1 - LU NMS

Заочная математическая школа им. А. Лиепы ЛУ
Задачи 2 тура 58 математической олимпиады Латвии
5 kласс
Kaждая задача оценивается в 0 – 10 баллов
1. Между любыми двумя рядом написанными цифрами на левой стороне
равенства
1 2 3 4 5 6 7 8 9 =19
надо поставить знак «+» или «–» так, чтобы равенство стало верным.
Должно быть шесть знаков «+» и два знака «–». Постарайтесь найти три
разных расположения знаков.
2. Можно ли по кругу выписать натуральные числа от 1 до 10, каждое
ровно один раз, чтобы разность между любыми двумя рядом
написанными числами была бы а) не меньше 4, б) не меньше 5?
3. В танцевальном коллективе 5 мальчиков и 5 девочек; все дети разного
роста. В танце «Альфа» дети распределены по парам так, что в каждой
паре мальчик выше девочки.
а) Может ли случиться, что в танце «Бета» дети распределены по парам
так, что в каждой паре девочка выше мальчика?
б) Может ли случиться, что в танце «Гамма» дети распределены по
парам так, что в четырех парах девочка выше мальчика?
4. Можно ли из фигур, показанных на рис. 1, составить какой-нибудь
прямоугольник? Каждая фигура берется ровно в одном экземпляре. Все
клетки – одинаковые квадраты. Фигуры можно повернуть и даже
перевернуть, но они не должны пересекатся одна с другой.
Рис. 1
Рис. 2
5. Шестнадцать точек расположены в виде квадратной решетки (см.
рис. 2). Какое наименьшее количество этих точек можно стереть, чтобы
никакие 4 из оставшихся не были бы вершинами квадрата со сторонами,
направленными так, как указывают стрелки?
2007./2008. уч. г.
http://nms.lu.lv/
Заочная математическая школа им. А. Лиепы ЛУ
Задачи 2 тура 58 математической олимпиады Латвии
6 kласс
Kaждая задача оценивается в 0 – 10 баллов
1. В баскетбольном матче между вотивапами и шилишаллами
выиграли вотивапы со счетом 68:62. В течение игры был такой
момент, когда вотивапы набрали столько очков, сколько
шилишаллам еще осталось набрать до конца игры. Сколько очков
к этому моменту набрали обе команды вместе?
2. У Андриса есть фигурки, составленные из равных квадратиков
(см. рис. 3) – по 10 каждого типа.
Рис. 3
Может ли он сложить квадрат размерами 7х7 клеток, используя
а) 12 фигурок, б) 14 фигурок? Фигурки не должны перекрываться.
3. Существуют ли такие натуральные числа х и у, что
а) xy(x  y)  20082007 ?
б) xy( x  y)  240 ?
4. Существует ли такое натуральное число n, что произведение n  n
начинается с цифр 1234567... ?
5. В карневальном зале 5 ламп; каждые две лампы соединены одной
гирляндой. Для окраски ламп и гирлянд вместе использовано n
цветов. Известно, что одновременно выполняются следующие
свойства:
а) никакие две гирлянды, прикрепленные к одной и той же лампе,
не окрашены одинаково,
б) никакая гирлянда не прикреплена к лампе такого же цвета.
Какое наименьшее возможное значение n?
2007./2008. уч. г.
http://nms.lu.lv/
Заочная математическая школа им. А. Лиепы ЛУ
Задачи 2 тура 58 математической олимпиады Латвии
7 kласс
Kaждая задача оценивается в 0 – 10 баллов
1. Какие натуральные числа n можно выразить в форме n 
x
, где
y
x  a 3 , y  b 4 , а и b – натуральные числа?
2. Имеется 4 куска торта с массами х, у, z, t; известно, что х<у<z<t.
Андрис и Майя играют в следующую игру. Андрис выбирает один
кусок, потом Майя – другой; оба они немедленно начинают
кушать свой выбранный кусок. Как только кто-то из них съел свой
кусок, он немедленно выбирает один из оставшихся и начинает
кушать, и т.д. Цель игры – съесть больше торта, чем противник.
Андрис и Майя кушают торт равномерно и с одинаковыми
скоростями.
Может ли случиться, что Андрис выигривает, сначала выбирая
кусок х? Предполагаем, что Майя играет наилучшим для себя
способом.
3. В спортклубе собрались борцы и гимнастки. Средний вес борцов
84 кг; средний вес гимнасток 54 кг; средний вес всех собравшихся
71 кг. Докажите, что количество борцов делится на 17.
4. Существует ли
а) шестиугольник, который можно разрезать на два треугольника,
б) шестиугольник, которoго нельзя разрезать на два
четырехугольника?
5. Квадрат состоит из nn одинаковых квадратных клеточек. В
каждую клетку записано неотрицательное целое число. Сумма
всех записанных чисел есть 101. Числа, которые записаны в двух
клетках с общей строной, отличаются один от другого ровно на 1.
Какое наибольшее возможное значение n?
2007./2008. уч. г.
http://nms.lu.lv/
Заочная математическая школа им. А. Лиепы ЛУ
Задачи 2 тура 58 математической олимпиады Латвии
8 kласс
Kaждая задача оценивается в 0 – 10 баллов
1. Шестизначное натуральное число называется счастливым, если
сумма каких-то 3 его цифр равна сумме остальных 3 его цифр. Два
подряд взятых натуральных числа оказались счастливыми.
Доказать, что одно из них делится на 10.
2. Квадрат состоит из 2008х2008 одинаковых квадратных клеток,
раскрашенных в шахматном порядке. Он разрезан по границам
клеток на меньшие квадраты с нечетным количеством клеток
каждый. Докажите: среди центральных клеток этих квадратов
столько же белых, сколько и черных. (Если квадрат состоит из 1
клетки, то эта клетка считается его центральной клеткой.)
3. Не все числа а, b, c равны между собой. Докажите, что
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc .
4. Катрина каждый день меняет шляпу. Она решила, что после
красной шляпы наденет желтую, после желтой – зеленую, после
зеленой – коричневую, после коричневой – фиолетовую, после
фиолетовой – опять красную и т.д. В первый день у Катрины была
зеленая шляпа, в 2008-ой день – желтая. Известно, что Катрина
допустила ровно одну ошибку, надев красную шапку в день, когда
этого не следовало делать. Какого цвета шляпа была на ней в
предыдущий день?
5. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота CH;
оказалось, что AH=BC. Через H паралельно стороне BC проведена
прямая; она пересекает высоту АА1 в точке K. Докажите, что K
находится на биссектрисе угла ABC.
2007./2008. уч. г.
http://nms.lu.lv/