1. Отрезки AC и BM пересекаются в точке О... треугольник AОМ равен треугольнику ВОС.

1. Отрезки AC и BM пересекаются в точке О и точкой пересечения делятся пополам. Доказать, что
треугольник AОМ равен треугольнику ВОС.
2. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а
одна из сторон равна 16 см. Найдите две другие стороны треугольника.
3. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210º.
Найти эти углы.
4. Доказать, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого
равнобедренного треугольника.
5. Найти смежные углы, если один из них на 45º больше другого.
6. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60º, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов
равна 26,4 см. Найти гипотенузу треугольника.
7. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50º.
Найти эти углы.
8. В треугольнике ABC угол А равен 40º, а угол ЕСВ, смежный с углом ACB, равен 80º. Доказать, что
биссектриса угла ЕСВ параллельна прямой AB.
9. Найдите периметр равнобедренного треугольника ADC с основанием AD, если AD = 7 см,
DC = 8 см.
10. Найдите неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них
равна 126°.
11. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 50° . Найдите величину
внешнего угла при основании.
12. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один
из них равен 42° .
13. Луч SR является биссектрисой угла МSN, а отрезки SM и SN равны. Докажите равенство
треугольников SMO и SNO.
14. На прямой отмечены точки О, А, В так, что расстояние ОА=12 см, ОВ=9 см. Найдите расстояние
между серединами отрезков ОА и ОВ (обратите внимание, что эта задача имеет два решения: если А
и В лежат по одну сторону от точки О и если А и В лежат по разные стороны от точки О).
15. Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Найдите угол АОС, если угол АОВ равен 155º, а угол АОС на
15º больше угла СОВ.
16. Отрезок АМ - биссектриса треугольника ABC. Через точку M проведена прямая, параллельная AC и
пересекающая сторону AB в точке E. Доказать, что треугольник AME равнобедренный.
17. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120,
АС+АВ=18см. Найти AC и AB.
18. Найдите величины смежных углов, если один из них в 5 раз больше другого.
19. Известно, что OAM = OAK и MBS = KBS. Докажите, что AK = AM.
20. Прямая а пересекает стороны угла А. Докажите, что 1 = 2, если известно, что 3 = 4.
3 а
1
2
4
А
21. В прямоугольном треугольнике биссектриса наименьшего угла пересекает катет под углом 110°.
Найдите острые углы данного треугольника.
22. Отрезки AB и CM параллельны и равны. Докажите, что AM = BC.
23. Найдите углы при основании MP равнобедренного треугольника МОР, если MK – его биссектриса и
угол OKM = 96°.
24. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит прямой угол на два угла,
один из которых на 40° больше другого. Найдите острые углы данного треугольника.
25. Определите, существует ли треугольник с периметром 32 см, в котором одна из сторон больше
другой на 9 см и больше третьей на 7 см.
26. Отрезок AB разбит точкой C на два отрезка: AC = 1 см, CB = 2 см. Чему равно расстояние между
серединами этих отрезков?
27. На чертеже ВМ – биссектриса угла АВN. Найдите угол АВМ, если он на 15° больше угла NВС.
М
N
А
В
С
28. В равнобедренном треугольнике АВС к основанию AC проведена высота ВD, равная 8 см. Найдите
периметр треугольника ВDС, если периметр треугольника АВС равен 38 см.
29. Известно, что угол 1 равен углу 2, отрезок АО равен отрезку ОС. Доказать, что угол АВО равен
углу СDО.
B
D
O
A
1
2
C
30. Две стороны равнобедренного треугольника равны 10 см и 4 см. Определите, какая из них является
боковой стороной.
31. Угол АВС равен 150°. Из точки А к прямой ВС проведён перпендикуляр АМ, равный 12 см.
Найдите длину отрезка АВ.
32. Определите, является ли треугольник АВС тупоугольным, если два его внешних угла равны 135º и
160º.
33. В прямоугольном треугольнике градусные меры наибольшего и наименьшего внешних углов
относятся как 7:5. Найдите острые углы этого треугольника.
34. Два внешних угла треугольника равны 150º и 70º. Найдите углы, которые биссектриса наибольшего
угла треугольника образует с его наибольшей стороной.
35. По данным чертежа найдите х
53º
127º
х
78º
36. В треугольнике АВС угол В равен 90º. Через вершину В проведена прямая, которая параллельна
стороне АС и образует с АВ угол 40º. Найдите углы А и С.
37. Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему острому углу.
38. В треугольнике АВС высота СН делит угол С на два угла, причём угол АСН равен 25º, а угол ВСН
равен 40º. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.
39. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведённые к боковым сторонам, равны.
40. К окружности с центром в точке О из точки А проведены две касательные, угол между которыми
равен 60º. Найдите радиус окружности, если ОА=16 см.
41. Найдите градусную меру угла АВС, если угол АDC на чертеже равен 50º
D
500
О
А
С
В
42. В треугольнике АВС угол А равен 100º, угол С равен 40º. СК – биссектриса данного треугольника.
Найдите углы, которые она образует со стороной АВ.
43. Найдите градусную меру угла АВС, если известно, что угол АОС равен 120º
В
А
С
1200
О
44. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Известны длины отрезков ВМ = 4 см, АВ = 5 см, а АС
в 2 раза больше АВ. Найдите периметр треугольника АВС.
45. Докажите, что диагональ АС делит четырёхугольник АВСD на два равных треугольника, если
АВ = СD, BC = AD.
46. Даны две окружности с радиусами R = 10 см и r = 5 см. Расстояние между их центрами d = 3 см.
Определите, как расположены друг относительно друга данные окружности.
47. Радиус ОМ окружности с центром в точке О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательная,
проведённая через точку М, параллельна хорде АВ.
48. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите
угол между ними.
49. Докажите, что если ВD = АС и ВС = АD, то угол А равен углу В.
А
В
С
D
50. Докажите, что угол между биссектрисами смежных углов равен 90º.
51. Прямые а и с параллельны. Найдите х.
а
c
5х
х
52. По данным рисунка найдите угол 1.
105º
75º
1
50º
53. Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.
54. Найдите углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если величины
внутренних односторонних относятся как 7:11.
55. Даны две окружности с радиусами R = 6 см и r = 4 см. Расстояние между их центрами d = 5 см.
Определите, как расположены друг относительно друга данные окружности.
56. Даны две окружности с радиусами R = 9 см и r = 5 см. Расстояние между их центрами d = 4 см.
Определите, как расположены друг относительно друга данные окружности.
57. Постройте треугольник по трём сторонам: а= 6 см, b = 7 см, с = 5 см.
58. АВ - диаметр, ВС – хорда окружности с центром в точке О. Угол АОС равен 130º. Найдите углы
треугольника ВОС.
59. Существует ли треугольник с углами 70º, 60º, 40º? Ответ обоснуйте.
60. Треугольники с какими длинами сторон существуют, а какие нет? Ответ обоснуйте.
а) 7 см, 7 см, 7 см;
б) 7 см, 5 см, 2 см;
в) 1 см, 7 см, 7 см;
г) 7 см, 3 см, 15 см.