Олимпиадные задачи по математике.

Задача 1.
Алиса выложила из карточек верный пример на сложение. Но тут пришел Чеширский Кот и
поменял местами две карточки.
314159
+ 291828
-----585787
Как видите, равенство нарушилось. Какие карточки поменял Кот?
Решение.
314159
+ 291828
-----585787
Исходный пример выглядел следующим образом:
314159
+ 271828
-----585987
Задача 2.
Аня нарисовала на палке красные полоски, разделив ими палку на 3 на части. Боря на той же
палке нарисовал желтые полоски, разделив палку 4 части, Вова нарисовал на той же палке
зеленые полоски, разделив палку на 13 частей. Гоша разрезал палку по полоскам. Сколько
кусков он получил?
Решение.
Ответ. 18 кусков.
Заметим, что количество частей всегда на 1 больше количества разрезов. Значит, красных
полосок 2, желтых –– 3, а зеленых –– 12. Таким образом, всего разрезов 2+3+12=17, а частей
18
Задача 3.
Дорогу длиной 28 км разделили на три неравные части. Расстояние между серединами
крайних частей равно 16 км. Найдите длину средней части.
Решение.
Ответ. 4 км
Раз расстояние между серединами крайних частей —MN = 16 км, то сумма двух оставшихся
частей равна 28-16=12 км (AM+NB). Так как сумма двух половин крайних частей равна 12
км, то сумма самих крайних частей равна 12*2=24 км (AC+DB). То есть длина оставшейся
средней части равна 28-24=4 км=CD.
Задача 4.
Сейчас расстояние между Надей и Таней 20 км. Надя едет на самокате со скоростью 10
км/час, Таня идет не спеша со скоростью 3 км/час. Каким может быть расстояние между
ними через час?
Решение.
Ответ. 7 км, 13 км, 27 км, 33 км.
Возможны 4 варианта.
1. Надя и Таня движутся навстречу друг другу. Тогда расстояние между ними будет 20-10-3=7
км.
2. Надя догоняет Таню. Тогда расстояние между ними будет 20-10+3=13 км.
3. Таня догоняет Надю. Тогда расстояние 20-3+10=27 км.
4. Надя и Таня удаляются друг от друга. Получаем 20+10+3=33 км.
Задача 5.
У Алисы живет крокозябра. Каждый день она съедает бананов ровно в два раза больше
своего веса, а каждую ночь худеет в три раза. Уезжая рано утром на четырехдневные
каникулы, Алиса оставила ей 40 кг бананов, и этого крокозябре в точности хватило. Сколько
весила крокозябра, когда Алиса уезжала?
Решение.
Ответ. 5 кг.
Так как каждый день крокозябра съедает бананов в 2 раза больше своего веса, то, значит,
каждый день ее масса увеличивается в 3 раза. Значит, после ночного похудения вес
крокозябры возвращается к исходному, то есть в течение суток вем крокозябры не меняется.
Получаем, что каждый день крокозябра ест одно и то же количество бананов, равное 40:4=10
кг.
Раз каждый день съедается 10 кг, то сама крокозябра весит 10:2=5 кг.