
(инициалы, фамилия)
СОДЕРЖАНИЕ
1. ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
стр.
4
2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
5
3. УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
9
4. КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
10
ОСВОЕНИЯ
1. ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Финансовая математика
1.1. Область применения программы
Программа
учебной
дисциплины
является
частью
основной
профессиональной образовательной программы в соответствии с ФГОС по
специальности СПО 080110 «Банковское дело».
.
1.2. Место учебной дисциплины в структуре основной профессиональной
образовательной программы:
обязательная дисциплина математического и общего естественнонаучного цикла
ОПОП СПО
1.3. Цели и задачи учебной дисциплины – требования к результатам
освоения учебной дисциплины:
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь:
– выполнять расчёты, связанные с начислением простых и сложных
процентов;
– корректировать финансово-экономические показатели с учётом
инфляции;
– рассчитывать суммы платежей при различных способах погашения долга;
– вычислять параметры финансовой ренты;
– производить вычисления, связанные с проведением валютных операций.
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать:
– виды процентных ставок и способы начисления процентов;
– формулы эквивалентности процентных ставок;
– методы расчёта наращенных сумм в условиях инфляции;
– виды потоков платежей и их основные параметры;
– методы расчёта платежей при погашении долга;
– показатели доходности ценных бумаг;
– основы валютных вычислений.
Содержание дисциплины ориентировано на подготовку студентов к
освоению
профессиональных
модулей
ОПОП
по
специальности
080110Банковское дело и овладению профессиональными компетенциями
(ПК):
ПК 1.1. Осуществлять расчетно-кассовое обслуживание клиентов.
ПК 1.2. Осуществлять безналичные платежи с использованием различных
форм расчетов в национальной и иностранной валютах.
ПК 1.3. Осуществлять расчетное обслуживание счетов бюджетов
различных уровней.
ПК 1.4. Осуществлять межбанковские расчеты.
ПК 1.5. Осуществлять международные расчеты по экспортно-импортным
операциям.
ПК 1.6. Обслуживать расчетные операции с использованием различных
видов платежных карт.
ПК 2.1. Оценивать кредитоспособность клиентов.
ПК 2.2. Осуществлять и оформлять выдачу кредитов.
ПК 2.3. Осуществлять сопровождение выданных кредитов.
ПК 2.4. Проводить операции на рынке межбанковских кредитов.
ПК 2.5. Формировать и регулировать резервы на возможные потери по
кредитам.
В процессе освоения дисциплины у студентов должны формироваться
общие компетенции (ОК):
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые
методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их
эффективность и качество.
1.4. Рекомендуемое количество часов на освоение программы учебной
дисциплины:
максимальной учебной нагрузки обучающегося 48 часов, в том числе:
обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося 32 часов;
самостоятельной работы обучающегося 16 часов.
2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
2.1. Объем учебной дисциплины и виды учебной работы
Вид учебной работы
Объем часов
Максимальная учебная нагрузка (всего)
Обязательная аудиторная учебная нагрузка (всего)
в том числе:
48
32
практические занятия
Самостоятельная работа обучающегося (всего)
16
16
2
4
2
2
2
2
2
1. Подготовка конспекта по теме «Классификация и характеристика финансового рынка»
2. Условия применения простых процентов. Особенности начисления процентов при
использовании простых ставок. Решение задач (КОС задача 1-19)
3. Условия применения сложных процентов. Решение задач (КОС задача 20-30)
4. Подготовка конспекта по теме «Начисление процентов в условиях инфляции
и налогообложения»
5. Подготовить конспект по теме «Финансовые ренты и их классификация». Решение
задач (КОС задача 31-36)
6. Подготовка реферата на тему «Расчеты по ипотечным ссудам»
7. Подготовка реферата по теме
"Рынок ценных бумаг. Анализ доходности
краткосрочных облигаций"
в том числе:
Итоговая аттестация в форме
контрольная работа
2.2. Тематический план и содержание учебной дисциплины «ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА»
Наименование
разделов и тем
1
Тема 1.
Предмет, метод и
задачи финансовой
математики
Тема 2.
Наращение и
дисконтирование по
простым
процентным
ставкам.
Тема 3.
Сложные проценты.
Содержание учебного материала, лабораторные работы и практические занятия, самостоятельная работа
обучающихся, курсовая работа (проект) (если предусмотрены)
2
Содержание учебного материала
Понятие финансовой математики и финансово-экономических расчетов как предмета статистического
исследования.
2
Роль финансово-экономических расчетов в обеспечении эффективности и оптимизации финансовой
деятельности. Методологические основы финансовой математики.
Самостоятельная работа обучающихся
Подготовка конспекта по теме «Классификация и характеристика финансового рынка»
Содержание учебного материала
1
Обыкновенные и точные проценты, варианты расчета простых процентов.
Постоянные и переменные значения процентных ставок. Наращение по переменным простым ставкам
процентов. Определение срока ссуды и уровня процентной ставки. Использование процентных чисел в
банковской практике.
Практические занятия
Использование простых процентов на практике. Определение наращенной суммы и коэффициента наращения
при использовании простых процентов. Определение наращенной суммы при дискретно изменяющихся во
времени процентной ставки
Самостоятельная работа обучающихся
Условия применения простых процентов. Особенности начисления процентов при использовании простых
ставок. Решение задач (КОС задача 1-19)
Содержание учебного материала
1
2
1
2
3
4
Сущность начисления сложных процентов. Различие между простой и сложной процентной ставкой.
Формула наращения по постоянной ставке сложных процентов.
Множитель наращения и способы его определения. Начисление сложных процентов несколько раз в год.
Номинальная и эффективная ставки процентов. Постоянные и переменные процентные ставки.
Начисление по переменным ставкам сложных процентов. Начисление процентов с дробным числом лет:
общий метод и смешанный метод.
Непрерывное начисление процентов и сила роста. Определение срока ссуды и уровня ставки процентов.
Объем часов
3
4
Уровень
освоения
4
1
2
2
3
10
1
2
4
2
4
6
1
2
Практические занятия
Расчет наращенной суммы при дискретно меняющейся во времени сложной ставке процентов. Определение
наращенной суммы за срок с дробным числом лет. Непрерывное начисление процентов Решение задач.
2
Самостоятельная работа обучающихся
Условия применения сложных процентов. Решение задач (КОС задача 20-30)
2
2
Тема 4.
Эквивалентность
процентных ставок.
Тема 5.
Учет инфляции в
финансовозкономических
расчетах.
Тема 6.
Потоки платежей.
Финансовые ренты.
Тема 7.
Планирование
погашения долга.
Содержание учебного материала
1 Принцип финансовой эквивалентности платежей и его применение при изменении условий контрактов.
Объединение (консолидация) платежей.
2 Понятие эквивалентности процентных ставок и их использование при количественном финансовом анализе.
Использование уравнений эквивалентности.
3 Формула для определения эквивалентных значений простой ставки процентов и простой учетной ставки,
простых и сложных процентных ставок, эффективной и номинальной ставок сложных процентов.
Практические занятия
Общее число периодов постоянных выплат на основе постоянной процентной ставки. Расчет значения
процентной ставки за один расчетный период. Расчет годовой ставки наращения по формуле простых процентов.
Вычисление наращенной суммы с использованием учетной ставки. Решение задач.
Содержание учебного материала
1 Сущность инфляции и необходимость ее учета при проведении финансовой операции. Уровень инфляции и
индекс инфляции. Определение реальной доходности вкладных и кредитных операций. Определение бруттоставки простых процентов: точное и приближенное значение. Определение брутто-ставки для сложных
процентов.
Практические занятия
Определение инфляционной премии: при начислении простых процентов; при начислении сложных процентов.
Самостоятельная работа обучающихся
Подготовка конспекта по теме «Начисление процентов в условиях инфляции и налогообложения»
Содержание учебного материала
1 Сущность потоков платежей и финансовых рент. Виды финансовых рент. Обобщающие характеристики
финансовых потоков: наращенная сумма и современная величина потока платежей. Современная величина
обычной ренты. Коэффициент приведения ренты и способы его определения.
2
Определение наращенной суммы обычной ренты. Коэффициенты наращения и способы его определения.
3 Определение параметров финансовых рент: члена ренты и срока ренты.
Практические занятия
Модификация формул финансовых рент с выплатами несколько раз в год. Определение ренты: при заданном
значении наращенной суммы; при заданном значении современной величины.
Использование данных "Финансовых таблиц" для определения наращенной и приведенной величины
финансовой ренты.
Самостоятельная работа обучающихся
Подготовить конспект по теме «Финансовые ренты и их классификация». Решение задач (КОС задача 31-36)
Содержание учебного материала
1 Кредитные расчеты. Методы погашения займа. Погашение долга единовременным платежом. Формирование
погасительного фонда на основе постоянных срочных уплат и на основе неравных взносов. Погашение долга
в рассрочку. Погашение долга равными срочными выплатами. Погашение долга равными суммами
Практические занятия
Сущность погасительного фонда. Погашение долга равными частями.
Самостоятельная работа обучающихся
Подготовка реферата (КОС темы рефератов по выбору студента)
4
2
1
2
2
5
1
1
2
2
2
6
2
1
2
2
2
6
2
1
2
2
2
Тема 8.
Анализ доходности
ценных бумаг.
Тема 9.
Основы валютных
начислений.
Содержание учебного материала
1 Различные виды ценных бумаг, в зависимости от формы представления капитала и способа выплаты дохода.
Определение рыночной стоимости ценных бумаг. Рыночная норма дохода. Акции, источники дохода по
акциям, дивиденды. Различные виды цен для акций. Привилегированные и обыкновенные акции. Понятие
доходности акции.
2 Виды цен для облигаций. Источники дохода по облигациям. Доходность по облигациям. Облигации без
обязательного погашения (бессрочные) с периодической выплатой процентов; облигации без выплаты
процентов (бескупонные); облигации с выплатой процентов и номинала в конце срока; облигации с
периодической выплатой процентов и погашением номинала в конце срока.
Практические занятия
Расчет доходности ценной бумаги при заданной купонной ставке и разности курсов покупки и погашения за
указанный период. Расчет курсовой стоимости ценной бумаги с периодическими выплатами купонных
процентов
Расчет доходности и курсовой стоимости ценной бумаги с нерегулярным первым (последним) периодом
выплаты купона.
Расчет доходности и курсовой стоимости ценной бумаги в случае выплаты процентов и номинала в момент
погашения (выкупа).
Самостоятельная работа обучающихся
Подготовка реферата (КОС темы рефератов по выбору студента)
6
2
1
2
2
Содержание учебного материала
1 Основы валютных начислений. Конверсия валюты.
1
1
Для характеристики уровня освоения учебного материала используются следующие обозначения:
1. – ознакомительный (узнавание ранее изученных объектов, свойств);
2. – репродуктивный (выполнение деятельности по образцу, инструкции или под руководством)
3. – продуктивный (планирование и самостоятельное выполнение деятельности, решение проблемных задач)
Всего:
2
48
1
3. УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
3.1.
Требования
к
минимальному
материально-техническому
обеспечению
Реализация учебной дисциплины требует наличия учебного компьютерного
класса.
Оборудование учебного кабинета: персональные компьютеры,
мультимедийное оборудование
Технические средства обучения: компьютерный класс (оснащенный
компьютерами типа Pentium II, Pentium III, Pentium Celeron и стандартным
пакетом программ Microsoft Office) для выполнения тестовых заданий;
мультимедийное оборудование.
Используемое программное обеспечение:
1. Офисный пакет представлен набором программ OpenOffice;
2. Справочно-правовая система «Консультант Плюс», включающая в
себя следующие разделы: Законодательство, Судебная практика, Финансовые
и кадровые консультации, Консультации для бюджетных организаций,
Комментарии законодательства, Формы документов, Законопроекты,
Международные правовые суды, Правовые акты по здравоохранению,
Технические нормы и правила;
3. Программы для просмотра файлов pdf, djvu.
3.2. Информационное обеспечение обучения
Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов,
дополнительной литературы
Основные источники:
1. Самаров К.Л. Финансовая математика: сборник задач с решениями. М.: Альфа-М; ИНФРА-М, 2009. - 80с.
2. Самаров К.Л. Финансовая математика: практический курс. - М.: АльфаМ; ИНФРА-М, 2010. - 80с.
Дополнительные источники:
1. Финансовая математика: математическое моделирование финансовых
операций / Под ред. В.А.Половникова, А.И.Пилипенко. - М.: Вузовский
учебник, 2009. - 360с.
2. Официальный сайт Министерства Финансов Российской Федерации
minfin.ru.
3. Экономический информационный сайт Economika.info.
4. Экономическая библиотека buhcon.com.
5. Библиотека Интернета портал бесплатных книг univer.itop7.com.
4. КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ
Контроль и оценка результатов освоения учебной дисциплины
осуществляется преподавателем в процессе проведения практических
занятий и лабораторных работ, тестирования, а также выполнения
обучающимися индивидуальных заданий, проектов, исследований.
Результаты обучения
(освоенные умения, усвоенные знания)
Умения:
Выполнять
расчёты,
связанные
с
начислением
простых
и
сложных
процентов.
Корректировать
финансовоэкономические показатели с учётом
инфляции.
Рассчитывать суммы платежей при
различных способах погашения долга.
Вычислять параметры финансовой ренты
Производить вычисления, связанные с
проведением валютных операций.
Знания:
Виды процентных ставок и способы
начисления процентов
Формы и методы контроля и оценки
результатов обучения
Решение задач по отдельным темам курса.
Проверка самостоятельных работ.
Решение задач по отдельным темам курса.
Проверка самостоятельных работ.
Решение задач по отдельным темам курса.
Проверка самостоятельных работ.
Решение задач по отдельным темам курса.
Решение задач по отдельным темам курса.
Проверка самостоятельных работ.
Самостоятельное выполнение тестов по теме
«Начисление простых и сложных
процентов».
Формулы эквивалентности процентных Устные формы опроса на аудиторных
занятиях.
ставок
Методы расчёта наращенных сумм в Решение задач по отдельным темам курса.
условиях инфляции
Виды потоков платежей и их основные Устные формы опроса на аудиторных
занятиях. Тестирование.
параметры
Методы расчёта платежей при погашении Решение задач по отдельным темам курса.
Проверка самостоятельных работ.
долга
Устные формы опроса на аудиторных
Показатели доходности ценных бумаг
занятиях. Решение задач по отдельным темам
курса.
Устные формы опроса на аудиторных
Основы валютных вычислений.
занятиях.
Методические рекомендации для студента
Самостоятельная работа по данному курсу состоит из двух частей:
1. Изучение теоретических основ курса, используя источники, данные в
списке литературы, а также лекционный материал.
Контроль осуществляется с помощью:
 выполнения контрольных работ
 выполнение домашних работ
 выполнение тестов.
2. Подготовки к практическим занятиям в соответствии с тематическим
планом их проведения (см. выше). Подготовка подразумевает выполнение
домашней работы и повторения теоретического материала.
Контроль осуществляется преподавателями во время проведения
практических занятий.
Началом любой самостоятельной работы должно стать развитие
навыков и умений грамотной работы с учебной и научной литературой, как
печатной, так и на электронных носителях. Умение пользоваться каталогами,
картотеками,
заданными
списками
литературы,
справочноинформационными изданиями позволяет рационализировать познавательную
деятельность.
Особое место занимает внеаудиторная самостоятельная работа
студентов. Письменное решение домашнего задания, подготовка реферата
представляют собой результат самостоятельного исследования конкретной
проблемы. Это именно те виды письменных работ, в которых происходит
освоение навыков последовательного и аргументированного изложения
результатов познавательной работы, логики изложения, оформления научносправочного аппарата исследования. Практические приемы и навыки,
получаемые здесь, в дальнейшем используются при подготовке курсовой и
дипломной работы.
Задания для контрольной работы
1. Предприятию предлагают два варианта оплаты аренды производственного
помещения: 120 тыс. р. ежемесячно или 1 440 тыс. р. в конце года. Какой
вариант ему следует выбрать? Обоснуйте предложенный выбор.
2. Прибыль предприятия в первом квартале составила 556 тыс. р., во втором
— 525 тыс. р. На сколько процентов уменьшилась квартальная прибыль?
3. Собственный капитал банка за рассматриваемый период увеличился в 2,3
раза. На сколько процентов увеличился собственный капитал?
4. Сумма просроченных кредитов по сравнению с прошлым годом
уменьшилась в 1,5 раза. На сколько процентов уменьшилась эта сумма?
5. Стоимость товара в течение года увеличилась на 12 %. Во сколько раз она
увеличилась?
6. В течение первого месяца цена товара увеличилась на 10 %, а в течение
следующего месяца снизилась на 5 %. На сколько процентов изменилась
первоначальная цена товара за два месяца?
7. Предприятие реализовало партию товара за 230 тыс. р., получив при этом
30 % прибыли. Определите размер прибыли и себестоимость товара.
8. Предприятие реализовало партию товара за 450 тыс. р., получив при этом 8
% убытка. Определите размер убытка и себестоимость товара.
9. В результате инвестирования первоначальный капитал за первый год
вырос на 20 %, за второй год общий капитал увеличился в 1,3 раза, за третий
год вся сумма увеличилась в полтора раза.
Определите, на сколько процентов увеличилась первоначальная сумма за три
года.
10. Предприятие получило кредит на один год в размере 100 тыс. р. с
условием возврата 115 тыс. р. Рассчитайте обычную и учетную годовые
процентные ставки.
11. Определите учетную годовую процентную ставку, эквивалентную
обычной годовой процентной ставке 15 %.
12. Определите обычную годовую процентную ставку, эквивалентную
учетной годовой процентной ставке 18 %.
13. Определите учетную годовую процентную ставку, эквивалентную
обычной годовой процентной ставке 20 %.
14. Заемщик получил 01.09.09. ссуду $ 600 000, возвратить которую
необходимо 16.10.09, а расчет производится по схеме простых процентов с
15%-ной годовой процентной ставкой. Какую сумму должен возвратить
заемщик кредитору при британской практике расчета процентов?
15. Заемщик получил 01.03.08. ссуду $ 600 000., возвратить которую
необходимо 16.10.08, а расчет производится по схеме простых процентов с
20%-ной годовой процентной ставкой. Какую сумму должен возвратить
заемщик кредитору при французской практике расчета процентов?
16. Заемщик получил 01.03.06. ссуду $ 800 000., возвратить которую
необходимо 16.09.06, а расчет производится по схеме простых процентов с
20%-ной годовой процентной ставкой. Какую сумму должен возвратить
заемщик кредитору при германской практике расчета процентов?
17. Предприниматель получил на полтора года кредит в размере 50 тыс. р. В
конце срока он должен возвратить 62 тыс. р. Определите обычную и учетную
годовые процентные ставки.
18. На капитал в размере 2 млн р. в течение трех лет осуществляют
наращение по простой годовой процентной ставке 14 %. Определите
приращение первоначального капитала за каждый год и общую наращенную
сумму.
19. Определить проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна
900 тыс.руб., срок cсуды 5 лет, проценты простые по ставке 10% годовых.
Во сколько раз увеличится наращенная сумма, если ставку удвоить?
20. Предприниматель обратился в банк с просьбой о предоставлении ссуды
в размере 1 200 000 руб. на срок 1
год. Банк выделил ему эту ссуду с годовой процентной ставкой 10% при
условии погашения ссуды одним платежом в конце срока. Какую сумму
должен через год возвратить предприниматель банку? Какие процентные
деньги получит банк?
21. Вексель номиналом 10 тыс. р. учтен в банке за полгода до срока его
погашения, при этом владелец векселя получил 8 900 р. Определите простую
учетную годовую процентную ставку, которая применена при учете векселя.
22. Предприниматель может купить помещение за 450 тыс. р. наличными или
заплатить 520 тыс. р. через год. Предположим, на счете предприятия в банке
не менее 450 тыс. р. и банк платит 14 % годовых. Какое решение
предпочтительнее в данной ситуации?
23. Банк выдал заемщику ссуду сроком на 3 года под проценты. Какую
операцию ему следует применить, чтобы рассчитать размер задолженности к
концу срока: наращение или дисконтирование?
24. Вексель номиналом 100 тыс. р. учтен банком за полтора года до срока его
погашения. Какую операцию следует применить, чтобы рассчитать сумму,
полученную владельцем векселя: наращение или дисконтирование?
25. Через год после заключения финансового соглашения о получении
кредита должник обязан заплатить 32 тыс. р. Определите первоначальную
сумму кредита, если он выдан под 18 % годовых.
26. Предприятие получило кредит в сумме 400 тыс. р. сроком на один год.
Учетная годовая процентная ставка по кредиту равна 25 %. Определите
сумму, которую предприниматель должен вернуть банку.
27. Определите сумму дохода кредитора, если за предоставление в долг на
один год под 16 % годовых некоторой суммы он получит от заемщика в
совокупности 232 тыс. р.
28. Определите размер вклада, размещенного под 15 % годовых, по которому
банк ежегодно выплачивает 45 тыс. р. процентных денег.
29. За вексель, учтенный за год до срока по учетной годовой процентной
ставке 24 %, заплачено 38 тыс. р. Определите номинальную стоимость
векселя.
30. За какой срок вклад 10 тыс. р. возрастет до 13 тыс. р. при начислении
процентов по простой годовой процентной ставке 15 %?
31. Предприятию необходим кредит в размере 1 000 тыс. р. Банк согласен на
выдачу кредита при условии, что он будет возвращен через 18 месяцев в
размере 1 300 тыс. р. Определите доходность такой сделки для банка в виде
обычной и учетной годовых процентных ставок.
Методические рекомендации
по выполнению практических заданий
В данном курсе предусмотрены домашние задания, которые
проверяются на практических занятиях.
Цель выполнения задания – систематизация и закрепление
теоретических знаний и практических навыков студентов в решении задач.
Студенты, не выполнившие домашние задания в течение семестра, к
итоговому зачёту не допускаются.
Практические задания по теме
«Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам»
1. Простейшие сведения о процентах.
Одну сотую долю числа a называют одним процентом числа a; k сотых
долей числа a называют k процентами числа a; число a называют базой
для нахождения процентов.
k % числа a = (k /100)a
(1.1)
Задача 1.1. Даны два числа a и b. Сколько процентов составляет число b
от числа a?
Р е ш е н и е. Заметим, что базой для нахождения процентов является
число a, и предположим, что число b составляет x % числа a. По формуле
(1.1)
b = (x /100)a,
откуда вытекает
x = 100b/a.
(1.2)
О т в е т. Число b составляет (100b/a)% числа a.
Задача 1.2. Число a увеличилось в 3.7 раза. На сколько процентов
увеличилось число a?
Р е ш е н и е. При увеличении в 3.7 раза число a увеличивается на число
b, причем
b = 3.7a – a = 2.7a.
По формуле (1.2)
x = 100b/a = (100 • 2.7a)/a= 270.
О т в е т. Число a увеличилось на 270 %.
Задача 1.3. Число увеличилось на 5 %. Во сколько раз увеличилось это
число?
Р е ш е н и е. Обозначим рассматриваемое число
буквой с, а буквой d – число с, увеличенное на 5 %. Воспользовавшись
формулой (1.1), получим
d = c + 0.05c = 1.05c.
О т в е т. Число c увеличилось в 1.05 раза.
Задача 1.4. Налог на добавленную стоимость (НДС) равняется 18 % цены
товара. Найти цену товара, если товар с учетом НДС стоит 1652 руб.
Р е ш е н и е. Обозначим через a цену товара без учета НДС. Стоимость
товара с учетом НДС составляет
100 % + 18 % = 118 % от a. Следовательно,
a = 1652/1,18 = 1400 (руб.).
О т в е т. Цена товара без учета НДС равна 1400 руб.
Задача 1.5. В течение первого месяца цена товара увеличилась на 30 %, а
в течение следующего месяца новая цена товара уменьшилась на 10 %. На
сколько процентов изменилась первоначальная цена товара за 2 месяца?
Р е ш е н и е. Обозначим через a первоначальную цену товара.
Следовательно, по истечении первого месяца цена товара стала равной
1,3a. По условию задачи, за второй месяц новая цена товара, равная 1,3a
(база), уменьшилась на 10 % и стала равной
1,3a • 0,9 = 1,17 a.
О т в е т. Первоначальная цена товара за 2 месяца увеличилась на 17 %.
2. Простые проценты. Процентные ставки.
В финансовых расчетах под процентами (процентными деньгами)
понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг
любой форме (продажа в кредит, предоставление денежной ссуды,
помещение денег на сберегательный счет, учет векселя, покупка
сберегательного сертификата или облигаций и т.д.).
При заключении финансового или кредитного соглашения стороны
(кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки —
отношения суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный
отрезок времени, к величине ссуды. Интервал времени, к которому
относится процентная ставка, называют периодом начисления. Ставка
измеряется в процентах, в виде десятичной или обыкновенной дроби. В
последнем случае она фиксируется в контрактах с точностью до 1/16 или
даже 1/32.
Проценты либо выплачиваются кредитору по мере их начисления, либо
присоединяются к сумме долга. Процесс увеличения денег в связи с
присоединением процентов к сумме долга называют наращением или
ростом первоначальной суммы.
В практике существуют различные способы начисления процентов,
зависящие от условий контрактов. Соответственно применяют различные
виды процентных ставок. Наиболее ответственный момент связан с
выбором
исходной базы (суммы) для начисления процентов. Ставки процентов
могут применяться к одной и той же начальной сумме на протяжении
всего срока ссуды или к
сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. В первом
случае они называются простыми, а во втором — сложными
процентными ставками
Процентные ставки могут быть постоянными (фиксированными) или
переменными (плавающими).
В первом случае размер фиксированной
ставки однозначно указывается в контракте. Во втором — указывается
изменяющаяся во времени базовая ставка (база) и размер надбавки к ней
(маржи). Размер маржи определяется целым рядом условий, и частности
сроком ссудной операции и т.д.
2.1. Формула наращения по простым процентам. Под наращенной
суммой ссуды (долга, депозита, других видов инвестированных средств)
понимается первоначальная ее сумма вместе с начисленными на нее
процентами к концу срока.
S = Р (1 + ni),
(2.1)
где
S – наращенная сумма;
Р – первоначальная сумма денег;
i – ставка простых процентов;
n – период начисления.
Множитель (1 + ni) называется множителем наращения.
Наращенную сумму можно представить в виде двух слагаемых:
первоначальной суммы Р и суммы процентов I (процентных денег)
S = Р + I,
(2.2)
где
I = Рni
(2.3)
Заметим, что увеличение процентной ставки или срока в k раз
одинаковым образом влияет на множитель наращения. Последний
увеличится в (1 + kni) / (1 + ni) раз.
Задача 2.1. Рассчитаем проценты и сумму накопленного долга, если
ссуда равна 100 000 руб., срок долга 1,5 года при ставке простых
процентов, равной 15% годовых.
Р е ш е н и е. По формулам (2.3) и (2.2) находим
I = 100 000 • 1,5 • 0,15 = 22 500 руб. - проценты за 1,5 года;
S = 100 000 + 22 500 = 122 500 руб. - наращенная сумма.
Задача 2.2. Определим проценты и сумму накопленного долга, если
ссуда равна 800 тыс.руб., срок cсуды 3 года, проценты простые по ставке
20% годовых:
Р е ш е н и е. I = 800 • 3 • 0,2 = 480 тыс. руб.;
S = 800 + 480 = 1280 тыс. руб.
Увеличим теперь ставку в два раза. Сумма процентов при этом,
естественно, удвоится. Однако наращенная сумма увеличится в
k= (1 + 2 • 3 • 0,2) / (1 + 3 • 0,2) =1,375 раза.
2.2. Практика начисления простых процентов. Ставка процентов
обычно устанавливается в расчете за год, поэтому при продолжительности
ссуды менее года необходимо выяснить, какая часть процента
уплачивается кредитору. Для этого величину n выражают в виде дроби
n = t /K,
(2.4)
где
n – срок ссуды (измеренный в долях года);
К– число дней в году (временная база);
t – срок операции (ссуды) в днях.
Здесь
возможно
несколько
вариантов
расчета
процентов,
различающихся выбором временной базы и способом измерения срока
пользования ссудой.
Часто за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360
дней (12 месяцев по 30 дней в каждом). В этом случае говорят, что
вычисляют обыкновенный, или коммерческий, процент. В отличии от
него точный процент получают, когда за базу берут действительное
число дней в году: 365 или 366.
Расчет числа дней пользования ссудой также может быть точным или
приближенным. В первом случае вычисляется фактическое число дней
между двумя датами, во втором продолжительность ссуды определяется
числом месяцев и дней ссуды, при этом продолжительность всех месяцев
приближенно полагается равной 30 дням. В обоих случаях дата выдачи и
дата погашения долга считается за один день.
Комбинируя различные варианты временной базы и методов подсчета
дней ссуды, получаем три варианта расчета процентов, применяемых на
практике:
а) точные проценты с точным числом дней ссуды (схема 365/365,
британская практика);
б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (схема 365/360,
французская практика);
в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (схема
360/360, германская практика).
Вариант расчета с точными процентами и приближенным измерением
времени ссуды не применяется.
Задача 2.3. Ссуда размером 1 000 000 руб., выдана 21 января 2002 г. до 3
марта 2002 г. при ставке простых процентов, равной 20% годовых. Найти:
а) точные проценты с точным числом дней ссуды;
б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Р е ш е н и е. Используя формулы (2.3) и (2.4), получим:
а) К = 365, t = 41,
I= 1000 000 • 0,2 (41/365) = 22 465,75 руб.;
б) К = 360, t = 41,
I = 1000 000 • 0,2 (41/360) = 22 777,78 руб.;
в) К = 360, t = 43,
I= 1000 000 • 0,2 (43/360) = 23 888,89 руб.
2.3. Простые переменные ставки. Как известно, процентные ставки не
остаются неизменными во времени, поэтому в кредитных соглашениях
иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени
процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы
принимает следующий вид:
S = P (1 + n1i1 + n2 i2 + …) = P (1+ ∑ n t it),
t
(2.5)
где
Р – первоначальная сумма (ссуда);
it – ставка простых процентов в периоде с номером t;
nt– продолжительность периода с номером t, т.е. периода начисления по
ставке it.
Задача 2.4. Пусть в договоре, рассчитанном на год, принята ставка
простых процентов на первый квартал в размере 10% годовых, а на
каждый последующий — на 1% меньше, чем в предыдущий. Определим
множитель наращения за весь срок договора:
4
1+ ∑ nt it =
t=1
= 1+ 0.25 • 0.10 + 0.25 • 0.09 + 0.25 • 0.08 +
+ 0.25 • 0.07=1.085.
2.4. Дисконтирование и учет по простым ставкам.
В практике часто приходится решать задачу, обратную наращению процентов, когда по заданной сумме S, соответствующей концу финансовой
операции, требуется найти исходную сумму Р. Расчет Р по S называется
дисконтированием суммы S. Величину Р, найденную дисконтированием,
называют современной величиной (текущей стоимостью) cуммы S.
Проценты в виде разности D = S – Р называются дисконтом, или
скидкой. Процесс начисления и удержания процентов вперед (в виде
дисконта) называют учетом.
Таким образом, в практике используются два принципа расчета
процентов: путем наращения суммы ссуды и вычислением скидки с
конечной суммы долга.
Величина Р эквивалентна сумме S в том смысле, что через
определенный период времени и при заданной ставке процентов она в
результате наращения станет равной
S. Поэтому операцию
дисконтирования называют также приведением. Но понятие приведения
шире, чем дисконтирование. Приведение — это определение любой
стоимостной величины на некоторый момент времени. Если некоторая
сумма приводится к более ранней дате, чем текущая, то применяется
дисконтирование, если же речь идет о более поздней дате, то —
наращение.
Известны
два
вида
дисконтирования:
математическое
дисконтирование и банковский (коммерческий) учет.
Математическое дисконтирование. Этот вид дисконтирования
представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной
ссуды. Если в прямой задаче
S = Р (1 + ni),
то в обратной
P = S (1 / 1 + ni),
(2.6)
Дробь в правой части равенства (2.6) при величине S называется
дисконтным множителем. Этот множитель показывает, какую долю
составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга.
Дисконт суммы S равен
D=S–Р
(2.7)
Задача 2.5. Через 90 дней после подписания договора должник уплатит
1000 000 руб. Кредит выдан под 20% годовых (проценты обыкновенные).
Какова первоначальная сумма и дисконт?
Р е ш е н и е. Применяя формулы (2.6) и (2.7), получим:
Р = S / (1 + ni) = 1 000 000 / (1 + 0,20 • 90/360) =
= 952 380,95 руб.;
D = S - Р= 1 000 000 - 952 380,95 = 47 619,05 руб.
Банковский, или коммерческий, учет. Операция учета (учета векселей)
заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или
другому платежному обязательству покупает его у владельца
(являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть
выплачена по нему в конце срока, Т.е. приобретает (учитывает) его с
дисконтом.
Для расчета процентов при учете векселей применяется учетная ставка,
которую мы обозначим символом d.
По определению, простая годовая учетная ставка находится как
d = ( S – Р ) / Sn
(2.8)
Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен
D = Snd
(2.9)
откуда
Р = S – D = S – Sпd = S (1- пd).
(2.10)
Множитель (1- пd) называют дисконтным множителем. Срок п
измеряет период времени от момента учета векселя до даты его погашения
в годах. Дисконтирование по учетной ставке производится чаще всего при
условии, что год равен 360 дням.
Задача 2.6. Через 90 дней предприятие должно получить по векселю
1000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель
по учетной ставке 20% годовых (год принят равным 360 дням).
Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
Р е ш е н и е. Используем формулы (2.9) и (2.10):
D = Snd = 1 000 000 • 0,2 (90/360) = 50 000 руб.;
Р= S – D = 1 000 000 – 50 000 = 950 000 руб.
Практические задания по теме
«Сложные проценты»
3. Сложные проценты.
Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных
операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их
начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме
долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила
базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.
3.1. Формула наращения по сложным процентам.
S = P (1 + i)n,
(3.1)
где
S — наращенная сумма;
i — годовая ставка сложных процентов;
n — срок ссуды;
(1 + i)n— множитель наращения.
В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты,
т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год,
полугодие, квартал и т.д.).
Задача 3.1. В кредитном договоре — на сумму 1 000 000 руб. и сроком
на 4 года — зафиксирована ставка сложных процентов, равная 20%
годовых. Рассчитать наращенную сумму.
Р е ш е н и е. Используя формулу (3.1), получим:
S = 1 000 000 • (1 + 0,2)4 = 2 073 600 руб.
В случае, когда деньги берутся в долг на срок, меньший 1 года (n < 1),
выполняется неравенство
P (1 + i)n < P (1 + in),
т.е. расчет по схеме сложных процентов более выгоден заемщику.
Если же деньги берутся в долг на срок, больший 1 года (n > 1),
выполняется неравенство
P (1 + i)n > P (1 + in),
т.е. расчет по схеме сложных процентов более выгоден кредитору.
Задача 3.2. Пусть P = 1 000 000, i = 0,12, n = 0,5.
В каком случае плата за кредит меньше: при расчете по схеме простых
процентов или при расчете по схеме сложных процентов?
Р е ш е н и е. Произведем расчет по схеме простых процентов:
S = 1 000 000 • (1 + 0,12• 0,5) = 1 060 000.
При расчете по схеме сложных процентов получаем
S = 1 000 000 • (1 + 0,12) 0,5 = 1 058 300,52.
О т в е т. При расчете по схеме сложных процентов
плата за кредит меньше, чем при расчете по схеме простых процентов.
Таким образом, при предоставлении кредитов на срок, меньший 1 года,
расчеты, как правило, проводятся по схеме простых процентов. При
предоставлении кредитов на срок, больший 1 года, возможны три случая:
а) расчет по схеме простых процентов;
б) расчет по схеме сложных процентов;
в) расчет по смешанной схеме.
В случае нецелого числа лет расчет по смешанной схеме
производится следующим образом:
1) с помощью наращения сложных процентов на сумму
P вычисляются процентные деньги за пользование кредитом в течение
целого числа лет;
2) с помощью наращения простых процентов на накопленную к этому
моменту сумму долга вычисляются процентные деньги за оставшуюся
неполную часть года.
Задача 3.3. Пусть P = 3 000 000, i = 0,16, n = 3,4.
Найти сумму, возвращаемую кредитору в случае расчета по смешанной
схеме.
Р е ш е н и е. Для расчета по смешанной схеме «нарастим» сначала на
сумму P сложные проценты за 3 года:
S1= 3 000 000 • (1 + 0,16) 3= 4 682 688.
«Нарастим» теперь на полученную сумму S1 простые проценты за
оставшиеся 0,4 года:
S2= 4 682 688 • (1 + 0,16 • 0,4)= 4 982 380,03.
О т в е т. При расчете по смешанной схеме заемщик через 3,4 года
возвращает кредитору 4 982 380,03 (денежных ед.).
3.2. Формула наращения по сложным процентам при изменении
ставки во времени. В том случае, когда ставка сложных процентов
меняется во времени, формула наращения принимает следующий вид:
S = P (1+ i1)n1(1+ i2)n2… (1+ ik)nk
(3.2)
где
i1, i2, ..., ik — последовательные значения ставок процентов, действующих в
соответствующие периоды n1, n2, …, nk
Задача 3.4. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных
процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два
года, 8% — в третий и 5% — в четвертый год. Вычислить величину
множителя наращения за четыре года.
Р е ш е н и е. Следуя формуле (3.2.), получим искомый множитель
наращения, равный
(1 + 0,3)2 (1 + 0,28) (1 + 0,25) = 2,704.
3.3.
Номинальная
и
эффективная
ставки
процентов.
Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов
начисления в году m. При каждом начислении проценты
капитализируются, т.е. добавляются к сумме с начисленными в
предыдущем периоде процентами. Каждый раз проценты начисляют по
ставке j/т. Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по
номинальной ставке проводится по формуле
S = P (1 + j/m)N,
(3.3)
где
N — число периодов начисления (N= тп, может быть и дробным
числом).
Задача 3.5. Ссуда 20 000 000 руб. предоставлена на 28 месяцев.
Проценты сложные, ставка — 60% годовых. Проценты начисляются
ежеквартально. Необходимо вычислить наращенную сумму.
Р е ш е н и е. Начисление процентов ежеквартальное. Всего имеется
N=(28/3) кварталов. Число периодов начисления в году т = 4. По формуле
(3.3) находим
. S = 20 000 000 (1 + 0.60/4)28/3 = 73 712 844,81 руб.
Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных
процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение
в год по ставке j/m.
Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкой
j/m, то, по определению, можно записать следующее равенство для
соответствующих множителей наращения:
(1 + iэф)n = (1 + j/m)mn
(3.4)
где
iэф — эффективная ставка;
j — номинальная ставка.
Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками
выражается соотношением
iэф = (1 + j/m)m – 1
(3.5) Обратная
зависимость имеет вид
j = m [(1 + iэф)1/m – 1]
(3.6)
Задача 3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк
начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10%
годовых.
Р е ш е н и е. По формуле (3.5) находим
iэф = (1 + 0,1/4)4– 1 = 0,1038, т.е. 10,38%.
Задача 3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при
ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную
ставку 12% годовых.
Р е ш е н и е. По формуле (3.6) находим
j= 4[(1+ 0,12)1/4 –1] = 0,11495, т.е. 11,495%.
3.4. Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов.
Математический учет. В этом случае решается задача, обратная
наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для
наращения сложных процентов
S = P (1 + i)n и решим ее
относительно P :
P = S [1/(1 + i)n] = Svn
(3.7)
где
vn =1/(1 + i)n = (1 + i)-n
(3.8)
– учетный или дисконтный множитель.
.
Задача 3.8. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 1000 000
руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется
ставка сложных процентов –10% годовых.
Р е ш е н и е. По формуле (3.8) находим
Р= 1000 000(1+ 0,10) -5 = 620 921,32 руб.
Если проценты начисляются m раз в году, то получим
P = S [1/(1 + j/m)mn] = Svmn
(3.9)
где
vmn = 1/(1 + j/m)mn = (1 + j/m)-mn
– дисконтный множитель.
(3.10)
Так же, как и в случае начисления простых процентов, величину Р,
полученную дисконтированием S, называют современной или текущей
стоимостью или приведенной величиной S. Суммы Р и S эквивалентны в
том смысле, что платеж в сумме S через n лет равноценен сумме Р,
выплачиваемой в настоящий момент.
Банковский учет. В этом случае предполагается использование
сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке
осуществляется по формуле
Р = S (1– dсл)п,
(3.11)
где
dсл– сложная годовая учетная ставка.
Дисконт в этом случае равен
D = S – Р = S – S (1– dсл)п = S [1– (1– dсл)п]
(3.12)
При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования
происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка
каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на
величину дисконта.
Задача 3.9. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 1000
000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 10% годовых.
Определить дисконт.
Р е ш е н и е. По формуле (3.12) находим
Р= 1 000 000 (1 – 0,10)5 = 590 490,00 руб.;
D = S – Р = 1 000 000 – 590 490 = 409 510 руб.
В случае, когда деньги берутся в долг на срок, меньший 1 года (n < 1),
выполняется неравенство
S (1– dсл)п < S (1- пd),
т.е. расчет по схеме сложных процентов более выгоден кредитору.
Если же деньги берутся в долг на срок, больший 1 года (n > 1),
выполняется неравенство
S (1– dсл)п > S (1– пd),
т.е. расчет по схеме сложных процентов более выгоден заемщику.
Задача 3.10. Пусть S = 1 000 000, d = 0,12, n = 0,5.
В каком случае плата за кредит больше: при расчете по схеме простых
процентов или при расчете по схеме сложных процентов?
Р е ш е н и е. Произведем расчет по схеме простых процентов:
Р = 1 000 000 • (1 – 0,12• 0,5) = 940000.
При расчете по схеме сложных процентов получаем
Р = 1 000 000 • (1 – 0,12) 0,5 = 938083,15.
О т в е т. При расчете по схеме сложных процентов
плата за кредит больше, и заемщик получает «на руки» меньше, чем при
расчете по схеме простых процентов.
4. Непрерывные проценты.
4.1. Наращение и дисконтирование. Наращенная сумма в случае
непрерывного начисления процентов по ставке j:
S = Pe jn .
(4.1)
Для того чтобы отличать ставку непрерывных процентов от ставок
дискретных процентов, ее называют силой роста и обозначают символом
δ. С учетом введенного обозначения равенство (4.1) принимает вид
S = Pe δn
(4.2)
Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при
m→∞.
Задача 4.1. Сила роста банковского вклада δ=0,03. Найти сумму на
счете через 2 года, если первоначальная сумма вклада составляет 9000 руб.
Р е ш е н и е. S = 9000е0,03*2 = 9000е0,06 = 9556,38 руб.
Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок
осуществляется по формуле
P = Se -δn
(4.3)
4.2. Связь дискретных и непрерывных процентных ставок.
Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в
функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществлять
переход от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот.
Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно
получить, приравнивая соответствующие множители наращения
(1 + i)n = e δn
(4.4)
Из записанного равенства следует, что
δ = ln (1 + i ),
(4.5)
откуда
i=eδ–1
(4.6)
Задача 4.2. Годовая ставка сложных процентов равна 15%. Чему равна
эквивалентная сила роста?
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой (4.5):
δ = ln (1 + i ) = ln (1 + 0,15) = 0,13976,
т.е. эквивалентная сила роста равна 13,976%.
Практические задания по теме
«Эквивалентность процентных ставок»
В практике часто возникает необходимость в изменении условий
контракта. В связи с тем, что контракты могут быть составлены с
использованием различных видов ставок, для сопоставления их доходности
возникает необходимость в установлении правил эквивалентного приведения
различных ставок к ставке одного вида. Формулы, устанавливающие правила
эквивалентного перехода от одной ставки к другой, выводятся на основе
принципа финансовой эквивалентности результатов наращения (или
дисконтирования) по этим ставкам.
Задача 5.1. Кредит на 2 года получен под 60% номинальную ставку
сложных процентов. Начисление происходит ежеквартально. Оценить
эффективность операции через эквивалентные простую и сложные ставки
процентов.
Р е ш е н и е. j=0,6; n=2; m=4.
a)Эквивалентная ставка простых процентов:
j

P(1  i  n)  P1  
m


j

1  
m


i
n
mn
mn
j

1  i  n  1  
m


,
mn
,
8
1
0,6 

1 
 1
4 


 1,03; i %  103%.
2
б) Эквивалентная эффективная ставка сложных процентов:
j

P (1  i c )  P1  
m

n
mn
m
4
j
0,6 


 i c  1    1  1 
  1  0,749; i c  74,9%.
m
4 


Задача 5.2. Определить, под какую простую ставку процентов
выгоднее поместить капитал на 1 год: с ежемесячным начислением 10%, с
ежеквартальным начислением 100% или с ежегодным 1000%.
Р е ш е н и е: Доходность вариантов сравниваем по величине годовых
ставок простых процентов:
i1  40% 12  480%,
i 2  120%  4  480%,
i 3  1000%,
очевидно i3>i1=i2.
Следует заметить, что приведенные данные были в реальной ситуации
на фондовом рынке и, как правило, по третьему варианту вкладчики так
ничего и не получили (даже своего вклада), а вот по первому варианту,
используя реинвестирование по трехмесячным контрактам получили
финансовый результат превышающий третий вариант.
Практические задания по теме
«Учет инфляции в финансово-зкономических расчетах»
Следствием инфляции является падение покупательной способности денег.
Один из способов компенсации обесценения денег заключается в увеличении ставки
процентов на величину так называемой инфляционной премии. Скорректированная
таким образом ставка называется брутто-ставкой.
Брутто-ставка определяется с учетом равенства скорректированного на инфляцию
множителя наращения по брутто-ставке множителю наращения по реальной ставке
процента.
Задача 6.1.
Вклад 1000 руб. положен в банк на полгода с
ежемесячным начислением сложных процентов по номинальной ставке 120%
годовых. Определить реальный доход вкладчика,
ежемесячный уровень инфляции составит 15%.
Р е ш е н и е. Р=1000 руб.; n=0,5; m=12; j=1,2;  =0,15.
a)
Индекс инфляции за полгода составит:
Iи = ( 1 +  )6 = ( 1 + 0,15)6 = 2,313
б)
Уровень инфляции будет равен:
 = Iи - 1 = 2,313 - 1,0 = 1,313
 %=131,3 %
в)
Наращенная сумма вклада с процентами составит:
если
ожидаемый
mn
j
S=P 1   =1000(1+0,1)6=1771 руб. 56 коп.
 m
г)
Сумма вклада с процентами приведенная к моменту его оформления
составит:
S
1771,56
P 

 765 руб. 91 коп.
Iи
2,313
д)
Реальный доход вкладчика составит:
Д= P  P  765,91  1000  234 руб.9коп. (убыток)
следовательно вкладчик понесет убытки
способности получаемой суммы в банке.
с
позиций
покупательной