Статья в сборник трудов конференции ТГПИ "Математические модели физических процессов", 2003. УДК 513.736 Сидорякина В.В. ТГПИ (Россия) Бесконечно малые ARG-деформации поверхности положительной кривизны при внешней связи обобщенного скольжения. 1.В настоящей статье используются результаты и обозначения нашей работы 1. Как в 1 предполагаем, что поверхность F удовлетворяет условиям регулярности и гауссова кривизна K поверхности F строго положительна вплоть до края, т.е. K k0 0 , k0 const , поверхность F расположена выпуклостью вниз. Бесконечно малые ARG-деформации поверхности F: r r x, y , x, y D, описываются уравнением: (1) r y ,U x U y , r x 2Hc r x , r y g , где U - поле смещений деформации, n - единичный вектор нормали к поверхности F, c U , n , H – средняя кривизна поверхности F, g – заданная функция, - коэффициент рекуррентности деформации поверхности 1. 2. Рассмотрим бесконечно малые ARG-деформации поверхности F, подчиненные вдоль края F условию обобщенного скольжения. Пусть вдоль края F задано векторное поле l n, l C 2, , 0 1 , где – единичный вектор внешней нормали области D в плоскости Oxy, – заданная функция. Определение 1. Будем говорить, что поверхность F подчинена условию обобщенного скольжения вдоль края F относительно векторного поля l , если поле смещений U бесконечно малой ARG-деформации поверхности F удовлетворяет вдоль края F условию: U , l h, (2) где h– заданная функция. Следуя Векуа И.Н. 2 , введем понятие корректности задачи. Определение 2. Задача корректна в отношении некоторой группы параметром, фигурирующих в постановке задачи, если ее решение всегда существует, единственно и непрерывно изменяется при непрерывном изменении этих параметров. Будем рассматривать вопросы корректности краевой задачи в отношении величин g и h, стоящих в правых частях уравнения ARGдеформации и краевого условия (1). Имеет место следующая теорема. Теорема. Пусть (m + 1)-связная поверхность F удовлетворяет условиям регулярности и гауссова кривизна K поверхности строго положительна, т.е. K k0 0 , k0 const . Предполагаем, что поверхность F подвергнута бесконечно малой ARG-деформации с коэффициентом рекуррентности и на краю F подчинена внешней связи обобщенного скольжения (2). То гда, если 0 , 0, то существует счетное множество значений i , i 0 0 0 1 2 ... i ... , таких, что при заданном , i краевая задача является корректной. При i i 0, 1, 2, ... однородная ( g0,h0) задача (1), (2) допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых ARG-деформаций, а неоднородная задача разрешима при выполнении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функции g, h. Доказательство этой теоремы проведем в §2. В §1 приведем аналитическую запись условия обобщенного скольжения поверхности F. §1. Аналитическая запись условия обобщенного скольжения поверхности F. Будем считать, что поверхность F на краю F подчинена условию обобщенного скольжения (2). Докажем следующее утверждение: Пусть F – (m + 1)-связная поверхность положительной гауссовой кривизны K k0 0 , k0 const , удовлетворяющая условиям регулярности. Вдоль края F задано векторное поле l n , l C 2, , 0 1 и поверхность F на краю F подчинена условию обобщенного скольжения: U , l h , где h – заданная функция. Тогда условие (2) представляет задачу с косой производной относительно функции p q , вида a h1 , (3) 1 p2 q2 1 2 где a ai1 ai 2 , , – координаты единичного вектора i , j 1 внешней нормали области D в плоскости Oxy, – конормаль в плоскости Oxy вдоль границы D области D уравнения (1), h1 h , aij определены в 2 1. В самом деле, координаты векторного поля l имеют вид p q l ; ; . 2 2 2 2 2 2 1 p q 1 p q 1 p q Используя формулу p q , получаем U , l 2 2 . 1 p q Применив формулы для вычисления , , условие (2) преобразуется к виду: t s s h на F x y 2 2 rt s 2 rt s 2 1 p q (4). Покажем, что коэффициенты, стоящие перед функциями x , y выражения (4), определяют координаты вектора . 1 Пусть Y1,Y2 , тогда известно [3], что Y1 a11 a12 , a 1 Y2 a21 a22 . a Используя эти формулы, находим: 1 t s 1 r s Y1 Y , . 2 a rt s 2 a rt s 2 Условие (4) запишется в виде aY1 x aY2 y h. 2 2 1 p q Учитывая, что Y1 x Y2 y , последнее условие преобразуется к виду a h; a 0 1 p2 q2 Обозначив h1 h и умножив последнее равенство на (–1), получим условие (3). §2. Доказательство теоремы. Рассмотрим краевую задачу: 2 aij b g 2 в D; x x i , j 1 i j (5) a h1 на D. 2 2 1 p q Так как 0, 0, то краевая задача (5) эквивалентна интегральному уравнению: 6 x , y K x , y , , b , , d d g3 x , y ,x , y D, D где g 3 x, y - известная функция. В силу того, что задача (5) является самосопряженной, то ядро K x, y, , в уравнении (6) является симметрическим по переменным x, y и , и невырожденным как функция Грина задачи (5) при =0. Кроме того, все собственные числа уравнения (6) являются положительными и, следовательно, ядро K x, y, , является положительно определенным. Так как b>0, то уравнение (6) может быть сведено к уравнению с симметрическим ядром ~x , y K x , y , , b , ~ , d d g~3 x , y ,x , y D, ~ 7 D ~ где K x, y, , K x, y, , bx, y b , ; ~x, y x, y bx, y ; g~3 x, y g3 x, y bx, y . Отсюда следует, что уравнение (7) имеет бесконечную систему положительных собственных чисел. Все i i 0, 1, 2, могут быть занумерованы в порядке возрастания 0 0 1 2 ... i ..., что при i , i . Переходя от (6), (7) к задаче (5), получим, что множество i i 0 образует спектр указанной за- дачи, который является дискретным и конечнократным. Так каждому i соответствует конечное число линейно независимых нетривиальных k k 0,1, 2, , p из решений однородной задачи C 2, D ( g 2 0, h 0 ). Неоднородная задача (5) разрешима при этом, если выполнено конечное число условий разрешимости, налагаемых на функции g 2 и h1 . Итак, задача о бесконечно малых ARG-деформациях поверхности F с условием обобщенного скольжения при i является корректной. При i , рассматриваемая задача не корректна и разрешима при указаниях ограничений, налагаемых на функции g 2 и h1. Однородная задача (5) допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых ARGдеформаций. Теорема доказана. Выражаю глубокую благодарность профессору В.Т. Фоменко за постановку задачи и научное руководство данной работой. Литература. 1. Сидорякина В.В. Уравнения бесконечно малых ARG – деформаций поверхностей положительной кривизны // Сборник трудов международной научной конференции «Математические модели физических процессов и их свойства», Таганрог, ТГПИ, 2002. 2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. с. 224-232. 3. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1964. с. 132-167. 4. Фоменко В.Т. О регулярности решений уравнений бесконечно малых ARG-преобразований поверхностей положительной гауссовой кривизны при внешних связях в евклидовом пространстве // Сб.: Отображения поверхностей римановых пространств, описываемые рекуррентными соотношениями заданного вида. Проблемы существования и единственности. – Таганрог, 1999. – С. 58-63.