ЕН.Ф.1 Математика

1
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
ЕН. Ф.01. МАТЕМАТИКА
ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТА
ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ
040101 – Социальная работа
(код и наименование специальности/тей)
Утверждено на заседании
кафедры математического анализа
и методики преподавания математики
физико-математического факультета
(протокол № 1 от 25 сентября 2008 г.)
Зав. кафедрой
__________________ Иванчук Н.В.
Мурманск 2009
2
РАЗДЕЛ I. Программа учебной дисциплины.
Структура программы учебной дисциплины
1.1. Автор программы: старший преподаватель кафедры МА и МПМ Побойкин В.Я.
1.2. Рецензенты: доцент, кандидат физ.-мат. наук Мартынов О. М., к.п.н., к.т.н., профессор кафедры
естественно-математического образования МОИПКРО Бродский И. Л.
1.3. Пояснительная записка:
В настоящее время математические методы исследования получают все более широкое распространение в естествознании. Поэтому, подготовка будущих социальных работников тесно связана с получением прочных математических знаний и практических навыков.
Знакомясь с математикой, студенты должны получить не только прочные знания, но и научиться
применять их в своей работе и исследованиях при решении теоретических и практических задач.
Для овладения предлагаемым курсом высшей математики студентам необходимо усвоить основные положения ее разделов: аналитическая геометрия, линейная алгебра, векторная алгебра, дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения, ряды, теория вероятностей и др.
Поэтому для изучения дисциплины «Математика» необходимо знание математики в объеме курса средней школы; иметь начальные представления о работе на ПК, иметь представление об основных физических явлениях (в рамках стандарта средней школы). Особое значение придается знаниям и практическим навыкам по таким разделам этой программы как «Решение уравнений и неравенств», «Графики и
свойства элементарных функций», «Тригонометрия».
Цель
В результате изучения курса студенты должны
углубить и расширить представление о математическом мышлении, о принципах математических
рассуждений и математических доказательств;
приобрести навыки в употреблении математической символики для выражения количественных и
качественных отношений объектов; исследования, аналитического и численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений; использования основных приемов обработки экспериментальных
данных.
Задачи
В результате изучения курса студенты должны иметь представление об основных понятиях и методах
математического анализа, аналитической геометрии и линейной алгебры.
Место курса в общей системе подготовки специалиста
В результате изучения курса студенты должны иметь представление о математике как особом способе
познания мира, общности ее понятий и представлений.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины (должны знать, должны уметь);
В результате изучения курса студенты
должны знать
основные положения математического анализа;
линейной алгебры и аналитической геометрии;
теории дифференциальных уравнений;
теории вероятностей и статистики.
должны уметь
находить производные элементарных функций;
вычислять неопределенные и определенные интегралы от элементарных функций;
использовать матричную запись;
определять экстремумы простейших функций.
3
Ссылки на авторов и программы, которые использовались в подготовке
Иванчук Н.В. УМК дисциплины ЕН.Ф.01 Математика для специальностей: 020801 – Экология,
012500 – География, 032400.00 – Биология с дополнительной специальностью география.
1.4. Извлечение (в виде ксерокопии) из ГОС ВПО специальности (напрвления). включающие требования к обязательному минимуму содержания дисциплины и общее количество часов (выписка).
ЕН.Ф.01
Математика.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра; Дифференциальные и интегративные исчисления; ряды; дифференциальные
уравнения; элементы теории вероятности; математические модели
видов и процессов в системе социальной работы; математические
методы исследования в социальной работе.
189
1.5. Объем дисциплины и виды учебной работы (для всех специальностей, на которых читается данная дисциплина:
№
п/п
1
Шифр и наименование
специальности
040101
работа
–
Социальная
Курс
1
Семестр
1-2
Виды учебной работы в часах
Трудоемкость
189
Вид итогового
контроля
Всего
аудит.
ЛК
ПР/
СМ
ЛБ
Сам.
работа
80
50
30
–
109
Зачет
Экзамен
1.6. Содержание дисциплины.
1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного
времени:
№
п/п
1
2
3
4
5
Наименование раздела, темы
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Дифференциальное исчисление
Интегральное исчисление
Дифференциальные уравнения
Элементы теории вероятностей и статистики
ИТОГО
Количество часов
Всего
ауд.
20
12
14
12
22
80
ЛК
12
8
8
8
14
50
ПР/
СМ
8
4
6
4
8
30
ЛБ
–
–
–
–
–
–
Сам.
раб.
26
18
18
18
29
109
1.6.2. Содержание разделов дисциплины.
1
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
1.1. Элементы алгебры матриц. Определители. Матрицы. Решение систем линейных уравнений.
1.2. Элементы векторной алгебры. Векторы. Действия над векторами, заданными геометрически и
в декартовых координатах. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
1.3. Элементы аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве.
Линии второго порядка на плоскости.
4
2
Дифференциальное исчисление
2.1. Элементарные функции. Функция. Элементарные функции. Чтение графика функции. Преобразования графиков функций.
2.2. Элементы теории пределов. Предел и непрерывность функции.
2.3. Элементы теории дифференцирования. Производная. Теоремы о производных. Дифференцирование основных элементарных функций. Производные второго порядка.
2.4. Исследование функции с помощью производной. Исследование функции с помощью первой и
второй производной. Полное исследование функции.
3.
Интегральное исчисление
3.1. Элементы теории интегрирования.. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства и
приемы интегрирования.
3.2. Определенный интеграл, его свойства. Теорема Ньютона-Лейбница. Площади и объемы.
4.
Дифференциальные уравнения
Элементы теории дифференциальных уравнений. Понятия и определения, классификация.
Дифференциальные уравнения I порядка. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
5.
Элементы теории вероятностей и статистики
Основные понятия теории вероятностей. Свойства вероятностей. Элементы комбинаторики.
Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Байеса. Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли и Пуассона. Дискретные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия. Законы распределений
вероятностей непрерывной случайной величины.
1.6.3. Темы для самостоятельного изучения.
№
п/п
Наименование
раздела дисциплины. Тема.
1
Аналитическая
геометрия и линейная алгебра
Введение в математический
анализ
2
Форма самостоятельной работы
Колво
часов
Форма контроля
выполнения сам.
работы
- повторение школьной программы
- выполнение те- контрольные работы
вар-т 1 стов,
- выполнение домашних работ по всем темам
30
- собеседование
- углубление и расширение по пособию Резник вар-т 2 - проверка конН.А., Негодяева Л.Е, Темникова И.С. Начальные 39
трольных работ
представления о введении в математический ана- вар-т 3 - проверка долиз: Визуальный конспект практикум. - СПб., 40
машних работ
ЛОИРО, 2005.
- использование слайд фильмов
5
1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7.1. Тематика и планы аудиторной работы студентов по изученному материалу (планы последовательного проведения занятий: ПР, СМ, ЛБ) по предлагаемой схеме:
Тема 1.1.: Элементы алгебры матриц
План: Системы линейных уравнений. Определители и их свойства. Основные сведения о матрицах.
Операции над матрицами. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера. Метод Гаусса.
Задания для самостоятельной работы:
Решить уравнение Найти значение
Вычислить
Построить
C

E

A

B

B
определителя
обратную матрицу
,
x 3 5
1 1 1 1
2  1
 0
5 x1 1 1
5
9




 ,
Если A  
0 1 1 1
2 1 3
A   2 1 2
 0 3
0 0 0 0
 3  2 1
1 0 0 1
 3 4
2 3



 , C  
B  
0 2
  1 0
Тема 1.2: Элементы векторной алгебры
План: Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное и векторное произведение векторов.
Смешанное произведение векторов. Векторы в декартовых координатах. Линейные операции над векторами в координатах. Линейные и нелинейные операции над векторами, заданными координатами.
Задания для самостоятельной работы:
Составить формулу Найти скалярное Решив уравнение
Вычислить объем парал
разложения вектора произведение век- а  2х  b  с
лепипеда, построенного
 

торов
на векторах
Найти
координаты
векc по векторам a и b


   
a  1; 0; 1
тора x , если
a  k  m p


  
а  ( 5 ; 4 ;1 )
b  1;  1; 1
c  m p

 
b  (  3;5 ; 2 )
ci

с  ( 2 ;  1; 3 )
Тема 1.3: Элементы аналитической геометрии.
План: Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Плоскость в пространстве. Виды
уравнений плоскости в пространстве. Линии второго порядка на плоскости.
Задания для самостоятельной работы:
Преобразуйте уравнение прямой
Проверьте, перпендикулярны Проверьте, параллельны
в общем виде 3x  4 y  1  0
или нет прямые
или нет плоскости
3x  2 y  z  5  0
,
x

3
y

1

0
3
x

y

5

0
к уравнению с угловым коэффициентом
3x  2 y  z  3  0
Тема 2.1: Элементарные функции.
План: Функция, ее область определения, экстремумы. Элементарные функции. Сложная и обратные
функции. Чтение графика функции. Преобразования графиков функций
Задания для самостоятельной работы:
Постройте граПо заданным функциями
Провести
фик функции
f x   x  2 и g  x   x
исследование
sin 2 x  1
составить формулы функций
функции f (x)
на промежутке
f x   g x  , f g x  , g  f x  , f  f x 
по ее графику
  /2 ; 0
Тема 2.2: Элементы теории пределов.
План: Предел функции. Теоремы о пределах. Непрерывность функции. Точки разрыва. Построение
графика функции с помощью предельных переходов.
Задания для самостоятельной работы:
Вычислить
Вычислить
Исследовать на непре arctgx , x  0

2
рывность
и
построить
эсsin  x 
x  x2
f  x    1, 0  x  2
lim
lim
 2x,
2
киз графика функции
x2
x0
3x
x x  3 x  2

Тема 2.3: Элементы теории дифференцирования.
6
План: Производная. Теоремы о производных. Дифференцирование основных элементарных функций.
Дифференцирование сложной функции. Производные второго порядка.
Задания для самостоятельной работы:
Найти производные функций
3  x2
3 x  1 cos x
2cos 3 x
1
y
y
x2
 
f  
 x
y
arcctg x 2
y
x
Тема 2.4: Исследование функции с помощью производной.
План: Возрастание-убывание функций. Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значение функции. Вогнутость-выпуклость графика функций. Точки перегиба. Полное исследование функции.
Задания для самостоятельной работы:
Найти наибольшее и наименьшее значение функции
Исследовать функцию на экстремум
f x   x  ln x
 2; 2
на заданном отрезке f x   x  x
Тема 3.1: Элементы теории интегрирования.
План: Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Простейшие
табличные интегралы. Простейшие приемы интегрирования.
Задания для самостоятельной работы:
2
Найти интеграл
sin x dx
dx
x  5sin 3xdx
x  7 x dx


9x  4
2

 cos
2
x4
Тема 3.2: Определенный интеграл и его приложения.
План: Определение и основные свойства определенного интеграла. Теорема Ньютона-Лейбница. Геометрический смысл определенного интеграла. Несобственный интеграл. Площади и объемы.
Задания для самостоятельной работы:
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить объем тела,

1
площадь
ограниченного линиями
2
ln 2 x dx
затушеван2
y  4  x2 , y  0 , x  0, x  0
sin x cos x dx
0
ной фигуры


0
Тема 4: Элементы теории дифференциальных уравнений.
План: Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Уравнения I порядка с разделяющимися переменными. Линейные и однородные уравнения I порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Задания для самостоятельной работы:
Решите задачу Коши
Найти общее
Найти подходящую замену для приведения
решение
дифференциального
уравнения к уравнению
x  x  sin x
y
y
x y  1
с разделяющимися переменными x 2 y  5 y  y 2
y 0   1
Тема 5: Элементы теории рядов.
План: Сходящиеся числовые ряды. Необходимый признак сходимости знакоположительного ряда. Признаки сравнения. Признаки Даламбера и Коши. Знакопеременные числовые ряды. Признак Лейбница.
Степенные ряды. Основные свойства степенных рядов. Разложение в ряд Маклорена основных функций. Формула и ряд Тейлора. Приближенное вычисление с помощью рядов.
Задания для самостоятельной работы:
Исследовать ряд
Исследовать ряд на сходимость
Разложите в ряд Маклорена
n
 n
3n
функцию
xn   1
3
2
на сходимость
2  n  1
f x   e  x
5n!

1
Тема 6: Элементы теории вероятностей и статистики.
План: Основные понятия теории вероятностей. Свойства вероятностей. Элементы комбинаторики. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Байеса. Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли и Пуассона. Дискретные случайные
величины. Математическое ожидание и дисперсия. Законы распределений вероятностей непрерывной
случайной величины.
Задания для самостоятельной работы:
7
Имеется 30 флажков:
В партии из 10 деталей 7 стандарт10 красных, 5 синих и 15 ных. Найти вероятность того, что
белых. Найти вероят- среди шести взятых наудачу деталей
ность того, что выбран 4 стандартных.
цветной флажок.
Спортсмен стреляет по мишени,
разделенной на три области. Вероятность попадания в первую область равна 0,38, во вторую – 0,54.
Найти вероятность того, что
спортсмен при одном выстреле
попадет либо в первую, либо во
вторую область.
1.8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1. Рекомендуемая литература:
Основная:
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].
2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].
4. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. - М.: Наука,1966 [и последующие издания].
5. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1
курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.
6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. М.
Высшая школа. Изд 7-е, 2001.
7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике:
Учебное пособие для студентов вузов. 4-е издание. М.Высшая школа
8. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. М., Наука, 1985.
9. Локоть Н.В. Математика для нематематиков. Учебное пособие для студентов-гуманитариев. Мурманск, 1997.
Дополнительная:
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука,
1988.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.
3. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.
4. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.
5. Математика в современном мире. М., Мир, 1967.
6. Турецкий В.Я. Математика и информатика. Екатеринбург, 1999.
7. Резник Н.А., Негодяева Л.Е, Темникова И.С. Начальные представления о введении в математический
анализ: Визуальный конспект практикум. - СПб., ЛОИРО, 2005.
1.9. Материально-техническое обеспечение дисциплины.
1.9.1. Перечень используемых технических средств
ПК (Pentium100 и средой WIN95 и выше) с мультимедийным проектором.
1.9.2. Перечень используемых пособий.
Резник Н.А., Негодяева Л.Е, Темникова И.С. Начальные представления о введении в математический анализ: Визуальный конспект практикум. - СПб., ЛОИРО, 2005.
1.9.3. Перечень видео- и аудиоматериалов программного обеспечения.
Слайд фильмы на ПК с мультимедийным проектором,
Компьютерная программа GeoGebra (динамичная математика).
1.10. Примерные зачетные тестовые задания.
8
№ 1 Определители
1. Определите значение параметра a , при ко 2 x  7  ay
тором система 
имеет един4 x  3 y  12
ственное решение
1 0 1
1
0 0 1
1
2. Вычислить определитель
1 0 1 0
1 1 0 1
x  y  z  1

3. Решите систему  x  y  z  0
x  y  z  1

№ 3 Производная и интеграл
1. Вычислить производную функции
а)
cos x
б)
2x
2. Запишите формулу функции (b)
3. По заданным функциям
f x   cos x и g  x   x
составить формулы функций
а) f x   g x  б) f  g  x  
в) f  f x  
д) x  g x 
№ 4 Дифференциальные уравнения
1. Найти общее решение уравнения:
y  1 y  x  y   tg
x
1
ln 2 x  1
y  2 y  e2 x  x3 ,
y( 0 )  1 , y( 0 )  1
1
2
а) x cos( 2 x )dx
x y
x
2. Решите задачу Коши:
2. Найти интегралы

№ 2 График функции
1. Провести исследование
функции по ее графику (a)
dx
б)  2
0 x 2
№ 5 Элементы теории вероятностей
1. В урне имеется 60 шаров, из них 15 белых.
Наудачу вынимают один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется
белым.
2. В ящике имеется 15 деталей, среди которых
10 окрашенных. Наудачу извлечены три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
3. Вероятность того, что студент знает первый
вопрос экзаменационного билета, равна 0,4,
а того, что он знает второй вопрос этого же
билета – 0,8. Найти вероятность того, что
студент знает только один из предложенных
вопросов выбранного билета.
№ 6 Случайные величины
1. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х
– числа появлений события А в двух независимых
испытаниях, если вероятности появления события в
этих испытаниях одинаковы и известно, что М (Х) =
0,9.
2. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения
f ( x) 
3
sin 3x в интервале
2
 
 0;  ; вне этого интервала f ( x)  0 . Найти веро 3
ятность того, что Х примет значение, принадлежа-
  
; .
6 4
щее интервалу 
1.11. Примерный перечень вопросов к зачету
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Определители 2 и 3 порядков, их свойства и вычисление.
1. Теорема Крамера. Решение систем методом Крамера.
2. Матрицы, сложение матриц, умножение на число.
3. Обратная матрица. Решение систем матричным способом.
4. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами.
5. Скалярное произведение двух векторов, его свойства и применение.
6. Векторное произведение двух векторов, его свойства и применение.
7. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
8. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей в пространстве.
Дифференциальное исчисление
9. Функция, область ее определения. Исследование функции по графику.
10. Преобразования графика функции.
11. Производная. Определение и геометрический смысл.
12. Производная сложной функции.
9
Интегральное исчисление
13. Простейшие табличные интегралы и их доказательство.
14. Методы интегрирования подстановкой и по частям.
15. Основные свойства определенного интеграла.
16. Теорема Ньютона-Лейбница.
17. Вычисление площади плоской фигуры и объема тела.
Дифференциальные уравнения
18. Дифференциальные уравнения 1 порядка с разделяющимися переменными.
19. Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка.
20. Дифференциальные уравнения вида y(n)  f(x) .
21. Уравнение второго порядка вида ( x , y, y )  0 .
22. Дифференциальные уравнения второго порядка вида ( y , y, y )  0
23. Линейные дифференциальные уравнения 2 порядка с числовыми коэффициентами. .
Ряды
24. Необходимый признак сходимости.
25. Геометрическая прогрессия и обобщенный ряд Дирихле. Признаки сравнения.
26. Признак Даламбера сходимости числовых знакоположительных рядов.
27. Радикальный признак Коши сходимости числовых знакоположительных рядов.
28. Интервал и радиус сходимости степенных рядов.
29. Ряд Тейлора для дифференцируемой функции.
Элементы теории вероятностей и статистики
31. Основные понятия теории вероятностей.
32. Свойства вероятностей.
33. Элементы комбинаторики.
34. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
35. Формула полной вероятности.
36. Вероятность гипотез. Формулы Байеса.
37. Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли и Пуассона.
38. Дискретные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия.
39. Законы распределений вероятностей непрерывной случайной величины.
1.12. Комплект экзаменационных билетов (утвержденных зав.кафедрой до начала сессии) – нет.
1.13. Примерная тематика рефератов – нет.
1.14. Примерная тематика курсовых работ – нет.
1.15. Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ – нет.
1.16. Методика(и) исследования (если есть) – нет.
1.17. Бально-рейтинговая система, используемая преподавателем для оценивания знаний студентов по данной дисциплине – нет.
РАЗДЕЛ 2. Методические указания по изучению дисциплины (или ее разделов) и контрольные
задания для студентов заочной формы обучения – нет.
РАЗДЕЛ 3. Содержательный компонент теоретического материала.
Линейная алгебра.
Лекция 1. Матрицы, определители и их свойства. Сложение и умножение матриц.
План.
1. Основные понятия. Действия над матрицами. Элементарные преобразования матриц. (ПК, проектор, слайд фильмы).
2. Свойства определителей. Обратная матрица. Ранг матрицы.
Основные понятия:
1. Матрица, ее элементы. Квадратная матрица. Диагональная матрица. Единичная матрица. Треугольная матрица. Нулевая матрица. Вектор-столбец (вектор-строка). Транспонированная матрица. Ступенчатая матрица.
10
2. Определители первого, второго и п-го порядка. Минор элемента определителя. Алгебраическое
дополнение. Вырожденная и невырожденная матрицы. Союзная (присоединенная) матрица. Обратная матрица. Ранг матрицы. Базисный минор. Свойства ранга матрицы.
Матрицы. Матрицей А размера m n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или других математических выражений a ij (называемых элементами матрицы), где
i  1,2,...,m , j  1,2,...,n .
 a11 a12

 a 21 a 22



A
 ai1 ai 2




 a m1 a m 2
 a1 j
 a2 j
 
 aij
 
 a nj
 a1n 

 a2n 

  
 ain 

  

 a mn 
Квадратная матрица п-го порядка – это матрица размера n  n . Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю. Единичная матрица – диагональная матрица с единицами на главной диагонали. Нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны нулю.
Треугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну
сторону от главной диагонали, равны нулю.
Ступенчатая матрица – матрица, у которой крайний элемент каждой строки находится правее
крайнего элемента предыдущей строки.
Транспонированная матрица – матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером.
Элементарные преобразования матриц:
— умножение некоторого ряда матрицы на число λ ≠ 0;
— прибавление к одному ряду матрицы другого, параллельного ему ряда, умноженного на произвольное число;
— перестановка местами двух параллельных рядов.
Определители.
a a
Определитель второго порядка задается равенством 11 12 .
a 21 a 22
a11 a12 a13
Определитель третьего порядка задается равенством a 21 a 22 a 23 .
a 31 a 32 a 33
Свойства определителей.
1. Если у определителя какая-либо строка (столбец) состоит только из нулей, то определитель равен
0.
2. Если какие-либо две строки (столбца) определителя пропорциональны, то определитель равен 0.
3. Если какую-либо строку (столбец) определителя умножить на произвольное число, то и весь определитель умножится на это число.
4. Если две строки (два столбца) определителя поменять местами, то определитель изменит знак.
5. Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить какую-либо другую строку (столбец),
умноженную на произвольное число, то определитель не изменится.
6. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
Невырожденные матрицы.
Минор элемента определителя – определитель младшего порядка, получаемый из данного определителя в результате вычеркивания строки и столбца, содержащих данный элемент (на пересечении
которых стоит данный элемент).
Алгебраическое дополнение элемента a ij – это его минор, взятый со знаком «+», если сумма i  j
– четное число, и со знаком «–», если эта сумма нечетная.
11
Вырожденная матрица – квадратная матрица, определитель которой равен нулю. Невырожденная матрица – квадратная матрица, определитель которой не равен нулю.
Обратная матрица – матрица A 1 , такая что A  A 1  A 1  A  E , где Е – единичная матрица того
же порядка, что и матрица А.
Матричное уравнение – краткая запись системы уравнений, эквивалентных одному уравнению,
составленному из матриц. Решение матричного уравнения AX = B есть X  A 1 B , где A – матрица системы; X, B – матрицы-столбцы, составленные из неизвестных и свободных членов соответственно; A 1
– матрица, обратная A.
Литература:
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.
2. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.,
Наука, 1988.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.: в 2-х
ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.
5. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.
Лекция 2. Системы линейных уравнений.
План.
1. Основные понятия. Исследование систем линейных уравнений. (ПК, проектор, слайд фильмы).
2. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений. (ПК, проектор, слайд фильмы).
3. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Основные понятия:
1. Система линейных алгебраических уравнений. Коэффициенты и свободные члены системы.
Основная и расширенная матрицы системы. Решение системы. Совместная и несовместная системы. Определенная и неопределенная система. Эквивалентные системы. Однородная и неоднородная системы. Исследование систем линейных уравнений.
2. Определитель системы. Формулы Крамера.
3. Матричный способ решения системы.
4. Этапы решения системы методом Гаусса. Прямой и обратный ход.
а11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1

a x  a 22 x 2  ...  a 2 n x n  b2
Система линейных алгебраических уравнений – система вида  21 1
.
..............................................
a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
Числа i  1,2,...,m , j  1,2,...,n – коэффициенты системы. Свободные члены системы – числа b1 ,...,bm .
Вектор-столбец (вектор-строка) – матрица, содержащая один столбец или одну строку.
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
Основная матрица системы – A  
.
 


a

 m1 a m 2 ... a mn 
 a11 a12 ... a1n b1 


 a 21 a 22 ... a 2 n b2 
Расширенная матрицы системы – матрица системы A  
, дополнен 


a

 m1 a m 2 ... a mn bm 
ная столбцом свободных членов. Свободные члены системы – числа b1 ,...,bm .
Совместная система – система, имеющая хотя бы одно решение. Несовместная система – система, не имеющая ни одного решения. Определенная система – система, имеющая только одно решение. Неопределенная система – система, имеющая более одного решения.
Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна.
12
Эквивалентные системы – две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных, множества решений которых совпадают.
Однородная система – система, в которой b1  b2  ...  bm  0 .
Формулы Крамера.
а11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a11  a1n

a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n  b2
.    

..............................................
a n1  a nn

a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
b1 a12  a1n
a11 b1  a1n
a11  b1
 x1 
b2
a 22
 a2n
   
bn a n 2  a nn
,  x2 
a 21 b2 
a2n
   
a n1 bn  a nn
, … ,  xn 
a 21 
b2
  
a n1 
, где  xi – определитель, по-
bn
лучающийся из  заменой i-го столбца на столбец свободных членной.
x
x
x
Решение системы линейных уравнений: x1  1 , x 2  2 , … , x n  n , где   0 .



Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
1. Находим  . Если   0 , то система совместна и определена.
2. Находим матрицу A 1 , обратную к матрице системы.
3. Для этого находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A .
 A11 A21 ... An1 


 A12 A22 ... An 2 
T

4. Записываем матрицу A  Aij  
.
 


A

 1n A2 n ... Ann 
1
5. Находим матрицу A 1 : A1   A .

 x1 
 
6. Находим решение системы уравнений по формуле:  x 2   X  A 1  B
x 
 3
Метод Гаусса – метод приведения к треугольному виду определителя (при его вычислении) или расширенной матрицы системы (путём эквивалентных её преобразований при решении системы линейных
уравнений). Один из наиболее универсальных и эффективных методов решения линейных алгебраических систем, состоящий в последовательном исключении неизвестных.
Элементарные преобразования системы линейных уравнений:
— умножение некоторого уравнения системы на число λ ≠ 0;
— прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число;
— перестановка местами уравнений.
Литература:
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.
2. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.,
Наука, 1988.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.: в 2-х
ч.- М.: Высш. шк., 1986 – ч. 1, 2.
5. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.
 
Лекция 3. Векторная алгебра. Произведение векторов.
План.
1. Основные понятия. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось, ее свойства.
Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора.
13
2. Скалярное произведение векторов, его свойства.
3. Векторное произведение векторов, его свойства. Площади параллелограмма и треугольника.
4. Смешанное произведение векторов, его свойства и применение. Объем параллелепипеда.
Основные понятия:
1. Скалярные и векторные величины. Вектор. Длина (модуль) вектора. Единичный вектор. Равные
векторы. Коллинеарные и компланарные векторы. Сумма векторов и разность векторов. Правила
сложения. Произведение вектора на число. Признаки коллинеарности и компланарности векторов. Проекция точки на ось. Проекция вектора на ось. Угол между векторами. Формула разложения вектора по ортам координатных осей. Координаты вектора. Радиус-вектор точки.
2. Скалярное произведение векторов. Ортогональные векторы.
3. Правая и левая тройка векторов. Векторное произведение векторов.
4. Векторно-скалярное (смешанное) произведение векторов.
Векторы.
Скалярные величины – величины, которые полностью определяются своим численным значением.
Площадь, длина, объем, температура, работа, масса и т.д.
Векторные величины – величины, которые определяются не только своим числовым значением,
но и направлением. Сила, скорость, ускорение и т.д.
Вектор – направленный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное
направление. Обозначение: АВ или а . Вектор ВА , называется противоположным вектору АВ .
Длина (модуль) вектора АВ – длина отрезка АВ. Обозначение: АВ или а .
Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается: 0 . Нулевой
вектор направления не имеет. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и
обозначается: е .
Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. они
могут быть направлены одинаково и противоположно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому
вектору.
Равные векторы – коллинеарные векторы, которые одинаково направлены и имеют одинаковые
длины. а  b . Равные векторы называются также свободными. Вектор можно переносить параллельно
самому себе, а начало вектора помещать в любую точку пространства.
a  b
аb
.
 a  b
Компланарные векторы – три вектора в пространстве, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Линейные операции над векторами.
Операции сложения и вычитания векторов, умножение вектора на число.
Правила сложения – правило треугольника (трех точек), правило параллелограмма, правило многоугольника. Сумма двух векторов а и b – вектор с , соединяющий начало вектора а с концом вектора
b , отложенного от конца вектора а .
14
Правило треугольника: AB  BC  AC .
Правило параллелограмма: AB  AC  AD (где ABDC – параллелограмм).
Правило многоугольника – правило сложения трех и более векторов.
Разность векторов а и b – вектор с , такой что b  с  а .
Правило вычитания векторов: AB  AC  CB .
Произведение вектора а  0 на число   0 – вектор, который имеет длину   а , его направление совпадает с направлением вектора а , если   0 и имеет противоположное направление, если
 0.
15
Проекция точки М на ось l – основание M 1 перпендикуляра MM 1 , опущенного из точки на ось. Проекция вектора АВ на ось l – положительное число А1 В1 , если вектор А1 В1 и ось l одинаково направлены и отрицательное число  А1 В1 , если вектор А1 В1 и ось l противоположно направлены. Обозначение: прl АВ .
Основные свойства проекций:
1. прl a  a  cos  . Проекция вектора а на ось l равна произведению модуля вектора а на косинус угла
между вектором и осью.
2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.
3. прl   a    прl a . При умножении вектора а на число его проекция на ось также умножается на это
число.
Угол  между вектором а и осью l (или угол между двумя векторами):
 
Разложение вектора по ортам координатных осей.
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Оxyz. выделим на координатных
осях Оx, Оy, Оz единичные векторы (орты), обозначаемые i , j , k соответственно. Пусть а  OM .
Проведем через конец вектора а плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно M 1 , M 2 , M 3 . Получим прямоугольный
параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор
OM . Тогда
прx a  OM1 ,
пр y a  OM 2 , прz a  OM 3 . По определению суммы нескольких векторов: а  OM 1  M 1 N  NM .
а  OM1  OM 2  OM 3 . Проекции векторов обозначим OM 1  a x , OM 2  a y , OM 3  a z .
16
Формула разложения вектора по ортам координатных осей: а  a x  i  a y  j  a z  k .
Координаты вектора – числа a x , a y , a z , проекции вектора на соответствующие координатные оси.
Радиус-вектор точки М – вектор, соединяющий начало координат с точкой М пространства.
Скалярное произведение двух ненулевых векторов – число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Ортогональные векторы – два вектора, скалярное произведение которых равно нулю.
Векторное произведение неколлинеарных векторов а и b – вектор с , такой что 1) вектор с перпендикулярен векторам а и b , т.е. с  а , с  b ; 2) длина вектора с равна площади параллелограмма,
построенного на векторах а и b как на сторонах, т.е. с  а  b  sin  ; 3) векторы а , b и с образуют
правую тройку.
Векторно-скалярное (смешанное) произведение трех векторов а , b и с – число, равное скалярному произведению вектора на вектор а  b на вектор с .
Литература:
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.
2. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.,
Наука, 1988.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2-х
ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.
5. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.
6. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.
Аналитическая геометрия.
Лекция 4. Метод координат на плоскости. Прямая на плоскости.
План.
1. Прямоугольная система координат. Полярная система координат. Связь между прямоугольными и полярными координатами. (ПК, проектор).
2. Основные приложения метода координат на плоскости. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника. (ПК, проектор).
3. Преобразование систем координат на плоскости. Параллельный перенос осей координат. Поворот осей координат. (ПК, проектор).
4. Уравнение линии. Уравнения прямой на плоскости. (ПК, проектор).
5. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Пе-
17
ресечение прямых. Расстояние от точки до прямой. (ПК, проектор).
6. Плоскость и прямая в пространстве.
Основные понятия:
1. Система координат. Прямоугольная (декартова) система координат. Координатная плоскость.
Координаты точки. Полярная система координат. Полярные координаты, полярный радиус, полярный угол.
2. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника.
3. Преобразование системы координат. Параллельный перенос осей координат. Поворот осей координат. Формулы поворота осей.
4. Уравнение линии. Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Общее уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном
направлении. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках.
Полярное уравнение прямой. Нормальное уравнение прямой.
5. Угол между прямыми в плоскости. Расстояние от точки до прямой.
6. Уравнение поверхности. Уравнение сферы. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение
прямой в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Полярная система координат на плоскости определяется выбором точки O (полюс), луча OA (полярная ось, обычно горизонтальный луч), масштаба длины и положительного направления поворотов вокруг точки O (обычно против часовой стрелки). Произвольной точке M ставят в соответствие: ρ – расстояние от точки M до полюса O,  – угол, на который надо повернуть луч OA до совмещения с лучом
OM (0≤  <2π). ρ и  называются полярными координатами точки M (ρ – полярный радиус,  – полярный угол), связь их с декартовыми координатами: x = ρ cos  , y = ρ sin  ,   x 2  y 2 . Координатные
линии – концентрические окружности (ρ = const) и лучи (  = const). Полярная система координат удобна при исследовании ряда кривых, фигур, а также при изучении циклических процессов, вращательных
движений, крутильных колебаний и т.д.
Параллельный перенос осей координат.
Поворот осей координат.
 x  x' cos   y' sin  ,
Формулы поворота осей: 
.
 y  y' sin   y' cos .
18
Преобразование системы координат (параллельный перенос осей координат и поворот осей).
Расстояние между двумя точками Ax1 ; y1  и B x 2 ; y 2  : d  AB 
x 2  x1 2   y 2  y1 2
Деление отрезка АВ: Ax1 ; y1  и B x 2 ; y 2  в данном отношении   0 : x 
Если   1 , т.е. АМ = МВ, то x 
x1  x 2
y  y2
и y 1
.
2
2
.
x1  x 2
y  y 2
и y 1
.
1 
1 
Площадь треугольника АВС с вершинами Ax1 ; y1  , B x 2 ; y 2  , С x3 ; y 3  : S  
1 x3  x1 x 2  x1
.
2 y 3  y1 y 2  y1
Уравнения прямой.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y  kx  b , где k  tg  – угловой коэффициент прямой.
Общее уравнение прямой: Ax  By  C  0 .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении: y  y 0  k x  x 0  , где
k  tg  (  – угол, образуемый прямой с осью Ох).
y  y1
x  x1
Уравнение прямой, проходящей через две точки:
.

y 2  y1 x 2  x1
x y
Уравнение прямой в отрезках:   1 , числа a и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на
a b
осях координат.
19
Полярное уравнение прямой: r cos      p , где p – расстояние от полюса О до данной прямой,  –
угол между полярной осью ОР и осью l, проходящей через полюс О перпендикулярно данной прямой.
Нормальное уравнение прямой: x  cos   y  sin   p  0 , где p – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,  – угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ох.
Угол между прямыми в плоскости.
Литература:
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.
2. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. - М.: Наука,1966 [и последующие издания].
3. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.,
Наука, 1988.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.: в 2-х
ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.
6. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.
7. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.
Лекция 5. Кривые второго порядка.
План.
1. Линии (кривые) второго порядка. Окружность. Каноническое уравнение окружности. (ПК, проектор, презентация).
2. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. (ПК, проектор, презентация).
3. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. (ПК, проектор, презентация).
20
4. Парабола. Каноническое уравнение параболы. (ПК, проектор, презентация).
Основные понятия:
1. Кривые второго порядка. Окружность.
2. Эллипс. Центр, вершины, оси и полуоси эллипса.
3. Гипербола. Центр, вершины, действительные и мнимые оси и полуоси гиперболы. Основной
прямоугольник гиперболы. Асимптоты гиперболы. Равносторонняя гипербола.
4. Парабола. Вершина параболы. Ось симметрии параболы.
Кривые второго порядка.
Уравнение окружности: x  x0 2   y  y 0 2  R 2 , где R – радиус окружности,  x 0 ; y 0  – координаты центра окружности.
x2 y2
Уравнение эллипса: 2  2  1 , где a – большая полуось, b – малая полуось эллипса.
a
b
2
2
y
x
Уравнение гиперболы: 2  2  1 , где a – действительная полуось, b – мнимая полуось гиперболы.
a
b
Центр, вершины, действительные и мнимые оси и полуоси гиперболы. Основной прямоугольник
гиперболы. Асимптоты гиперболы.
Линии,
определяемые уравнениями
второй степени относительно
переменных x и y,
Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0
называются
кривыми
второго порядка
Уравнение
Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0
определяет на плоскости
окружность,
эллипс,
гиперболу
или
параболу
Окружность
Уравнение окружности
Окружностью радиуса R
с центром в точке М 0
называется множество всех
точек М плоскости,
удовлетворяющих условию
x  x0 2   y  y0 2  R 2
М0 М = R
Эллипс
Эллипсом называется множество
всех точек плоскости, сумма
расстояний от каждой из которых
до двух данных точек этой
плоскости, называемых фокусами,
есть величина постоянная,
большая чем расстояние между
фокусами
Каноническое уравнение
эллипса
2
2
x
y
2 + 2 =1
a
b
где а – большая полуось,
b – малая полуось эллипса
21
Точки А, В, С и D называются
вершинами эллипса,
точка О – центром эллипса
Если фокусы эллипса лежат на оси
Oy, то эллипс имеет вид
Гипербола
Каноническое уравнение
гиперболы
Гиперболой называется множество
всех точек плоскости, модуль
разности расстояний от каждой из
которых до двух заданных точек,
называемых фокусами, есть
величина постоянная, меньшая,
чем расстояние между фокусами
Парабола
Параболой называется
множество всех точек
плоскости, каждая из которых
одинаково удалена от заданной
точки, называемой фокусом, и
заданной прямой, называемой
директрисой
x2 y2
2 - 2 =1
a b
Каноническое уравнение
параболы
y 2 = 2 px
где число p>0, равное
расстоянию от фокуса F до
директрисы l, называется
параметром параболы
22
Уравнение сферы: x  x0 2   y  y 0 2  z  z 0 2  R 2 , где R – радиус сферы, x 0 ; y 0 ; z 0  – координаты центра сферы.
Общее уравнение линий второго порядка всегда определяет: либо окружность, либо эллипс,
либо гиперболу, либо параболу. При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) – в
точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы – в пару пересекающихся прямых, для параболы – в пару параллельных прямых
.
Общее уравнение плоскости в пространстве: Ax  By  Cz  D  0 .
 A x  B1 y  C1 z  D1  0
Общее уравнение прямой в пространстве:  1
.
 A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0
Литература:
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.
2. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. - М.: Наука,1966 [и последующие издания].
3. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.,
Наука, 1988.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.: в 2-х
ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.
6. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.
7. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.
Дифференциальное исчисление.
Лекция 6. Элементарные функции. Элементы теории пределов.
План.
1. Функция. Способы задания функций. Основные характеристики функции. Элементарные функции и их графики. Исследование функций и построение графиков. Чтение графика функции.
Преобразования графиков функций. (ПК, проектор).
2. Последовательности. Предел последовательности.
3. Предел и непрерывность функции. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы.
Основные понятия:
Функция. Область определения и множество значений функции. График функции. Элементарные
функции. Четная и нечетная функции. Возрастающая и убывающая функции. Ограниченная
функция. Периодическая функция. Обратная функция. Сложная функция. Сдвиги графиков
вдоль осей координат. Растяжение и сжатие графиков.
Числовая последовательность. Рекуррентная формула. Монотонная последовательность. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно малая последовательность. Предел
последовательности. Бесконечно большая последовательность.
23
Предел функции. Непрерывность функции в точке. Непрерывная на промежутке функция. Точки
разрыва первого и второго рода. Первый и второй замечательные пределы.
Функция – соответствие f , которое каждому элементу x  X сопоставляет один и только один элемент
y  Y , где X и Y – непустые множества. y  f  x  , x  X или f : X  Y . Функция f отображает
множество X на множество Y .
График функции f  x  и – множество всех точек плоскости с координатами  x ; f  x  , где x  D f  .
Преобразования графиков функций.
1. График функции y  f  x  можно построить с помощью преобразований (сдвиг, растяжение) графика
некоторой уже известной функции.
1) График функции y  f x   a получается из графика функции y  f  x  сдвигом вдоль оси Oy на a
единиц (вверх, если a  0 , и вниз, если a  0 ).
2) График функции y  f x  b  получается из графика функции y  f  x  сдвигом вдоль оси Ox на b
единиц (вправо, если b  0 , и влево, если b  0 ).
3) График функции y  kf  x  получается из графика функции y  f  x  растяжением вдоль оси Oy в
k раз.
4) График функции y  f mx  получается из графика функции y  f  x  сжатием по оси Ox в m раз.
5) График функции y   f  x  получается из графика функции y  f  x  симметричным отражением относительно оси Ox .
6) График функции y  f  x  получается из графика функции y  f  x  симметричным отражением относительно оси Oy .
24
Пределы.
Предел – одно из основных понятий математики, означающее, что некоторая переменная в процессе её изменения неограниченно приближается к какому-то постоянному значению. Через предел
определяются такие понятия математического анализа, как непрерывность, производная, интеграл.
Предел последовательности. Число a называется пределом последовательности x n  , если последовательность a n   x n  a является бесконечно малой. Т.е. число a называется пределом последовательности x n  , если для любого положительного числа  можно подобрать такой номер N (как
правило, зависящий от  ), что, начиная с этого (т.е. для всех n  N ), будет выполнено неравенство
xn  a   .
Окрестностью точки а называется любой интервал с центром в точке а.
Предел функции (по Гейне – «на языке последовательностей»). Пусть функция f  x  определена в
некоторой окрестности точки x 0 кроме, быть может, самой точки x 0 . Число А называется пределом
функции y  f  x  в точке x 0 , если для любой последовательности x n  , сходящейся к x 0 ( x n  x 0 n ),
последовательность  f  x n  соответствующих значений функций сходится к А. Обозначается:
lim f x   A или f x   A (при x  x 0 ).
x  x0
Предел функции (по Коши – «на языке    » (эпсилон-дельта)). Пусть функция f  x  определена
в некоторой окрестности точки x 0 кроме, быть может, самой точки x 0 . Число А называется пределом
функции y  f  x  в точке x 0 , если для любого сколь угодно малого числа   0 найдется такое число
  0 (зависящее от  ), что для всех x таких, что x  x0   , x  x 0 , выполняется неравенство
f x   A   .
Предел функции на бесконечности. Пусть функция f  x  определена на бесконечном промежутке
a ;    . Число А называется пределом функции f x  при x   , если для любой положительной бесконечно большой последовательности x n  (т.е. x n   , n   ) последовательность  f  x n  соответствующих значений функций сходится к А. Обозначается: lim f x   A . На языке    : Число А называется пределом функции
f x 
x 
при x   , если для любого числа   0 найдется такое число M  0 ,
что для всех значений x  M выполняется неравенство f x   A   . Аналогично определяется предел
функции f  x  при x   . Обозначается: lim f x   A .
x 
Запись предела функции в точке: lim f ( x)  A .
xa
Определение. Если f(x)  A1 при х  а только при x < a, то lim f ( x)  A1 - называется преxa 0
делом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x)  A2 при х  а только при x > a, то
25
lim f ( x)  A2 называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.
x a  0
Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х =
а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).
Основные теоремы о пределах
Теорема 1. lim C  C , где С = const.
xa
Теорема 2. lim( f ( x )  g( x ))  lim f ( x )  lim g( x )
xa
xa
xa
Теорема 3. lim [ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x)
x a
x a
x a
Следствие. lim C  f ( x)  C  lim f ( x)
x a
Теорема 4. lim
xa
x a
f ( x)
f ( x) lim
 xa
g ( x) lim g ( x)
при lim g ( x)  0
xa
xa
Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и lim f ( x)  A , то А > 0.
xa
Теорема 6. Если g(x)  f(x)  u(x) вблизи точки х = а и lim g ( x)  lim u ( x)  A , то и lim  A .
x a
x a
xa
Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что f(x)<M вблизи точки х = а.
Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х а, то она ограничена вблизи
точки х = а.
Литература:
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].
2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].
4. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.: в 2-х
ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.
6. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.
7. Резник Н.А., Негодяева Л.Е, Темникова И.С. Начальные представления о введении в математический анализ: Визуальный конспект практикум. - СПб., ЛОИРО, 2005.
Лекция 7. Элементы теории дифференцирования.
План.
1. Производная функции, ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной. (ПК,
проектор, слайд фильмы).
2. Теоремы о производных. Производная сложной и обратной функций. Формулы дифференцирования. Дифференцирование основных элементарных функций. Производные второго порядка.
(ПК, проектор, слайд фильмы).
3. Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков. Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой
на отрезке. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функций. Общая
схема исследования функции и построения ее графика. (ПК, проектор).
Основные понятия:
Дифференциальное исчисление. Дифференцирование. Дифференцируемая функция. Производная.
Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций, исследуются функции и решаются прикладные задачи (например, задачи на экстремум).
Дифференцирование – операции нахождения производных (частных производных) функций и их
дифференциалов.
26
Дифференцируемая функция – функция одного или нескольких переменных называется дифференцируемой в некоторой точке, если в данной точке существует дифференциал этой функции. Для
дифференцируемости функции необходимо и достаточно существование конечной производной для
функции одной переменной или чтобы существовали в этой точке непрерывные частные производные
для функции нескольких переменных.
Производная – основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции y  f  x  при изменении аргумента x. Пусть функция y  f  x  определена в некоторой
окрестности точки x 0 . Предел отношения приращения y функции в этой точке (если он существует) к
приращению x аргумента, когда x  0 , называется производной функции f  x  в точке x 0 . Обознаdf x 0 
f ' x 0 
y' x 0  или
чения производной:
или
или
f ' x  x . Таким образом,
0
dx
f x0  x   f x0 
y
. Численно производная равна угловому коэффициенту касаf ' x0   lim
 lim
x 0 x
x 0
x
тельной, проведённой к кривой в данной точке (тангенсу угла наклона касательной к оси Ox). Если существует производная функции f '  x  , её называют второй производной и пишут: f ' ' x  . Аналогично
определяется производная любого (целого) порядка n: f n  x  . Производная f '  x  называется первой
производной или производной первого порядка, вторая, третья производная и т.д. – производными высших порядков. Вычисление производной называется дифференцированием функции.
27
Литература:
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].
2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и
последующие издания].
4. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.: в
2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.
6. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.
7. Резник Н.А., Негодяева Л.Е, Темникова И.С. Начальные представления о введении в математический анализ: Визуальный конспект практикум. – СПб., ЛОИРО, 2005.
Интегральное исчисление.
Лекция 8. Неопределенный интеграл.
План.
1. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
2. Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования.
Основные понятия:
1. Первообразная и неопределенный интеграл.
2. Метод непосредственного интегрирования. Метод подстановки (замена переменной). Метод интегрирования по частям (метод стрелок).
Интегральное исчисление – раздел математики, в котором исследуют функции на основании связи
между первообразной искомой функции и интегралом от неё, изучаются интегралы различного вида, их
свойства, способы вычисления, а также приложения этих интегралов к различным задачам естествознания и человеческой деятельности.
Первообразная. Пусть функция f  x  определена на некотором (конечном или бесконечном) интервале a , b  . Тогда функция F  x  называется первообразной для функции f  x  на интервале a , b  ,
если F' x   f x  для всех x  a , b  . Если F  x  – первообразная для функции f  x  , то функция
F x   С , где С – некоторая постоянная, также первообразная для функции f  x  . Если F  x  и G  x  –
две первообразные для функции f  x  , то они отличаются на некоторую постоянную, т.е. существует такое число С  R , что F x   G x   C . Если функция f  x  непрерывна на данном интервале, то у нее
существует первообразная на этом интервале.
Неопределенный интеграл. Совокупность всех первообразных для функции f  x  называется неопределенным интегралом от функции f  x  . Обозначается:
 f x dx . Если F x  – какая-нибудь перво-
28
образная для функции f  x  , то
 f x dx  F x  C . Знак 
называется интегралом, функция f  x  –
подынтегральной функцией, а f x  dx – подынтегральным выражением.
Интегрирование – вычисление определённых и неопределённых интегралов, а также иных видов
интегралов – кратных, криволинейных и т.п. Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования (т.е. операции, заключающейся в нахождении производной от данной функции). У всякой
непрерывной на данном интервале функции существует неопределенный интеграл.
Метод непосредственного интегрирования. Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения
свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.
Метод подстановки (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл
 f x  ' xdx ,
при этом функции '  x  и f  x  непрерывны на заданном интервале. Тогда этот интеграл можно упростить с помощью подстановки t  x  , используя равенство
 f x  ' xdx   f t  dt .
Метод интегрирования по частям (метод стрелок). Пусть производные функций u x  и v  x  существуют и непрерывны на заданном интервале. Тогда имеет место равенство
 uv ' dx  uv   vu ' dx .
Лекция 9. Определенный интеграл, его свойства.
План.
1. Понятие определенного интеграла и условия его существования. Геометрический и физический
смысл определенного интеграла. (ПК, проектор).
2. Теорема Ньютона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла. Приложения определенного интеграла. Площади и объемы. (ПК, проекторы).
Основные понятия:
1. Определенный интеграл.
2. Криволинейная трапеция.
Введение понятия определенного интеграла.
Интегральная сумма. Пусть функция y  f  x  определена на отрезке a ; b  и на этом отрезке
произвольно выбраны точки x 0 , x1 ,..., x n , так что a  x 0  x1  ...  x n  b – выбрано разбиение этого отрезка на п частей. В каждом интервале  x i 1 ; x i  произвольным образом выбрана точка c i , i  1, 2, ... , n .
Сумма вида S n 
n
 f c x , где x
i
i
i
 xi  xi 1 , называется интегральной суммой функции f  x  на от-
i 1
резке a ; b  .
Определенный интеграл. Определенным интегралом от функции f  x  на отрезке a ; b  называется предел интегральных сумм S n при условии, что длина наибольшего частичного отрезка x i стремитb
ся к нулю:

f x  dx 
a
n
 f c x . Числа
lim
n 
max xi 0 i 1
i
i
a и b называются соответственно нижним и верхним
i
пределами интегрирования, f  x  – подынтегральной функцией, f x  dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, отрезок a ; b  – областью (отрезком) интегрирования.
Интегрируемая функция. Если функция f  x  непрерывна на отрезке a ; b  , то предел
b

a
f x  dx 
n
lim
 f c x
n 
max xi 0 i 1
i
i
существует и не зависит от способа разбиения отрезка a ; b  и от выбора
i
точек c i (теорема существования определенного интеграла). Функция f  x  в этом случае называется
интегрируемой на отрезке a ; b  . Если функция f  x  ограничена на отрезке a ; b  и непрерывна в нем,
кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.
Формула Ньютона-Лейбница.  f x  dx  F x  a  F b   F a  .
b
a
b
29
Криволинейная трапеция.
Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная графиком функции y  f  x  , неотрицательной и
непрерывной на отрезке a ; b  , отрезком a ; b  оси абсцисс и перпендикулярами, проведёнными к оси
Ox в точках a и b, т.е. прямыми x  a и x  b .
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой y  x  2 и параболой
y  x 2  4x  2 .
Литература:
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].
2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и
последующие издания].
4. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.: в
2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.
6. Резник Н.А., Негодяева Л.Е, Темникова И.С. Начальные представления о введении в математический анализ: Визуальный конспект практикум. – СПб., ЛОИРО, 2005.
30
Дифференциальные уравнения.
Лекция 10. Элементы теории дифференциальных уравнений.
План.
1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.
3. Уравнения I-го порядка с разделяющимися переменными.
Основные понятия:
Дифференциальные уравнения. Решение дифференциального уравнения. Общее и частное решения дифференциального уравнения первого порядка.
Дифференциальное уравнение – уравнение, содержащее искомую функцию одного переменного, её
производные различных порядков и независимую переменную. Порядок уравнения определяется старшим порядком производной функции, входящей в это уравнение.
Задача Коши – дифференциальное уравнение вместе с начальными условиями; задача состоит в
отыскании решения (интеграла), удовлетворяющего начальным условиям.
Начальные условия для дифференциального уравнения – дополнительные условия, налагаемые на
решение уравнения, отнесённые к одному и тому же значению аргумента. Условие, что при x  x 0
функция y должна быть равна заданному числу y 0 , т.е. y  y 0 называется начальным условием.
y x 0   y 0 или y x  x  y 0 .
0
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y   x; c  ,
содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям: 1) функция  x; c  является
решением ДУ при каждом фиксированном значении с, 2) каково бы ни было начальное условие
y x 0   y 0 , можно найти такое значение постоянной с  с 0 , что функция y   x; c  удовлетворяет данному начальному условию.
Обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) называют ДУ, если искомая (неизвестная)
функция зависит от одной переменной, в противном случае – ДУ в частных производных.
Порядок дифференциального уравнения – наивысший из порядков производных, входящих в
уравнение.
Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Уравнение Бернулли. Уравнение вида y'  px   y  g x   y n , где n  R , n  0, n  1 называется уравнением Бернулли.
Частная производная – понятие дифференциального исчисления, характеризующее локальную
скорость изменения функции нескольких переменных при изменении лишь одного аргумента. Находится частная производная по рассматриваемому аргументу по обычным правилам в предположении, что
остальные аргументы фиксированы, выступают в роли констант.
Частное решение обыкновенного дифференциального уравнения – решение, полученное из общего решения уравнения (общего интеграла) при некотором наборе входящих в него постоянных (обычно
определяются начальными условиями).
Литература:
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].
2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и
последующие издания].
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.: в
2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.
5. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.
Лекция 11. Линейные и однородные уравнения I-го порядка.
План.
1. Линейные и однородные уравнения I-го порядка.
2. Уравнения, допускающие понижение порядка.
3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Основные понятия:
31
Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения.
Линейное дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется
линейным, если его можно записать в виде y'  px   y  g x  , где p  x  и g  x  – заданные функции, в
частности – постоянные.
Неоднородное линейное дифференциальное уравнение – уравнение, у которого отличен от нуля
свободный член (не содержащий искомую функцию или её производные).
Однородная функция п-го порядка. Функция f  x ; y  называется однородной функцией п-го порядка (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель  вся функция
умножится на n , т.е. f   x;   y   n  f x; y  .
Однородное дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение y'  f x; y  называется
однородным, если функция f  x ; y  есть однородная функция нулевого порядка.
Литература:
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].
2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.: в 2-х
ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.
5. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.
Ряды.
Лекция 12. Числовые ряды.
План.
1. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды.
2. Необходимый и достаточный признаки сходимости знакоположительных рядов. Признаки сравнения рядов. Признаки Даламбера и Коши.
3. Знакочередующиеся и знакопеременные числовые ряды. Признак Лейбница.
Основные понятия:
1. Числовой ряд. Сходящиеся и расходящиеся ряды.
2. Знакоположительные ряды.
3. Знакочередующиеся и знакопеременные числовые ряды.

Числовой ряд – выражение вида
u
n
 u1  u 2  ...  u n  ... , где u1 , u 2 ,...,u n ,... – действительные числа,
n 1
называемые членами ряда, u n – общим членом ряда.

Знакопеременный ряд – числовой ряд
u
n
, содержащий бесконечное множество положительных
n 1
и бесконечное множество отрицательных членов.
Знакочередующийся ряд – ряд вида u1  u 2  u 3  u 4  ...   1
n 1
u n  ... 

  1
n 1
u n , где u n  0
n 1
для всех n  N , т.е. ряд, члены которого строго попеременно положительны и отрицательны.
Расходящиеся ряды. Если lim S n не существует или lim S n   , ряд
n 
n 

u
n
 u1  u 2  ...  u n  ...
n 1
называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.
Сходящиеся ряды. Если существует конечный предел S  lim S n последовательности частичных
n 

сумм ряда
u
n
 u1  u 2  ...  u n  ... , то этот предел называют суммой ряда и говорят, что ряд сходит-
n 1
ся. записывают: S 

u
n
.
n 1
Функциональный ряд – ряд, членами которого являются функции от х, т.е. ряд вида
32

 u x   u x   u x   ...  u x   ... .
n
1
2
n
n 1

Частичная сумма ряда – сумма первых п членов ряда
u
n
 u1  u 2  ...  u n  ... ,обозначается
n 1
S n , т.е. S n  u1  u 2  ...  u n .
Литература:
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].
2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.: в 2-х
ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.
5. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.
Лекция 13. Степенные ряды.
План.
1. Степенные ряды. Основные свойства степенных рядов.
2. Разложение в ряд Маклорена основных функций. Формула и ряд Тейлора.
3. Приближенное вычисление с помощью рядов.
Основные понятия:
1. Степенной ряд. Область сходимости. Интервал и радиус сходимости.
2. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
Степенной ряд – ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, т.е. ряд

a
nx
n
 a 0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ... . Числа a 0 , a1 , a 2 ,...,a n ,... называют коэффициентами ряда, x  R
n 1
– действительная переменная.
Интервал сходимости степенного ряда – интервал  x0 ; x0  , во всех внутренних точках которого ряд сходится (абсолютно), в точках вне интервала расходится, а в концевых точках ряд может сходиться или расходиться. Если x0  R , то интервал сходимости  R ; R  . Число R называют радиусом
сходимости степенного ряда, т.е. R  0 – это такое число, что при всех х, для которых x  R , ряд абсолютно сходится, а при x  R ряд расходится..
Ряд Маклорена: f x   f 0 
степеням х.
Ряд Тейлора: f x   f x 0  

f ' 0 
f ' ' 0  2
f n  0  n
x
x  ... 
x – разложение функции f  x  по
1!
2!
n!
n 0


f ' x 0 
f n  x 0 
x  x0   ... 
x  x0 n – разложение функции f x 
1!
n!
n 0

по степеням  x  x 0  .
Литература:
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].
2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.: в 2-х
ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.
5. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.
Элементы теории вероятностей и статистики.
Лекция 14. Случайные события.
План.
33
1. Основные понятия теории вероятностей. Свойства вероятностей.
2. Элементы комбинаторики.
3. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
4. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Байеса.
5. Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли и Пуассона.
Основные понятия:
Событие. Достоверные, невозможные и случайные события.
Основные понятия теории вероятностей
Теория вероятностей занимается изучением закономерностей, возникающих при рассмотрении
большого числа однотипных (однородных) случайных явлений.
Такие закономерности, присущие массовым случайным явлениям, встречаются в самых разнообразных ситуациях: при анализе результатов многократного бросания шестигранной игральной кости,
при выяснении процента брака в различных промышленных производствах, при анализе народонаселения, в теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории автоматического управления, в теории стрельбы, при изучении закономерностей взаимодействия большого
числа частиц в физике и химии и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, при контроле качества продукции и для многих других целей.
Теория вероятностей возникла примерно в 17 веке. Ее первые шаги связаны с именами Паскаля,
Ферма и Бернулли. Первоначально теория вероятностей занималась преимущественно задачами, относящимися к различным азартным играм (карты, кости и т.д.). Дальнейшему ее развитию способствовали
запросы естественных и социальных наук и техники (теория ошибок наблюдения, теория артиллерийской стрельбы, учет народонаселения, развитие статистической физики). Дальнейшими успехами теория
вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др. (на рубеже 18-19 веков). С середины 19
века фундаментальную роль в развитии теории вероятностей стала играть российская математическая
школа (работы Чебышева П.Л., Ляпунова А.М., Маркова А.А.) В 20 веке в развитие теории вероятностей выдающийся вклад внесли работы А.Н. Колмогорова, С.Н. Бернштейна, А.Я. Хинчина.
В теории вероятностей основную роль будет играть понятие события.
Событием называется всякое явление, относительно которого имеет смысл говорить, произошло
оно или не произошло. Др. словами, событием называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.
Пример. При бросании игральной кости можно рассматривать такие события: выпадение одного
очка, выпадение четного числа очков, выпадение менее трех очков и т.д.
При этом каждый раз рассматриваются: 1) некоторый комплекс условий, т.е. проведение испытания (например, бросается игральная кость, стрелок стреляет по мишени) и 2) некоторая фиксированная
система событий, которые могут произойти или не произойти при осуществлении данного комплекса
условий (выпадение определенного количества очков, попадание или промах).
Виды событий: достоверные, невозможные и случайные.
1. Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлен
определенный комплекс условий. Др. словами, это событие, которое в результате опыта непременно
должно произойти.
Пример. Если брошена игральная кость, то выпадение не менее одного очка – достоверное событие.
2. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлен
определенный комплекс условий. Др. словами, это событие, которое в результате опыта не может произойти.
Пример. Если брошена игральная кость, то выпадение больше 6 очков – невозможное событие.
3. Случайным называют событие, которое при осуществлении определенной совокупности условий может либо произойти, либо не произойти.
Пример. Если брошена игральная кость, то выпадение 3 очков – случайное событие.
Различные события могут быть связаны между собой определенными соотношениями:
1. Если при каждом осуществлении данного комплекса условий, при котором наступает событие
А, наступает и событие В, то говорят, что событие А влечет за собой событие В, и пишут A  B или
A B.
Пример. При бросании игральной кости событие «выпало два очка» влечет за собой событие
34
«выпало четное число очков».
2. Если событие А влечет за собой событие В и в то же время событие В влечет за собой событие
А, то события А и В называют равносильными, и пишут A  B .
Пример. При бросании игральной кости событие А, состоящее в выпадении четного числа очков,
равносильно событию В, состоящему в невыпадении нечетного числа очков.
Произведением двух событий А и В называется событие, обозначаемое символом A  B или
B  A и состоящее в одновременном наступлении событий А и В.
Пример. Если при бросании кости событие А состоит в выпадении четного числа очков, а событие В – в выпадении меньше четырех очков, то событие A  B означает выпадение двух очков.
Событие, состоящее в том, что наступило хотя бы одно из событий А и В, называется их суммой
и обозначается символом A  B или B  A .
Пример. Из колоды карт, содержащей 36 карт, извлекается
случайным образом одна карта. Будет ли это король или пика? Имеется 4 короля и 9 пик, среди которых
одна – король пик – встречается 2 раза. Благоприятных вариантов 9 + 4 – 1 = 12.
Событие, состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не происходит, называется
разностью событий А и В и обозначается символом A  B .
Пример. Если при бросании кости событие А состоит в выпадении четного числа очков, а событие В – в выпадении более двух очков, то событие A  B означает выпадение двух очков.
Пример. Событие A  B заключается в том, что вытаскивается любой король, кроме пикового.
Если А – какое-либо событие, то событие, состоящее в том, что событие А не наступило, называется противоположным событию А и обозначается символом А .
Пример. Если при бросании кости событие А состоит в выпадении четного числа очков, то событие А состоит в выпадении нечетного числа очков.
Все достоверные события равносильны между собой и все невозможные события равносильны
между собой. Поэтому все достоверные события будем обозначать одной и той же буквой Е, а любое
невозможное событие – одной и той же буквой N.
Противоположные события А и А связаны между собой соотношениями A  А  E , A  А  N .
События А и В называются несовместными (несовместимыми), если их одновременное наступление невозможно, т.е. если A  В  N . Др. словами, события несовместны, если появление одного из
них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Пример. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» – несовместные.
Аналогично п событий B1 , B2 , ..., Bn называются попарно несовместимыми, если Bi  B j  N
при всех i  j .
Если А  B1  B2  ...  Bn и события B1 , B2 , ..., Bn попарно несовместны, то говорят, что событие А подразделяется на частные случаи B1 , B2 , ..., Bn .
События B1 , B2 , ..., Bn образуют полную группу, если в результате испытания обязательно появится хотя бы одно из них, т.е. если B1  B2  ...  Bn  Е . Др. словами, появление хотя бы одного из
событий полной группы есть достоверное событие.
Частный случай. Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.
Полные группы попарно несовместимых событий – это такие группы событий B1 , B2 , ..., Bn , которые удовлетворяют условиям B1  B2  ...  Bn  Е , Bi  B j  N при всех i  j .
Пример. При бросании игральной кости события B1 , B2 , ..., Bn , состоящие в выпадении соответственно 1, 2, …, 6 очков, образуют полную группу попарно несовместимых событий.
Пример. Приобретены два лотерейных билета. Обязательно произойдет одно и только одно из
следующих событий: 1. выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй, 2. выигрыш не выпал на
первый билет и выпал на второй, 3. выигрыш выпал на оба билета, 4. выигрыш не выпал на оба билета.
Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.
События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не
является более возможным, чем другое.
Пример. Появление герба и появление решки при бросании монеты – равновозможные события,
т.к. предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндриче-
35
скую форму, и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.
Пример. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости – равновозможные события. Предполагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму
правильного многогранника, и наличие очков не оказывает влияния на выпадение любой грани.
Рассматривая определенный комплекс условий и определенную группу S событий, которые могут произойти при реализации этого комплекса условий, предполагают, что эта группа событий удовлетворяет двум условиям: 1) если группе S принадлежат события А и В, то ей принадлежат также и события A  B , A  B и A  B , 2) группе S принадлежат достоверное и невозможное события. Группу S событий, удовлетворяющих требованиям 1 и 2, называют полем событий.
Классическое определение вероятности события А
Если событие А подразделяется на m частных случаев, входящих в полную группу n попарно
m
несовместных и равновероятных событий, то вероятностью события называется число P A  .
n
Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности этого
события.
Пример. Если бросается монета, то возможны два равновероятных Результата: выпадение герба
и выпадение решки. Эти события несовместимы и образуют полную группу. Вероятность каждого из
1
этих событий равна .
2
Пример. При бросании игральной кости возможны 6 равновероятных исходов, образующих полную группу попарно несовместных событий: выпадение 1, 2. …, 6 очков. Вероятность каждого из этих
1
событий равна .
6
Пример. При бросании игральной кости событие А состоит в выпадении четного числа очков.
Это событие подразделяется на три частных случая: выпадение 2, 4, и 6 очков. Поэтому m  3 , n  6 и
3 1
искомая вероятность равна P A   .
6 2
В теории вероятностей принята следующая терминология. Каждое осуществление данного фиксированного комплекса условий называется испытанием, а полная группа попарно несовместных и
равновероятных событий, которые могут произойти при этом испытании, называется полной группой
возможных исходов испытания. Каждый из возможных результатов испытания называется элементарным исходом. Те из возможных исходов, на которые подразделяется событие А, называются исходами, благоприятствующими событию А. Др. словами, е элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими событию А.
В этих терминах классическое определение вероятности звучит так: вероятность P A события А равна отношению числа возможных исходов испытания, благоприятствующих событию А, к
числу всех возможных исходов испытания.
m
P A  , где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А, n – число всех возn
можных элементарных исходов испытания.
Свойства вероятностей:
1. Вероятность достоверного события равна единице.
Если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В
m n
этом случае m  n , следовательно, P A    1 .
n n
2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует собыm 0
тию. В этом случае m  0 , следовательно, P A    0 .
n n
3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и
единицей.
Случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания.
36
m
 1 , следовательно, 0  P A  1 .
n
Вероятность любого события удовлетворяет неравенству 0  P A  1 .
4. Если событие А влечет за собой событие В, то P A  PB  .
Если событие А влечет за собой событие В, то число исходов, благоприятствующих событию В, не
меньше числа исходов, благоприятствующих событию А.
В этом случае 0  m  n , значит, 0 
Элементы комбинаторики
При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики.
Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономике и др. областях знания, т.к. в науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять
различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций.
Пример. Из группы теннисистов, в которую входит четыре человека – Иванов, Петров, Сидоров
и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора
такой пары?
Составим все пары, в которые входит Иванов. Получим три пары: ИП, ИС, ИФ.
Все пары, в которые входит Петров, но не входит Иванов: ПС, ПФ.
Все пары в которые входит Сидоров, но не входят Иванов и Петров: СФ.
Других вариантов составления пар нет, так как все пары в которые входит Федоров, уже составлены.
Значит, всего существует 6 вариантов выбора тренером пары теннисистов из данной группы.
При решении задачи мы воспользовались способом рассуждений, который называется перебором возможных вариантов.
Пример. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 5, используя в записи
числа каждую из них не более одного раза?
Выпишем все такие числа.
Пусть на первом месте стоит цифра 1. На втором месте может быть записана любая из цифр 2, 3,
5. Запишем, например, на втором месте цифру 2. Тогда в качестве третьей цифры можно взять 3 или 5.
Получим два числа 123 и 125. Если на втором месте записать цифру 3, то в качестве третьей цифры
можно взять цифру 2 или 5. Получим числа 132 и 135. Если на втором месте написать цифру 5, то получим числа 152 и 153. Мы составили все числа, которые начинаются с цифры 1, их всего 6:
123, 125, 132, 135, 152, 153.
Аналогичным способом можно составить числа, которые начинаются с цифры 2, с цифры, 3 и с
цифры 5. Запишем их в четыре строки, в каждой из которых шесть чисел:
123, 125, 132, 135, 152, 153
213, 215, 231, 235, 251, 253
312, 315, 321, 325, 351, 352
512, 513, 521, 523, 531, 532
Таким образом, из цифр 1, 2, 3, 5 (без повторения цифр) можно составить 24 трехзначных числа.
Проведенный перебор вариантов можно изобразить с помощью схемы, которую называют деревом возможных вариантов.
Полученный ответ можно получить, не выписывая сами числа. Первую цифру можно четырьмя
способами. Так как после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать уже
тремя способами. Третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Значит, общее
число искомых трехзначных чисел равно произведению 4  3  2 , т.е. 24.
Комбинаторное правило умножения. Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за
другим некоторые k элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, после чего второй
элемент можно выбрать из оставшихся элементов n 2 способами, затем третий элемент – n3 способами и
т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению
n1  n 2  n3  ...  n k .
Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки.
Пример. Пусть имеется три книги a, b, c . Эти книги можно расставить на полке по-разному.
Если первой поставить книгу a , то возможны такие расположения книг: a, b, c , a, c, b .
37
Если первой поставить книгу b , то возможны такие расположения книг: b, a, c , b, c, a .
Если первой поставить книгу c , то возможны такие расположения книг: c, a, b , c, b, a .
Каждое из этих расположений называется перестановкой из трех элементов.
Перестановками из n элементов называются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.
Число перестановок из n элементов обозначают символом Pn (читается « P из n»).
Число всех возможных перестановок Pn  n! , где n!  1  2  3  ...  n .
По определению, считают, что 1!=1 и 0!=1.
В примере: P3  3  2  1  6 .
Пример. Сколькими способами могут быть расставлены пять студентов на пяти беговых дорожках?
Число способов равно числу перестановок из 5 элементов. P5  5!  1  2  3  4  5  120
Размещениями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые различаются либо составом элементов, либо их порядком.
Число размещений из n элементов по m обозначают Anm (читается « A из n по m »).
Число всех возможных размещений Anm  nn  1n  2  ...  n  m  1 .
Пример. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?
A62  6  6  2  1  6  5  30
Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов,
которые отличаются хотя бы одним элементом.
Число сочетаний из n элементов по m обозначают С nm (читается « С из n по m »).
n!
Число сочетаний С nm 
.
m!n  m !
Пример. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?
10!
10!
1  2  ...  10
9  10 9  5
2
С10





 45
2!10  2! 2!8! 1  2  ...  8  1  2
2
1
Числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством: Anm  Pm  C nm
Пример. Из 15 студентов группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сде15! 13  14  15 13  7  5
3
лать этот выбор? С15



 455
3!12!
1 2  3
1
При решении задач комбинаторики используют следующие правила.
Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m  n
способами.
Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами
и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов  A, B  в указанном порядке может быть выбрана m  n способами.
Теорема сложения вероятностей
Суммой A  B двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.
Пример. Если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то A  B – попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих
выстрелах.
Если два события несовместные, то A  B – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.
Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из
этих событий.
Пример. Событие A  B  С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А
и С, В и С, А и В и С.
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого,
равна сумме вероятностей этих событий: P A  B   P A  PB  .
38
Док-во: Пусть п – общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 – число исходов, благоприятствующих событию А; m 2 – число исходов, благоприятствующих событию В.
Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события
m  m2 m1 m2
В, равно m1  m 2 . Следовательно, P A  B   1
.


n
n
n
m
m
Так как 1  P A и 2  PB  , то P A  B   P A  PB  .
n
n
Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
P A1  A2  ...  An   P A1   P A2   ...  P An  .
Пример. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного
шара.
Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.
10 1
Вероятность появления красного шара (событие А) P A 
 .
30 3
5 1
Вероятность появления синего шара (событие В) PB  
 .
30 6
События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого
цвета), поэтому теорема сложения применима.
1 1 1
Искомая вероятность P A  B   P A  PB     .
3 6 2
Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на три области. Вероятность попадания в
первую область равна 0,45, во вторую – 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле
попадет либо в первую, либо во вторую область.
События А стрелок попал в первую область и В – стрелок попал во вторую область – несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима.
Искомая вероятность P A  B   P A  PB   0,45  0,35  0,8 .
Полная группа событий
Теорема. Сумма вероятностей событий A1 , A2 , ..., An , образующих полную группу, равна единице: P A1   P A2   ...  P An   1 .
Док-во: Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то P A1  A2  ...  An   1 .
Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения:
P A1  A2  ...  An   P A1   P A2   ...  P An  .
Левые части равенств равны, значит, равны и их правые части. P A1   P A2   ...  P An   1 .
Пример. Консультационный пункт института получает пакеты с работами ЕГЭ из городов А, В и
С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В – 0,2. Найти вероятность того, что
очередной пакет будет получен из города С.
События – пакет получен из города А, пакет получен из города В, пакет получен из города С –
образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице: 0,7  0,2  p  1.
отсюда искомая вероятность p  1  0,9  0,1 .
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, другое принятии обозначать А .
Пример. Попадание и промах при выстреле по цели противоположные события. Если А – попадание, то А – промах.
Пример. Из ящика наудачу взята деталь. События – появилась стандартная деталь и появилась
нестандартная деталь – противоположные.
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: P A  P A  1 .
Док-во: Противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий,
образующих полную группу, равна единице.
Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через p, то вероятность

39
другого события обозначают через q. В силу теоремы о сумме вероятностей противоположных событий
p  q  1.
Пример. Вероятность того, что день будет дождливым, p  0,7 . Найти вероятность того, что
день будет ясным.
События – день дождливый и день ясный – противоположные, поэтому искомая вероятность
q  1  p  1  0,7  0,3 .
При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно вычислить вероятность
события А , а затем найти искомую вероятность по формуле: P A 1  P A .
Пример. В ящике имеется 10 деталей, из которых 4 стандартных. Найти вероятность того, что
среди 3 наудачу извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная.
События – среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная, и среди извлеченных деталей нет ни одной стандартной – противоположные. Обозначим первое событие через А, а второе – через А . P A 1  P A .

Найдем

P A . Общее число способов, которыми можно извлечь k деталей из п деталей, равно
С nk . Число нестандартных деталей равно n  m ; из этого числа деталей можно С nkm способами извлечь
k нестандартных деталей. Поэтому вероятность того, что среди извлеченных k деталей нет ни одной
Сk
Ck
стандартной, равна P A  n km . Искомая вероятность P A  1  P A  1  nkm .
Cn
Cn


Принцип практической невозможности маловероятных событий
При решении практических задач приходится иметь дело с событиями, вероятность которых
весьма мала, т.е. близка к нулю. Однако, считать, что маловероятное событие А в единичном испытании
не произойдет, нельзя, так как не исключено, хотя и мало вероятно, сто событие А наступит.
Появление или непоявление маловероятного события в единичном испытании предсказать невозможно. Длительный опыт показывает, что маловероятное событие в единичном испытании в подавляющем большинстве случаев не наступает.
Принцип практической невозможности маловероятных событий: если случайное событие имеет
очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не
наступит.
Достаточно малую вероятность, при которой (в данной определенной задаче) событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике обычно применяют уровни значимости, заключенные между 0,01 и 0,05. Уровень значимости, равный 0,01, называют однопроцентным, уровень значимости, равный 0,02, называют двухпроцентным, и т.д.
Если случайное событие имеет вероятность, очень близкую к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит.
Теорема умножения вероятностей
Произведением двух событий А и В называют событие A  B , состоящее в совместном появлении
(совмещении) этих событий.
Пример. Если А – деталь годная, В – деталь окрашенная, то A  B – годна и окрашена.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех
этих событий.
Пример. Если А, В, С – появление герба соответственно в первом, втором и третьем бросании монеты, то A  B  С – выпадение герба во всех трех испытаниях.
Условная вероятность
Случайное событие – событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений,
кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если налагаются и другие
дополнительные условия, то вероятность события называют условной.
Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло
событие А.
Условной вероятностью PA B  называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.
40
Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению,
P  АB 
равна PA B  =
, где P  А  0 .
P  A
Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности
одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие
уже наступило: P АB   P A PA B  .
P  AB 
Доказательство. По определению условной вероятности, PA B  
.
P  A
Отсюда P АB   P A PA B  . (*)
Замечание. Применив формулу (*) к событию ВА, получим PBA  PB  PB  A , или, поскольку
событие ВА не отличается от события АВ, P AB   PB  PB  A .
(**)
Сравнивая формулы (*) и (**), заключаем о справедливости равенства
P A PA B   PB  PB  A
(***)
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:
P A1 A2 A3 ...An   P A1  PA  A2 PA A  A3  ... PA A ... A  An  ,
где PA
A ... A
 An  т
– вероятность события P  An  , вычисленная в предположении, что события
A1 , A2 ,..., An 1 наступили. В частности, для трех событий P ABC   P A PA B  PAB C  .
Порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т.е. безразлично какое
событие считать первым, вторым и т.д.
Независимые события. Теорема умножения для независимых событий
Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:
PА B  PB .
Подставим это соотношение в равенство P A PA B  PB PB  A , получим P A PB  PB PB  A .
Отсюда следует, что PВ  A  P A , т.е. условная вероятность события А в предположении, что наступило событие В, равно его безусловной вероятности. Др. словами, событие А не зависит от события В.
Таким образом, если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В.
Это означает, что свойство независимости событий взаимно.
Для независимых событий теорема умножения вероятностей имеет вид P AB  P A PB , т.е.
если события А и В независимы, то вероятность одновременного их наступления равна произведению их
вероятностей.
Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий, в противном случае события называют зависимыми.
Пример. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В) – 0,7.
События А и В независимые, поэтому по теореме умножения, искомая вероятность
P AB  P A PB  0,7  0,8  0,56 .
Если события А и В независимы, то независимы также события А и B , A и В, A и B .
Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. например,
события А, В и С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.
Несколько событий называют независимыми в совокупности (просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.
Вероятность совместного появления нескольких событий , независимых в совокупности, равна
произведению вероятностей этих событий: P A1 A2 A3 ... An   P A1  P  A2  ... P  An  .
Независимость событий A1 , A2 ,..., An в совокупности влечет за собой попарную независимость
этих событий.
Если события A1 , A2 ,..., An независимы в совокупности, то и противоположные им события
41
A1 , A 2 ,..., A n также независимы в совокупности.
Пример. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.
Вероятность появления герба первой монеты (событие А) P  A 
1
. Вероятность появления герба
2
второй монеты (событие B) P B  
1
. События А и В независимые, поэтому искомая вероятность по
2
1 1 1
теореме умножения равна P AB   P A PB     .
2 2 4
Вероятность появления хотя бы одного события
Пусть в результате испытания могут появиться п событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них, причем вероятности появления каждого их них известны. Как найти вероятность того,
что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться
три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо
двух, либо трех событий.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий A1 , A2 ,..., An , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий
A1 , A 2 ,..., A n :
P А  1  q1q 2 ...q n .
Док-во. Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий A1 , A2 ,..., An .
События А и A1 A2 ...  An (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма


их вероятностей равна единице: P A  P A1 A 2 ... A n  1 .
Отсюда,
пользуясь
теоремой
умножения,
P A  1  P A1 A 2 ... A n  1  P A1 P A 2 ...P A n , или P А  1  q1q 2 ...q n .


    
получим
Частный случай. Если события A1 , A2 ,..., An имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероят-
ность появления хотя бы одного из этих событий P А  1  q n .
Пример. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в цель, равна 0,4. Сколько
выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один
раз?
Обозначим через А событие – при п выстрелах стрелок попадет в цель хотя бы один раз. События,
состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т.д. , независимы в совокупности, поэтому применима формула
P А  1  q n . По условию, P А  0,9 , p  0,4 , значит,
q  1  p  1  0,4  0,6 , получим 1  0,6 n  0,9 , отсюда 0,6 n  0,1 .
Прологарифмируем это неравенство по основанию 10: lg 0,6 n  lg 0,1; n lg 0,6  lg 0,1 .
Учитывая, что lg 0,6  0 , имеем n 
lg 0,1
1
1


 4,5 .
lg 0,6
1,7782
 0,2218
Получили n  4,5 , n  5 , т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.
Следствия теорем сложения и умножения.
Теорема сложения вероятностей совместных событий
Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления
другого в одном и том же испытании.
Пример. А – появление четырех очков при бросании игральной кости; В – появление четного числа очков. События А и В – совместные.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
P A  B  P A  PB  P AB .
Док-во: По условию, события А и В – совместны, то событие A  B наступит, если наступит одно
из трех несовместных событий: A B , AB или AB . По теореме сложения вероятностей несовместных
событий: P A  B   P AB  P AB  P AB  .
   
42
Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий A B или AB . По тео-
 
P AB   P A  P AB  . Аналогично имеем PB   PAB   P AB  . Отсюда PAB   PB   P AB  .
Подставив эти равенства в равенство P A  B   P AB   P AB   P AB  , получим
реме сложения вероятностей несовместных событий имеем:
P A  P A B  P AB  . Отсюда
P A  B  P A  PB  P AB .
При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как
независимыми, так и зависимыми.
Для независимых событий P A  B  P A  PB  P APB ,
для зависимых событий P A  B  P A  PB  P APA B .
Если события А и В несовместны, то их совмещение есть невозможное событие и P AB  0 .
Выведенная формула для несовместных событий принимает вид P A  B  P A  PB .
Получили теорему сложения для несовместных событий. Таким образом, формула справедлива как для
совместных, так и для несовместных событий.
Формула полной вероятности
Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B1 , B2 ,..., Bn , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A:
P A  P В1 PВ1  A  PB2 PB2  A  .......  PBn PBn  A . Формула полной вероятности.
 
Док-во: По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий:
B1 , B2 ,..., Bn . Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий B1 A, B2 A,..., Bn A . Пользуясь для вычисления вероятности события А
теоремой сложения, получим P A  PВ1 A  PB2 А  ...  PВn A .
Вычисляем каждое из слагаемых по теореме умножения вероятностей зависимых событий
PВ1 A  PB1 PB1  A , PВ2 A  PB2 PB2  A , …, PВn A  PBn PBn  A .
Подставим правые части этих равенств в первое соотношение, получим формулу полной вероятности P A  P В1 PВ1  A  PB2 PB2  A  .......  PBn PBn  A .
 
Пример. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна,
равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.
Событие А – извлеченная деталь стандартна. Деталь может быть извлечена из первого набора
(событие B1 ), либо из второго (событие B2 ).
Вероятность того, что деталь извлечена из первого набора PВ1  
1
.
2
1
Вероятность того, что деталь извлечена из второго набора PВ1   .
2
Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь,
PВ1  A  0,8 . Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь,
PВ 2  A  0,9 . Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь – стандартная, по формуле
полной вероятности равна P A  PВ1 PВ1  A  PB2 PB2  A  0,5  0,8  0,5  0,9  0,85 .
Вероятность гипотез. Формулы Бейеса
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий
B1 , B2 ,..., Bn , образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий
наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной
вероятности: P A  P В1 PВ1  A  PB2 PB2  A  .......  PBn PBn  A .
 
Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Определим,
43
как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами,
надо найти условные вероятности PА В1 , PА B2 ,..., PА Вn  .
 
 
PА В1 . По теореме умножения имеем
PB1 PB1  A
P AВ1   P APA B1   PB1 PB1  A . Отсюда PA B1  
. Заменив P A по формуле полP A
PB1 PB1  A
ной вероятности, получим PA B1  
. Аналогично вывоPB1 PB1  A  PB2 PB2  A  ...  PBn PBn  A
Найдем
сначала
условную
вероятность
дятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы Bi i  1, 2,..., n  может быть вычислена по формуле
PA Bi  
PBi PBi  A
. Полученные формулы называют форPB1 PB1  A  PB2 PB2  A  ...  PBn PBn  A
мулами Бейеса (по имени английского математика, который их вывел, опубликованы в 1794 г.) Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.
Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли и Пуассона
На практике часто встречаются ситуации, в которых многократно повторяются испытания, связанные с появлением интересующего нас случайного события. Например, многократное подбрасывание
монеты или игральной кости, физические измерения и т.д.
Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не
зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно
события А.
Какова вероятность того, что при п независимых испытаниях интересующее нас событие А произойдет ровно k раз и, следовательно, не произойдет п - k раз.

Пусть P А  p , P А  1  p  q , искомая вероятность Pn k  (символ означает вероятность того, что в п испытаниях событие появится ровно k раз и не наступит п – k раз).
Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления
события А одинакова и равна р, событие А наступит k раз, вычисляется по формуле Бернулли:
Pn k   C nk p k q n  k
или
Pn k  
n!
p k q nk .
k!n  k !
Пример. В семье пятеро детей. Найти вероятность того, что среди этих детей два мальчика, если
вероятности рождения мальчиков и девочек считать одинаковыми.
По условию вероятность рождения мальчика p  0,5 , тогда q  1  p  0,5 . По формуле Бернулли найдем искомую вероятность:
P5 2   C p q
2
5
2
54  1   1 
5

    
.
1 2  2   2 
16
2
5 2
3
Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит
установленной нормы, равна p  0,75 . Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.
Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и
равна p  0,75 . Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q  1  p  1  0,75  0,25 . Искомая вероятность по формуле Бернулли равна
P6 4  C p q
4
6
4
65  3  1 

       0,2966  0,30 .
1 2  4   4 
4
64
2
Если число испытаний п велико, а вероятность р появления события в каждом испытании мала
 p  0,1 , то пользуются приближенной формулой Пуассона (формула редких событий):
Pn k  
k e  
k!
, где   np , n   , p  0 .
44
Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути
изделие повредится, равна p  0,0002 . Найти вероятность того, что на базу прибудет три негодных изделия.
По условию n  5000 , p  0,0002 , k  3 . Найдем   np  5000  0,0002  1 . Искомую вероятность вычислим по формуле Пуассона P5000 3 
k  e  
k!

e 1
1

 0,06 .
3! 6e
Пример. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение 1
мин абонент позвонит на коммутатор, равна p  0,02 . Какое из двух событий вероятнее: в течение 1
мин позвонят 3 абонента; позвонят 4 абонента?
Найдем   np  100  0,02  2 . Искомую вероятность вычислим по формуле Пуассона
k  e  
2 3  e 2
23
4


 0,18 .
2
k!
3!
1  2  3e
3  2,7 2
k  e  2 4  e 2
24
2
P100 4 



 0,09 .
2
k!
4!
1 2  3  4  е
3  2,7 2
P100 3 

Литература:
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. М.
Высшая школа. Изд 7-е, 2001.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов вузов. 4-е издание. М.Высшая школа
3. Локоть Н.В. Математика для нематематиков. Учебное пособие для студентов-гуманитариев.
Мурманск, 1997.
4. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.
5. Турецкий В.Я. Математика и информатика. Екатеринбург, 1999.
Лекция 15. Случайные величины.
План.
1. Дискретные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия.
2. Законы распределений вероятностей непрерывной случайной величины.
3. Выборочный метод. Генеральная и выборочная совокупности. Статистические оценки параметров распределения.
Основные понятия:
Свойства вероятностей. Элементы комбинаторики.
Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Байеса.
Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли и Пуассона. Локальная и интегральная
теоремы Лапласа.
Дискретные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия. Законы распределений
вероятностей непрерывной случайной величины.
Случайные величины. Простейший поток событий
Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.
Примеры. Поступление звонков на АТС, на пункт скорой помощи, прибытие самолетов в аэропорт, последовательности отказов элементов и т.д.
Свойства потоков:
Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом
промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала
его отсчета; при этом различные промежутки времени предполагаются непересекающимися.
Пример. Вероятности появления k событий на промежутках времени 1; 7  , 10; 16 , T ; T  6
одинаковой длительности t = 6 ед. времени равны между собой.
Если поток обладает свойством стационарности, то вероятность появления k событий за
промежуток времени длительности t есть функция, зависящая только от k и t .
Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в момен-
45
ты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Т.е. предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем.
Если поток обладает свойством отсутствия последействия, то имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени.
Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно.
Если поток обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый промежуток времени
может появиться не более одного события.
Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.
Интенсивностью потока  называют среднее число событий, которые появляются в единицу
времени. Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой Пуассона

 t k  e   t
Pt k  
. Эта формула отражает все свойства простейшего потока, ее можно считать
k!
математической моделью простейшего потока событий.
Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятности того, что за 5 мин поступит: а) 2 вызова, б) менее двух вызовов, в) не менее двух вызовов. Поток
вызовов предполагается простейшим.
По условию   2 , t  5 , k  2 . Воспользуемся формулой Пуассона Pt k  
t k  e   t .
k!
а) Искомая вероятность того, что за 5 мин поступит 2 вызова
P5 2  
2  52  e 10
2!

100  0,000045
 0,00225 . Это событие практически невозможно.
2
б) События «не поступило ни одного вызова» и «поступил один вызов» несовместны, поэтому по
теореме сложения искомая вероятность того, что за 5 мин поступит менее двух вызовов, равна
P5 k  2  P5 0  P5 1  e 10 
10  e 10
 0,000495 . Это событие практически невозможно.
1!
б) События «поступило менее двух вызовов» и «поступило не менее двух вызовов» противоположны, поэтому искомая вероятность того, что за 5 мин поступит не менее двух вызовов, равна
P5 k  2  1  P5 k  2  1  0,000495  0,999505 . Это событие практически достоверно.
Числовые характеристики дискретных случайных величин
Числовыми характеристиками дискретных случайных величин являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины M  X  называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
M  X   x1 p1  x2 p2  ...  xn pn .
Если д.с.в. Х принимает счетное множество возможных значений, то M  X  

x p
i 1
i
i
, причем
математическое ожидание существует только в случае абсолютной сходимости ряда.
Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон ее распределения:
X
3
5
2
p
0,1
0,6
0,3
Искомое математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.
M  X   x1 p1  x2 p2  ...  xn pn  3  0,1  5  0,6  2  0,3  3,9 .
Пример 2. Найти математическое ожидание числа появления события А в одном испытании, если
вероятность события А равна p .
Случайная величина Х – число появления события А в одном испытании – может принимать
46
только два значения: x1  1 (событие А наступило) с вероятностью p и x2  0 (событие А не наступило) с вероятностью q  1  p . Искомое математическое ожидание M  X   1 p  0  q  p .
Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности
этого события.
Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний)
среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M С   С .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
M СХ   СM  Х  .
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M  ХY   M  Х M Y  .
4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M  Х  Y   M  Х   M Y  .
Пример 3. Независимые случайные величины Х и Y заданы следующими законами распределения:
X
p
5
0,6
2
0,1
4
0,3
Найти математическое ожидание случайной величины Х Y.
Найдем математические ожидания каждой из данных величин:
Y
p
7
0
,8
9
0
,2
M  X   5  0,6  2  0,1  4  0,3  4,4 M Y   7  0,8  9  0,9  7,4
Случайные величины Х и Y независимые, поэтому искомое математическое ожидание
M  ХY   M  Х M Y   4,4  7,4  32,56 .
Пример 4. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными p1  0,4 ,
p2  0,3 и p3  0,6 . Найти математическое ожидание общего числа попаданий.
Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина Х 1 , которая может принимать
только два значения: 1 (попадание) с вероятностью p1  0,4 и 0 (промах) с вероятностью
q  1  0,4  0,6 . Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности
попадания (пример 2) M  X 1   0,4 . При втором и третьем выстрелах: M  X 2   0,3 , M  X 3   0,6 .
Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из
трех выстрелов: Х  Х 1  Х 2  Х 3 . Искомое математическое ожидание находим по теореме о математическом ожидании суммы:
M  X   M  Х 1  X 2  X 3   M  Х 1   M  X 2   M  X 3   0,4  0,3  0,6  1,3 (попаданий).
Математическое ожидание M  X  числа появлений события А в п независимых испытаниях
равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:
M  X   np . Др. словами, математическое ожидание биномиального распределения с параметрами п и
p равно произведению np .
Пример 5. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия p  0,6 . Найти математическое
ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.
Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и искомое математическое ожидание M  X   np  10  0,6  6 (попаданий).
Литература:
6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. М.
Высшая школа. Изд 7-е, 2001.
7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов вузов. 4-е издание. М.Высшая школа
8. Локоть Н.В. Математика для нематематиков. Учебное пособие для студентов-гуманитариев.
Мурманск, 1997.
9. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.
47
10. Турецкий В.Я. Математика и информатика. Екатеринбург, 1999.
РАЗДЕЛ 4. Словарь терминов (глоссарий).
Линейная алгебра.
1. Алгебраическое дополнение элемента a ij – это его минор, взятый со знаком «+», если сумма
2.
3.
4.
5.
6.
7.
i  j – четное число, и со знаком «-», если эта сумма нечетная.
Вектор-столбец (вектор-строка) – матрица, содержащая один столбец или одну строку.
Вырожденная матрица – квадратная матрица, определитель которой равен нулю.
Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали
равны нулю.
Единичная матрица – диагональная матрица с единицами на главной диагонали.
Квадратная матрица п-го порядка – это матрица размера n  n .
Коэффициенты системы – числа a ij , i  1,2,...,m , j  1,2,...,n .
8. Матрица. Матрицей А размера m n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или других математических выражений a ij (называемых элементами
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
матрицы), где i  1,2,...,m , j  1,2,...,n .
Матричное уравнение – краткая запись системы уравнений, эквивалентных одному уравнению,
составленному из матриц. Решение матричного уравнения AX = B есть X  A 1 B , где A – матрица системы; X, B – матрицы-столбцы, составленные из неизвестных и свободных членов соответственно; A 1 – матрица, обратная A.
Метод Гаусса – метод приведения к треугольному виду определителя (при его вычислении) или
расширенной матрицы системы (путём эквивалентных её преобразований при решении системы
линейных уравнений).
Минор элемента определителя – определитель младшего порядка, получаемый из данного определителя в результате вычеркивания строки и столбца, содержащих данный элемент (на пересечении которых стоит данный элемент).
Невырожденная матрица – квадратная матрица, определитель которой не равен нулю.
Неопределенная система – система, имеющая более одного решения.
Несовместная система – система, не имеющая ни одного решения.
Нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны нулю.
Обратная матрица – матрица A 1 , такая что A  A 1  A 1  A  E , где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А.
Однородная система – система, в которой b1  b2  ...  bm  0 .
Определенная система – система, имеющая только одно решение.
a a
Определитель второго порядка задается равенством 11 12 .
a 21 a 22
a11 a12 a13
20. Определитель третьего порядка задается равенством a 21 a 22 a 23 .
a 31 a 32 a 33
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
21. Основная матрица системы – A  
.
 


a

 m1 a m 2 ... a mn 
22. Ранг матрицы – наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.
 a11 a12 ... a1n b1 


 a 21 a 22 ... a 2 n b2 
23. Расширенная матрицы системы – матрица системы A  
, дополнен 


a

 m1 a m 2 ... a mn bm 
ная столбцом свободных членов.
48
24. Свободные члены системы – числа b1 ,...,bm .
а11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1

a x  a 22 x 2  ...  a 2 n x n  b2
25. Система линейных алгебраических уравнений – система вида  21 1
.
..............................................
a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
26. Совместная система – система, имеющая хотя бы одно решение.
27. Ступенчатая матрица – матрица, у которой крайний элемент каждой строки находится правее
крайнего элемента предыдущей строки.
28. Транспонированная матрица – матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером.
29. Треугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну
сторону от главной диагонали, равны нулю.
30. Эквивалентные системы – две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных, множества решений которых совпадают.
Векторная алгебра.
1. Вектор – направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и
определенное направление.
2. Векторное произведение неколлинеарных векторов а и b – вектор с , такой что 1) вектор с
перпендикулярен векторам а и b , т.е. с  а , с  b ; 2) длина вектора с равна площади парал-
лелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах, т.е. с  а  b  sin  ; 3) векторы
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
а , b и с образуют правую тройку.
Векторно-скалярное (смешанное) произведение трех векторов а , b и с – число, равное скалярному произведению вектора на вектор а  b на вектор с .
Векторные величины – величины, которые определяются не только своим числовым значением,
но и направлением.
Длина (модуль) вектора АВ – длина отрезка АВ.
Единичный вектор е – вектор, длина которого равна единице.
Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.
Компланарные векторы – три вектора в пространстве, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Координаты вектора – числа a x , a y , a z , проекции вектора на соответствующие координатные
оси.
10. Ортогональные векторы – два вектора, скалярное произведение которых равно нулю.
11. Правила сложения – правило треугольника (трех точек), правило параллелограмма, правило
многоугольника.
12. Проекция вектора АВ на ось l – положительное число А1 В1 , если вектор А1 В1 и ось l одинаково направлены и отрицательное число  А1 В1 , если вектор А1 В1 и ось l противоположно
направлены.
13. Проекция точки М на ось l – основание M 1 перпендикуляра MM 1 , опущенного из точки на ось.
14. Произведение вектора а  0 на число   0 – вектор, который имеет длину   а , его направ-
15.
16.
17.
18.
19.
ление совпадает с направлением вектора а , если   0 и имеет противоположное направление,
если   0 .
Равные векторы – коллинеарные векторы, которые одинаково направлены и имеют одинаковые
длины.
Радиус-вектор точки М – вектор, соединяющий начало координат с точкой М пространства.
Разность векторов а и b – вектор с , такой что b  с  а .
Скалярное произведение двух ненулевых векторов – число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Скалярные величины – величины, которые полностью определяются своим численным значени-
49
ем.
20. Сумма двух векторов а и b – вектор с , соединяющий начало вектора а с концом вектора b ,
отложенного от конца вектора а .
21. Формула разложения вектора по ортам координатных осей – а  a x  i  a y  j  a z  k .
Аналитическая геометрия.
1. Аналитическая геометрия — раздел геометрии, в котором геометрические образы (прямые,
плоскости, линии и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры на основе
метода координат. В аналитической геометрии используют два основных приема: первый – зная
свойства геометрического образа, находят уравнение (уравнения), связывающее координаты
множества точек этого образа; второй – зная уравнение (уравнения), связывающее координаты
точек геометрического образа, исследуют свойства последнего и делают геометрическое построение.
2. Гипербола – множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная,
меньшая, чем расстояние между фокусами.
3. Декартовы координаты точки M (x,y,z) равны: x – величина ортогональной проекции вектора
OM на ось абсцисс, y, z – соответственно на оси ординат и аппликат.
4. Координатная плоскость – плоскость, в которой расположена система координат.
5. Координаты – числа, взятые в определённом порядке и характеризующие положение точки на
линии, на плоскости, на поверхности или в пространстве.
6. Координаты точки М в системе координат Оху – координаты радиус-вектора ОМ .
7. Кривые второго порядка – линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат Ax 2  2Bxy  Cy 2  2Dx  2Ey  F  0 , где А, В и С – действительные числа и
по крайней мере одно их них отлично от нуля.
8. Окружность радиуса R с центром в точке M 0 – множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию M 0 M  R .
9. Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной
точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
10. Параллельный перенос осей координат – переход от системы координат Оху к новой системе
O1 x1 y1 , при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб
остаются неизменными.
11. Поворот осей координат – преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на
один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.
12. Полярная система координат на плоскости определяется выбором точки O (полюс), луча OA
(полярная ось, обычно горизонтальный луч), масштаба длины и положительного направления
поворотов вокруг точки O (обычно против часовой стрелки).
13. Полярные координаты точки М – числа r (расстояние от полюса О до точки М) и  (угол, образованный отрезком ОМ с полярной осью) – М ( r ;  ) . r – полярный радиус,  – полярный угол.
14. Преобразование системы координат – переход от одной системы координат в какую-либо другую.
15. Прямоугольная (декартова) система координат – прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве, в которой масштабы по осям координат равны, задается двумя (тремя)
взаимно перпендикулярными прямыми, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный отрезок. Если нет специальных оговорок, решаются задачи и строятся
графики функций в декартовой прямоугольной системе координат; например, в пространстве
Oxyz оси координат Ox, Oy, Oz – оси абсцисс, ординат, аппликат соответственно.
16. Равносторонняя гипербола – гипербола, у которой полуоси равны ( a  b ).
17. Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.
18. Система координат на плоскости – способ, позволяющий численно описать положение точки
плоскости.
19. Угол между прямой и плоскостью – любой их двух смежных углов, образованных прямой и ее
проекцией на плоскость.
20. Угол между прямыми в плоскости – наименьший (острый) из двух смежных углов, образованных этими прямыми.
50
21. Уравнение линии (или кривой) на плоскости Оху – уравнение F x; y   0 с двумя переменными,
которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты
любой точки, не лежащей на этой линии.
22. Уравнение поверхности в прямоугольной системе координат Охуz – уравнение F x; y ; z   0 с
тремя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.
23. Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Дифференциальное исчисление.
1. Бесконечно большая последовательность. Последовательность x n  называется положительной
бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа M найдется такой номер
N , что для всех n , начиная с этого номера, выполняется неравенство x n  M . Последовательность x n  называется отрицательной бесконечно большой, если для любого сколь угодно
большого по модулю отрицательного числа M найдется такой номер N , что для всех n , начиная с этого номера, выполняется неравенство x n  M . Обозначается: б. б. x n  .
2. Бесконечно малая последовательность. Последовательность a n  называется бесконечно малой,
если для любого сколь угодно малого положительного числа  можно подобрать такой номер
N , что, начиная с этого (т.е. для всех n  N ), будет выполнено неравенство a n   . Обознача3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
ется: б. м. a n  .
Возрастающая последовательность – последовательность x n  , если n : x n  x n 1 , т.е.
x1  x 2  ...  x n  x n 1  ... .
Возрастающая функция f  x  на множестве X  D f  – если для любых значений x1 , x 2  X
таких, что x1  x 2 , справедливо неравенство f x1   f x 2  .
График функции f  x  и – множество всех точек плоскости с координатами  x ; f  x  , где
x  D f  .
Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций, исследуются функции и решаются прикладные задачи (например, задачи
на экстремум).
Дифференцирование – операции нахождения производных (частных производных) функций и их
дифференциалов.
Дифференцируемая функция – функция одного или нескольких переменных называется дифференцируемой в некоторой точке, если в данной точке существует дифференциал этой функции.
Для дифференцируемости функции необходимо и достаточно существование конечной производной для функции одной переменной или чтобы существовали в этой точке непрерывные
частные производные для функции нескольких переменных.
Монотонная последовательность – неубывающая или невозрастающая последовательность.
Невозрастающая последовательность – последовательность x n  , если n : x n  x n 1 , т.е.
x1  x 2  ...  x n  x n 1  ...
Неограниченная последовательность – последовательность x n  , если для любого M  0
найдется такой ее член x n , что x n  M .
12. Непрерывная на промежутке функция. Функция f  x  называется непрерывной на данном промежутке (интервале, полуинтервале, отрезке), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. При этом если функция определена в конце промежутка, то под непрерывностью в
этой точке понимается непрерывность справа или слева.
13. Непрерывная функция – функция, получающая бесконечно малые приращения при бесконечно
малых приращениях аргумента (графически представима сплошной линией). Основные элементарные функции непрерывны на множестве их задания.
14. Непрерывность функции в точке. Функция f  x  называется непрерывной в точке x 0 , если она
определена в некоторой окрестности этой точки и lim f x   f x 0  . Или: Функция f  x  называx  x0
51
ется непрерывной в точке x 0 , если она определена в некоторой окрестности этой точки и
lim y  0 , где x  x  x 0 (приращение аргумента), y  f x   f x 0  (приращение функции,
x 0
15.
16.
17.
18.
19.
20.
соответствующее приращению аргумента x ).
Неубывающая последовательность – последовательность x n  , если n : x n  x n 1 , т.е.
x1  x 2  ...  x n  x n 1  ...
Нечетная функция – если выполняются два условия: 1) множество D  f  симметрично относительно нуля; 2) для любого x  D f  справедливо равенство f  x    f x  . График нечетной
функции симметричен относительно начала координат.
Область значений функции E  f  – множество значений функции (множество всех элементов,
которые функцией поставлены в соответствие элементам из её области определения).
Область определения функции D  f  – множество значений, принимаемых независимой переменной (аргументом).
Обратная функция  y  – если каждому значению y  E соответствует единственное значение
x  D , то определена функция x   y  с областью определения E и множеством значений D .
Ограниченная на множестве X  D f  функция y  f  x  – если существует такое число М  0 ,
что f x   M для всех x  X .
21. Ограниченная последовательность – последовательность ограниченная и сверху и снизу одновременно, т.е. последовательность x n  ограничена, если существует такое число M  0 , что для
всех п справедливо неравенство x n  M .
22. Ограниченная сверху последовательность – последовательность x n  , если существует такое
число М, что все члены последовательности меньше, чем М.
23. Ограниченная снизу последовательность – последовательность x n  , если существует такое
число М, что все члены последовательности больше, чем М.
24. Односторонний предел – предел функции в некоторой точке справа или слева от неё.
25. Окрестностью точки x 0 называется любой интервал с центром в точке x 0 .
26. Периодическая функция – если существует такое число T  0 , что для любого x  D f  справедливы условия: 1) x  T  D f  , x  T  D f  ; 2) f x  T   f x  T   f x  . Число T – период
функции f  x  .
27. Последовательность – функция, определённая на множестве натуральных чисел N. Множество
значений функции может состоять из элементов любой природы (числа, функции, векторы и
т.д.), занумерованных натуральными числами 1, 2, 3, ..., n, .... Последовательность записывается
в виде x n  или x1 , x 2 ,...,x n ,..., элементы x i называют членами последовательности.
28. Последовательность расходится, если она не имеет предела.
29. Последовательность сходится (или стремится) к числу a , если последовательность x n  имеет
своим пределом число a . Обозначается: lim x n  a или x n  a (при n   ).
n 
30. Постоянная последовательность – последовательность, все члены которой равны одному и тому же числу x1  x 2  ...  x n  ... .
31. Предел – одно из основных понятий математики, означающее, что некоторая переменная в процессе её изменения неограниченно приближается к какому-то постоянному значению. Через
предел определяются такие понятия математического анализа, как непрерывность, производная,
интеграл.
32. Предел последовательности. Число a называется пределом последовательности x n  , если последовательность a n   x n  a является бесконечно малой. Т.е. число a называется пределом
последовательности x n  , если для любого положительного числа  можно подобрать такой
номер N (как правило, зависящий от  ), что, начиная с этого (т.е. для всех n  N ), будет выполнено неравенство x n  a   .
33. Предел функции (по Гейне – «на языке последовательностей»). Пусть функция f  x  определена
в некоторой окрестности точки x 0 кроме, быть может, самой точки x 0 . Число А называется пре-
52
делом функции y  f  x  в точке x 0 , если для любой последовательности x n  , сходящейся к x 0
( x n  x 0 n ), последовательность  f  x n  соответствующих значений функций сходится к А.
Обозначается: lim f x   A или f x   A (при x  x 0 ).
x  x0
34. Предел функции (по Коши – «на языке    » (эпсилон-дельта)). Пусть функция f  x  определена в некоторой окрестности точки x 0 кроме, быть может, самой точки x 0 . Число А называется
пределом функции y  f  x  в точке x 0 , если для любого сколь угодно малого числа   0
найдется такое число   0 (зависящее от  ), что для всех x таких, что x  x0   , x  x 0 , выполняется неравенство f x   A   .
35. Предел функции на бесконечности. Пусть функция f  x  определена на бесконечном промежутке a ;    . Число А называется пределом функции f  x  при x   , если для любой положительной бесконечно большой последовательности x n  (т.е. x n   , n   ) последовательность  f  x n  соответствующих значений функций сходится к А. Обозначается: lim f x   A .
x 
На языке    : Число А называется пределом функции f  x  при x   , если для любого числа   0 найдется такое число M  0 , что для всех значений x  M выполняется неравенство
f x   A   . Аналогично определяется предел функции f  x  при x   . Обозначается:
lim f x   A .
x 
36. Производная – основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость
изменения функции y  f  x  при изменении аргумента x. Пусть функция y  f  x  определена в
некоторой окрестности точки x 0 . Предел отношения приращения y функции в этой точке (если он существует) к приращению x аргумента, когда x  0 , называется производной функdf x 0 
ции f  x  в точке x 0 . Обозначения производной: f ' x 0  или y' x 0  или
или f ' x  x . Та0
dx
f x0  x   f x0 
y
ким образом, f ' x0   lim
. Численно производная равна угловому
 lim
x 0 x
x 0
x
коэффициенту касательной, проведённой к кривой в данной точке (тангенсу угла наклона касательной к оси Ox). Если существует производная функции f '  x  , её называют второй производ-
37.
38.
39.
40.
ной и пишут: f ' ' x  . Аналогично определяется производная любого (целого) порядка n: f n  x  .
Производная f '  x  называется первой производной или производной первого порядка, вторая,
третья производная и т.д. – производными высших порядков. Вычисление производной называется дифференцированием функции.
Рекуррентная формула – формула, позволяющая выразить п-ный член последовательности через
предыдущие члены.
Сложная функция или композиция функций f и g – функция z  g  f x  , x  D f  , причем
область значений функции y  f  x  содержится в области определения функции g  y  .
Строго монотонная последовательность – убывающая или возрастающая последовательность.
Точки разрыва второго рода. Если в точке x 0 не существует хотя бы один из односторонних
пределов lim f  x  или lim f  x  , то x 0 называется точкой разрыва второго рода.
x  x0  0
x  x0  0
41. Точки разрыва первого рода. Если в точке x 0 существуют конечные односторонние пределы
lim f  x  и lim f  x  , но они не равны между собой, или же односторонние пределы равны
x  x0  0
x  x0  0
между собой, а значение функции в этой точке не совпадает с односторонними пределами, то x 0
называется точкой разрыва первого рода. Если в точке x 0 существует конечный предел
lim f x  , а f  x 0  не определено или если в точке x 0 существуют конечные односторонние преx  x0
делы lim f  x   f  x 0  , то эта точка называется точкой устранимого разрыва. Точки разрыва
x  x0
первого рода функции f  x  , не являющиеся точками устранимого разрыва, называются точка-
53
ми скачка этой функции. Если x 0 – точка скачка функции f  x  , то разность
f x 0   lim f x   lim f x  не равна нулю и называется скачком функции f  x  в точке x 0 .
x  x0  0
x  x0  0
42. Точки разрыва функции. Функцию f  x  , определённую в некоторой окрестности точки x 0 ,
называют разрывной в этой точке, если она не является непрерывной в этой точке. Различают
точки разрыва первого рода.
43. Убывающая последовательность – последовательность x n  , если n : x n  x n 1 , т.е.
x1  x 2  ...  x n  x n 1  ....
44. Убывающая функция f  x  на множестве X  D f  – если для любых значений x1 , x 2  X таких, что x1  x 2 , справедливо неравенство f x1   f x 2  .
45. Функция – соответствие f , которое каждому элементу x  X сопоставляет один и только один
элемент y  Y , где X и Y – непустые множества. y  f  x  , x  X или f : X  Y . Функция f
отображает множество X на множество Y .
46. Функция общего вида – функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной.
47. Четная функция – если выполняются два условия: 1) множество D  f  симметрично относительно нуля; 2) для любого x  D f  справедливо равенство f  x   f x  . График четной
функции симметричен относительно оси ординат.
48. Числовая последовательность – последовательность, членами которой являются числа.
49. Элементарные функции – класс функций, состоящий из основных элементарных функций (многочлен, рациональная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические), гиперболических, обратных гиперболических функций, а также
функций, получающихся из перечисленных с помощью четырёх арифметических действий и суперпозиций, применяемых конечное число раз. Данные функции непрерывны всюду, где определены.
Интегральное исчисление.
1. Интегральная сумма. Пусть функция y  f  x  определена на отрезке a ; b  и на этом отрезке
произвольно выбраны точки x 0 , x1 ,..., x n , так что a  x 0  x1  ...  x n  b – выбрано разбиение
этого отрезка на п частей. В каждом интервале  x i 1 ; x i  произвольным образом выбрана точка
c i , i  1, 2, ... , n . Сумма вида S n 
n
 f c x , где
i
i
xi  xi  xi 1 , называется интегральной сум-
i 1
мой функции f  x  на отрезке a ; b  .
2. Интегральное исчисление – раздел математики, в котором исследуют функции на основании
связи между первообразной искомой функции и интегралом от неё, изучаются интегралы различного вида, их свойства, способы вычисления, а также приложения этих интегралов к различным задачам естествознания и человеческой деятельности.
3. Интегрирование – вычисление определённых и неопределённых интегралов, а также иных видов
интегралов – кратных, криволинейных и т.п. Интегрирование – операция, обратная операции
дифференцирования (т.е. операции, заключающейся в нахождении производной от данной
функции). У всякой непрерывной на данном интервале функции существует неопределенный
интеграл.
4. Интегрируемая функция. Если функция f  x  непрерывна на отрезке a ; b  , то предел
b

a
f x  dx 
n
lim
 f c x
n 
max xi 0 i 1
i
i
i
существует и не зависит от способа разбиения отрезка a ; b  и от
выбора точек c i (теорема существования определенного интеграла). Функция f  x  в этом случае называется интегрируемой на отрезке a ; b  . Если функция f  x  ограничена на отрезке
a ; b  и непрерывна в нем, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.
5. Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная графиком функции y  f  x  , неотрицательной
и непрерывной на отрезке a ; b  , отрезком a ; b  оси абсцисс и перпендикулярами, проведёнными к оси Ox в точках a и b, т.е. прямыми x  a и x  b .
54
6. Метод интегрирования по частям (метод стрелок). Пусть производные функций u x  и v  x 
существуют и непрерывны на заданном интервале. Тогда имеет место равенство
 uv ' dx  uv   vu ' dx .
7. Метод непосредственного интегрирования. Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным
интегралам, называется непосредственным интегрированием.
8. Метод подстановки (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл
 f x  ' xdx , при этом функции
'  x  и f  x  непрерывны на заданном интервале. Тогда
этот интеграл можно упростить с помощью подстановки t  x  , используя равенство
 f x  ' xdx   f t  dt .
9. Неопределенный интеграл. Совокупность всех первообразных для функции f  x  называется не-
 f x dx . Если F x  – какая-нибудь
 f x dx  F x  C . Знак  называется интегралом,
определенным интегралом от функции f  x  . Обозначается:
первообразная для функции f  x  , то
функция f  x  – подынтегральной функцией, а f x  dx – подынтегральным выражением.
10. Определенный интеграл. Определенным интегралом от функции f  x  на отрезке a ; b  называется предел интегральных сумм S n при условии, что длина наибольшего частичного отрезка x i
b
стремится к нулю:

a
f x  dx 
n
lim
 f c x . Числа a
n 
max xi 0 i 1
i
i
и b называются соответственно ниж-
i
ним и верхним пределами интегрирования, f  x  – подынтегральной функцией, f x  dx –
подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, отрезок a ; b  – областью
(отрезком) интегрирования.
11. Первообразная. Пусть функция f  x  определена на некотором (конечном или бесконечном) интервале a , b  . Тогда функция F  x  называется первообразной для функции f  x  на интервале
a , b  , если F' x   f x  для всех x  a , b  . Если F x  – первообразная для функции f x  , то
функция F x   С , где С – некоторая постоянная, также первообразная для функции f  x  . Если
F  x  и G  x  – две первообразные для функции f  x  , то они отличаются на некоторую постоянную, т.е. существует такое число С  R , что F x   G x   C . Если функция f  x  непрерывна на
данном интервале, то у нее существует первообразная на этом интервале.
12. Формула Ньютона-Лейбница.  f x  dx  F x  a  F b   F a  .
b
b
a
Дифференциальные уравнения.
1. Дифференциальное уравнение – уравнение, содержащее искомую функцию одного переменного,
её производные различных порядков и независимую переменную. Порядок уравнения определяется старшим порядком производной функции, входящей в это уравнение.
2. Задача Коши – дифференциальное уравнение вместе с начальными условиями; задача состоит в
отыскании решения (интеграла), удовлетворяющего начальным условиям.
3. Линейное дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде y'  px   y  g x  , где p  x  и g  x  – заданные
функции, в частности – постоянные.
4. Начальные условия для дифференциального уравнения – дополнительные условия, налагаемые
на решение уравнения, отнесённые к одному и тому же значению аргумента. Условие, что при
x  x 0 функция y должна быть равна заданному числу y 0 , т.е. y  y 0 называется начальным
условием. y x 0   y 0 или y x  x  y 0 .
0
5. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение – уравнение, у которого отличен от нуля
свободный член (не содержащий искомую функцию или её производные).
55
6. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция
y   x; c  , содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям: 1) функция  x; c  является решением ДУ при каждом фиксированном значении с, 2) каково бы ни было начальное условие y x 0   y 0 , можно найти такое значение постоянной с  с 0 , что функция
y   x; c  удовлетворяет данному начальному условию.
7. Обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) называют ДУ, если искомая (неизвестная)
функция зависит от одной переменной, в противном случае – ДУ в частных производных.
8. Однородная функция п-го порядка. Функция f  x ; y  называется однородной функцией п-го порядка (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель 
вся функция умножится на n , т.е. f   x;   y   n  f x; y  .
9. Однородное дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение y'  f x; y  называется однородным, если функция f  x ; y  есть однородная функция нулевого порядка.
10. Порядок дифференциального уравнения – наивысший из порядков производных, входящих в
уравнение.
11. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
12. Уравнение Бернулли. Уравнение вида y'  px   y  g x   y n , где n  R , n  0, n  1 называется
уравнением Бернулли.
13. Частная производная – понятие дифференциального исчисления, характеризующее локальную
скорость изменения функции нескольких переменных при изменении лишь одного аргумента.
Находится частная производная по рассматриваемому аргументу по обычным правилам в предположении, что остальные аргументы фиксированы, выступают в роли констант.
14. Частное решение обыкновенного дифференциального уравнения – решение, полученное из общего решения уравнения (общего интеграла) при некотором наборе входящих в него постоянных (обычно определяются начальными условиями).
Ряды.

1. Знакопеременный ряд – числовой ряд
u
n
, содержащий бесконечное множество положитель-
n 1
ных и бесконечное множество отрицательных членов.
2. Знакочередующийся ряд – ряд вида u1  u 2  u 3  u 4  ...   1
n 1
u n  ... 

  1
n 1
u n , где
n 1
u n  0 для всех n  N , т.е. ряд, члены которого строго попеременно положительны и отрицательны.
3. Интервал сходимости степенного ряда – интервал  x0 ; x0  , во всех внутренних точках кото-
рого ряд сходится (абсолютно), в точках вне интервала расходится, а в концевых точках ряд может сходиться или расходиться. Если x0  R , то интервал сходимости  R ; R  . Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т.е. R  0 – это такое число, что при всех х, для которых x  R , ряд абсолютно сходится, а при x  R ряд расходится..
4. Расходящиеся ряды. Если lim S n не существует или lim S n   , ряд
n 
n 

u
n
 u1  u 2  ...  u n  ...
n 1
называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

f ' 0 
f ' ' 0  2
f n  0  n
x
x  ... 
x – разложение функции f  x 
5. Ряд Маклорена: f x   f 0 
1!
2!
n!
n 0
по степеням х.

f ' x 0 
f n  x 0 
x  x0   ... 
x  x0 n – разложение функции f x 
6. Ряд Тейлора: f x   f x 0  
1!
n!
n 0
по степеням  x  x 0  .
7. Степенной ряд – ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, т.е. ряд


56

a
nx
n
 a 0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ... . Числа a 0 , a1 , a 2 ,...,a n ,... называют коэффициентами ря-
n 1
да, x  R – действительная переменная.
8. Сходящиеся ряды. Если существует конечный предел S  lim S n последовательности частичных
n 

сумм ряда
u
n
 u1  u 2  ...  u n  ... , то этот предел называют суммой ряда и говорят, что ряд
n 1
сходится. записывают: S 

u
n
.
n 1
9. Функциональный ряд – ряд, членами которого являются функции от х, т.е. ряд вида

 u x   u x   u x   ...  u x   ... .
n
1
2
n
n 1

10. Частичная сумма ряда – сумма первых п членов ряда
u
n
 u1  u 2  ...  u n  ... ,обозначается
n 1
S n , т.е. S n  u1  u 2  ...  u n .

11. Числовой ряд – выражение вида
u
n
 u1  u 2  ...  u n  ... , где u1 , u 2 ,...,u n ,... – действительные
n 1
числа, называемые членами ряда, u n – общим членом ряда.
Элементы теории вероятностей и статистики.
1. Вариационный ряд – расположенная в порядке неубывания последовательность независимых
одинаково распределённых случайных величин.
2. Вероятность – количественная характеристика степени объективной возможности появления
некоторого (случайного) события в тех или иных определённых, могущих повторяться неограниченное число раз, условиях. Для некоторого события А вероятность его лежит в пределах: 0 ≤
P(A) ≤1. Если P(A) = 0 , то это значит, что событие А не наступит ни при каких условиях, т.е. оно
является невозможным. Вероятность достоверного события, т.е. которое наступит обязательно,
равна 1.
3. Выборка (выборочная совокупность) – понятие математической статистики, объединяющее результаты каких-либо однородных наблюдений; в широком смысле это конечная совокупность
результатов наблюдений, представляющих собой независимые одинаково распределённые случайные величины.
4. Гаусса распределение – нормальное распределение случайной величины.
5. Генеральная совокупность – множество всех статистических единиц, из которого производится
отбор некоторой его части – выборки. Объём генеральной совокупности – число её элементов,
предполагается большим или даже бесконечным.
6. Гистограмма – графическое представление эмпирического распределения в виде столбчатой
диаграммы, основанное на геометрическом изображении количества измерений (наблюдений)
исследуемой величины в границах отрезков одинаковой или различной протяженности.
7. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание
квадрата
отклонения
случайной
величины
от
ее
математического
ожидания:
2
D X   M X  M  X  .
8. Достоверное событие – событие, которое в результате опыта (наблюдения) непременно должно
произойти; вероятность достоверного события равна единице.
9. Испытание – термин классической теории вероятностей, при аксиоматическом подходе определяемый как любое разбиение пространства элементарных событий на попарно несовместимые
случайные события, которые называются исходами испытания. Термин часто употребляется в
сочетаниях "независимые испытания", "повторные испытания", "схема испытаний" и т.п.
10. Комбинаторика – раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения
элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами (условиями). Каждое
такое правило определяет комбинаторную конфигурацию или конструкцию из элементов исходного множества. Примерами комбинаторных конфигураций являются перестановки, размещения
и сочетания.
57
11. Математическая статистика – раздел математики, в котором изучаются методы систематизации и использования статистических данных; во многом опирается на теорию вероятностей.
12. Математическим ожиданием дискретной случайной величины M  X  называют сумму произ13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
ведений всех ее возможных значений на их вероятности. M  X   x1 p1  x2 p2  ...  xn pn .
Медиана – одна из числовых характеристик распределения вероятностей непрерывной случайной величины X, численно равная тому значению случайной величины X  m , что вероятности
принять значение меньше m и больше m совпадают.
Мода – одна из числовых характеристик распределения вероятностей случайной величины (как
правило, равна наиболее вероятному значению случайной величины). При симметричном одномодальном распределении случайной величины мода совпадает с медианой и математическим
ожиданием.
Невозможное событие – событие, которое в данном опыте не произойдет (вероятность его равна нулю).
Независимым от события А называют событие В, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: PА B   PB  .
Непрерывная случайная величина – случайная величина X, (интегральная) функция распределения F(x) которой непрерывна.
Несмещённая оценка – статистическая оценка параметра распределения вероятностей по результатам наблюдений, лишенная систематической ошибки.
Несовместные события – события A и B, которые не могут произойти одновременно (их произведение AB=∅).
Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием:
X  M X  .
Перестановками из n элементов называются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число перестановок из n
элементов обозначают символом Pn . Число всех возможных перестановок Pn  n! , где
n!  1  2  3  ...  n .
Произведением двух событий А и В называют событие A  B , состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Пространство элементарных событий – множество всех взаимно исключающих исходов случайного эксперимента. Элементы этого множества называют элементарными событиями. Пространство называют дискретным, если число его элементов (элементарных событий) конечно
или счётно.
Противоположные события – события A и A называются противоположными, если они образуют полную группу событий и в единичном опыте появление одного из них исключает появление другого.
Размах выборки – разность между наибольшим и наименьшим значениями результатов наблюдений.
Размещениями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые различаются либо составом элементов, либо их порядком. Число размещений из n
m обозначают
элементов
по
.
Число
всех
возможных
размещеAnm
ний Anm  nn  1n  2  ...  n  m  1 .
27. Распределение – одно из основных понятий теории вероятностей. Распределение вероятностей
случайной величины X , возможные значения x i которой образуют конечную или бесконечную
последовательность, задаётся указанием совокупности этих значений и соответствующих им вероятностей p i .
28. Распределение Пуассона является предельным для биномиального. Случайная величина X имеет
пуассоновское распределение, если она принимает только целые неотрицательные значения.
29. Случайная величина – некоторая переменная величина, принимающая в зависимости от случая (в
разных независимых опытах) те или иные значения с определёнными вероятностями.
58
30. Случайное событие – событие, которое при осуществлении определенной совокупности условий
может либо произойти, либо не произойти.
31. случайные события.
32. Случайный процесс – временной процесс изменения состояния какой-либо системы, происходящий в соответствии с вероятностными закономерностями. Характеристики процесса в любой
момент времени
33. Случайный эксперимент – наблюдение или опыт, исход которого не вполне однозначно определяется его условиями.
34. Случайный элемент – обобщение понятия случайной величины, когда исходы опыта могут быть
описаны не только числом или совокупностью чисел, но и представляют собой кривые, ряды,
функции и т.п.
35. Событие – любой факт, регистрируемый в результате случайного эксперимента. Событием
называется всякое явление, относительно которого имеет смысл говорить, произошло оно или не
произошло. Др. словами, событием называется всякий факт, который в результате опыта может
произойти или не произойти.
36. Совместными называются два события, если появление одного из них не исключает появления
другого в одном и том же испытании.
37. Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по m обоn!
значают С nm . Число сочетаний С nm 
.
m!n  m !
38. Суммой A  B двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или
события В, или обоих этих событий. Суммой нескольких событий называют событие, которое
состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.
39. Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений
(случайных событий, случайных величин и т.д.).
40. Характеристика в теории вероятностей – числовой параметр, характеризующий существенные черты распределения случайной величины (математическое ожидание, асимметрия распределения и т.д.)
41. Частота случайного события – отношение числа появления события в опытах к общему числу
проведённых опытов.
42. Элементарные события – совокупность взаимно исключающих друг друга исходов случайного
эксперимента.
РАЗДЕЛ 5. Практикум по решению задач (практических ситуаций) по темам лекций (одна из составляющих частей итоговой государственной аттестации).
Линейная алгебра.
1. Решить систему линейных уравнений тремя способами (методом Крамера, методом Гаусса, методом обратной матрицы):
 x1  2 x 2  3x3  3,

2 x1  6 x 2  4 x3  12 ,
3x  10 x  8 x  21.
2
3
 1
1 способ. Формулы Крамера. Находим определить матрицы системы:
1 2 3
6 4
2 4
2 6
  2 6 4  1
 2
 3
 1  48  40   2  16  12   3  20  18   8  8  6  6
10 8
3 8
3 10
3 10 8
Так как   0 , то решение системы существует и единственно. Находим дополнительные определители:
3 2 3
6 4
12 4
12 6
 x  12 6 4  3 
 2
 3
 3  48  40   2  96  84   3  120  126   18
10 8
21 8
21 10
21 10 8
59
1
3
3
4  1  96  84   3  16  12   3  42  36   12  12  18  18
 y  2 12
3 21
8
1
3
2
z  2 6
12  1  126  120   2  42  36   3  20  18   6  12  6  0
3 10 21
Решение системы уравнений: x1 
Ответ:  3; 3; 0  .
 y 18
 x  18

0
  3 , x3  z   0 .

 3 , x 2 

6

6
 6
2 способ. С помощью обратной матрицы.   6 . Находим матрицу A 1 , обратную к матрице системы
1 2 3 


A   2 6 4  . Для этого найдем  и алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A :
 3 10 8 


4
4
11 6
1 2 2
A11   1 
 48  40  8 ,
A12   1 
 16  12   4 ,
10 8
3 8
A13   1
1 3
A22   1
2 2
A31   1
31
A33   1
3 3

2 6
 20  18  2 ,
3 10
A21   1

1 3
 8  9  1 ,
3 8
A23   1

2
6
A32   1
3
 8  18  10 ,
4

2 3
 16  30   14 ,
10 8
23

1 2
 10  6  4 ,
3 10
3 2

1 3
 4  6   2 ,
2 4
2 1
14  10 
8


  4
1
2 .
2
4
2 

7
5
4
 

3
3
14  10   3
  2
1
1
1
2   

.
3
6
3


4
2
2
1
1



3
3
3
 
1 2

 6  4  2 . Запишем матрицу A  Aij
2 6
1
Найдем матрицу A : A
1
8
1  1 
  A   4

6 
2
T
Найдем решение системы уравнений:
7
5
7
5
4
4

 

  3   12   21 
3
3  3   3
3
3
3
  4  28  35    3 
 x1 
 


 




 
2
1
1
2
1
1
1

 x2   X  A  B   
  12      3   12   21    2  2  7    3 
6
3    3
6
3
x 
 3
 1  8  7   0 
21

 

 3
2
1
2
1
1
1
 



  3   12   21 
3
3
3
3
3
3

Ответ:  3; 3; 0  .
3 
3 3
1 2 3
1 2 3 3 
1 2






3 способ. Метод Гаусса.  2 6 4 12  : 2 ~ 1 3 2 6  ~  0  1 1  3  ~
 3 10 8
 3 10 8 21
0
21
4  1 12 




2 3
3
1


0 1 1  3  .
0 0 3
0 

Ответ:  3; 3; 0  .
 x1  2  3  3  0  3,

  x 2  0  3 ,
x  0
 3
 x1  3,

 x 2  3,
 x  0.
 3
60
1 0 1
0 0 1
2. Вычислить определитель:
1 0 1
1 1
0
1
1
0
1
 2 x  7  ay
имеет единственное решение.
4 x  3 y  12
3. Определите значение a , при котором система 
4. Решить уравнение:
x 3 5
5 x1 1 1
2 1 3
Аналитическая геометрия.
1. Найти расстояние между точками B  3;  4  и D6; 8 .
2. Найти радиус окружности, заданной уравнением x 2  y 2  2 y  0 .
3. Найти центр сферы, заданной уравнением x  22   y  12  z  32  4 .
4. Найти угловой коэффициент прямой 6 x  2 y  5  0 .
Задачи для самостоятельного решения при подготовке к итоговой аттестации
 x  2 y  3z  5

1. 4 x  5 y  6 z  8
7 x  8 y  2

1
 2  3
 . Найти A  B .
4 
2
 и B  
2. Даны матрицы A  
0
0  3 
Дифференциальное исчисление.
1. Вычислить пределы числовых последовательностей.
(6  n) 2  ( 6  n) 2
(36  12n  n 2 )  (36  12n  n 2 )
 24n
lim
 lim
 lim

n  (6  n) 2  (1  n) 2
n  (36  12n  n 2 )  (1  2n  n 2 )
n  14n  35
 24
24
12
 lim

 .
n  14  35 / n
14
7
2. Вычислить пределы числовых последовательностей.
3
lim
n  4
1
1
 9 7
7
n  1  7n
n
n
 lim
 7.
1
1
1
n12  n  1  n n 4
1  11  12  2
n
n
n
2
3
3
3. Вычислить пределы числовых последовательностей.
lim n( n 2  1  n 2  1)  lim
n 
 lim
n 
n( n 2  1  n 2  1)( n 2  1  n 2  1
n 
n(n 2  1  n 2  1)
n 1  n 1
2
2
 lim
n 
4. Вычислить пределы функций.
n2 1  n2 1
2n
n 1  n 1
2
2
 lim
n 

2
1  1/ n  1  1/ n 2
2
 1.
61
( x 2  2 x  3) 2  0 
( x  1) 2 ( x  3) 2
( x  1) 2 ( x  3)


lim

lim
 0.


x 3 x 3  4 x 2  3x
x( x  1)
 0  x3 x( x  1)( x  3) x3
lim
5 . Вычислить пределы функций.
( 4 x  2)( 4 x  2)
x 4
0
    lim

lim

x 16
x  4  0  x16 ( x  4)( 4 x  2) x16 ( x  4)( 4 x  2)
1
1
 lim 4
 .
x 16
x 2 4
4
lim
x 2
Задачи для самостоятельного решения при подготовке к итоговой аттестации
5 x
1. Дана функция y 
. Найти ее область определения.
x2
x2 1
2. Вычислить значение предела lim
.
x 1 x  1
3. Вычислить производную функции y  2 x 4  x  3 .
62
Интегральное исчисление.
1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y  4  x 2 , осью абсцисс и
прямыми x  1 и x  2 .
2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y  x 2 и y  x 3 .
3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y  x 2 и y   x 2  4 .
4) Вычислить площадь фигуры, ограниченной: а) графиками функций y  x 3 и y  2  x , прямой x  0 , б) графиками функций y  x 3 и y  2  x , прямой y  0 .
Вторая задача интересна расположением графиков функций (график функции y  x 3 расположен ниже графика функции y  x 2 ) и способом определения пределов интегрирования (их можно либо
вычислить аналитически, либо «снять» с графика, сделав затем проверку подстановкой). В третьей задаче пределы интегрирования можно определить лишь из уравнения x 2   x 2  4 , и в ней получается
  2 x
2
симметричная относительно оси ординат фигура, поэтому S  2
2

 4 dx .
0
В четвертой задаче получаются две различные фигуры. Для вычисления площади второй фигуры
ее следует разбить на две фигуры, площадь получившегося треугольника можно вычислить как по формуле, так и с помощью интеграла.
Дифференциальные уравнения.
1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде
 ( x, y )  C ).
y y
1 x2
 1  0.
1 y2
y y
1  x2
 1,
1  y2
dy
1  x2
y
 1,
dx
1  y2
y
1  y2
dy  
dx
1  x2
 1  y 2   arcsin x  C ,
C  arcsin x  1  y 2 .
2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
,
63
y
x,
y 
y
2
x
1 2
x  2y
y 
.
2x  y
Введем замену
ux

y
 u  y  ux  y   u  u x.
x
du 1  2u
du 1  u 2
2u
dx

, x

,
du  ,
2
dx 2  u
dx 2  u
x
1u
2
  1  u
2

u 
dx
du   ,
2
x
1u 
1
y 1
y2
2arctgu  ln 1  u 2  ln x  ln C , 2arctg  ln 1  2  ln x  ln C .
2
x 2
x
3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
 x  x1  k
,

 y  y1  n
y1 
y1 

2
k  2 h  3  0
,

4 k  h  3  0
k  1
.

h

1

y1
x1
y1 
.
y1
4
x1
Введем замену
  u
Пусть
x  2y  3
.
4x  y  3
1 2
x1  2 y1
,
4 x1  y1
u  u x1 
x1  2 y1  k  2n  3
4 x1  y1  4k  n  3
y 
y1
 u  y1  ux1  y1  u  u x1 .
x1
1  2u
1  2u  u 2
, u x1 
,
4u
4u
1u
3

 2u  1 (u  1) 2
dx
du
(1  u ) 2
4u
x1 
,
du  1 ,
2
dx
4u
x1
(u  1)

dx
du   1 ,
x1

1
3
1
3
 ln u 2  2u  1 
 ln x1  C ,  ln (u  1) 2 
 ln x1  C ,
2
u 1
2
u 1
2

x1
1  y1
1 ( y  x) 2
x 1


 ln   1  
 ln x1  C ,  ln

 ln x  1  C .
2
2  x1
y1  x1
2 ( x  1)
yx

4. Найти решение задачи Коши.
y   y cos x 
1
sin 2 x, y (0)  0.
2
y   P( x ) y  f ( x ) , Пусть y  uv.
Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции v , находим
64
 P ( x ) dx
 cos xdx
ve 
e 
 e sin x .
u
sin x  t
1 sin 2 x
1
dx   e sin x sin 2 xdx   e sin x sin x cos xdx 
  e t dt 
sin x

cos xdx  dt
2 e
2
ut
du  dt

 te t   e t dt  te t  e t  C  sin xesin x  e sin x  C.
dv  e t dt
v  et
y  e  sin x (sin xesin x  e sin x  C ),
y(0)  0  0  1  (0  1  1  C )  C  1.
y  e sin x (sin xesin x  e sin x  1).
5. Решить задачу Коши y 2 dx  ( xy  1)dy  0, y| x1  e.
y2
dx
 ( xy  1)  0,
dy
Пусть
dx x 1
 
 0.
dy y y 2
x  uv.

dx
uv 1
v
1
 u v  uv , u v  uv    2  0, u v     u v  2  0.
dy
y y
y
y

Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции v , находим
1) v  
v
dv
v
 0,
 ,
y
dy
y
2) u v 
u
1
 0,
y2
1
1
 2,
y y
x
dv
dy
1
  , ln v   ln y  v  .
v
y
y
du 1
dy
 , du 
, u  ln y  C ,
dy y
y
1
(ln y  C ) - общее решение ДУ.
y
y| x 1  e  C  e  1;
x
1
(ln y  e  1) - частное решение ДУ.
y
Задача 6. Найти решение задачи Коши 3( xy   y)  y 2 ln x, y(1)  3.
y 
y y 2 ln x

.
x
3x
1) Пусть v  
dv
v
 ,
dx
x
y  uv, u v  uv 
uv u 2 v 2 ln x

.
x
3x
v
 0,
x
dv
dx
1
  , ln v   ln x  v  .
v
x
x
65
2) u v 
u 2 v 2 ln x
,
x
du 1 u 2 ln x du ln x
1
ln x  1
x
 
,
 2 dx,   
 C, u 
,
3
2
dx x
u
x
ln x  1  Cx
x
u
x
y(1)  3  C  2 / 3.
y
y
1
,
ln x  1  Cx
3
.
3 ln x  2 x  3
7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
( y 2  y sec 2 x)dx  (2 xy  tgx)dy  0.
P( x, y )  y 2  y sec2 x, Q( x, y )  2 xy  tgx,
P
1
 2 y  sec2 x  2 y 
y
cos 2 x,
Q
1
P Q
 2y 
,

.
2
x
y x
cos x
u( x, y )   ( 2 xy  tgx)dy  xy 2  ytgx  ( x ),
U
 y 2  y sec2 x  y 2  y sec2 x   ( x ).
x
( x)  0, ( x)  C . u( x, y )  xy 2  ytgx  C .
Элементы теории вероятностей и статистики.
1. В типографии имеется 4 печатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).
Решение. События – машина работает и машина не работает (в данный момент) – противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице: p  q  1 .
Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна
q  1  p  1  0,9  0,1 .
Искомая вероятность P А  1  q 4  1  0,14  1  0,0001  0,9999 .
Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа
практической невозможности маловероятных событий можно заключить, что в данный момент работает
хотя бы одна из машин.
2. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1  0,8 ; p2  0,7 ;
p3  0,9 . Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.
Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из
других орудий, поэтому рассматриваемые события A1 (попадание первого орудия), A2 (попадание второго орудия), A3 (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям A1 , A2 и A3 (т.е. вероятности промахов), соответственно равны: q1  1  p1  1  0,8  0,2 ; q2  1  p2  1  0,7  0,3 ; q3  1  p3  1  0,9  0,1 .
Искомая вероятность P А  1  q1q2 ...qn  1  0,2  0,3  0,1  0,994 .
3. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны:
p1  0,7 ; p2  0,8 . Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из
орудий.
Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из
другого орудия, поэтому события A (попадание первого орудия), В (попадание второго орудия), независимы. Вероятность события AВ (оба орудия дали попадание) P AB  P A  PB  0,7  0,8  0,56 .
Искомая вероятность P A  B  P A  PB  P AB  0,7  0,8  0,56  0,94 .
66
Так как в этом примере события А и В независимые, то можно воспользоваться формулой
P  1  q1q2 . В этом случае вероятности событий, противоположных событиям А и В, т.е. вероятности
промахов, таковы: q1  1  p1  1  0,7  0,3 ; q2  1  p2  1  0,8  0,2 .
Искомая вероятность того, что при одном залпе хотя бы одно орудие даст попадание, равна
P  1  q1q2  1  q1q2  1  0,3  0,2  0,94 . Получим тот же результат.
4. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их
обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).
Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная
P  АB 
3
вероятность PA B   . Этот же результат можно получить по формуле PA B  =
, где P  А  0 .
P  A
5
3 1
Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании P А   .
6 2
Найдем вероятность P  АB  того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором – белый. Общее число исходов – совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу
размещений A62  6  5  30 . Из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3  3  9 исходов.
3
P AB  10 3
9
3
Следовательно, P АB  

 .
 . Искомая условная вероятность PA B  
1 5
P  A
30 10
2
5. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке – 10
ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.
Решение. Событие А – из первой коробки извлечена стандартная лампа. Из второй коробки могла
быть извлечена либор стандартная лампа (событие B1 ), либо нестандартная (событие B2 ).
Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа, P В1  
9
.
10
1
Вероятность того, что из второй коробки извлечена нестандартная лампа, PВ2  
.
10
Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная деталь, при условии,
что из второй коробки в первую была переложена стандартная лампа, равна PВ1  A 
19
.
21
Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная деталь, при условии,
что из второй коробки в первую была переложена нестандартная лампа, равна PВ 2  A 
18
.
21
Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная лампа, по формуле
полной вероятности равна
P A  PВ1 PВ1  A  PB2 PB2  A 
9 19 1 18 9  19 2 
  
     0,9 .
10 21 10 21 10  21 21 
6. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании
двух игральных костей.
Решение. Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через Х и на второй –
через Y. Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1, 2, 3, 4, 5, 6, причем вероятность каж-
1
. Математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на пер6
1
1
1
1
1
1 7
7
вой кости: M  X   1   2   3   4   5   6   . M Y   .
6
6
6
6
6
6 2
2
7 7
M  Х  Y   M  Х   M Y     7 .
2 2
дого из этих значений равна
7. Найти математическое ожидание д.с.в., зная закон ее распределения:
67
X
p
6
0,
2
3
0,
3
1
0,
5
Решение. M  X   x1 p1  x2 p2  ...  xn pn  6  0,2  3  0,3  1  0,5  2,6 .
8. Производится 4 выстрела с вероятностью попадания в цель p1  0,6 , p2  0,4 ,
p3  0,5 и
p4  0,7 . Найти математическое ожидание общего числа попаданий.
Решение. M  X   0,6  0,4  0,5  0,7  2,2 попадания.
9. Вероятность отказа детали во время испытания на надежность равна 0,2. Найти математическое
ожидание числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 10 деталей.
Решение. M  X   np  10  0,2  2 детали.
10. Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном
бросании двух игральных костей.
Решение. Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1, 2, 3, 4, 5, 6, причем вероят-
1
. Математическое ожидание числа очков, которые могут вы6
1
1
1
1
1
1 7
7
пасть на первой кости: M  X   1   2   3   4   5   6   . M Y   .
6
6
6
6
6
6 2
2
7 7 49
1
M  ХY   M  Х M Y    
 12  12,25 очка.
2 2 4
4
ность каждого из этих значений равна
11. Найти математическое ожидание произведения числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна
0,3.
M  X   np  20  0,3  6 билетов.
РАЗДЕЛ 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после утверждения программы.
Характер изменений в
программе
Номер и дата протокола заседания кафедры,
на котором было принято данное решение
Подпись заведующего
кафедрой, утверждающего внесенное изменение
Подпись декана факультета (проректора
по учебной работе),
утверждающего данное изменение
РАЗДЕЛ 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое звание и степень
преподавателя
Побойкин В.Я.,
Шупова Г.М.
Учебный год
Факультет
Специальность
2009-2010
СГФ
040101 – Социальная работа