УДК 621.313.29

ЕЛЕКТРИЧНІ МАШИНИ І АПАРАТИ
УДК 621.313.29
МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНОЙ МАШИНЫ С
ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ И БЕЛИЧЬЕЙ КЛЕТКОЙ В МАССИВНОЗУБЧАТОЙ
ФЕРРОМАГНИТНОЙ ПОЛОСЕ
Архипов А.В., Кондратенко И.П., Ращепкин А.П.
Институт электродинамики НАН Украины
Введение. В линейных системах динамического
торможения статор линейной машины выполняется
в виде многополюсной магнитной системы с высококоэрцитивными постоянными магнитами, а в качестве ротора используется ферромагнитная полоса.
Такая система, однако, обладает низкими энергетическими показателями, и для их повышения применяется двухслойный ротор в виде плакированной
высоко электропроводным металлом ферромагнитной полосы. Выбором электропроводности и толщины покрытия комбинированной полосы представляется возможность оптимизировать процесс
торможения. Вместе с тем, обеспечить таким способом низкую скорость в концевой зоне, как это требуется, например, в вышках свободного падения [1],
не удается, поскольку с увеличением толщины покрытия возрастает величина немагнитного зазора,
что приводит к уменьшению индукции и в результате к ограничению силы взаимодействия при низких
скоростях движения.
Цель работы. Разработка конструктивного решения комбинированной полосы, позволяющего
снизить скорость движения экипажа в концевой
зоне торможения.
Материал и результаты исследования.
Уменьшить немагнитный зазор представляется
возможным, если в концевой зоне установить комбинированную полосу, выполненную в виде массивного зубчатого ротора линейной машины.
Теория и методы расчета машин такого исполнения к настоящему времени еще недостаточно разработаны. Связано это, прежде всего, с трудностями
определения электрических параметров зубцовой
зоны. Существующие методы расчета машин с массивным зубчатым ротором базируются на традиционных подходах с использованием эквивалентной
схемы замещения машины [2], либо многослойных
волновых схем замещения активного слоя [3], комбинация которых осуществляется на основе волновых импедансов каждого слоя, значения которых
определяются из решения полевой задачи. Стремление получить простые аналитические зависимости
для определения электрических параметров схем
замещения потребовало введения значительных
упрощающих допущений [2, 3] и приближенного
решения уравнений электродинамики, оказавшихся
малопригодными, особенно для линейных машин с
учетом влияния краевых эффектов.
Положим, что для возбуждения пространственно
периодического магнитного поля в линейной ма-
шине используются постоянные магниты высотой
d p с 2 p числом полюсов и полюсным делением τ
(рис. 1). В расчетной модели машины продлим ярмо
статора по координате х до   , а магнитную проницаемость его положим равной бесконечности.
Ротором служит бесконечно длинная ферромагнитная полоса с пазами размером h z  bn , в которых размещены стержни беличьей клетки с размерами h c  b c .
Ширина зубца b z  t z  b n , t z - размер зубцового шага ротора. Пусть электропроводность стержней
клетки σ c и стали σ z . Ширина ферромагнитной
полосы равна a , а магнитных полюсов  b .
τ
bp
dp
dz
hz
dc
Рисунок 1 - Постоянные магниты линейной машины
Таким образом, требуется найти решения уравнений электродинамики
rotH  j, divB  0, rotE   B t ,
(1)
B   H , j   E  v  B,
в многослойной среде с нелинейными и тензорными
электрофизическими параметрами.
В области ярма ротора  d c  z  0 , следуя
предложению Неймана [4], для учета нелинейной
зависимости магнитной проницаемости стали положим
2
μ с  μ е / 1  z / z c  ,
(2)
где: μ е  магнитная проницаемость стали на границе зубцовой зоны z  0 ,
z c  расстояние, на котором μ с становится
равной бесконечности и практически определяет глубину проникновения магнитного поля при
нелинейной магнитной проницаемости среды.
Вісник КДПУ. Випуск 3/2006 (39). Частина 1.
67
ЕЛЕКТРИЧНІ МАШИНИ І АПАРАТИ
В области зубцового слоя ( 0  z  hz ), вследствие структурной неоднородности среды, в двухмерной постановке, магнитная проницаемость имеет
тензорный характер:
μ
0
.
μ x
0 μz
Тогда уравнение для z - компоненты индукции
после Фурье-преобразования по координате x (3)
принимает вид:
Тогда из системы уравнений (1) легко выводится
уравнение индукции, которое для z  составляющей
после применения к нему интегрального преобразования Фурье
B n  

 B z x  e
inx
x
(3)

приводится к виду:
2
z c  z 2  B2  2z c  z   B  n 2 z c  z 2  i μe σ c z c2 n v B  0 ,
z
z
где: v  скорость движения полосы в направлении
оси x ,
n  параметр преобразования Фурье.
Решением этого уравнения является


2
1
B  C1zc  z 2 I v nzc  z  
I v nzc  d c 
(4)
,

K v nzc  z 
K v n zc  d c 

где: I  , K   модифицированные функции
Бесселя первого и второго рода порядка
ν 2  1 / 4  iμe σ c nvz c2 ,
d c  толщина ярма ротора.
При d c  z c второе слагаемое в (4) следует положить равным нулю.
Обозначая при z  0
 В 

 B  z j ,
(5)
z
приходим к смешанным (импедансным) граничным
условиям при z  0 . Из решения (4) легко определяется z j , приближенное значение которого при малых аргументах функций Бесселя принимает вид:
z j  ν  1 / zc .
(6)
Для определения z c воспользуемся параболической аппроксимацией основной кривой намагничивания стали [4]:
(7)
B  kH1 m ,
из которого следует с использованием условия
divB  0 :
1
1
μ  B / z  m
1

,


μ e   B /  z z  0 
z  z c 2
где m - показатель параболы.
Последнее условие будет удовлетворено, если
Re ν  2m / m  1 ,
откуда находим,согласно (4):
2m
z c
d, d  2 / e  c n v
m 1
и, соответственно:
 m 1 
(8)
zj 
 i d .
 2m

Так как z c и v являются функциями μe , которая
заранее неизвестна, то для решения задачи потребуется применение итерационных методов, задаваясь
первоначально произвольными значениями μe .



x 2
n  i  z n v
(9)
z
z
где σ - эквивалентная электропроводность зубцового
слоя.
Решением его является функция
B  C1 ch η1 z  C2 sh η1 z .
(10)
Удовлетворяя полученное решение условию сопряжения – равенство нормальных составляющих
индукции и тангенциальных составляющих напряженности магнитного слоя на границах раздела сред
z  0 и z  hz , найдем, что в воздушном зазоре при
z  hz выполняется импедансное условие:
В
B  z0 ,
(11)
z
где
μ
μ
zj 
η1 t hη1 h z
μe
μx
z0 
.
μ
1  x z j  t hη1 h z
μ e η1
Усредненная на длине зубцового шага x  составляющая магнитной проницаемости для прямоугольного паза равна
μ x  μ t z bn  μ b z / μc  .
(12)
С учетом эффектов вытеснения магнитной индукции в массивном зубце и стержнях клетки, обусловленных вихревыми токами, z  составляющая
магнитной проницаемости, усредненная на зубцовом делении ротора равна:

h z  hc
t z 




 z bn h z  2 th z b z 2   e b z
1

 z bz
 bn
, (13)


hc



bc 
2 th z b z 2   e b z 2th c bc 2 

1
 z bz
 bn
 c bc
bn 
2В

 12 B  0 , 12 

где: λс  i μ σ c n v
0,5
 глубина проникновения
магнитного поля в стержни беличьей клетки,

0,5
 глубина проникновения
λz  i μe σ z n v
магнитного поля в массивных зубцах ротора.
Составляющая магнитной проницаемости μ z носит комплексный характер, обусловленный влиянием вихревых токов в массивных зубцах ротора, приводя к фазовому сдвигу магнитной индукции отно-
Вісник КДПУ. Випуск 3/2006 (39). Частина 1.
68
ЕЛЕКТРИЧНІ МАШИНИ І АПАРАТИ
сительно напряженности магнитного поля. Тем самым учитываются потери мощности от вихревых
токов в зубцах и стержнях беличьей клетки.
Полагая в (11) μ x  0 , найдем, что
2В
 z2
 μ 2

μ
z j  
n  iμ σ nv  hz ,
μe
μ
 z

а из интегрального равенства в пределах зубцовой
зоны на длине зубцового шага ротора
hz t z
  jd x d z
00
следует:
H x h   H x 0  
h
I z  Ic
 in H z dz ,
tz
0
где
 1
1 a
I z  I c      E  v  B dy ,
 zc z z 0
преобразование Фурье которого равно


I z  I c n   1  1 a  ω  nv  Bn .
 zc z z   n 
С привлечением уравнения divB  0 найдем, что
B z  B 
(16)
 sin np
, b p - размер полю2
z sin n
са в направлении оси x.
Уравнение индукции в области воздушного зазора, между поверхностью полюсов и комбинированной шиной:
2В
 n2B  0 .
2
z
Полагая на поверхности магнитопровода статора
B z  0 , с учетом равенства (11) и условий сопряжения на поверхности магнитов со стороны зазора – равенство нормальной составляющей индукции и тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля, магнитная индукция в зазоре
описывается зависимостью:
th nd p
ch nd p
B  i  nI 0 d p k w

nd p ch n d p  d z
.
(17)
ch nz  z 0 sh n z n

n th n d z  d p  z 0
где: k w  sin n
zo 
 Hd e 
 n 2 B  i μ nI 0 k w ,
bp
sin n




Здесь z  0 соответствует поверхности комбинированной шины.
Из уравнения div B  0 с учетом (17) найдем х –
составляющую напряженности магнитного поля на
поверхности ротора:
th nd p
ch nd p
z0
, (18)
H x  I0d p kw
nd p ch n d p  d z n th n d p  d z  z 0
μ
B z  B 
μe
z 0
,
 μ 2
 1
 a 
1
 hz

n  iμ nv   
μ

 z c z z  t z hz 
 z
которое совпадает с (11) при допущении о постоянстве z – компоненты магнитного потока по высоте
зубцовой зоны. Импедансное условие в этом случае
определяется зависимостью:
 μ 2
μ
 1
1  a 
z0 
zj 
n  iμ nv   
h ,

 z (14)
μe
 z c z z  t z hz 
 μz
где zc и z z - комплексные сопротивления стержня
беличьей клетки с учетом сопротивления короткозамыкающей шины и комплексного сопротивления зубца ротора.
Следовательно, можно ввести эквивалентную
электропроводность зубцового слоя, которую следует вычислять по формуле
 1
1  a
,
    
(15)
z
z
z  t z hz
 c
где zc и z z определяются по хорошо разработанным в теории электрических машин [5, 6] расчетным формулам, в которых массивный зубец следует
также рассматривать, как стержень беличьей клетки.
Представим, как это было выполнено в [1], постоянные магниты токовым витком, равным высоте
магнитов d p , с линейной плотностью I 0 . После




и на основе (14) напряженность магнитного поля в
ярме ротора на дне паза:


μ 2
H xя  H x 1 
n hz  iμ n v σ hz z 0  .
(19)
μz


Так, как магнитная проницаемость ярма ротора
на границе зубцовой зоны заранее неизвестна, то
для расчетов необходимо использовать метод итераций, полагая, например, предварительно заданной
μe  100 μ . Определив в результате расчетов H x я
по (18) с использованием обратного преобразования
Фурье:
Hx 
1 
H xя e  inx dn ,
2π 
(20)
исходя из параболической аппроксимации кривой
намагничивания стали (7), находим значение μe [3]
для последующих итераций:
1
1
 H m
μe  7300  x 
,
 100 
которые выполняются до тех пор, пока полученное
значение не совпадет с заданной точностью с принятым в предыдущей итерации.
интегрального преобразования Фурье (3) уравнение
индукции в зоне магнитных полюсов принимает
вид:
Вісник КДПУ. Випуск 3/2006 (39). Частина 1.
69
ЕЛЕКТРИЧНІ МАШИНИ І АПАРАТИ
Сила взаимодействия магнитной системы с комбинированной полосой исходя из тензорного натяжения магнитного поля [6], равна:
Fx 
1

a 2 
  Re Bz  Re Bx
 a 2 
z 0
движения ротора, и они становятся практически
равноценными при повышенных скоростях, в рассматриваемом примере при v > 3 м/с . Поэтому беличью клетку следует применять лишь в концевой
зоне торможения, что позволяет снизить скорости в
зоне остаточного торможения практически в два
раза.
Выводы. Разработана методика расчета электромагнитных процессов и механических характеристик линейной машины с постоянными магнитами и массивнозубчатым ротором с беличьей клеткой
с учетом нелинейной магнитной проницаемости
стали. Использование ферромагнитных зубцов позволяет увеличить магнитное поле в зазоре и электродинамические усилия лишь при малых скоростях
движения ротора.
Эквивалентная электропроводность зубцового
слоя определяется суммой электрических проводимостей стержня беличьей клетки и массивного ферромагнитного зубца.
При наличии беличьей клетки влияние проводящих стальных зубцов сказывается незначительно на
механических характеристиках машины, но позволяет снизить скорость торможения в концевой зоне
в два раза.
Концевую зону комбинированной шины аттракционов «башня свободного падения» следует выполнять с использованием беличьей клетки.
dxdy 
, (21)
*


a

Re   B
 H x dn 


2
  z 0

где В и Hx определяются зависимостями (17) и (18),
звездочкой * обозначено комплексно сопряженное
значение функции.
Сила магнитного притяжения магнитной системой комбинированной полосы равна согласно [6]:
Fz 
a/2 
1
 Re B z Re B z  Re B x Re B x  z 0 dxdy 
2 a/ 2 
a

4
*
 *

1 B B 
  B B n 2  z  z  dn

 

 z 0
, (22)

Сравнение механических характеристик линейной машины с беличьей клеткой в ферромагнитной
полосе и комбинированной шиной с медным покрытием приведено на рис. 2.
Здесь верхняя кривая описывает электродинамические усилия в зависимости от скорости движения
ротора с беличьей клеткой, а нижняя - с металлическим покрытием [1]. В основу сравнения было положено одинаковое исполнение обеих машин, в которых сечение вторичной беличьей клетки полагалось равным сечению металлического покрытия для
исполнения ротора с шириной паза bn, равной толщине стержня клетки bc и соответственно толщине
металлического покрытия dm. Высота стержня hc
равна высоте паза hz и равна зубцовому шагу tz ротора. Толщина ярма ротора в обоих случаях принималась одинаковой.
1.
2.
3.
4.
14000
Fx,Н
12000
5.
10000
8000
6.
6000
4000
7.
2000
v, м/с
1
2
3
4
5
6
7
ЛИТЕРАТУРА
Архипов А.В., Ращепкин А.П. Магнитное поле
и электродинамические силы в линейной машине с постоянными магнитами. - Кременчук:
КДПУ, 2005. Вып. 4 (33).- С. 81-84.
Лищенко А.И., Лесник В.А. Асинхронные машины с массивным ферромагнитным ротором.Киев: Наук. Думка. 1984. - 168с.
Постников В.И. Волновые параметры массивнороторных электрических машин.- Киев: Наук.
думка. 1986. - 184с.
Нейман Л.Р. Поверхностный эффект в ферромагнитных телах.–М-Л.: Госэнергоиздат, 1949.190с.
Костенко М.П., Пиотровский Л.М. Электрические машины 4.2.-Л.: "Энергия". 1973.- 648с.
Копылов И.П. Проектирование электрических
машин.- М.: "Энергия". 1980.- 496с.
Тамм И.Е. Основы теории электричества.- М.:
Наука, 1976.- 616с.
8
Рисунок 2 - Механические характеристики машины
с ферромагнитным ротором с покрытием и с
беличьей клеткой
Стаття надійшла 17.04.2006 р.
Рекомендовано до друку
д.т.н., проф. Родькіним Д.Й.
Как видно, преимущество ротора с беличьей
клеткой наблюдается лишь при малых скоростях
Вісник КДПУ. Випуск 3/2006 (39). Частина 1.
70