Заочная математическая школа им. А. Лиепы ЛУ

Заочная математическая школа им. А. Лиепы ЛУ
Задачи 2 тура 53 mатематической олимпиады Латвии
5 kласс
Kaждая задача оценивается в 0 – 10 баллов
1. Можно ли натуральные числа от 1 до 20 включительно разбить на
2 группы по 10 чисел в каждой группе так, чтобы ни в одной
группе не было таких двух чисел, из которих одно в два раза
больше другого?
2. Квадрат состоит из 6х6 одинаковых квадратных клеток. Делая
разрезы по границам клеток, его надо разрезать на куски, среди
которых нет равных. Какое наибольшее возможное количество
кусков?
3. Можно ли натуральные числа от 1 до 10 включительно выписать
а) в ряд,
б) по кругу
так, чтобы любые два рядом написанных числа отличались один
от другого не меньше чем на 5?
4. Можно ли в пустые клетки записать по одному натуральному
числу так, чтобы в результате были записаны все натуральные
числа от 1 до 16 и чтобы любые два числа, различающиеся на 1,
были записаны в клетках с общей стороной?
7
10 11
Рис.1
5. В турнире каждый участник с каждым другим соревновался ровно
один раз. За победу участник получает 1 очко, за ничью – 0
очков, а за проигрыш ему вычитается 1 очко. Вначале каждому
участнику зачислялось столько очков, сколько в турнире
участников вообще. В конце турнира у Андриса было 5 очков, а у
Петериса – 10 очков. Докажите, что по крайней мере одна встреча
закончилась вничью.
2002./2003. уч. г.
Заочная математическая школа им. А. Лиепы ЛУ
Задачи 2 тура 53 математической олимпиады Латвии
6 kласс
Kaждая задача оценивается в 0 – 10 баллов
1. В ряду стоят несколько мальчиков. Петерис стоит точно в
середине ряда. Янис стоит за ним – на 9 месте, а Андрис стоит на
14 месте. Сколько всего мальчиков в ряду?
2. Квадрат состоит из 8х8 одинаковых квадратных клеток. Делая
разрезы по границам клеток, его надо разрезать на куски, среди
которых нет равных. Какое наибольшее возможное количество
кусков?
3. В ряду выписаны все 10 цифр, каждое один раз (первая цифра не
0). Рассмотрим 10 чисел, которые образуются первой цифрой;
первыми двумя цифрами; первыми тремя цифрами; ...; первыми
девятью цифрами; всеми десятью цифрами. Какое наибольшее и
какое наименьшее количество этих чисел может делиться на 3?
4. Можно ли в пустые клетки записать по одному натуральному
числу так, чтобы в результате были записаны все натуральные
числа от 1 до 25 и чтобы любые два числа, различающиеся на 1,
были записаны в клетках с общей стороной?
6
24
2
15
Рис. 2
5. Таблица состоит из 4х4 одинаковых квадратных клеток. В каждую
клетку надо записать 1; 2 или 3. Возможно ли, что
а) суммы чисел по рядам и по колоннам все разные,
б) суммы чисел по рядам, по колоннам и по одной диагонали
все разные?
2002./2003. уч. г.
Заочная математическая школа им. А. Лиепы ЛУ
Задачи 2 тура 53 Математической олимпиады Латвии
7 kласс
Kaждая задача оценивается в 0 – 10 баллов
1. В координатной плоскости отмечены 4 точки. Может ли
случится, что у любых двух из них или произведение
ординат, или произведение абсцисс отрицательно?
2. Длины всех 6 отрезков разные и выражаются целым
числом сантиметров; сумма всех длин есть 43 см.
Объязательно ли существует четырехугольник, стороны
которого равны четырем из этих отрезков?
3. Массы пяти по внешнему виду одинаковых монет есть 1г,
2г, 3г, 5г, 6г. На одной монете написано «1г», на одной –
«2г» и.т.д. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах
бэз гирь проверить, все ли надписи верны?
4. Какое наименьшее количество из чисел 1; 2; 3; ...; 13
можно вычеркнуть, чтобы сумма любых двух оставшихся
была составным числом?
5. В стране р политиков и q журналов. В некоторое утро
каждый журнал писал о нечетном количестве политиков,
и о каждом политике писало нечетное количество
журналов. Возможно ли такое, если
а) р=10, q =6,
в) р=10, q =5?
2002./2003. уч. г.
Заочная математическая школа им. А. Лиепы ЛУ
Задачи 2 тура 53 математической олимпиады Латвии
8 kласс
Kaждая задача оценивается в 0 – 10 баллов
1. Дано, что x + y = z + t и x + z = y + t. Докажите, что
x2 + z = t2 + y.
2. Можно ли из 4 плиток в форме выпуклых пятиугольников
сложить а) какой – то 15-угольник? б) выпуклый 15угольник? Плитки могут соприкасаться, но не могут
перекрываться.
3. Какое наименьшее количество из натуральных чисел 1; 2;
3; ...; 12 можно вычеркнуть, чтобы оставшиеся числа
можно было разделить на две группы с одинаковыми
произведениями входящих в них чисел?
4. На доске написаны числа 1;
1 1
; ;
2 3
...;
1
.
2003
Одним ходом
разрешается выбрать два написанных числа (обозначим
их через х и у), стереть их и вместо их написать на доске
число 3xy – x – y + 2 . Выполняя такие ходы, на доске в
3
конце остается одно число. Что это может быть за число?
5. На доске первоначально написаны положительные числа
а и b. В любой момент можно выбрать два написанных на
доске числа (обознчим их через х и у) и добавить на
доске любое из чисел x2, y2, 1 , 1 , |x-y| и x+y (числа x и y
x
y
не стираются; для получения |x-y| надо, чтобы xy).
Покажите, как получить на доске число a·b
2002./2003. уч. г.