квадратные уравненияx

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида
ax2+bx+c=0, где x — свободная переменная, a, b, c — коэффициенты, причём a не равно
нулю.
Выражение ax2+bx+c называют квадратным трёхчленом.
Корень — это значение переменной x, обращающее квадратный трёхчлен в ноль,
а квадратное уравнение в верное равенство.
Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия:

a называют первым или старшим коэффициентом,

b называют вторым или коэффициентом при x,

c называют свободным членом.
Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен
единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший
коэффициент a:
x2+px+q=0, p=b/a, q=c/a.
Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от
нуля.
Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из
коэффициентов кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен
нулю.
Уравнение одно из важнейших понятий математики. Развитие методов решения
уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным
предметом изучения алгебры. Из общих методов решения уравнений высших степеней,
которые встречаются чаще всего, используют:
Метод разложения левой части уравнения на множители:
Если произведение двух или более множителей равно 0, то хотя бы один из множителей
равен 0.
(Это означает, что все множители одновременно не должны быть 0, поэтому пишется
«или»)
1. СПОСОБ:Разложение левой части уравнения на множители.
Решим уравнение х2 + 10х - 24 = 0.
Разложим левую часть на множители:
х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х - 2) = 0
Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен
нулю.
Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12.
Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х - 24 = 0.
Графический способ решения уравнений
Одним из способов решения уравнений является графический способ. Он основан на
построении графиков функции и определения точек их пересечения. Рассмотрим
графический способ решения квадратного уравнения ax2+bx+c=0
Преобразуем уравнение ax2+bx+c=0 к виду ax2 =-bx-c. Строим графики двух функций
y= ax2 (парабола) и y= -bx-c. (прямая). Ищем точки пересечения. Абсциссы точек
пересечения и будут являться решением уравнения.
Покажем на примере: решить уравнение .𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0
Преобразуем его в 𝑥 2 =2𝑥 + 3. Строим в одной системе координат графики функции
y= 𝑥 2 и y=2𝑥 + 3.
Графики пересекаются в двух точках. Их абсциссы будут являться корнями нашего
уравнения.
Метод введения новой переменной:
1. в уравнении какая-то его часть заменяется другой переменной (a,y,t,...)
(прежнее неизвестное одновременно с новым в уравнении быть не может);
2. решается новое уравнение;
3. возвращаются к обозначенному и, используя полученное число (корни),
вычисляется требуемое неизвестное.
Пример:
Реши уравнение (2x−21)2−5(2x−21)+4=0.
Это уравнение можно решить и без использования новой переменной (раскрываются
скобки по формуле разности квадратов и т. д.), но решение будет длинным и с большими
числами.
Используем то, что обе скобки равны.
Обозначаем 2x−21=y. Получается простое квадратное уравнение:
y2−5y+4=0 по теореме Виета y1=4 y2=1
Возвращаемся к обозначенному:
1) 2x−21=4
2x=25
x=12,5
2) 2x−21=1
2x=22
x=11
Ответ: x=12,5;x=11
Методом введения новой переменной решаются биквадратные уравнения:
В биквадратных
уравнениях всегда
используется новая
переменная.
аx4+bx2+c=0, где a, b, c∈R x2=y, a y2+by+c=0
Получается квадратное
уравнение.