Задачи «Математического кружка» из рассылок

Задачи «Математического кружка» из рассылок
http://subscribe.ru/
1. На двух кустах сидело 25 воробьев. После того как с первого куста перелетело на
второй 5, а со второго улетело 7 воробьев, то на первом кусте осталось вдвое больше
воробьев, чем на втором. Сколько воробьев было на каждом кусте первоначально?
2. Три курицы за три дня снесли три яйца. Сколько яиц снесут 12 куриц за 12 дней?
3. Хвост рыбы весит 4 кг, голова весит столько, сколько хвост и половина туловища, а
туловище столько, сколько хвост и голова. Сколько весит вся рыба?
4. а) Каникулы начались 3 мая, а закончились 29 мая. Сколько дней длились каникулы?
б) Отпуск начался 4 марта, а закончился 12 мая. Сколько дней длился отпуск?
5. Летели галки, стояли палки. Если на каждую палку по галке, то одной галке не хватит
палки. Если на каждую палку сядет по 2 галки, то одна из палок останется без галок.
Сколько палок и сколько галок?
6. Одним ударом силач Шварценеггер может разбить любой кусок бетона на три части. За
сколько ударов он разобьет бетонную плиту на 15 частей?
7. 12-метровое бревно распилили на 3-х метровые чурбаки за 12 минут. За сколько такое
бревно можно распилить на метровые чурбаки?
Задачи для письменного решения
Задача 8. Замените буквы в слове ТРАНСПОРТИРОВКА цифрами от 0 до 9 (разные буквы
- разными цифрами, одинаковые - одинаковыми) так, чтобы выполнялись неравенства
Т<Р<А<Н>С>П>О>Р>Т<И<Р<О>В>К>А.
Задача 9. В типографии было два одинаковых с виду набора букв - легкий и тяжелый, а
внутри каждого набора буквы весили одинаково. Ученик смешал наборы. Оказалось, что
слово ГРОЗНЫЙ тяжелее чем УЧИТЕЛЬ, составленное из тех же букв слово ГУЛ тяжелее
чем РОТ, а буква Т тяжелее Г. Какие буквы - из легкого набора?
Задача 10. Алеша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3,
умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число задумал Алеша?
Следует написать: Арифметические действия, которые привели к ответу и ответ.
Задача 11. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама - за 2
минуты, малыш - за 5, а бабушка - за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост
выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то
они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить
издали нельзя, носить друг друга на руках нельзя).
Следует написать: Последовательность переходов
Задача 12. В классе 40 учеников. Из них 18 занимаются каратэ, а 20 увлекаются
волейболом. Среди каратистов - шесть волейболистов. Сколько учеников класса не
занимаются ни каратэ, ни волейболом?
Следует написать: Арифметические действия, которые привели к ответу и ответ.
Задача 13. Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким
языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским и немецким
одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, немецким и
французским - 5, всеми тремя языками - 3. Сколько туристов не владеют ни одним
языком?
Следует написать: Арифметические действия, которые привели к ответу и ответ.
Задачи для устного ответа
Писать решения таких задач -- для пятиклассников непосильный труд. Их решения
придётся обязательно надо будет принимать у каждого решившего в режиме диалога.
Задача 14. Золотоискатель Джек добыл 9 кг. песка. Сможет ли он за три взвешивания
отмерить 2 кг песка с помощью двухчашечных весов а) с двумя гирями - 200 г и 50 г; б) с
одной гирей 200 г?
Задача 15. Два класса с одинаковым количеством учеников написали контрольную. Когда
им сказали оценки, оказалось, что двоек на 13 больше, чем остальных оценок. Докажите,
что при подсчёте числа оценок произошла ошибка.
Круги Эйлера
В выпуске используются картинки, расположенные на сервере mathclub.zaba.ru, поэтому
его лучше читать в броузере, подключившись к интернету.
Теория
Разберём задачу 13.
Задача 13. Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким
языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским и немецким
одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, немецким и
французским - 5, всеми тремя языками - 3. Сколько туристов не владеют ни одним
языком?
Выразим условие этой задачи графически. Обозначим кругом тех кто знает английский,
другим кругом - тех, кто знает французский, и третим кругом - тех, кто знают немецкий.
Тогда, например, те, кто владеет и английским и немецким, "попадут" в общую часть
первого и третьего круга.
Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем
число 3. Английским и французским языками владеют 10 человек, а 3 из них владеют еще
и немецким. Следовательно, только английским и французским владеют 10-3=7 человек.
Аналогично получаем, что только английским и немецким владеют 8-3=5 человек, а
немецким и французским 5-3=2 туриста. Вносим эти данные в соответствующие части.
Определим теперь, сколько человек владеют только одним из перечисленных языков.
Немецкий знают 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками,
следовательно, только немецкий знают 20 человек. Аналогично получаем, что одним
английским владеют 13 человек, а одним французским - 30 человек.
По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы
один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из данных языков.
Ответ: только английским владеет 13 человек, только французским - 30, только немецким
- 20 человек. 20 человек не знают ни одного из этих языков.
Задачи на круги Эйлера
Задача 16. Про учеников школы, которые участвовали в физико-математическом
конкурсе, известно, что 7 из них справились с задачами и по математике и по физике, 11
из них справились с задачами по математике, 9 из них справились с задачами по физике.
Сколько учеников принимали участие в конкурсе?
Задача 17. В одной семье было много детей. 7 из них любили капусту, 6 - морковь, 5 горох, 4 - капусту и морковь, 3 - капусту и горох, 2 - морковь и горох, один - и капусту, и
морковь, и горох. Сколько детей было в семье?
Задача 18. На полу комнаты площадью 24 м2 лежат три ковра. Площадь одного из них - 10
м2, другого - 8 м2, третьего - 6 м2. Каждые два ковра перекрываются по площади 3 м2, а
площадь участка пола, покрытого всеми тремя коврами, составляет 1 м2. Найдите
площадь участка пола: а) покрытого первым и вторым коврами, но не покрытого третьим
ковром; б) покрытого только одним первым ковром; в) не покрытого коврами.
Задача 19. На спортивные соревнования в Летней математической школе ходили 220
школьников. При этом некоторые из них участвовали в чемпионатах, а остальные были
зрителями. В легкоатлетической эстафете приняли участие 30 человек, в соревнованиях
по волейболу - 26, пионерболу - 32, футболу - 31, шахматам - 28 и теннису - 36 человек. 53
школьника приняли участие более чем в одном соревновании; из них 24 школьника
участвовали 3 или более раз, 9 школьников - не менее 4 раз и 3 школьника - даже 5 раз (в
последнюю тройку входит и один чудак, который выступал во всех шести соревнованиях).
Сколько школьников были зрителями?
Разнобой
Задача 20. Дано 6 гирь: две зеленых, две красных, две синих. В каждой паре одна гиря
тяжелая, а другая легкая, причём все тяжелые гири весят одинаково и все легкие тоже.
Можно ли за 2 взвешивания на чашечных весах найти все тяжелые гири?
Задача 21. На плоскости расположено 11 шестерёнок, соединенных в кольцо. Могут ли все
шестерёнки вращаться одновременно?
Чередование
Разберём решение задачи 21.
Задача 21. На плоскости расположено 11 шестерёнок, соединенных в кольцо. Могут ли все
шестерёнки вращаться одновременно?
Решение. Если шестерёнка вращается по часовой стрелке, то её соседи вращаются против
часовой стрелки. Это означает, что если пронумеровать шестерёнки по кругу, то
шестерёнки с чётными номерами будут вращаться в одну сторону, а с нечётными - в
другую. Но тогда выходит, что шестерёнки с номерами 1 и 11 вращаются в одну сторону,
чего не может быть.
Разберём ещё одну задачу, посложнее.
Задача 22. Шахматный конь вышел с поля a1 и через несколько ходов вернулся на него.
Докажите, что он сделал чётное число ходов.
Решение. При каждом ходе шахматный конь меняет цвет поля, на котором стоит, то есть с
чёрной клетки прыгает на белую, а с белой - на чёрную. Поэтому на чётных ходах конь
будет попадать на клетку того же цвета, что и поле a1, а при нечётных - на клетку другого
цвета. Значит, вернётся он после чётного числа ходов.
Задача 23. За круглым столом сидят мальчики и девочки. Докажите, что количество пар
соседей разного пола чётно.
Задача 24. Может ли конь пройти с поля a1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из
остальных полей ровно по одному разу?
Задача 25. Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной,
пересекать все ее звенья?
Задача 26. На хоккейном поле лежат три шайбы A, B и C. Хоккеист бьет по одной из них
так, что она пролетает между двумя другими. Так он делает 2001 раз. Могут ли после
этого все шайбы остаться на исходных местах?
Разбиение на пары
Задача 27. Можно ли нарисовать 9-звенную ломаную, каждое звено которой пересекается
ровно с одним из остальных звеньев?
Задача 28. Улитка ползет по плоскости с постоянной скоростью, поворачивая на 90
градусов каждые 15 минут. Докажите, что она может вернуться в исходную точку только
через целое число часов.
Задача 29. Все костяшки домино выложили в цепь по правилам. На одном конце оказалось
5 очков. Сколько очков оказалось на другом?
Задача 30. На доске 25 x 25 расставлено 25 шашек, причём их расположение симметрично
относительно диагонали. Докажите, что одна из шашек расположена на диагонали.
Задача 31. Пусть расположение шашек в предыдущей задаче симметрично относительно
обеих диагоналей. Докажите, что одна из шашек стоит в центральной клетке.
Разнобой
Задача 32. Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли
получиться число 2005?
Задача 33. В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник
Рыжов. ``Замечательно, что один из нас блондин, другой - брюнет, а третий - рыжий, и
при этом ни у одного из нас цвет не соответствует фамилии'', - заметил черноволосый.
``Ты совершенно прав'', - сказал Белов. Определите цвет волос художника.
Задача 34. Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо
сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Без
Мышки все остальные репку вытащить не могут, а с ней-могут. Сколько нужно Мышек,
чтобы они смогли вытащить репку?
Задача 35. Учитель раздавал школьникам открытки. Первому он дал одну открытку и одну
десятую оставшихся. Второму он дал две открытки и одну десятую оставшихся и т.д.
Девятому он дал девять открыток и одну десятую оставшихся. Оказалось, что все
получили поровну и все открытки были розданы. Сколько всего было открыток?
Ацнок с зилана
Разберём задачу 10.
Задача 10. Алеша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3,
умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число задумал Алеша?
Решение. Это простая задача на так называемый анализ с конца. В результате Алёша
получил 2, значит за шаг до конца у него было 2x7=14, а до этого - 14+6=20. Продолжая
так дальше получаем:
20:4=5
5x3=15
15-5=10
Смотрите также ниже начало решения задачи 37.
Задача 36. Мама послала Алешу в магазин за покупками, вручив ему кошелек с деньгами.
Половину денег Алеша уплатил за молоко и сыр. Доехав за 3 р. на автобусе до магазина,
половину оставшихся денег и еще 1 р. он уплатил за книгу. На половину того, что еще
осталось, Алеша купил тетрадей. Выйдя из магазина, он купил мороженое за 4 р., оставив
деньги лишь на обратный проезд на автобусе. Сколько денег мама дала Алеше?
Задача 37. Маленький зелёненький тираннозаврик Рекс раздавал конфеты шести своим
знакомым стрекателькам (по-очереди). Каждой стрекательке он давал половину всех
имеющихся у него конфет и еще полконфеты. После того, как он одарил последнюю,
шестую, стрекательку, конфеты у него закончились. Сколько конфет у него было
изначально?
Начало решения. В самом конце у Рекса осталось 0 конфет. Перед тем, как он одарил
шестую стрекательку, у него оставалась (0+1/2) x 2 = 1 конфета. Точно также получаем,
что перед пятой стрекателькой у него было (1+1/2) x 2 = 3 конфеты... И так далее.
Задача 38. 48 спичек разложены по трем кучкам. Известно, что если из первой кучки
переложить во вторую столько спичек, сколько в этой второй кучке имеется, а затем из
этой второй переложить в третью столько, сколько в этой третьей находится и, наконец,
из третьей переложить в первую столько спичек, сколько в этой первой кучке будет тогда
находиться, то число спичек во всех кучках станет одинаковым. Сколько спичек было в
каждой кучке первоначально?
Задача 39. Микрокалькулятор позволяет делать с введённым в него числом две операции:
умножать на 2 или переставлять его цифры. Ставить 0 на первое место нельзя. Можно ли
получить из числа 1 число 68?
Задача 40. В колбу пустили бактерию. Каждую минуту число бактерий удваивается. Через
три часа колба заполнилась бактериями. В какой момент бактериями была заполнена
четверть колбы?
Задача 41. Над озерами летели гуси. На каждом садилась половина гусей и еще полгуся,
остальные летели дальше. Все сели на 7 озерах. Сколько было гусей?
Задача 42. Малыш съедает коробку, в которой 60 конфет за 6 минут. Карлсон делает это
вдвое быстрее. За сколько минут они съедят эту коробку вместе?
Задача 43. Над озерами летели гуси. Тем временем, Малыш и Карлсон ели торт. Каждый
день Карлсон съедал половину торта (или того, что от него осталось), после чего Малыш
съедал свои ежедневные 50 грамм. Через неделю гуси улетели в жаркие страны, а торт
кончился. Сколько весил торт?
Задача 44. В мешке лежит 64 кг гвоздей. Как имея только чашечные весы без гирь
отмерить 23 кг гвоздей?
Задача 45. Хулиган Вася живет в 20-этажном доме. После того, как Вася однажды
покатался в лифте, в нем стали работать только две кнопки: "+5" (при нажатии на эту
кнопку лифт поднимается на 5 этажей вверх, если это возможно), и "-7" (при нажатии на
нее лифт опускается на 7 этажей вниз). Можно ли, пользуясь таким лифтом, попасть
а) с первого этажа на второй?
б) со второго этажа на первый?
в) А можно ли вообще пользоваться этим лифтом, то есть позволяет ли он добираться с
любого этажа на любой другой?
Задача 46. а) Четно или нечетно число 101+102+103+104+...+197+198+199+200?
б) На сколько сумма всех четных чисел первой сотни (т.е. 2+4+6+...+96+98+100) больше
суммы всех нечетных чисел первой сотни (т.е. 1+3+5+..+97+99)?
Задача 47. Никита приобрел дрессированного лягушонка, который умеет прыгать по
прямой дорожке на 1 см вправо или влево. Может ли случиться так, что лягушонок
сделает ровно 25 прыжков и вернется в исходное положение?
Задача 48. Можно ли разменять 25 тугриков десятью купюрами достоинством в 1, 3 и 5
тугриков?
Задача 49. 98 спичек разложили в 19 коробков и на каждом написали количество спичек в
этом коробке. Может ли произведение этих чисел быть нечётным числом?
Задача 50. На каждой клетке доски 5 x 5 сидит один дрессированный лягушонок. По
команде "Ква!" каждый лягушонок перепрыгивает на одну из соседних клеток, (клетки
считаются соседними, если они имеют общую сторону). Докажите, что после команды
"Ква!" какие-то два лягушонка окажутся на одной клетке.
Задача 51. Трем братьям дали 24 бублика так, что каждый получил на три бублика
меньше, чем ему лет. Меньший брат был сообразительный и предложил по-менять часть
бубликов: "Я, - сказал он, - оставлю половину бубликов, а другую разделю между вами
поровну; после этого средний брат также оставит половину бубликов, а другую разделит
поровну между мной и старшим братом. В конце старший брат поделит так же". Так они и
сделали. Оказалось, что все получили поровну. Сколько лет каждому брату?
Задача 52. Вася приобрел 35 гирь по 2 грамма каждая и 5 гирь по 4 грамма каждая. Можно
ли разложить их на две кучки равного веса?
Рекламная сувенирная продукция
Изготовление деколей и нанесение их на посуду, сувенирные изделия, настенные тарелки,
кружки, подарочные наборы и многое другое. Разработка и нанесение на сервизы
фамильных вензелей и гербов.
Задача 53. Улитка лезет на 10-метровый столб. За день она поднимается на 6 метров, а за
ночь сползает на 5 метров. На какой день она доберется до вершины столба?
Задача 54. На каждой перемене Робин-Бобин-Барабек съедает по конфете. За неделю (с
понедельника по субботу) было 30 уроков. Сколько всего конфет съел Робин?
Задача 55. Сколько раз минутная стрелка обгонит часовую в промежуток времени от
одной секунды после полуночи до одной секунды до полудня?
Задача 56. Петя купил общую тетрадь из 96 листов и пронумеровал страницы числами от
1 до 192 по порядку. Хулиган Вася вырвал 25 листов и сложил 50 написанных на них
чисел. Мог ли он в сумме получить число 2000?
Задача 57. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки ``+"
и ``-" так, чтобы в результате получился 0?
Четность...
Задача 58. У нас есть 101 монетка. Известно, что среди них 51 фальшивых и 50
настоящих. Также известно, что вес фальшивой монетки отличается на 1 грамм от веса
настоящей. Мы взяли из кучи одну, произвольно выбранную монету. Можно ли за одно
взвешивание на чашечных весах, которые показывают разницу в весе на чашках,
определить какую монету мы взяли - настоящую или фальшивую?
Задача 59. Из шахматной доски вырезали две угловых клетки. а) Можно ли такую доску
целиком покрыть доминошками? б) А если вырезаны клетки b3 и e7?
Задача 60. На столе стоят 13 перевернутых стаканов. Разрешается одновременно
переворачивать любые два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли
правильно ?
Задача 61. Петя и Витя играют в такую игру. На столе лежат 2 монеты. Петя закрывает
глаза, а Витя переворачивает любую из них. Переворачивать можно и несколько раз,
говоря при каждом переворачивании ``Хоп!'' (можно переворачивать одну и ту же монету
несколько раз). После этого Витя накрывает одну из монет рукой, а Петя открывает глаза
и, взглянув на стол, отгадывает, как лежит накрытая Витей монета - орлом вверх или
орлом вниз. Как Петя это делает ?
Задача 62. На листе бумаги написано несколько натуральных чисел (например, так: 1000 1
2 5 6 1 4 ). Лена и Максим по очереди ставят перед каким-нибудь из этих чисел кроме
первого знак: ``+'' или ``-'' (если перед этим числом ещё нет знака). Когда перед каждым
числом будет поставлен какой-нибудь знак, вычисляется значение полученного
выражения (например: 1000+1+2-5+6+1-4=1 ). Если полученное число чётное, то
выигрывает Максим, а если нечётное, то Лена. Кто когда выигрывает?
Задача 63. По кругу стоят 99 корзин. Можно ли разложить в них несколько арбузов так,
чтобы в любых двух соседних корзинах число арбузов отличалось на единицу?
Задача 64. Можно ли на прямой отметить точки A, B, C, D, E так, чтобы расстояния между
ними в сантиметрах оказались равны: AB=4, BC=7, CD=9, DE=6, AE=8? Если да -приведите пример, если нет -- объясните, почему нельзя.
Задача 65. Шестизначный номер называется почти счастливым, если сумма трех каких-то
его цифр равна сумме трех остальных. Костя взял в автобусе два билета подряд. Их
номера оказались почти счастливыми. Докажите, что один из этих номеров оканчивается
на 0.
Задача 66. Рома задумал натуральное число n, нашел его делитель, умножил этот делитель
на 4 и результат вычел из числа n. Получилось 11. Чему равно n? Найдите все возможные
ответы и докажите, что других ответов нет.
Задача 67. Футбольные матчи Зубило-Дробило, Зубило-Крокодило и Дробило-Крокодило
оказались очень результативными. Зубило в сумме забило 60 голов, Дробило пропустило
80 голов. Крокодило забило столько же, сколько пропустило. Докажите, что в матче
Дробило-Крокодило было забито не менее 40 голов.
Задача 68. На доске написаны девять последовательных трёхзначных чисел, в записи
которых нет ни одного нуля. У каждого из них посчитали произведение цифр, а затем
нашли сумму полученных девяти чисел. Могла ли эта сумма равняться 1125?
Задача 69. Десятичная запись числа 5 x A (5 умножить на A) состоит из 1000 пятерок и
1000 шестерок. Найдите сумму цифр числа A.
Задача 70. Дети, построенные парами, выходят из лесу, где они собирали орехи. В каждой
паре идут мальчик и девочка, причем у мальчика орехов либо вдвое больше, либо вдвое
меньше, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех вместе 1000 орехов?
Задача 71. Можно ли расставить в клетках шахматной доски 8 x 8 натуральные числа так,
чтобы любые два числа, стоящие в соседних (по стороне) клетках, отличались на 1, а
любые два числа, стоящие в клетках, связанных ходом коня, отличались на 3?
Математическая регата.
Задачи взяты с сайта малого мехмата МГУ
Блок 1 (10 мин) (каждая задача - 6 баллов)
1-1. Решите уравнение ((x : 2 - 3) : 2 - 1) : 2 - 4 = 3.
1-2. Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на четыре равные части так, чтобы
линии разрезов шли по сторонам клеток. Найдите как можно больше способов.
(Симметричные случаи различными не считаются.)
_
_|_|_ _
|_|_|_|_|_
_|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|
|_|
1-3. У зайцев было несколько бревен. Все бревна были распилены: всего сделали 20
распилов и получили 27 чурбачков. Сколько бревен было у зайцев? (Ответ объясните.)
Блок 2 (15 мин.) (каждая задача - 7 баллов)
2-1. Решите ребус: A + BB + A = CCC. (Каждую букву надо заменить цифрами, при этом
одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным буквам - разные цифры.)
Найдите все решения и объясните, как вы нашли ответ.
2-2. Нарисуйте восемь точек и соедините их отрезками так, чтобы отрезки не пересекались
и каждая точка была бы вершиной ровно четырёх отрезков.
2-3. Жители города А говорят только правду, жители города В - только ложь, а жители
города С - попеременно правду и ложь (т. е. из двух высказанных ими утверждений одно
истинно, а другое ложно). В пожарную часть сообщили по телефону: "У нас пожар, скорее
приезжайте!" "Где?" - спросил дежурный по части. "В городе С", - ответили ему. В какой
город должна приехать пожарная машина?
Блок 3 (20 мин.) (каждая задача - 8 баллов)
3-1. Было два положительных числа. Одно из них увеличили на 1 процент, второе - на 4
процента. Могла ли их сумма увеличиться на 3 процента? (Если да, приведите пример,
если нет - объясните, почему.)
3-2. Как на стол поставить 8 одинаковых кубиков так, чтобы со всех сторон полностью
было видно ровно 23 грани кубиков, а остальные грани видны не были?
3-3. В колонию, состоящую из двухсот бактерий, попадает один вирус. В первую минуту
он уничтожает одну бактерию, затем делится на два новых вируса, и одновременно
каждая из оставшихся бактерий тоже делится на две новые. В следующую минуту
возникшие два вируса уничтожают две бактерии, и затем каждый из оставшихся вирусов
и каждая из оставшихся бактерий снова делятся пополам и так далее. Будет ли эта
колония жить бесконечно долго или, если она в конце концов погибнет, то через какое
время это произойдёт?
1. Сколько существует n-значных чисел, состоящих лишь из цифр 1, 2, 3, в записи
которых каждая из трех цифр встречается по крайней мере один раз?
2. Дано 101 различное натуральное число. Известно, что среднее арифметическое любых
десяти чисел - целое число. Докажите, что хотя бы одно из исходных чисел больше 1000.
3. У Альберта сначала было 6 гиней, у Бруно - 3 гинеи и 23 шиллинга, а у Кристофера - 46
шиллингов. После того, как каждый из мальчиков подарил каждому из остальных по
одной из своих монет, у всех оказались одинаковые суммы денег. Сколько шиллингов в
одной гинее?
4. Из целых чисел от 1 до 3n выбрали n+2 каких-то чисел. Доказать, что при 1 5. Разрежьте
квадрат со стороной 8 см на восемь многоугольников, для каждого из которых отношение
его площади к периметру равно 0,5 см.
6. Назовем число совершенненьким, если его цифры можно разбить на две группы так,
что сумма цифр в первой группе равна сумме цифр во второй. Докажите, что среди любых
трех подряд идущих чисел хотя бы одно не является совершенненьким.
7. Решите ребус ЛИК x ЛИК = БУБЛИК. Как обычно, разные буквы обозначают разные
цифры.
8. В стране Фалкерсонии некоторые города соединены авиалиниями, причем из города А в
город B нельзя попасть, сделав менее десяти пересадок. Докажите, что все авиалинии
можно распродать 11 авиакомпаниям таким образом, что любой маршрут из A в B будет
проходить по линиям, принадлежащим всем 11 компаниям.