ПРОГРАММА КОЛЛОКВИУМА ПО РАЗДЕЛУ «ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ» КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА"

ПРОГРАММА КОЛЛОКВИУМА ПО РАЗДЕЛУ
«ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ» КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА"
1. Функции двух переменных (знать определение, уметь находить область определения и линии уровня)
2. Частные и полное приращения функции f(x,y), определение частных производных первого
порядка. Частные производные f(x,y) второго порядка, теорема о совпадении смешанных частных
производных (знать определения и формулировки, уметь находить).
3. Производная сложной функции (знать формулировку теоремы, уметь решать задачи, аналогичные лекционным).
4. Дифференцируемость функции двух переменных, свойства дифференцируемой функции,
дифференциал, дифференциал второго порядка (определения, формулировки, нахождение).
5. Направляющие косинусы, определение производной функции f(x,y) по направлению и теорема о формуле для вычисления такой производной (формулировки, теорема с доказательством,
уметь находить).
6. Градиент функции f(x,y) в точке, его величина и смысл, теорема о связи между градиентом и
производной по направлению (формулировки, теорема с доказательством).
7. Определение точек локального безусловного экстремума функции f(x,y). Стационарные точки. Необходимые и достаточные условия точки безусловного экстремума (знать формулировки,
уметь проверить необходимые условия точки безусловного экстремума функции двух переменных
(найти стационарные точки); уметь выполняются ли для предложенной точки достаточные условия безусловного экстремума функции двух переменных).
8. Вывод формулы наименьших квадратов для линейной зависимости и для квадратичной зависимости, нахождение приближающей функции методом наименьших квадратов.
9. Точка локального условного экстремума функции f(x,y). Нахождение точек условного экстремума методом Лагранжа.
10. Определения внутренней и граничной точек множества, внутренности, границы, ограниченного и замкнутого множества. Теорема об абсолютном экстремуме (формулировка).
ОБРАЗЦЫ БИЛЕТОВ
Билет № 1
1. Дайте определение линии уровня функции двух переменных, найдите и постройте линии уровня
функции f ( x, y)  y / x
2. Дайте определение дифференцируемой функции двух переменных и перечислите свойства
дифференцируемой функции.
3. Сформулируйте и докажите теорему о связи между градиентом и производной функции по
направлению
4. С помощью метода наименьших квадратов найти линейную зависимость y=ax+b по данным:
X
1
2
3
4
Y
6
8
10
2
Билет № 2
1. Дайте определение функции двух переменных, найдите и постойте область определения функ1
ции f ( x, y ) 
16  x 2  y 2
2. Сформулируйте теорему об абсолютном экстремуме.
3. Сформулируйте и докажите теорему о производной функции по направлению
4. С помощью функции Лагранжа найти экстремумы функции f ( x, y)  5x  3 y при условии
x2  y 2 1  0 .
Билет № 3
1. Сформулируйте теорему о совпадении смешанных частных производных и проверьте ее выполнение для f ( x, y)  ln( x 2  2 xy  3 y)
2. Дайте определения точек локального безусловного экстремума функции двух переменных.
3. Выведите формулы для определения коэффициентов приближающей линейной функции методом наименьших квадратов
y
4. Найдите производную функции f ( x, y )  arctg
в точке M(1;2) в направлении градиента
1 x2
функции в этой точке
2