Точные решения некоторых нелинейных эволюционных

УДК 51(06) Проблемы современной математики
Д.И. СИНЕЛЬЩИКОВ, Н.А. КУДРЯШОВ, М.В. ДЕМИНА
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ
ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ, ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ
ПРИ ОПИСАНИИ ВОЛН НА ВОДЕ
Предлагается метод построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений. Применение метода иллюстрируется на примерах уравнений
встречающихся при описании волн на воде. Построены точные решения обобщенных уравнений Гарднера, Кавахары и Бенджамина-Бона-Махони.
В настоящее время известен ряд нелинейных уравнений и их обобщений, описывающих волны на воде. Большинство из них относятся к классу не интегрируемых, поэтому представляет интерес построение их точных решений. Для этих целей используется метод многоугольников Ньютона, обобщающий метод, предложенный недавно в работах [1,2].
Пусть требуется найти точные решения нелинейного дифференциального уравнения n-го порядка
M n [ y( z ) yz ( z ) z ]  0
(1)
Под M n [ y( z ) yz ( z ) z ] понимается полином от z, y( z), yz ( z) . Каждому слагаемому из (1) можно сопоставить точку на плоскости по следующим правилам [2,3]
dky
f 0  C0 z q1 y q2  Q0  (q1  q2 ) f d  Cd
 Qd  (k 1)
(2)
dz k
Q( f i  f j )  Q( f i )  Q( f j )
Здесь C0  Cd – произвольные постоянные.
Таким образом, дифференциальному уравнению (1) сопоставляется
некоторое множество точек плоскости. Соединяя точки из этого множества друг с другом в выпуклую фигуру, мы получаем многоугольник
Ньютона данного дифференциального уравнения [2,3]. Пусть многоугольник L1 на плоскости соответствует нелинейному ОДУ (1).
Предположим, что решение y( z ) уравнения (4) выражается через решение Y ( z ) другого уравнения, которое будем называть простейшим [4].
Таким образом, имеем связь между y( z ) и Y ( z )
ISBN 978-5-7262-0883-1. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2008. Том 9
69
УДК 51(06) Проблемы современной математики
y( z )  F (Y ( z ) Yz ( z ) z )
(3)
Основная проблема состоит в нахождении простейшего уравнения.
Подставляя выражение (3) в уравнение (1) получаем преобразованное
дифференциальное уравнение, которому так же можно поставить в соответствие многоугольник на плоскости. Пусть это будет многоугольник
L2 . Анализируя многоугольник L2 можно построить многоугольник L3 ,
соответствующий простейшему уравнению.
У подходящего многоугольника L3 все или часть сторон должна быть
параллельна сторонам многоугольника L2 . После того как построен многоугольник L3 можно записать простейшее уравнение
Em [Y ( z ) Yz ( z) z]  0
(4)
Вообще говоря, не каждое дифференциальное уравнение может быть
использовано в качестве простейшего. Должно выполняться несколько
условий [1], в частности порядок простейшего уравнения должен быть
меньше либо равен порядку преобразованного дифференциального уравнения. Целесообразно использовать те простейшие уравнения, для которых можно найти общее решение. По известному общему решению простейшего уравнения (4), используя преобразование (3), можно построить
точные решения исходного уравнения (1).
С помощью выше описанного алгоритма построены точные решения
обобщенных уравнений Гарднера, Кавахары и Бенджамина-Бона-Махони.
Проведен анализ зависимости полученных решений от значений произвольных параметров. Применение метода многоугольников Ньютона делает технику построения точных решений более наглядной и простой.
Список литературы
1.
Kudryashov N.A., Demina M.V. Polygons of differential equations for finding exact solution // Chaos, Solitons and Fractals. 2007. V.33. 5. P. 1480-1496.
2.
Kudryashov N.A. Simplest equation method to look for exact solutions of nonlinear differential equations // Chaos, Solitons and Fractals. 2005. V. 24. 5. P. 1217-1231.
3.
Чеботарев Н.Г. Многоугольник Ньютона и его роль в современном развитии математики. // Исаак Ньютон. 1643-1727. Сборник статей к трехсотлетию со дня рождения.
Под. ред. С.И. Вавилова, М.-Л.: АН СССР, 1943. С. 99-126.
70
ISBN 978-5-7262-0883-1. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2008. Том 9