III Всероссийская дистанционная игра-конкурс «Единство формул и пера» Весенняя сессия

III Всероссийская дистанционная игра-конкурс
«Единство формул и пера»
Весенняя сессия
Выдержки из работ учащихся 10 – 11 классов
Задание 1 (4 балла)
Азаренко Анна, 11
Ответ: Нормировать, коклюш, апостроф, некролог, газировать.
Черкасова Виктория,11
Ответ: нормировать, мельком (допустимое), коклюш, апостроф, некролог.
Задание 4 (4 балла)
Бауэр Роман
Ответ: 0,07
Решение. В случайном эксперименте бросают три игральные кости, значит всевозможных вариантов
n  6 3  216 .
Возможные варианты выпадения в сумме 7 очков:
115
214
313
412
511
124
223
322
421
133
232
331
142
241
151
Всего m  15
15
 0,07
Тогда искомая вероятность равна P 
216
Задание 6 (4 балла)
Бауэр Роман
Ответ: 3
Решение.
Число корней уравнения f ( x  1)  2  0 - это точки пересечения данного графика функции с осью
Ох. Выполним преобразование исходного графика функции y  f (x) на координатной плоскости,
получаем:
-2 -1 0 1
3
х
В итоге видим, что преобразованный график пересекает ось Х в трех точках, значит уравнение
f ( x  1)  2  0 имеет три корня.
Задание 8 (3 балла)
Черкасова Виктория,11
Ответ: не, ли, ведь.
Задание 9 (8 баллов)
Иванова Алена , 11
Ответ:
1 – девушка не догадалась притвориться веселой
2 –Семен попросил
3 –интереснее жить, человек борется, что мешает жить
4 –он закрыл глаза, не видеть, воображение влекло, кучи громоздились
Задание 10 (4 балла)
Бауэр Роман
Ответ: 0,8
Решение.
Рассмотрим прямоугольный АВС .
BD
sin DAB 
AB
Имеем BD  8 , AD  6 , тогда по теореме Пифагора AB 2  AD 2  BD 2 ,
8
AB 2  6 2  8 2  100 , АВ  10 Тогда sin DAB 
 0,8
10
Задание 11 (5 баллов)
Анохин Эдуард
Ответ: ВС = 8см , АС=4+
В
(см),
S=
Дано: ∆АВС, АВ= 4√2 см, ∟А = 450, ∟С = 300.
Найти: ВС, АС , площадь ∆АВС
4√2
А
С
Н
Решение:
Проведем высоту ВН.
Т. к. ∟А = 450, то в ∆АВН ( ∟Н =90), ∟В=450 . Значит
∆АВН-равнобедренный, АН=ВН. По теореме Пифагора
,
,
ВН=АН=4см
В ∆ ВНС (∟Н =90), ∟ С = 300. Следовательно ВС=2ВН, ВС=8 (см)
По теореме Пифагора из В ∆ ВНС Н
,
(см)
Тогда АС=АН+НС, АС=4+
(см)
Бауэр Роман



Ответ: ВС = 8 , АС = 4 3  1 ,

S = 8 3 1
Решение.
В
С
30
4 2
45
А
AB
BC
4 2  sin 45 

По теореме синусов имеем
, тогда BC 

sin C sin A
sin 30 
4 2
1
2
2
2 8
B  180   75   105 
AC
BC
8  sin 105

По теореме синусов
, получаем AC 
sin B sin A
sin 45


Вычислим sin 105  sin 60   45  sin 60   cos 45  cos 60   sin 45 


3 2
2 1
2


 
3 1
2 2
2 2
4
2
8
3 1
2 2 3 1  2
4
Тогда AC 

 4 3 1
2
2
2
1
Площадь АВС вычислим по формуле: S ABC  AB  AC  sin A , получаем
2
1
1
2
S ABC   4 2  4 3  1  sin 45    4 2  4 3  1 
 8 3 1
2
2
2













Задание 12 (4 + 3 (за полное решение) баллов)
Бауэр Роман
B1
C1
Ответ: tgDHC  0,625
A1
Дано: АВСА1 В1С1 - прямая призма, АА1  ВВ1  СС1  10
D
D - середина СС1 , AB  12 , BD  5 5 , AC  BC
Найти: tg ABD ;  ABC 
B
C
H
A
Решение.
Так как AC  BC , то ABC - равнобедренный с основанием АВ. Так как призма прямая, то
CC1   ABC , значит BD и AD - наклонные к плоскости основании, и т.к. их проекции AC  BC , то
и наклонные тоже равны, значит ABD - равнобедренный с основанием АВ.
Проведем DH  AB , CH  AB , следовательно  ABD ;  ABC   DHC
1
Из DBH : ВН  АВ  6 , по теореме Пифагора DH 2  DB 2  BH 2 ,
2
 
2
 6 2  125  36  89 , DH  89
1
Из DHC : CD  CC1  5 , по теореме Пифагора CH 2  DH 2  DC 2 ,
2
DH 2  5 5
CH 2 
 89 
Из DHC
2
 5 2  89  25  64 , CH  8
tg  ABD ;  ABC   tgDHC 
DC
5
, получаем tgDHC   0,625
CH
8
Задание 16 (8 баллов)
Азаренко Анна, 11
Ответ:
А) – 3
Б) – описание с элементами повествования
В) – 4
Г) – 2
Бухкалова Вераис, 11
Ответ:
А) – 3
Б) – описание
В) – 4
Г) – метафора
Задание 19 (4 + 3 (за полное решение) баллов)
Мартышина Марина
Ответ: 375
Решение:
Обозначим весь путь от пункта А до пункта В за x км. Тогда грузовой автомобиль двигался со
1
скоростью 0,08х км/ч. До встречи с легковым автомобилем грузовой был в пути 4 часа, значит
6
1
1
проехал 0, 08  4  x км. Весь путь – х км, значит легковой автомобиль проехал ( x  0, 08  4  x ) км.
6
6
1
При этом до встречи с грузовым автомобилем легковой был в пути тоже 4 часа, значит двигался
6
1
x  0, 08  4  x
6
он со скоростью
км/ч. Найдём сколько часов затратил на путь из В в А легковой
1
4
6
автомобиль.
1
1
x  0, 08  4  x
4
25
6 
6
.
t  x:

1
1 4
4
1  0, 08  4
6
6
25  60
 375(мин.)
Переведём в минуты:
Ответ: 375 минут.
4
Задание 20 (4 + 3 (за полное решение) баллов)
Меденцева Дарья
Ответ:
1) x  
2)

4
 n , n  Z
11
4
 3

 2x 
1) Решить уравнение tgx  1  2 sin 
 2

7 

2) Найдите корни на отрезке 2 ; 
2 

Решение.
 3

tgx  1  2 sin 
 2x 
 2

tgx  1  2 cos 2 x
tgx  1  2 cos 2 x  0
tgx  1  2 
1  tg 2 x
0
1  tg 2 x
Пусть tgx  t , тогда уравнение примет вид t  1 
2  2t 2
0
1 t2
Так как для любого t выражение 1  t 2  0 , то получаем уравнение вида
t  t 3  1  t 2  2  2t 2  0
t3  t2  t  3  0
При t  1 имеем
 13   12   1  3  0
 1  1  1  3  0 , верно,
то t  1 является корнем данного уравнения.
Выполним деление многочлена t 3  t 2  t  3 на выражение t  1 , получаем
_t3 – t2 + t + 3
t3 + t 2
_-2t2 + t
-2t2 – 2t
_3t + 3
3t + 3
0
t+1
t2 – 2t + 3
Решаем уравнение
t 2  2t  3  0
D1   1  1  3  2
2
D1  0 , корней нет
Выполним обратную подстановку:
tgx  1
x

4
 n , n  Z
Выполним отбор корней указанному отрезку:
11
4
2

3
2

4