Документ 907300

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЛИАЛ ТЮМГУ В Г. ТОБОЛЬСКЕ
Естественнонаучный факультет
Кафедра физики, математики и методик преподавания
УТВЕРЖДАЮ
Директор
_____________ ____________
подпись
ФИО
«___» __________ 2014 г.
Учебно-методический комплекс дисциплины
«Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
Код и направление подготовки
010200.62 (02.03.01) Математика и компьютерные науки
Профиль подготовки
Вычислительные, программные, информационные системы и компьютерные
технологии
Квалификация (степень) выпускника
бакалавр
Форма обучения
очная
Тобольск
2014
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЛИАЛ ТЮМГУ В Г. ТОБОЛЬСКЕ
Естественнонаучный факультет
Кафедра физики, математики и методик преподавания
Рабочая программа дисциплины
«Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
Код и направление подготовки
010200.62 (02.03.01) Математика и компьютерные науки
Профиль подготовки
Вычислительные, программные, информационные системы и компьютерные
технологии
Квалификация (степень) выпускника
бакалавр
Форма обучения
очная
Тобольск 2014
2
Содержание
1. Цели и задачи освоения дисциплины ……………………………………………………………3
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО …………………………………………………….. 3
3. Требования к результатам освоения дисциплины …………………………………………….. 3
4. Структура и содержание дисциплины ………………………………..………………………… 4
4.1. Структура дисциплины ……………………………………………………………………… 4
4.2. Содержание разделов дисциплины ………………………………………………………… 4
5. Образовательные технологии ……………………………………………….………………....... 4
6. Самостоятельная работа студентов………………………………………………….…….……. 5
7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства……………………..……................ 5
7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля ………………………………………. 5
7.2. Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая технология оценивания
работы студентов……………………………………………………………………………………. 6
7.3. Оценочные средства промежуточной аттестации ………………………………………....12
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ………………………..13
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины ………………………………………....13
10. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).................. 33
3
1. Цели и задачи освоения дисциплины последовательное изложение основных
методов и результатов аналитической геометрии и линейной алгебры. Основными целями
изучения дисциплины "Аналитическая геометрия и линейная алгебра" являются следующие:
 формирование у студентов достаточно широкого взгляда на аналитическую
геометрию и линейную алгебру;
 изучение основного метода аналитической геометрии - метода координат, а также
векторного метода, метода геометрических преобразований, проективного метода;
 изучение применений этих методов к исследованию плоских и пространственных
объектов, определяемых уравнения первой и второй степеней;
 раскрытие возможностей обобщения этих методов при построении многомерных
геометрий;
 развитие математической культуры и мышления студентов, навыков доказательств.
Задачи курса:
- дать современное базовое теоретическое обоснование обязательных разделов курса
аналитической геометрии и линейной алгебры, необходимых для формирования компетенций
обучаемого;
- сформировать навыки активного применения теоретических знаний к практическим
приложениям, в особенности, к решению задач прикладного характера;
- знакомить с основными концепциями и направлениями развития аналитической
геометрии с целью последующей успешной адаптации к возможным изменениям формы и
содержания действующих стандартов образования.
- сформировать уровень математической культуры, достаточный для осознанной
ориентации в многообразии учебной литературы по школьному и вузовскому курсу геометрии
и алгебры.
2. Место дисциплины в структуре ОП бакалавриата
Дисциплина “Аналитическая геометрия и линейная алгебра” относится к дисциплинам
базовой части (Б1.Б25). Для её освоения обучающиеся используют знания, умения и виды
деятельности, сформированные в процессе изучения математики, алгебры и геометрии в
общеобразовательной школе.
Содержание дисциплины тесно связано с другими курсами, предусмотренными
учебным планом по направлению подготовки: математикой, алгеброй (теория линейных
векторных пространств); дифференциальной геометрией (теория кривых и поверхностей);
математическим анализом, фундаментальной и компьютерной алгеброй; физикой и
теоретической механикой (кинематика, оптика, законы Кеплера).
Освоение данной дисциплины является необходимой основой для последующего
изучения дисциплин базовой и вариативной частей.
3. Требования к результатам освоения дисциплины
3.1. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины::
- готовность использовать фундаментальные знания в области аналитической
геометрии в будущей профессиональной деятельности (ОПК-1);
- способность строго доказать утверждение, сформулировать результат, увидеть
следствия полученного результата (ПК-3).
В результате изучения дисциплины обучающийся должен
знать:
- основные понятия и методы аналитической геометрии и линейной алгебры, строгие
доказательства фактов основных разделов курса аналитической геометрии и линейной
алгебры.
уметь:
4
- применять теоретические знания к решению геометрических задач по курсу
(выполнять действия с векторами в координатах, находить уравнения прямых и плоскостей по
определяющим их точкам или векторам, применять метод координат при решении
геометрических задач, находить параметры кривых второго порядка по их каноническим и
общим уравнениям, приводить общее уравнение кривой второго порядка к каноническому
виду);
– употреблять математическую символику для выражения количественных и
качественных отношений объектов;
- аналитически и численно решать алгебраические уравнения.
иметь представление:
- об аффинной классификации поверхностей второго порядка. О приведении уравнения
квадрики к нормальному и каноническому виду.
- о линейной алгебре как особом способе познания мира, общности ее понятий и
представлений;
- о применении новых математических методов, появляющихся в естественно-научных
дисциплинах, в исследованиях в предметной области.
владеть:
- техникой применения векторной алгебры к решению геометрических задач;
- теорией и практикой аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, в
частности, решением задач на прямую и плоскость в пространстве, на линии второго порядка
на плоскости, на поверхности второго порядка в пространстве, на преобразование плоскости и
пространства;
- теорией и практикой элементов аффинной и евклидовой геометрии плоскостей, в
частности, методов изображений на плоскости плоских и пространственных фигур, и их
применения к решению задач школьного курса геометрии.
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 9 зачетных единиц (324 часов).
4.1. Структура дисциплины
Таблица 1
№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Наименование раздела
дисциплины
Матрицы, определители и
системы линейных
уравнений
Векторная алгебра.
Системы координат
Прямая на плоскости
Плоскость в пространстве
Прямая линия и плоскость
в пространстве
1 семестр
Преобразования плоскости
Кривые второго порядка
Поверхности
второго
порядка
2 семестр
Семестр
I
Виды учебной работы
(в академических часах)
аудиторные занятия
СР
ЛК
ПЗ
ЛБ
6
6
7
-
I
6
6
-
8
I
I
I
8
8
8
8
8
8
-
10
10
10
II
II
II
36
6
4
10
36
8
16
16
-
45
26
28
30
20
40
-
84
5
Контроль:
1 семестр – экзамен
2 семестр – экзамен
Итого
27
36
132
129
4.2. Содержание дисциплины
Таблица 2
№
Наименование раздела
дисциплины
1.
Матрицы, определители и
системы линейных
уравнений
2.
Векторная алгебра.
Системы координат.
3.
Прямая линия на
плоскости.
4.
Плоскость в пространстве.
5.
Прямая линия и плоскость
в пространстве.
6.
Преобразования
плоскости.
Содержание раздела
(дидактические единицы)
Определение и виды матриц. Транспонированная
матрица. Сложение матриц. Умножение матрицы на
число. Линейная зависимость матриц. Умножение
матриц. Элементарные преобразования. Элементарные
матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы,
обратная матрица. Ранг матрицы. Основные теоремы о
ранге матрицы. Определители II и III порядков.
Определитель матрицы n-го порядка. Свойства
определителей.
Дополнительная
подматрица.
Дополнительный минор. Алгебраическое дополнение.
Вычисление
обратной
матрицы
с
помощью
определителя. Определение и виды систем линейных
уравнений. Системы линейных уравнений с m=n.
Правило Крамера. Теорема Кронекера-Капелли. Общее
правило нахождения решений. Приведенная система
линейных уравнений. Общее решение системы
линейных уравнений.
Векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение
вектора на число. Линейная зависимость векторов,
коллинеарность и компланарность. Базис и координаты
векторов на плоскости и в пространстве. Скалярное
произведение векторов. Аффинная и прямоугольная
декартова системы координат на плоскости и в
пространстве.
Ориентация
системы
координат.
Векторное
произведение
векторов.
Смешанное
произведение векторов.
Уравнение прямой в аффинной системе координат.
Геометрический смысл линейного неравенства с двумя
неизвестными. Уравнение прямой в прямоугольной
декартовой системе координат. Угол между прямыми на
плоскости, взаимное расположение двух прямых на
плоскости. Расстояние от точки до прямой.
Уравнение плоскости в пространстве в аффинной
системе координат. Уравнение плоскости в пространстве
в прямоугольной декартовой системе координат. Угол
между двумя плоскостями. Взаимное расположение двух
плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
.Прямая в пространстве, взаимное расположение двух
прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой
и плоскости Угол между прямой и плоскостью.
Аффинные и изометрические преобразования плоскости,
их свойства. Классификация движений плоскости.
6
7
Кривые второго порядка.
8
Поверхности второго
порядка.
Применение преобразований к решению геометрических
задач.
Эллипс. Гипербола. Парабола. Определение линии
второго порядка и приведение её уравнения к
каноническому виду. Полярные уравнения кривых
второго порядка.
Аффинная классификация линий
второго порядка. Асимптотические направления кривой
второго порядка. Центр, пересечение линии второго
порядка с прямой, касательная линии второго порядка,
диаметры кривой второго порядка.
Понятие об общем уравнении поверхности второго
порядка и его упрощении. Исследование формы
поверхностей второго порядка по их каноническим
уравнениям.
Метод
сечений.
Эллипсоид.
Однополостный
гиперболоид.
Двуполостный
гиперболоид.
Эллиптический
параболоид.
Гиперболический параболоид. Цилиндры второго
порядка.
Конусы
второго
порядка.
Аффинная
классификация поверхностей второго порядка.
5. Образовательные технологии
№
№
Тема занятия
занятия раздела
1
1
Определение и виды матриц.
Элементарные
преобразования.
Элементарные матрицы
1
Ранг матрицы. Основные
теоремы о ранге матрицы.
Определители II и III
порядков. Определитель
матрицы n-го порядка.
Свойства определителей.
1
Определение и виды систем
линейных уравнений.
Системы линейных уравнений
с m=n. Правило Крамера.
Общее решение системы
линейных уравнений.
1
Векторы. Операции над ними,
свойства.
1
2
Виды образовательных
технологий
Лекции
Интерактивные
методы
(групповые формы работы)
Лекции
Интерактивные
методы
(групповые формы работы)
2
Лекции
Интерактивные
методы
(групповые формы работы)
2
Лекции
Интерактивные
методы
(групповые формы работы)
Линейная
зависимость Лекция
векторов, коллинеарность и Интерактивные
методы
компланарность.
Базис
и (групповые формы работы)
координаты
векторов
на
плоскости и в пространстве
Скалярное
произведение Лекция
векторов.
Аффинная
и Интерактивные
методы
прямоугольная
декартова (групповые формы работы)
7
Таблица 3
Кол-во
часов
2
2
2
2
4
2
6
4
4
2
2
3
3
4
5.1
5.2
6
6
6
7
7
7
7
системы
координат
на
плоскости и в пространстве.
Уравнение
прямой
в
аффинной системе координат.
Уравнение
прямой
в
прямоугольной
декартовой
системе координат.
Угол между прямыми на
плоскости,
взаимное
расположение двух прямых на
плоскости. Расстояние от
точки до прямой.
Различные способы задания
плоскости.
Угол
между
плоскостями.
Различные
способы задания прямой в
пространстве.
Взаимное расположение
прямых. Угол между
прямыми.
Применение преобразований к
решению геометрических
задач.
Применение преобразований к
решению геометрических
задач.
Эллипс. Гипербола.
Лекция
Интерактивные
методы
(групповые формы работы)
4
2
Лекция
Интерактивные
методы
(групповые формы работы)
4
2
Лекция
Интерактивные
методы
(групповые формы работы)
6
2
Лекция
Интерактивные
методы
(групповые формы работы)
Лекция
6
6
Лекция
Интерактивные
методы
(групповые формы работы
Лекция
Интерактивные
методы
(групповые формы работы
Лекция
Интерактивные
методы
(групповые формы работы)
Лекция
Интерактивные
методы
(групповые формы работы
Лекция
Интерактивные
методы
(групповые формы работы)
4
6
Лекция
Интерактивные
методы
(групповые формы работы
Лекция
Интерактивные
методы
(групповые формы работы
Цилиндры второго порядка. Лекция
Конусы второго порядка. Интерактивные
методы
Аффинная
классификация (групповые формы работы
поверхностей
второго
2
2
Парабола.
Центр
и
касательные линии второго
порядка
Центр и касательные линии
второго порядка. Линии и
поверхности второго порядка.
Понятие об общем уравнении
поверхности второго порядка
и
его
упрощении.
Исследование
формы
поверхностей второго порядка
по
их
каноническим
уравнениям. Метод сечений.
Эллипсоид. Однополостный
гиперболоид. Двуполостный
гиперболоид.
Эллиптический параболоид.
Гиперболический параболоид.
8
6
6
4
6
4
2
2
4
2
2
2
2
2
8
8
8
порядка.
Проективная
прямая
как Лекция
пополненная прямая. Пучок Интерактивные
методы
прямых.
(групповые формы работы
Проективная плоскость как
пополненная
плоскость.
Связка
плоскостей.
Проективная
система
координат на проективной
плоскости,
однородные
координаты.
Прямая линия и линия
второго
порядка
в
однородных координатах.
Проективная классификация
линий
второго
порядка.
Группа
проективных
преобразований
плоскости,
предмет
проективной
геометрии.
2
2
Лекция
Интерактивные
методы
(групповые формы работы
4
6
Лекция
Интерактивные
методы
(групповые формы работы
2
4
6. Самостоятельная работа студентов
№
1
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
5
Наименование раздела
дисциплины
Матрицы, определители
и системы линейных
уравнений
Векторная алгебра.
Системы координат
Векторная алгебра.
Системы координат
Векторная алгебра.
Системы координат
Прямая
линия
на
плоскости
Прямая линия на
плоскости
Плоскость в
пространстве
Плоскость в
пространстве
Прямая линия и
плоскость в
пространстве.
Прямая линия и
плоскость в пространстве
Прямая линия и
плоскость в пространстве
Преобразования
Вид самостоятельной работы
Таблица 4
Трудоемкость
(в академических
часах)
решение задач и упражнений по
образцу
выполнение домашних заданий
10
решение вариативных задач и
упражнений
решение задач и упражнений по
образцу
выполнение домашних заданий
6
10
10
6
решение задач и упражнений по
образцу
выполнение домашних заданий
8
решение задач и упражнений по
образцу
6
выполнение домашних заданий
16
решение вариативных задач и
упражнений
решение задач и упражнений по
3
9
4
9
5
6
6
7
7
плоскости
Преобразования
плоскости
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка
Поверхности второго
порядка
Поверхности второго
порядка
образцу
выполнение домашних заданий
решение задач и упражнений по
образцу
выполнение домашних заданий
решение задач и упражнений по
образцу
выполнение домашних заданий
6
10
10
6
4
7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства
7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля
Тест
I уровень
Выбрать номер правильного ответа
1. Закончить фразу: два вектора называются коллинеарными, если направленные отрезки их
порождающие:
а) параллельны одной и той же плоскости;
б) параллельны одной и той же прямой;
в) взаимно перпендикулярны.
Варианты ответов
1) первое; 2)второе; 3) третье; 4) все истинны.
2. Закончить фразу: два вектора называются компланарными, если направленные отрезки их
порождающие:
а) параллельны одной и той же плоскости;
б) параллельны одной и той же прямой;
в) попарно взаимно перпендикулярны.
Варианты ответов
1) а; 2) б; 3) в; 4) все 3 неверны.
3. Какое из высказываний истинно:
1) если векторы a, b, c компланарны, то векторы a и b коллинеарны;
2) векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда векторы a, b, c компланарны;
3) если векторы a и b коллинеарны, то векторы a, b, c компланарны.
Варианты ответов
1) первое; 2)второе; 3) третье; 4) все истинны.
4. Сформулировать и изобразить: а) правило треугольников,
б) определение разности векторов, изобразить разность векторов (имеющих общее начало).
5. Сформулировать и изобразить: а) правило параллелограмма,
б) определение умножения вектора на скаляр.
II уровень
6. Закончить фразу: скалярное произведение векторов a (2,3), (4,1), и b (4,1) равно….


2
7. Закончить фразу: угол между векторами a (1,5,1) и b ( 2,1, ) равен …
3
8. Закончить фразу: пусть А(2,3), В(4,1). Длина вектора AB равна …..
Выбрать номер правильного ответа:
9. Если векторы AB (-6, -5, 2), BC (2, 3, -4) и CD (3, -5, 1) являются сторонами
четырехугольника АВСD, то модуль скалярного произведения векторов - диагоналей этого
четырехугольника равен…
10
Варианты ответов
1) 8; 2) 9; 3) 10; 4) 11; 5) 12.
III уровень
10. Если в параллелограмме АВСD заданы CB (2, -1, 4), CD (-3, 2, 1),
координат точки С равна…
Варианты ответов
1) 1; 2) -1; 3) 2; 4) -2; 5) 3.
А(5, -3, 2), то сумма
7.2. Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая
технология оценивания работы студентов
7.2.1. Распределение рейтинговых баллов по модулям и видам работ
I семестр
Таблица 5
Виды работ
Модуль 1
Аудиторные занятия
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
Итого за работу в семестре
Обобщающий контроль
Итого
1·6
2·3
13
25
7
32
Максимальное количество баллов
Модуль 2
Модуль 3
1·6
2·3
13
25
7
32
II семестр
1·8
2·4
14
30
6
36
Итого
20
20
40
80
20
100
Таблица 5
Виды работ
Аудиторные занятия
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
Итого за работу в семестре
Обобщающий контроль
Итого
Максимальное количество баллов
Модуль 1
Модуль 2
Модуль 3
1·6
2·6
7
25
7
32
1·6
2·6
7
25
7
32
1·6
2·6
12
30
6
36
Итого
18
36
26
80
20
100
7.2.2. Оценивание аудиторной работы студентов
I семестр
Таблица 6
№
1
2
Наименование
раздела
дисциплины
Матрицы,
определители и
системы линейных
уравнений
Векторная алгебра.
Системы координат
Формы оцениваемой работы
Максимальное
Модуль
количество
(аттестация)
баллов
Работа на лекциях
Посещение лекции
Участие в обсуждении
0,5
0,5
Посещение лекции
Участие в обсуждении
0,5
0,5
11
1
1, 2
3
4
5
1
2
3
4
Прямая линия на
плоскости
Посещение лекции
Участие в обсуждении
0,5
0,5
2, 3
Плоскость в
пространстве
Посещение лекции
Участие в обсуждении
0,5
0,5
3
Прямая линия и
Посещение лекции
0,5
плоскость в
Участие в обсуждении
0,5
пространстве
Работа на практических (семинарских, лабораторных) занятиях
Векторная алгебра.
Посещение занятия
0,5
Системы координат Участие в обсуждении
0,5
Решение задач у доски
1
Прямая линия на
Посещение занятия
0,5
плоскости
Участие в обсуждении
0,5
Решение задач у доски
1
Плоскость в
Посещение занятия
0,5
пространстве
Участие в обсуждении
0,5
Решение задач у доски
1
Прямая линия и
Посещение занятия
0,5
плоскость в
Участие в обсуждении
0,5
пространстве
Решение задач у доски
1
3
1, 2
2, 3
3
3
II семестр
Таблица 6
№
Наименование
раздела
дисциплины
Формы оцениваемой работы
Максимальное
Модуль
количество
(аттестация)
баллов
5.
Преобразования
плоскости
Работа на лекциях
Посещение лекции
Участие в обсуждении
6.
Кривые второго
порядка
Посещение лекции
Участие в обсуждении
0,5
0,5
2,3
7.
Поверхности
второго порядка
Посещение лекции
Участие в обсуждении
0,5
0,5
3
8
Геометрия
Посещение лекции
0,5
проективной
Участие в обсуждении
0,5
плоскости
Работа на практических (семинарских, лабораторных) занятиях
Преобразования
Посещение занятия
0,5
плоскости
Участие в обсуждении
0,5
Решение задач у доски
1
Кривые второго
Посещение занятия
0,5
порядка
Участие в обсуждении
0,5
Решение задач у доски
1
Поверхности
Посещение занятия
0,5
5.
6.
7.
12
0,5
0,5
2
3
2
2, 3
3
второго порядка
8
Геометрия
проективной
плоскости
Участие в обсуждении
Решение задач у доски
Посещение занятия
Участие в обсуждении
Решение задач у доски
0,5
1
0,5
0,5
1
3
7.2.3. Оценивание самостоятельной работы студентов
Таблица 7
I семестр
№
1
Наименование
раздела (темы)
дисциплины
Матрицы,
определители и
системы линейных
уравнений
2
Векторная алгебра.
Системы координат
3
Прямая линия на
плоскости
4
5
Плоскость в
пространстве
Векторы. Прямая
линия на плоскости.
Различные способы
задания плоскости.
Формы оцениваемой работы
1) Самостоятельная работа № 1
«Элементы векторной алгебры»
2) Тест «Векторы. Базис
векторного пространства»
3) Самостоятельная работа № 3
Домашнее задание
1) Самостоятельная работа № 1
«Элементы векторной алгебры»
2) Тест «Векторы. Базис
векторного пространства»
3) Самостоятельная работа № 3
Домашнее задание
1) Самостоятельная работа № 4
«Различные способы задания
прямой на плоскости»
2) Самостоятельная работа № 5
«Взаимное расположение
прямых. Угол между прямыми»
Домашнее задание
Домашнее задание
Контрольная работа № 1
Коллоквиум
Максимальное
Модуль
количество
(аттестация)
баллов
3
1
4
1
3
6
2
1
3
2
3
3
6
3
2
3
4
4
3
3
II семестр
№
Наименование
раздела (темы)
дисциплины
Формы оцениваемой работы
13
Максимальное
Модуль
количество
(аттестация)
баллов
4.
5.
6.
7
Прямая линия и
плоскость в
пространстве
Преобразования
плоскости
Кривые второго
порядка
Самостоятельная работа № 6
«Различные способы задания
плоскостей в пространстве.
Взаимное расположение и угол
между плоскостями»
Самостоятельная работа № 7
«Различные способы задания
прямых и плоскостей в
пространстве»
Самостоятельная работа № 8
«Взаимное расположение прямых
в пространстве»
Самостоятельная работа № 9
«Прямые и плоскости в
пространстве»
Домашнее задание
3
1
3
1
3
1
3
2
2
2
Самостоятельная работа № 10
«Эллипс, гипербола и парабола»
Коллоквиум № 2
Контрольная работа № 2
3
3
4
4
3
3
Линии и
поверхности второго
порядка
7.2.4. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости
1 семестр
Контрольная работа №1
по дисциплине «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
1. Укажите букву, под которой записано верное утверждение:
а) При транспонировании матрицы её определитель изменяется.
б) Если все элементы некоторой строки определителя состоят из нулей, то определитель
матрицы равен нулю.
в) Рангом матрицы называется наименьший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.
2. Найдите сумму и произведение матриц А и В:
3 1 1 
1 0 1 




А   2 1 2 ; В   2 1  1
1 2 3 
 0 1  1




3. Вычислите определитель:
0 3 5
4 3 7
3 1 2
4. Решите систему линейных алгебраических уравнений методами Крамера, матричным и
Гаусса.
14
 х  2 у  3z  14

2 x  y  z  1
3x  2 y  2 z  13

5. (Дополнительно) Найдите неизвестную матрицу Х из следующего матричного уравнения:
 2 1  1  1 
  

Х 
2 
3 2  0
Контрольная работа №2
по дисциплине «Аналитическая геометрия и линейная алгебра», 1 семестр
Вариант 1
1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки А(5;2) и В(3;-1).
2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (5, 3) перпендикулярно
прямой 3x - 2y + 4 = 0.
3. Даны 3 вершины треугольника A(2, 1), B(-2, 1), C(1, 6). Найти длину вектора высоты
CH и площадь треугольника ABC.
4. Даны три вершины треугольника А(2,3), В(4,1), С(5,2). Составить уравнение:
а) медианы, проведённой из точки С.
в) высоты, опущенной из т. А.
5. Дано общее уравнение прямой 11х – 4у – 44 = 0. Составить уравнение этой прямой: а)
с угловым коэффициентом; б) в отрезках.
Вопросы к экзамену
по дисциплине «Аналитическая геометрия и линейная алгебра», 1 семестр
1. Действия с матрицами. Свойства действий с матрицами
2. Определители. Определители второго порядка
3. Определители третьего порядка
4. Алгебраические дополнения и миноры
5. Свойства определителей. Вычисление определителей
6. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы
7. Системы линейных уравнений
8. Правило Крамера
9. Матричный метод решения систем линейных уравнений
10. Ранг матрицы.
11. Метод Гаусса
12. Определение вектора, операции над векторами, их свойства.
13. Линейная зависимость векторов. Признаки коллинеарности и компланарности
векторов.
14. Базис векторного пространства. Координаты вектора относительно данного базиса.
Свойства координат.
15. Аффинная и прямоугольная системы координат на плоскости. Деление отрезка в
данном отношении.
16. Скалярное произведение векторов. Примеры.
17. Прямая на плоскости, заданная точкой и направляющим вектором, каноническое и
параметрическое уравнение.
18. Прямая, заданная двумя точками. Уравнение прямой в отрезках. Примеры.
15
19. Прямая на плоскости, заданная точкой и ортогональным вектором. Общее уравнение
прямой. Направляющий и ортогональный вектор прямой заданной общим уравнением.
20. Прямая на плоскости, заданная точкой и угловым коэффициентом.
21. Угол между прямыми на плоскости, заданными направляющими векторами,
ортогональными векторами, общими уравнениями, угловыми коэффициентами.
Примеры.
22. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой.
23. Отображения, их виды, преобразования множества, композиция преобразований,
движения.
24. Осевая симметрия, параллельный перенос, скользящее отражение, свойства.
25. Поворот, центральная симметрия, их свойства.
26. Группа движений, свойства движений.
27. Классификация движений плоскости.
Задачи к экзамену по дисциплине
1 семестр
1. Являются ли векторы p1  7a и p 2  3 5 a коллинеарными?
2. Найти скалярное произведение векторов a (2; –1) и b (2; 3), координаты которых заданы в
ортонормированном базисе и вычислить косинус угла между ними.
3. Даны 3 вершины треугольника A(1,-1), B(-3,3), C(3,4). Вычислить какую-нибудь функцию
угла ABC.
4. Даны 3 вершины треугольника A(3,0), B(-1,3), C(5,5). Найти длины его сторон,
координаты и длину вектора медианы AO.
5. Даны 3 вершины треугольника A(2,1), B(-2,1), C(1,6). Найти длину вектора высоты CH и
площадь треугольника ABC.
6. Даны 3 вершины треугольника A(1,-1), B(-3,3), C(3,4). Найти площадь треугольника
ABC.
7. Напишите уравнение прямой, параллельной вектору a (1,3) и проходящей через точку
М(3,1).
8. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку A(1;2) параллельно прямой
4x – 5y + 10 = 0.
9. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точку A(1; 2), перпендикулярно
прямой 3x – y + 4 = 0.
10. Даны вершины треугольника: A(4, 6), B(-4, 0), C(-1, -4). Составить уравнения:
a) трех сторон; б) медианы, проведенной из точки C; в) высоты, опущенной из точки A на
сторону BC.
11. Определить расстояние от точки М(3, 4) до прямой, проходящей через точку А(2, 1)
параллельно прямой x + 2y - 5 = 0.
II семестр
Вопросы к коллоквиуму № 1
на тему: «Прямая на плоскости»
1. Прямая на плоскости, заданная точкой и направляющим вектором, каноническое и
параметрическое уравнение. Примеры.
2. Прямая на плоскости, заданная двумя точками и ее уравнение.
3. Уравнение прямой на плоскости в отрезках. Примеры.
4. Прямая на плоскости, заданная точкой и ортогональным вектором и ее уравнение. Примеры.
16
5. Прямая на плоскости, заданная точкой и угловым коэффициентом и ее уравнение. Примеры.
6. Общее уравнение прямой. Направляющий и ортогональный вектор к прямой, заданной
общим уравнением. Примеры.
7. Угол между прямыми заданными направляющими и ортогональными векторами, общими
уравнениями. Примеры..
8. Угол между прямыми, заданными угловыми коэффициентами. Примеры.
9. Взаимное расположение прямых, заданных общими уравнениями. Примеры.
10. Расстояние от точки до прямой. Примеры.
Контрольные и самостоятельные работы по дисциплине
Контрольная работа по дисциплине «Аналитическая геометрия» №1
Вариант 1
1. Даны 3 вершины треугольника A(1,-1), B(-3,3), C(3,4). Вычислить какую-нибудь
функцию угла ABC.
2. Даны 3 вершины треугольника A(2, 1), B(-2, 1), C(1, 6). Найти длину вектора высоты
CH и площадь треугольника ABC.
3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (5, 3) перпендикулярно
прямой 3x - 2y + 4 = 0.
4. Даны три вершины треугольника А(2,3), В(4,1), С(5,2). Составить уравнение:
а) медианы, проведённой из точки С.
в) высоты, опущенной из т. А.
5. Напишите уравнения плоскости, проходящей через точку М(-1,3,0)
перпендикулярно вектору m (2, -1, 1).
Вариант 2
1. Даны 3 вершины треугольника A(-1,1), B(3,-3), C(3,0). Вычислить какую-нибудь
функцию угла ABC.
2. Даны 3 вершины треугольника A(3,0), B(-1,3), C(5,5). Найти длины его сторон,
координаты и длину вектора медианы AO.
3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (5, 3) параллельно прямой
3x - 2y + 4 = 0.
4. Даны три вершины треугольника А(2,3), В(4,2), С(6,2). Составить уравнение:
а) медианы, проведённой из точки А.
в) высоты, опущенной из т. А.
5. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (1, 2, 3)
параллельно векторам a (2, 3, 4) и b (1, 5, 2).
Самостоятельная работа № 1
«Элементы векторной алгебры»
Вариант 1
I уровень Выбрать номер правильного ответа
1. Закончить фразу: два вектора называются коллинеарными, если направленные отрезки их
порождающие:
а) параллельны одной и той же плоскости;
б) параллельны одной и той же прямой;
в) взаимно перпендикулярны.
Ответ: 1) а; 2) б; 3) в; 4) все 3 неверны.
2. Какое из определений верно: конечная система векторов a1, a2, …, an, называется линейно
зависимой, если
17
а) она содержит нулевой вектор; б) существуют отличные от нуля скаляры 1 ,  2 ,...,  n  R
такие, что 1a1   2 a2  ... n an  0 .
в) для любых 1 ,  2 ,...,  n  R
1a1   2 a2  ... n an  0  1  0,  2  0,...,  n  0 .
Ответ: 1) а; 2) б; 3) в; 4) все 3 неверны; 4) а,б.
3. Какое из высказываний истинно: 1) если векторы a, b, c компланарны, то векторы a и b
коллинеарны; 2) векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда векторы a, b, c
компланарны;
3) если векторы a и b коллинеарны, то векторы a, b, c компланарны.
Ответ: 1) первое; 2)второе; 3) третье; 4) все истинны.
4. Сформулировать и изобразить: а) правило треугольников,
б) определение разности векторов, изобразить разность векторов (имеющих общее начало).
II уровень 5. Найти скалярное произведение векторов a (2; –1) и b (2; 3), координаты
которых заданы в ортонормированном базисе и вычислить косинус угла между ними.
6. Даны три вершины треугольника А(2,1), В(-2,1), С(1,6). Найти длины сторон треугольника,
длину медианы СМ, длину высоты СН и площадь треугольника АВС.
IIIуровень 7. Найти длину биссектрисы ВD в задаче № 6.
Вариант 2
I уровень Выбрать номер правильного ответа
1. Закончить фразу: два вектора называются компланарными, если направленные отрезки их
порождающие:
а) параллельны одной и той же плоскости;
б) параллельны одной и той же прямой;
в) попарно взаимно перпендикулярны.
Ответ: 1) а; 2) б; 3) в; 4) все 3 неверны.
2. Какое из определений верно: конечная система векторов a1, a2, …, an, называется линейно
независимой, еслиа) она не содержит нулевой вектор; б) существуют одновременно не равные
нулю скаляры 1 ,  2 ,...,  n  R такие, что 1a1   2 a2  ... n an  0 .
в) для любых 1 ,  2 ,...,  n  R
1a1   2 a2  ... n an  0  1  0,  2  0,...,  n  0 .
Ответ: 1) а; 2) б; 3) в; 4) все 3 неверны; 4) а, в.






3. Среди векторов a1  3e2 , a2  2e1  5e3 , a3  2e2  e3 , a4  4e3 , a5  e1 , a6  e2  3e3 ,

  

a 7  e1  2e2  3e3 , a8  0 , заданных в базисе {e1 , e2 , e3 } , указать все векторы компланарные с
 
векторами {e2 , e3 } .
   
    
    
Ответ: 1) {a1 , a3 , a4 , a5 } ; 2) {a1 , a3 , a4 , a5 , a8 } ; 3) {a1 , a3 , a4 , a6 , a8 } ;
   
4) {a1 , a3 , a4 , a6 }
4. Сформулировать и изобразить: а) правило параллелограмма,
г) определение умножения вектора на скаляр.
II уровень 5. Найти скалярное произведение векторов a (-1; 2) и b (3; 2), координаты
которых заданы в ортонормированном базисе и вычислить косинус угла между ними.
6. Даны три вершины треугольника А(1,2), В(6,1), С(1,-2). Найти длины сторон треугольника,
длину медианы СМ, длину высоты BН и площадь треугольника АВС.
III уровень 7. Найти длину биссектрисы ВD в задаче № 6.
18
Самостоятельная работа № 2 (Тест)
Выбрать номер правильного ответа






1. Среди векторов a1 (0,3,0) , a2 (2,0,5) , a3 (0,2,1) , a4 (0,0,4) , a5 (1,0,0) , a6 (0,1,  3) ,


  
a 7 (1,2,3) , a8 (0,0,0) , заданных в базисе {e1 , e2 , e3 } , указать все векторы компланарные с векторами
 
{e2 , e3 } .
   
    
   
    
Ответ: 1) {a1 , a3 , a4 , a5 } ; 2) {a1 , a3 , a 4 , a5 , a8 } ; 3) {a1 , a3 , a4 , a6 , a8 } ; 4) {a1 , a3 , a4 , a6 }
2. Какое из определений верно?
Базисом векторного пространства называется такая упорядоченная система векторов этого
пространства, которая удовлетворяет двум условиям:
1) – векторы этой системы линейно независимы;
– всякий вектор пространства является линейной комбинацией векторов этой системы.
2) – векторы этой системы линейно независимы;
– хотя бы один вектор пространства является линейной комбинацией векторов этой системы.
Ответ: 1) первое; 2) второе; 3) оба верны; 4) оба неверны.
3. Какими из свойств, аналогичных следующим свойствам произведения чисел, обладает
скалярное произведение векторов:
а) если ab = 0, то хотя бы одно из чисел a и b равно нулю;
б) ab =ba; в) если ab = сb и b  0, то a = c; г) (a + b)c = ac + bc;
д) a(bc) = (ab)c?
Ответ: 1) а, б; 2) б, г; 3) а, г; 4) б, д.
4. Какие из указанных свойств могут служить необходимым и достаточным условием того,
чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом: а) AB  DC ; б) OA  OC  OB  OD , где О –
произвольная точка; в) AC  AB  AD ; г) MD  MC  CD , где М – точка пересечения диагоналей.
Ответ: 1) а, б, г; 2) б, в, г; 3) а, б, в; 4) а, в, г.
5. Какое из высказываний является истинным: а) если три вектора линейно зависимы, то они
компланарны; б) три вектора линейно зависимы, когда они компланарны.
Ответ: 1) первое; 2) второе; 3) оба истинны; 4) оба ложны.
6. Векторы называются линейно зависимыми, если их линейная комбинация равна 0 …
Вместо многоточия вставить номер условия, при котором все высказывание оказалось бы
истинным. 1) при любом наборе коэффициентов; 2) если хотя бы один из коэффициентов не равен 0; 3)
если все коэффициенты не равны 0; 4) если все коэффициенты равны 0.
Ответ: 1); 2); 3); 4) .
7. Какое из высказываний истинно:
1) если векторы a, b, c компланарны, то векторы a и b коллинеарны;
2) векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда векторы a, b, c компланарны;
3) если векторы a и b коллинеарны, то векторы a, b, c компланарны.
Ответ: 1) первое; 2)второе; 3) третье; 4) все истинны.
8. Дан вектор d ( ,  ,  ) относительно базиса B  {a, b, c}векторного пространства V. Каковы
1 
2




1
1
Ответ: 1) d ( ,2  , ) ; 2) d ( ,  , ) ; 3) d ( ,2  ,  ) ; 4) d ( ,  ,  )
2
2

координаты вектора  d относительно базиса B   {a , b , c} ?
19


2
3
Самостоятельная работа № 3
Вариант 1
1. Дать определение эквиполлентных векторов.
2. Сформулировать и изобразить:
а) правило треугольников,
б) определение разности векторов, изобразить разность векторов (имеющих общее начало).
9. Какой угол образуют в пространстве векторы a (1,5,1) и b ( 2,1, )
3. Являются ли векторы p1  7a и p 2  3 5 a коллинеарными?
4. Если векторы AB (-6, -5, 2), BC (2, 3, -4) и CD (3, -5, 1) являются сторонами
четырехугольника АВСD, то модуль скалярного произведения векторов - диагоналей этого
четырехугольника равен: 1) 8; 2) 9; 3) 10; 4) 11; 5) 12.
Вариант 2
1. Дать определение вектора.
2. Сформулировать и изобразить:
а) правило параллелограмма,
г) определение умножения вектора на скаляр.
3. а, в, с – некомпланарные векторы. Являются ли векторы
p1  a  2 2 b  6 c и
p 2  2 a  4b  2 3 c коллинеарными?
4. Если в параллелограмме АВСD заданы CB (2, -1, 4), CD (-3, 2, 1),
координат точки С равна: 1) 1; 2) -1; 3) 2; 4) -2; 5) 3.
А(5, -3, 2), то сумма
Самостоятельная работа 4
«Различные способы задания прямой на плоскости»
Вариант 1
1. Написать уравнение прямой, заданной
а) точкой и направляющим вектором;
б) точкой и ортогональным вектором;
в) в отрезках a и b.
2. Написать уравнение прямой, проходящей
через точку А (5, 3) перпендикулярно
прямой 3x - 2y + 4 = 0.
3. Даны три вершины треугольника А(2,3), В(4,1), С(5,2). Составить уравнение
а) медианы, проведённой из точки С. в) высоты, опущенной из т. А.
4. Найти точку симметричную данной точке P(5,6) относительно прямой, проходящей чрез
точку A(2, 2) под углом 45 к прямой 3x + y – 4 = 0.
Вариант № 2
1. Написать уравнение прямой, заданной
а) двумя точками;
б)общее уравнение прямой;
в) точкой и угловым коэффициентом.
2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (1, 2) параллельно прямой
5x + 7y - 2 = 0.
3. Даны три вершины треугольника А(3,1), В(1, 3), С(5, 2). Составить уравнение
а)медианы, проведённой из точки С.
в) высоты, опущенной из т. А.
20
4. Найти точку симметричную данной точке P(2,3) относительно прямой, проходящей
через точку A(4, 2) под углом 45 к прямой 3x + y – 1 = 0.
Самостоятельная работа № 5
«Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми»
Вариант 1
1. Как расположены прямые, заданные уравнениями:
l1 : 5x – 2y + 4 = 0 и l2 : 7x + 3y - 2 = 0.
2. Определить расстояние от точки М(3, 4) до прямой, проходящей через точку А(2, 1)
параллельно прямой x + 2y - 5 = 0.
3. Определить угол между двумя прямыми:
l1 : 3x – 2y + 1 = 0 и l2 : 5x + y +1 = 0.
Вариант 2
1. Как расположены прямые, заданные уравнениями:
l1 : 3x + 2y - 5 = 0 и l2 : 6x + 4y - 3 = 0.
2. Определить расстояние от точки М(4, 3) до прямой, проходящей через точку А(1, 2)
перпендикулярно прямой – x + 4y + 6 = 0.
3. Определить угол между двумя прямыми:
l1 : 2x + 3y - 4 = 0 и l2 : 3x -2 y +5 = 0.
Самостоятельная работа
Тема: «Эллипс, гипербола и парабола»
Вариант 1
1. Напишите уравнение эллипса, фокусы которого лежат симметрично относительно начала координат, если
а) F1 (-8, 0), F2 (8, 0) и a = 10 – большая полуось; б ) F1 (-4, 0), F2 (4, 0) и х   25 – уравнения директрис;
в) B
4
(0, 6) – вершина, F (3, 0) – фокус.
2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно
начала координат, зная:
а) F (5, 0) – фокус и b = 4 – мнимая полуось; б) 2c = 6 (фокальное расстояние),   3 (эксцентриситет); в) y =
2
4 x – уравнения асимптот и F(-10, 0) – фокус.

3
3. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная что: а) парабола
расположена симметрично относительно оси Оx и проходит через точку М (9; 6); б) парабола расположена
симметрично относительно оси Оx и проходит через точку М (-1; 3).
4. Даны уравнения асимптот гиперболы y =  3 x и уравнения директрис x =  1 . Составить каноническое
уравнение гиперболы.
Вопросы к экзамену
по дисциплине «Аналитическая геометрия и линейная алгебра», 2 семестр
1. Эллипс. Определение эллипса. Вывод канонического уравнения.
2. Эксцентриситет, директрисы эллипса. Касательная к эллипсу. Примеры.
3. Гипербола. Определение гиперболы. Вывод канонического уравнения.
4. Асимптоты, эксцентриситет, директрисы гиперболы. Касательная к гиперболе. Примеры.
5. Парабола. Определение параболы. Вывод канонического уравнения.
6. Асимптоты, эксцентриситет, директрисы параболы. Касательная к параболе. Примеры.
7. Общее уравнение кривой второго порядка. Приведение общего уравнения кривой
второго порядка к каноническому виду в декартовой системе координат.
21
8. Классификация линий второго порядка.
9. Центры линии второго порядка. Примеры.
10. Касательная линии второго порядка. Примеры.
11. Асимптотические направления кривой второго порядка.
12. Диаметры линии второго порядка. Главные диаметры линии.
Задачи к экзамену по дисциплине
«Аналитическая геометрия и линейная алгебра», 2 семестр
1. Напишите уравнение эллипса, фокусы которого лежат симметрично относительно
начала координат, если
а) F1(-4, 0), F2(4, 0) и b = 3 – малая полуось;
25
б) F1(-8, 0), F2(8, 0) и x = 
– уравнения директрис;
2
в) B1(0, -3) – вершина, F(5, 0) – фокус.
2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс
симметрично относительно начала координат, зная:
а) F(6, 0) – фокус и а = 5 – действительная полуось;
4
б) 2c = 8(фокальное расстояние),   (эксцентриситет);
3
5
в) y =  x – уравнения асимптот и F( 29 , 0) – фокус.
2
3. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная
что:
а) парабола расположена симметрично относительно оси ОY и проходит через точку М
(1; 1);
б) парабола расположена симметрично относительно оси ОY и проходит через точку М
(4; -8).
4. Даны уравнения асимптот гиперболы: y=  3 x и уравнения директрис x =  1 .
Составить каноническое уравнение гиперболы.
5. Изобразить следующие линии второго порядка:
а) 2x2 + 4y2 = 9; б) 4x2 – y2 = – 4; в) y2 = 4x – 3.
6. Найти центр линии второго порядка 9 x2 – 4xy + 6 y2 – 8x + 10 y – 2 = 0.
Вопросы к коллоквиуму № 2
1. Эллипс. Определение эллипса, вывод уравнения, исследование формы эллипса по его
уравнению. Эксцентриситет, директрисы и директориальное свойство эллипса. Касательная к
эллипсу. Примеры.
2. Гипербола. Определение гиперболы, вывод уравнения, исследование формы
гиперболы по ее уравнению. Асимптоты, эксцентриситет, директрисы и директориальное
свойство гиперболы. Касательная к гиперболе. Примеры.
3. Парабола. Определение параболы, вывод уравнения, исследование формы параболы
по ее уравнению. Различные виды канонического уравнения параболы. Касательная к
параболе. Примеры.
4. Общее уравнение линии второго порядка в прямоугольной декартовой системе
координат. 9 канонических уравнений линий второго порядка.
5. Центр линии второго порядка. Примеры.
6. Пересечение линии второго порядка с прямой. Касательная линии второго порядка.
Примеры.
22
Контрольная работа № 2
1. Изобразить линии второго порядка:
а) 2x2 + 4y2 = 9;
б) 4x2 – y2 = – 4;
в) y2 = 4x – 3.
2. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная
что:
а) парабола расположена симметрично относительно оси Оx и проходит через точку М(9; 6);
б) парабола расположена симметрично относительно оси Оx и проходит через точку М(-1; 3).
3. Найти центры линии второго порядка:
x2 – 2xy + 3y2 – 4 x y + 6  x – 2  y + 1 = 0.
4. Найти уравнения касательных к линии x2 – 2x y + 3  y2 – 4  x + 8  y = 0 в точках ее
пересечения с прямой x – y = 0.
Самостоятельная работа № 6
«Различные способы задания плоскостей в пространстве. Взаимное расположение и угол
между плоскостями»
Указать номер правильного ответа

 

1. Скалярное произведение a ∙ b векторов a (1, 0, 1) и b (2, 3, 4) равно
Варианты ответов
1) (2, 0, 4); 2) (3, 3, 5); 3) 6.

 

2. Векторное произведение a × b векторов a (1, 0, 1) и b (2, 3, 4) равно
Варианты ответов
1) (2, 0, 4); 2) (-3, -2, 3); 3) (-3, 2, 3).



3. Смешанное произведение векторов a (2, 1, 0), b (1, 3, 4) и c (0, 1, 5) равно
Варианты ответов
1) 17; 2) (0, 3, 0); 3) 3.
4. Уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (1, 0, 2) перпендикулярно вектору

m (1, 2, 5) имеет вид
Варианты ответов
1) x + 2z - 11 = 0; 2) x + 2y + 5z - 11 = 0; 3) 2x – 2z = 0.
5. Закончить фразу: плоскости П1: x + 2y - 3z + 4 = 0 и П2: 2x + 4y -6z +5 = 0 ….
Варианты ответов
1) пересекаются по одной прямой; 2) совпадают; 3) параллельны.
6. Закончить фразу: угол между плоскостями П1: 2x+ 2y - 3z + 4 = 0 и П2:5x + 4y + 6z +5 = 0…
Варианты ответов
1) 1800; 2) 900; 3) 00.
Самостоятельная работа № 7
«Различные способы задания прямых и плоскостей в пространстве»
Вариант 1
1. Напишите все виды уравнений плоскости, проходящей через точку А(4, -2, 5) и прямую l,
заданную пересечением двух плоскостей:
 2 x  y  z  10  0
.

x  4 y  5z  4  0
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую l1
23
 x  1  3t
2 x  y  z  3  0

.
 y  3  2t., t  R , параллельную прямой l2 
x

2
y

z

5

0

 z  2  t

3. Составить уравнение плоскости, проходящие через две параллельные прямые
x  2 y 1 z  3
x 1 y  2 z  3




l1 :
и l2:
.
3
2
2
3
2
2
4. Напишите все виды уравнений плоскости, проходящие через 2 прямые:
 2x  y  z  1  0
x5 y 5 z 5


l1 : 
и l2:
.
1
11
9
x  4 y  5z  4  0
Вариант 2
1. Напишите каноническое и параметрическое уравнения прямой, проходящей через точку
А(2, 0, 1) параллельно вектору a (3, 4, 7).
2. Напишите прямой, проходящей через точки А(3, 0, 1) и В(0, 2, 2).
3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямую
x  3 y  2 z 1
x5 y 2 z 4




, параллельно прямой
.
1
3
4
2
1
3
.
4. Найдите угол между плоскостями:
2x + 2y – z = 0 и x – 2 y –3z – 1 = 0.
x2 y z2
 
5. Найдите угол между прямой
и плоскостью 3x – y – 2z – 3 = 0.
1
3
2
6. Даны вершины тетраэдра А(0, 0, 0), В(1, -3, 0), С(1, 2, 0), D(0, 0, 5). Найдите длину высоты
этого тетраэдра, опущенной из вершины А.
Самостоятельная работа № 8
«Взаимное расположение прямых в пространстве»
Вариант 1
1. Как расположены прямые l1 и l2? Найти расстояние между ними.
x5 y 5 z 5
x 1 y 1 z 1




l1 :
и l2:
.
1
1
1
5
5
5
2. Как расположены прямые l1 и l2? Найти расстояние между ними.
 x  1  5t
x5 y 5 z 5



l1:
и l2:  y  1  2t , t  R .
1
1
1
 z 1

3. Как расположены прямые l1 и l2? Найти расстояние между ними.
 x  5  6t
x4 y 3 z 2



l1:
и l2:  y  6  2t , t  R .
3
1
4
 z  3  8t

4. Как расположены прямые l1 и l2? Найти расстояние между ними.
x  2  t

l1:  y  1  t , t  R и l2:
z  3  t

 x  y  2z  1  0
.

2 x  y  z  7  0
24
Самостоятельная работа № 9
Тема: «Прямые и плоскости в пространстве»
Вариант 1
1. Напишите каноническое и параметрическое уравнения прямой, проходящей через точку

M0 (3, 0, 1) параллельно вектору a (2, 5, 6).
2. Найдите угол между плоскостями  : 2x + y – z = 0 и  : x – 3y +2z –1 =0.
3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (1, 2, 3)
параллельно векторам a (2, 3, 4) и b (1, 5, 2).
4. Даны вершины тетраэдра А(0, 0, 0), В(1, -3, 0), С(1, 2, 0), Д(0, 0, 5).
Найдите объем и длину высоты этого тетраэдра, опущенного из вершины Д.
x2 y z2
 
5. Найдите угол между прямой
и плоскостью 3x – y – 2z –3 = 0.
1
3
2
Вариант 2
1. Напишите уравнения плоскости, проходящей через точку М(-1,3,0)
перпендикулярно вектору m (2, -1, 1).
2. Найдите угол между прямыми:
x  2 y 1 z
x5 y 2 z 4




и
.
1
2
3
2
1
3
 2 x  y  3z  1  0
3. Напишите каноническое уравнения прямой, заданной уравнениями: 
.
4 x  y  2 z  5  0
4. Даны вершины тетраэдра А(4, 2, 5), В(0, 2, 2), С(0, 2, 7), Д(1, 5, 0).
Найдите объем тетраэдра и длину высоты этого тетраэдра, опущенного из вершины Д.
x 1
y
z 1


5. Найдите угол между прямой
и плоскостью 2x + 3y – z – 6 = 0.
3
2
1
Самостоятельная работа № 10
Тема: «Эллипс, гипербола и парабола»
Вариант 1
1. Напишите уравнение эллипса, фокусы которого лежат симметрично относительно начала
25
координат, если а) F1(-8, 0), F2(8, 0) и a = 10 – большая полуось; б) F1(-4, 0), F2(4, 0) и x = 
–
4
уравнения директрис;
в) B(0, 6) – вершина, F(3, 0) – фокус.
2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс
симметрично относительно начала координат, зная:
а) F(5, 0) – фокус и b = 4 – мнимая полуось;
3
4
б) 2c = 6 (фокальное расстояние),   (эксцентриситет); в) y =  x –
2
3
уравнения асимптот и F(-10, 0) – фокус.
3. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная что: а)
парабола расположена симметрично относительно оси Оx и проходит через точку М(9; 6); б)
парабола расположена симметрично относительно оси Оx и проходит через точку М(-1; 3).
4. Даны уравнения асимптот гиперболы y =  3 x и уравнения директрис x =  1 . Составить
каноническое уравнение гиперболы.
25
Вариант 2
1. Напишите уравнение эллипса, фокусы которого лежат симметрично относительно начала
координат, если а) F1(-4, 0), F2(4, 0) и b = 3 – малая полуось;
25
б) F1(-8, 0), F2(8, 0) и x = 
– уравнения директрис;
2
в) B/(0, -3) – вершина, F(5, 0) – фокус.
2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс
симметрично относительно начала координат, зная: а) F(6, 0) – фокус и а = 5 – действительная
4
5
полуось; б) 2c = 8(фокальное расстояние),   (эксцентриситет); в) y =  x – уравнения
3
2
асимптот и F( 29 , 0) – фокус.
3. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная что: а)
парабола расположена симметрично относительно оси ОY и проходит через точку М(1; 1); б)
парабола расположена симметрично относительно оси ОY и проходит через точку М(4; -8).
4. Даны уравнения асимптот гиперболы: y =  3 x и уравнения директрис x =  1 . Составить
каноническое уравнение гиперболы.
Самостоятельная работа № 11
Задание
Привести к каноническому виду уравнение кривой; построить ее относительно
первоначальной системы координат; записать формулы изменения координат точек при
переходе от первоначальной системы координат, относительно которой линия задана
каноническим уравнением: 8x2 + 4xy + 5y2 + 16x +4y – 28 = 0.
Самостоятельная работа № 12
Вариант 1
На проективной плоскости задана проективная (однородная) система координат
1.
2.
3.
4.
5.
Написать уравнение прямой, проходящей через точки M(–3 : 2 : 4) и
Найти координаты точки пересечения прямых:
2x1 – 3x2 + x3 = 0 и 5x1 + x2 – 3x3 = 0.
Проверить, коллинеарны ли точки A(–3: 2: 5), B(8 : 1 : 4), C(5 : 3 : 9).
Проверить, пересекаются ли прямые в одной точке:
x1 – 3x2 + x3 = 0, 2x1 + x2 = 0, 5x1 – 7x3 = 0.
Определить вид линий второго порядка на проективной плоскости:
а) x12 – 2x22 + x32 – 2x1x2 + 4x1x3 = 0,
б) x1x3 – x32 = 0.
N(2 : 1 : –5).
Вариант 2
На проективной плоскости задана проективная (однородная) система координат
1. Написать уравнение прямой, проходящей через точки M(–1 : 3 : 8) и N(1 : 2 : –5).
2. Найти координаты точки пересечения прямых: –2x1 + 3x2 + x3 = 0 и 5x1 – x2 + 3x3 = 0.
3. Проверить, коллинеарны ли точки A(3: –2: –5), B(8 : –1 : 4), C(–5 : 3 : 9).
4. Проверить, пересекаются ли прямые в одной точке:
x1 + 3x2 + 2·x3 = 0, 2x1 – x2 = 0, 5x1 + 8x3 = 0.
5. Определить вид линий второго порядка на проективной плоскости:
а) x12 + 2x22 + x32 – 2x1x2 – 4x1x3 = 0,
б) 7·x1x3 – 13·x32 = 0.
26
7.3. Оценочные средства промежуточной аттестации
7.3.1. Рубежные баллы рейтинговой системы оценки успеваемости студентов
Во втором семестре по дисциплине «Аналитическая геометрия» предусмотрен экзамен.
Для получения допуска к экзамену необходимо набрать не менее 61 балла (табл. 8). В третьем
семестре по данной дисциплине предусмотрен зачет (табл. 8).
Вид
аттестации
Допуск к
аттестации
Зачёт
40 баллов
61 балл
Таблица 8
Экзамен (соответствие рейтинговых баллов и
академических оценок)
Удовл.
Хорошо
Отлично
61-72 баллов 73-86 баллов
87-100 баллов
7.3.2. Оценочные средства для промежуточной аттестации
Вопросы к экзамену по дисциплине «Аналитическая геометрия»
I семестр
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Определение вектора, операции над векторами, их свойства.
Линейная зависимость векторов. Признаки коллинеарности и компланарности векторов.
Базис векторного пространства. Координаты вектора относительно данного базиса.
Свойства координат.
Аффинная и прямоугольная системы координат на плоскости. Деление отрезка в данном
отношении.
Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Примеры.
Прямая на плоскости, заданная точкой и направляющим вектором, каноническое и
параметрическое уравнение.
Прямая, заданная двумя точками. Уравнение прямой в отрезках. Примеры.
Прямая на плоскости, заданная точкой и ортогональным вектором. Общее уравнение
прямой. Направляющий и ортогональный вектор прямой заданной общим уравнением.
Прямая на плоскости, заданная точкой и угловым коэффициентом.
Угол между прямыми на плоскости, заданными направляющими векторами,
ортогональными векторами, общими уравнениями, угловыми коэффициентами. Примеры.
Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой.
Различные уравнения плоскости в пространстве. Уравнение плоскости, заданной точкой и
двумя направляющими векторами. Уравнение плоскости, заданной тремя точками.
Примеры.
Общее уравнение плоскости и его исследование.
Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Примеры.
Задачи к экзамену по дисциплине
I семестр
1. а) Являются ли векторы p1  7a и p 2  3 5 a коллинеарными ?






б) Среди векторов a1 (0,3,0) , a2 (2,0,5) , a3 (0,2,1) , a4 (0,0,4) , a5 (1,0,0) , a6 (0,1,  3) ,


  
a 7 (1,2,3) , a8 (0,0,0) , заданных в базисе {e1 , e2 , e3 } , указать все векторы компланарные с
 
векторами {e2 , e3 } .
2. Найти скалярное произведение векторов a (2; –1) и b (2; 3), координаты которых заданы в
ортонормированном базисе и вычислить косинус угла между ними.
3. Даны 3 вершины треугольника A(1,-1), B(-3,3), C(3,4). Вычислить какую-нибудь функцию
угла ABC.
27
4. Даны 3 вершины треугольника A(3,0), B(-1,3), C(5,5). Найти длины его сторон,
координаты и длину вектора медианы AO.
5. Даны 3 вершины треугольника A(2,1), B(-2,1), C(1,6). Найти длину вектора высоты CH и
площадь треугольника ABC.
6. Даны 3 вершины треугольника A(1,-1), B(-3,3), C(3,4). Найти площадь треугольника
ABC.
7. Напишите уравнение прямой, параллельной вектору a (1,3) и проходящей через точку
М(3,1).
8. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку A(1;2) параллельно прямой
4x – 5y + 10 = 0
9. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точку A(1; 2) перпендикулярно
прямой 3x – y + 4 = 0.
10. Даны вершины треугольника: A(4, 6), B(-4, 0), C(-1, -4). Составить уравнения:
a) трех сторон; б) медианы, проведенной из точки C; в) высоты, опущенной из точки A на
сторону BC.
11. Определить расстояние от точки М(3, 4) до прямой, проходящей через точку А(2, 1)
параллельно прямой x + 2y - 5 = 0.
12. Определить координаты векторного произведения a  b и его длину a  b , если даны
векторы a (2, 1, 3) и b (1, 2, -3). a (0, 1, 0). Вычислить смешанное произведение векторов
( c , d , p ), если c (2, 3, -1) и d (1, -1, 3), p (1, 9, -11). Будут ли векторы ( c , d , p )
компланарными ?
13. а) Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку A(3, 0, 1) параллельно
векторам a (2,5,6) и b (1, 2, 1). б) Напишите уравнение плоскости, проходящей через три
точки А(1, 3, 5), В(0,2,2), С(0,2,7). в) Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку
М(1, 3, 5) перпендикулярно вектору m (2, 7, 3).
14. Даны вершины тетраэдра А(0,0,0), В(1,-3,0), С(1,2,0), Д(0,0,5).Найдите объем и длину
высоты этого тетраэдра, опущенного из вершины А.
Требования к экзаменйу по дисциплине
II семестр
1.
2.
Не иметь долгов по контрольным и самостоятельным работам.
Знать основные понятия и утверждения изученной теории, иллюстрировать их примерами.
Вопросы к экзамену по дисциплине
1.
2.
3.
4.
5.
Различные способы задания прямой в пространстве. Параметрическое и каноническое
уравнение прямой уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором.
Уравнение прямой, заданной двумя точками. Примеры.
Прямая, заданная пересечением плоскостей. Примеры.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми, заданными
направляющими векторами. Примеры.
Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
Примеры.
Отображения, их виды, преобразования множества, композиция преобразований.
28
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Движения плоскости, простейшие виды движений: осевая симметрия, параллельный
перенос, скользящее отражение, поворот, центральная симметрия, их свойства.
Параллельный перенос. Свойства.
Группа движений, свойства движений.
Классификация движений плоскости.
Эллипс. Вывод канонического уравнения. Касательная к эллипсу.
Гипербола, вывод канонического уравнения. Касательная к гиперболе
Парабола. Вывод канонического уравнения. Касательная к параболе.
Общее уравнение кривой второго порядка. Приведение общего уравнения кривой
второго порядка к каноническому виду в декартовой системе координат.
Центры линии второго порядка.
Касательная линии второго порядка.
Асимптотические направления линии второго порядка.
Диаметры линии второго порядка. Главные диаметры линии.
Поверхности второго порядка. Понятие об общем уравнении поверхности второго
порядка.
Эллипсоид.
Однополостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид.
Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид.
Цилиндры второго порядка. Конусы второго порядка.
Задачи к экзамену по дисциплине
I. Указать номер правильного ответа в каждом задании. Система координат –
прямоугольная.


1. Скалярное произведение векторов a (1,0,1) и b (2,3,4) равно:
1) (2, 0, 4); 2) (3, 3, 5); 3) 6.


2. Векторное произведение векторов a (1,0,1) и b (2,3,4) имеет координаты:
1) (2, 0, 4); 2) (-3, -2, 3); 3) (-3, 2, 3).



3. Смешанное произведение векторов a (2,1, 0), b (1, 3, 4), c (0,1, 5) равно:
1) 17; 2) (0, 3, 0); 3) 3.
4. Уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (1, 0, 2) перпендикулярно вектору

m(1, 2, 5) имеет вид:
1) x + 2z – 11 = 0; 2) x + 2y + 5z – 11 = 0; 3) 2x – 2z = 0.
5. Плоскости x + 2y – 3z + 4 = 0 и 2x + 4y – 6z + 5 = 0
1) пересекаются по прямой; 2) совпадают; 3) параллельны.
6. Угол между плоскостями 2 x + 2y + 2z + 4 = 0 и 2x + 4y – 6z + 5 = 0 равен:
1) 180 0; 2) 90 0; 3) 0 0.
II.
7. Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямую
x  3 y  2 z 1
x5 y 2 z 4




, параллельно прямой
.
1
3
4
2
1
3
8. Найдите угол между плоскостями:
2x + y – z = 0 и x – 3 y +2z – 1 = 0.
9. Напишите каноническое и параметрическое уравнения прямой, проходящей через
точку А(3, 0, 1) параллельно вектору a (2, 5, 6).
10. Найдите уравнение прямой, заданной пересечением плоскостей:
 2 x  y  3z  1  0
.

4 x  y  2 z  5  0
29
11. Найдите угол между прямыми:
x  2 y 1 z


1
2
3
и
x5 y 2 z 4


.
2
1
3
x2 y z2
 
и плоскостью.
1
3
2
3x – y – 2z – 3 = 0.
 3x  y  2 z  1  0
13. Доказать, что прямая 
принадлежит плоскости 4х – 4y +7z – 3= 0.
2 x  2 y  3z  1  0
14. Даны вершины тетраэдра А(0, 0, 0), В(1, -3, 0), С(1, 2, 0), D(0, 0, 5). Найдите длину
высоты этого тетраэдра, опущенной из вершины А.
III.
15. Напишите уравнение эллипса, фокусы которого лежат симметрично относительно
начала координат, если а) F1(-4, 0), F2(4, 0) и b = 3 – малая полуось;
25
б) F1(-8, 0), F2(8, 0) и x = 
– уравнения директрис;
2
в) B/(0, -3) – вершина, F(5, 0) – фокус.
16. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс
симметрично относительно начала координат, зная: а) F(6, 0) – фокус и а = 5 – действительная
4
5
полуось; б) 2c = 8(фокальное расстояние),   (эксцентриситет); в) y =  x – уравнения
3
2
асимптот и F( 29 , 0) – фокус.
17. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат,
зная что: а) парабола расположена симметрично относительно оси ОY и проходит через точку
М(1; 1); б) парабола расположена симметрично относительно оси ОY и проходит через точку
М(4; -8).
18. Даны уравнения асимптот гиперболы: y=  3 x и уравнения директрис x =  1 .
Составить каноническое уравнение гиперболы.
19. Изобразить следующие линии второго порядка:
а) 2x2 + 4y2 = 9; б)4x2 – y2 = – 4; в) y2 = 4x – 3.
20. Найти центр линии второго порядка 9 x2 – 4xy + 6 y2 – 8x + 10 y – 2 = 0
IV.
21. Написать каноническое уравнение поверхности, определить ее вид и построить:
2x2 + y2 + 4z2 = 10.
22. В трапеции ABCD дано отношение оснований: |AD| : |BС| = a : b. Диагонали AС и
BD пересекаются в точке О. Найти отношение площади ∆ АОD к площади трапеции.
23. Две деревни А и В находятся по одну сторону от прямого шоссе а. В какой точке С
на шоссе а надо устроить остановку автобуса, чтобы сумма расстояний АС + СВ была
кратчайшей?
V. На проективной плоскости задана проективная (однородная) система координат
24. Написать уравнение прямой, проходящей через точки M(–1 : 3 : 8)и N(1 : 2 : –5).
25. Найти координаты точки пересечения прямых:
–2x1 + 3x2 + x3 = 0 и 5x1 – x2 + 3x3 = 0.
26. Проверить, коллинеарны ли точки A(3: –2: –5), B(8 : –1 : 4), C(–5 : 3 : 9).
27. Проверить, пересекаются ли прямые в одной точке:
x1 + 3x2 + 2·x3 = 0, 2x1 – x2 = 0, 5x1 + 8x3 = 0.
28. Определить вид линий второго порядка на проективной плоскости:
а) x12 + 2x22 + x32 – 2x1x2 – 4x1x3 = 0,
б) 7·x1x3 – 13·x32 = 0.
12. Найдите угол между прямой
30
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Атанасян Л. С. Геометрия в двух частях. Часть 1. / Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев. ––
изд. 2-е стереотипное – М.: КноРус, 2011. – 400 с.
2. Атанасян Л. С. Геометрия в двух частях. Часть 2. / Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев. ––
изд. 2-е стереотипное – М.: КноРус, 2011. – 424 с.
3. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – М.: ТК
Велби, Изд-во Проспект, 2007.
4. Кадомцев С.Б. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – М.: ФИЗМАТЛИТ,
2007.
5. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Профессия, 2005.
6. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учеб. пособие для
вузов/ ред.: Ю.М. Смирнов; МГУ им. М.В.Ломоносова. - Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.:
ЛОГОС, 2005.
б) дополнительная литература
7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – СПб.: Издательство “Лань”, 2005.
8. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – М.: Лань, 2005.
9. Петрова В.Т. Лекции по алгебре и геометрии. ч. 1., ч. 2. – М.: Владос, 1999.
г) мультимедийные средства:
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
 Технические средства обучения: компьютер, принтер, ксерокс (для подготовки
материалов для учебного процесса).
 Аудитории с мультимедийным обеспечением.
E-mail: www.tgspa.ru
10. Паспорт рабочей программы дисциплины
Разработчик(и) : Евсюкова Е.В., канд. пед. наук, доцент
Демисенова С.В. канд. пед. наук, доцент
Программа одобрена на заседании кафедры математики, теории и методики обучения
математике
от «___»_______________г., протокол №________
Согласовано:
Зав. кафедрой ______________________
«___» ________________г.
Согласовано:
Специалист по УМР _________________
«___» ________________г.
31