Тема « Решение простейших тригонометрических уравнений

Урок алгебры и начала анализа в 10-м
классе с использованием модульной
технологии обучения
ЮРЬЕВА Елена Владимировна, учитель математики
Модульная педагогическая технология конструируется на основе ряда целей.
Важнейшими из них являются создание комфортного темпа работы каждого ученика,
определение каждым учеником своих возможностей в учении, гибкое построение
содержания учебного материала,интеграция различных видов и форм обучения.
Самым главным отличием технологии является применение принципа планирования
совместной деятельности учителя и ученика от конечной учебной цели. Опыт
использования такой технологии позволяет сделать вывод, что при обучении создается
ситуация успеха для учащихся:способствует преодолению страха перед ответом учащихся
у доски.
Использование таких занятий помогает осуществлять индивидуальный подход к
учащимся,включать каждого в осознанную учебную деятельность, мотивировать ее,
успешно решать учебные и коррекционно-развивающие задачи. Эта технология
предполагает, как необходимое условие формирования навыков самообучения и
самоорганизации, ОУУН, что обеспечивает постепенный переход от пассивновоспринимающей позиции к позиции сотрудничества ученик и учитель. Использование
этой технологии способствует основной цели обучения -саморазвитию учащихся, поэтому
ее можно применять как в классах повышенного уровня подготовки, так и в классах КРО.
Рассмотрим пример проведения урока по математике с использованием данной
технологии.
Тема « Решение простейших тригонометрических уравнений»
УЭ-0 . Орг. момент-1 мин
Цель: закрепить навыки решения простейших тригонометрических уравнений; показать
методы решения тригонометрических уравнений с использованием формул сложения,
введением вспомогательного угла, графическим методом; продолжить формирование
навыков чтения графиков тригонометрических функций.
УЭ-1. Выступления двух учащихся, сопровождающихся показом презентации.-10мин
Цель: познакомиться с историей развития тригонометрии, настроиться на активную
работу на уроке.
1) Внимательно слушайте выступление своих одноклассников.
2) Делайте краткие записи по ходу их выступления в тетради ( запишите фамилии ученых
математиков, хронологию развития тригонометрии).
Слайды презентации (рис.1-22)
УЭ-2 Устно. Работа в парах.-3 мин
Цель: актуализация необходимых знаний по теме для решения заданий на уроке
Выполните устно задания по вариантам.
1 вариант
2 вариант
1.Запишите формулы для решения простейших тригонометрических уравнений
Sinx=a ( 1 балл)
Cosx=a (1 балл)
Tgx=a (1 балл)
Ctgx=a (1балл)
2. При каких значениях а эти уравнения имеют решения? (1 балл)
Взаимопроверка и взаимооценка в парах. (Если испытываете трудности при
проверке, обратитесь к учебнику)
УЭ-3 Вводный тест, с последующей проверкой в классе.-10мин
Цель:
проверить уровень умений решения простейших тригонометрических уравнений
В рабочих тетрадях выполните вводный тест:
1) определите уровень работы и номер варианта(если выбран уровень А),
2) запишите в тетрадь номер варианта и уровень работы,
3) приступайте к выполнению работы,
4) по окончании работы, используя ключ (ключ возьмите у учителя), проверьте себя и
оцените.
Уровень А
№1.Какие из данных уравнений не
имеют корней?( 1 балл)
№1.Какие из данных уравнений не имеют
корней?(1 балл)
а)sinx=-0,44
а)cosx=-0,33
б)cosx=5
б)sinx=4
в)tgx=-10
в)ctgx=-8
г)ctgx=0
г)tgx=0
№2.Решите уравнения и выберите
верный ответ.
№2. Решите уравнения и выберите верный
ответ.
А) 2-sinx=0 ( 1 балл)
А) 2 sinx=p ( 1 балл)
1) (-1)n arcsin+n, n
1) (-1)narcsin(
2) 0
2) 0
3) -1
3) 1
4) нет корней
4) нет корней
Б) 2sinx-1=0 ( 1 балл)
Б) 1-2cosx=0 ( 1 балл)
1) 
1) 
2) 
2) 
3)
3) 
4) (-1)n
4) (-1)n
В) sin2x-cos( 1 балл)
В) tg2x-2sin( 1 балл)
1) 
1) 
2) 
2) 
3)
3)
4) (-1)n
4) (-1)n
№3. Найти корень уравнения на (
2балла)
№3. Найти корень уравнения на (2
балла)
2 cosx=-1
2sinx=1
№4.Найти сумму двух наименьших
положительных корней уравнения: (2
балла)
№4.Найти произведение корней уравнения,
принадлежащих промежутку ( 2 балла):
sinx=-1
cosx=1/2
Уровень Б.
1. Для каких из данных уравнений число  является корнем? ( 2 балла)
А)2sinx=0 В)sinx=cosx
Б) 3cosx=0 Д) sinx/(1+cosx)=0
2. Сколько корней уравнения tg3x=1 принадлежат промежутку 0;? ( 3 балла)
3. Решите уравнение: sin(  sinx)=-1 . ( 3балла).
УЭ-4
Цель: закрепление навыка в решении простейших тригонометрических уравнений-13мин
Коллективная игра в лото, задания выполняются самостоятельно , ответы
обсуждаются в группах разного уровня (группы формируются по желанию самих
учащихся). На доске вывешивается таблица с номерами заданий лото.Раскладываются
карточки с различными вариантами ответов( среди них есть неверные ответы),количество
карточек с ответами превышает число 8(их обычно 10)
4
3
2
1
8
7
6
5
1) Определите уровень работы: уровень А - простейший, уровень Б - средний уровень,
уровень В - самый трудный
2) Сядьте в соответствии с выбранным уровнем заданий ( 1ряд-уровень А; 2 ряд-уровень Б;
3ряд-уровень В).
3) Выполните задание, работая самостоятельно (10минут)
1 группа ( уровень А- простейший) решает задания1-4
2 группа ( уровень Б- средний уровень) решает задания № 5,6
3 группа ( уровень В- самый трудный ) решает задания 7,8.
Задания:
1.Решите уравнение и выберите правильный ответ:
cos(/2-x)=-1 ( 1 балл)
Ответы: а) - /2+2n , nZ ; б) -/2 ; в)  /2+2n , nZ; г) (-1)n/2+n , nZ
2.Решите уравнение и выберите правильный ответ:
cos(+x)=sin/2 ( 1 балл)
Ответы: а) n , nZ ; б) /2+k,kZ ; в)  /4+n , nZ; г) +2n , nZ
3.Решите уравнение и выберите правильный ответ:
2sinxcosx=-1/3 ( 1 балл)
Ответы: а)-/3 ; б) (-1)n+1 (1/2)arcsin(1/3)+1/2n , nZ ; в)  /3+2n , nZ;
г) (-1)n+1/3+n , nZ
4.Решите уравнение и выберите правильный ответ:
cos2x-sin2x=-4/7 ( 1 балл)
Ответы: а)1/2 arccos4/7+n, nZ ; б)  4/7+2n , nZ ; в)  1/2(-arccos4/7)+n , nZ ;
г) (-1)n 1/2arccos4/7+1/2n , nZ
5. Решите уравнение:
cos(х/)=1 ( 2 балла)
6. Найти наименьший положительный корень уравнения:
sin(35+x)=2/2 ( 2 балла)
7. Решите уравнение:
tg(/х)=1 (3 балла)
8.Найти все решения уравнения 2 cos(2x-/4)-2 =0, удовлетворяющие условию
-2х0. ( 3 балла)
4) Обсудите ответы в группе.
5) Проверьте правильность ответов , открывая соответствующие карточки лото.
Представитель каждой группы выходит к доске и открывает карточки.
6) Оцените работу группы по каждому заданию по следующим критериям:



ответ совпадает полностью - полное количество баллов, указанное в скобках к
заданию,
ответ совпадает частично - половина указанных баллов,
ответ не совпадает - 0 баллов.
При проверке результатов на каждый № задания накладывается карточка, у которой
с одной стороны записан правильный ответ, а с другой рисунок. Накладываются карточки
ответами вниз. Когда на все вопросы будут получены правильные ответы, то получается
изображение графика непрерывной функции с заданием, т. е. можно переходить к
следующему этапу урока.(Если изображение графика непрерывной функции не
получилось, то в местах искажения рисунка необходимо проверить соответствующие
задания, найти ошибку сообща и только потом перейти к следующему этапу урока.)
УЭ-5. Чтение графиков -13 мин
Цель
: продолжить формирование навыков чтения графиков тригонометрических функций.
Задания:
1.На рисунке (рис.23) изображен график функции y=Asin(wx+k)+m. Укажите возможные
значения чисел A, w, k, m .(2 балла) 3 мин
2.Определите , сколько нулей функции попадает в промежуток 20;25.-5мин(3 балла).
1)
Обсудите ответы на эти вопросы в группе. Примите активное участие в обсуждении.
Перемена. После перерыва:
2) Примите участие в обсуждении этих вопросов в классе.( 5 мин)
3) Оцените работу группы по каждому заданию по следующим критериям:



ответ совпадает полностью - полное количество баллов, указанное в скобках к
заданию,
ответ совпадает частично - половина указанных баллов,
ответ не совпадает - 0 баллов.
УЭ-6. Решение уравнений различными способами. -38мин
Цель: показать методы решения тригонометрических уравнений с использованием формул
сложения , введением вспомогательного угла, графическим методом
1. Проверка дом. задания:
задания на построение графика. -8 мин
Двое учащихся показывают презентации, в которых выполнено дом. задание на построение
графиков функций и решение уравнений графически.
Карточка № 1.
1. Предложите возможный вариант задания формулой функции y=f(x), обладающей
след.свойствами и постройте график функции с использованием программы EXCEL.
Свойства:
тригонометрическая функция принимает неотрицательные значения при любом значении
аргумента из области определения; возрастает при х0;/2);убывает при х(-/2;0;
период функции равен .
2. Определите, построив графики, сколько корней имеют уравнения f(x)=-х; f(x)=x.
Вариант ответа ( слайды презентации)(рис.24-26).
Карточка № 2.
1.Предложите возможный вариант задания формулой функции y=f(x), обладающей
след.свойствами и постройте график функции с использованием программы EXCEL.
Свойства: тригонометрическая функция определена при хОR; период функции равен
4p,функция четная, наибольшее значения функции равно 2.
2. Определите , построив графики, сколько корней имеют уравнения f(x)=х2+2; f(x)=2x-1.
Вариант ответа (слайды презентации).(рис.27-29)
2. Работа в группах-30мин.
Заранее учителем были выбраны 4 лидера, с которыми подробно разобрано решение
уравнений указанными выше способами. Каждый лидер подготовил к уроку, проверив
предварительно правильность у учителя, карточки с заданиями для ребят своей группы.
В процессе работы задачами лидера являются:объяснение ребятам группы способа
решения тригонометрических уравнений указанным методом,затем проверка того как
ребята его поняли,предложив им решить, составленные заранее карточки. По результатам
проверки лидеры выставляют оценки участникам своей группы.
Группы сформированы ранее.
Инструкция членам группы:
1)Внимательно слушайте объяснение лидера группы , фиксируйте в тетради основные
моменты решения тригонометрических уравнений .
2)Выполни упражнения, предложенные лидером группы(самостоятельная работа)
Задания:
1,2 группы-
3,4 группы-
Решение уравнений с использованием формул
сложения (15 мин) ( решение уравнения - 1
балл, ответ на каждый дополнит. вопрос 1 балл)
Карточка №1 Решите уравнение sin3xcosxcos3xsinx=1/2 a) Найти наименьший
положительный корень. б) Указать корни на
промежутке [0;?/2].
Карточка №2 Решите уравнение cos2xcosxsin2xsinx=Ц3/2 a) Найти наибольший
отрицательный и наименьший положительный
корни. Б)Указать корни на промежутке [0;?/2].
Карточка № 3 Решите уравнение
cos4xcos2x+sin4xsin2x=1/Ц2 a) Найти
наибольший отрицательный и наименьший
положительный корни. б)Указать корни на
промежутке [?/2;?].
Карточка № 4 Решите уравнение sin2xcosxcos2xsinx=1/2 a) Найти наименьший
положительный корень. б) Указать корни на
промежутке [0;?/2].
Решение уравнений с помощью введения
вспомогательного угла ( 15 мин) (
решение уравнения - 1 балл, ответ на
дополнит. вопрос 1 балл)
Карточка№1 Решите уравнение. Сколько
решений уравнения принадлежат
промежутку [0;6?]? Sinx+cosx=1
Карточка№2 Решите уравнение. Сколько
решений принадлежат промежутку
[0;2?]? Ц3sinx-cosx=1 Карточка№3
Решите уравнение. Сколько решений
принадлежат промежутку [0;?]? sinxcosx=1
Карточка№4 Решите уравнение. Сколько
решений принадлежат промежутку
[0;2?]? Ц2sinx+Ц2cosx=2
3) Проверь правильность выполнения у лидера группы.
4) Проставь полученную оценку в оценочный лист.
По мере выполнения задания или по истечении 15минут участники групп меняются
местами 1 группа с3 группой; 2 группа с 4 группой.
УЭ-7. Итог урока.
Выставление рейтинговой оценки за урок -2 мин
Оценочный лист.
Фамилия ,имя
этапы
Кто оценивает
кол-во баллов
Устная работа в парах
Вводный тест
самооценка
Работа в разноуровневых группах. Лото. Самооценка, учитель
Работа в группах: чтение графиков
Консультант (фамилия)
Работа в группах
Консультант(фамилия)
Работа в группах
Консультант(фамилия)
Дополнительные задания
итого
оценка
«5» – более 22 баллов
«4» – от18 до 22 баллов
«3» – от 12 до 17 баллов
2) Запишите домашнее задание. Домашнее задание по дидактическому материалу , автор
Саакян стр.24,25 №272-279 ( уровень1); № 285-291(уровень 2); №299-305(уровень 3)
( выбрать один из уровней).