Задачи к экз РКТ1-31 2014x

1
Задача для подготовки к экзамену
по курсу Кратные и криволинейные интегралы, ряды и ТФКП
(для РКТ1-31)
МОДУЛЬ 1: КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ
1.
Преобразовать двойной интеграл
 f ( x, y)dxdy
в двукратный и перейти к полярным
D
координатам, если область D ограничена кривыми или задана неравенствами:
а) y  x 2 , x  y  2 ;
б) x  y , y   x ;
в) y 2  1  x, x  1, y  1 ;
г) x 2  y 2  1, ( x  1)2  y 2  1, y  0 ;
д) x 2  y 2  4 y  0, y  4  x, x  0 ;
е) x 2  y 2  4, y  2  x ;
ж) x 2  y 2  1, 2y 2  3x
2. Изменить порядок интегрирования и перейти к полярным координатам:
1
2x
0
x2
а)  dx  f ( x, y )dy ;
1
4 x2
1
4
0
 dx 
б)
f ( x, y )dy ;
8 x
в)  dx  f ( x, y )dy ;
0
x
2
x 3
г)  dx
0
д)

f ( x 2  y 2 )dy ;
x
1
2 y
2
y2
 dy 
f ( x, y )dx .
Вычислить площадь поверхности сферы x 2  y 2  z 2  4 , вырезанной цилиндром
x2  y 2  2 x .
4. Вычислить массу тела с плотностью  , задаваемого неравенствами:
а) x 2  y 2  z 2  8, x 2  y 2  4, z  0,  =2z;
1
2
2
2
9

x

y

z

36,


;
б)
x2  y 2  z 2
3.
2
2
2
2
2
в) x  y  z  16, x  y  4,  =2|z | .
5.
Вычислить центр масс однородного тела, задаваемого неравенствами:
а) x 2  y 2  z 2  R 2 , 0  z;
2
2
2
2
2
2
б) x  y  z  4, x  y  3z , z  0.
2
в) z  0, x 2  y 2  z 2  R 2
2
2
6. Найти момент инерции кривой x  y  1, y  0 с плотностью  относительно
начала координат.
7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями или задаваемого неравенствами:
а) z  x 2  y 2  1, x  1, z  5 ;
б) z  x 2  y 2 , y  x 2 , y  1, z  0 ;
R 2
R 2
, (z 
);
2
2
г) x 2  y 2  z 2  R2 , x 2  y 2  Rx, (z  0) ;
в) x 2  y 2  z 2  R 2 , z 
д) x 2  y 2  2 z, x 2  y 2  4 z, z  4;
2
2
2
2
е) x  y  2 z, z  2  4  x  y ;
2
2
2
2
2
2
ж) x  y  z  2az, x  y  z ;
з) x  y  z  a, 0  z  a / 2, x  0, y  0;
2
2
2
2
2
2
2
и) 3( x  y )  z  0, x  y  z  a ;
2
2
2
2
к) x  y  3z, x  y  6 z, z  3;
2
2
л) x  y  2 x, 2 x  z, z  4 x;
2
2
м) x  y  4, x  y  z  10  0, z  0;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
н) x  y  z  a , x  y  z , 3( x  y )  z ( z  0);
2
2
2
о) 0  z  x  y , x  y  1;
2
2
п) 0  z  x  y , 0  y  2 x, y  6  x.
8.
Вычислить интеграл:
а)  ( x  y )dx  ( y  2 x)dy , где О(0,0), А(1;1), В(  2 ;0), ОА – отрезок прямой,
OAB
АВ – дуга окружности x 2  y 2  2 (меньшая);
б)

(2 x  y)dx  ( x  1)dy , где О(0,0), А(1;2), В(2;1), ОА – отрезок прямой, АВ –
OAB
дуга гиперболы y 
9.
2
.
x
Вычислить по формуле Грина интеграл:
а)  xy 2 dx  x 2 ydy , где ОАВО – контур треугольника с вершинами О(0;0), А(-2;0),
OABO
В(2;3);
б)  ( x  y)dx  xdy , где О(0;0), А(2;0), В(0;2), ОА и ВО – отрезки, АВ – дуга
OABO
окружности x 2  y 2  4 ;
в)

(2 x  y)dx  ( x  1)dy , где О(0;0), А(1;0), В(0;1), ОА и ВО – отрезки, АВ – дуга
OAB
окружности x 2  y 2  1;
3

г)
( x  y)dx  xdy .
x2  y 2 1
(0;5)
10.
Проверить, что под знаком интеграла

( y 4  x3  1)dx  (4 xy 3  y 2 )dy стоит полный
(4;0)
11.
дифференциал и вычислить этот интеграл.
Найти циркуляцию векторного поля F по замкнутой кривой Г в направлении возрастания параметра:
а) F  yi  (2 x 2  z ) j  ( y  z 2 )k ,   {x  cos t , y  sin t , z  cos t  4sin t  1}
б) F  x3 i  y 3 j  z 3k , Г – линия пересечения гиперболоида 2x 2  y 2  z 2  a 2 с
плоскостью x  y  0 ;
в) F  2 yi  5 zj  3xk , Г – линия пересечении цилиндра 2 x 2  2 y 2  1 и плоскости
x  y  z  3;
г) F  x 2 i  y 2 j  z 2 k , Г – треугольник с вершинами А(0,0,0), В(0,1,1), С(1,0,0),
обход: A  B  C  A .
12. Проверить, применимость формулы Ньютона-Лейбница к интегралу
(1;0)

(e y  2e2 x )dx  ( xe3  3)dy и вычислить его по этой формуле.
( 1; 2)
13.
Найти поток векторного поля F :
а) F  ( x  y) i  y 2 j  (2 yz  z )k через боковую поверхность цилиндра
x 2  y 2  1, 0  z  1 (нормаль внешняя);
б) F   xi  4 yj  (5z  1)k через боковую поверхность цилиндра
x 2  y 2  4, 0  z  5 (нормаль внешняя);
в) F  ( z  3x) i  y3 j  ( xy  z 2 )k через часть плоскости XOY , определяемую неравенствами x 2  y 2  1, 0  y (нормаль – k );
г) F  2i  2 yj  ( y  3z )k через полную поверхность цилиндра
x 2  y 2  r 2 , 0  z  H ( нормаль внешняя);
д) F  ( x  y) i  (2 z  y) j  2 xzk через поверхность тетраэдра в направлении внешней нормали, если уравнения его граней x  2 y  3z  6, x  0, y  0, z  0 ;
е) F  (6 x  y) i  5( z  x) j  4 yzk в направлении внешней нормали поверхности,
определяемой неравенствами 0  z  x 2  y 2 , x  y  2 x, y  2 ;
z
ж) F  xi  4 yj  (5z  1)k через часть плоскости x  2 y   1 , расположенную в
2
первом октанте, в направлении нормали, образующей острый угол с k ;
з) F  ( z  x  2 y) j через часть плоскости 3x  y  z  3 ,ограниченную координатными плоскостями, в направлении нормали, образующей острый угол с k ;
и) F  2 xi  yj  zk через часть поверхности сферы
x2  y 2  z 2  a 2 , лежащую в
октанте 0  x, y  0, z  0 ( нормаль внешняя);
к) F  xi  yj  sin zk через часть поверхности x 2  y 2  4 , вырезаемую плоскостями z  0 и z  5 (нормаль внешняя);
л) F  x 2 i  ( x  y) j  ( xz  2 z )k через полную поверхность тетраэдра в направлении
внешней нормали, если уравнения его граней x  2 y  z  2, x  0, y  0, z  0 .
4
Модуль 2: Ряды и ТФКП
14.
Вычислить интеграл:
3
а)  z 3ch dz ;
z
| z  i|  2
б)
3
z 2 sh dz ;
z
| z  i|  2
в)
z 1
dz ;
( z  i )2 ( z  3)
| z|  4
г)
1
dz ;
( z  2) ( z  3)3
| z  2| 1



2
ez
д)  2
dz ;
z ( z  1)
| z|  4
е)
ж)
z 1
dz ;
( z  i)2 ( z  3)
| z|  2


ch 2 z
dz ;
z ( z  2)( z  1)
2
| z 1| 
3
2
з)
sh2 z
dz ;
2
(
z

3
i
)
z
| z  i|  5
и)
ez
 z 2 ( z  4) dz ;
| z | 3
к)
chz
dz ;
( z  2i ) 2 z
| z  3i |  2
л)
sin 2 z
dz ;
( z  3i) 2 z
| z  i|  5
м)




| z| 
н)
1
dz ;
z ( z  2i )( z  i )
2
3
2
1
dz .
z  16
| z 1i|  2

4
1
1
cos 2
по степеням ( z  1) .
z 1
z 1
z 1
16. Разложить f ( z )  2
по степеням ( z  1) .
z  2z  2
17. Разложить f ( z ) в ряд Лорана
2 z
а) f ( z ) 
в кольце 1 | z | 2 ;
( z  2i)  ( z  1)
15.
Разложить f ( z ) 
5
1
в кольце 2 | z | 4 ;
( z  2i)  ( z  4)
2z
в) f ( z ) 
в кольце 1 | z | 3 ;
( z  i )  ( z  3)
1
г) f ( z )  2
в кольце 1 | z | 3 ;
z  2z  3
z 1
д) f ( z ) 
в кольце 2 | z | 3 ;
( z  2i )  ( z  3)
z
е) f ( z ) 
в кольце 1 | z | 2 .
( z  2i)  ( z  1)
18. Найти область сходимости степенного ряда и выяснить, как ведет себя ряд в точках
z1 , z2 , z3 :
f ( z) 
б)
( z  i)n ln n
, z1  0, z2  2  i, z3  2i ;

2n n
n 1

( z  i)n ln n
, z1  1, z2  3i, z3  2 ;

2n n
n 1

( z  1  i)2 n
, z1  1  i, z2  2, z3  2i ;

4n n 4
n 1

( z  2i) n
, z1  0, z2  2  i, z3  i ;

n
n
n 1 (2i )
 n
i ( z  i)n
1
, z1  1  i, z2  2i, z3   i .

2
2
n  2 n  ln n

а)
б)
в)
г)
д)
19. Найти особые точки (включая бесконечно удаленную) функции f ( z ) , определить их
тип и найти вычеты в них:
1
sin
а) f ( z )  2 z ;
z ( z  1)
cos z
б) f ( z ) 
;
(2 z   ) 2 z
1
ch
в) f ( z )  z ;
z 1
1
cos
z.
г) f ( z ) 
z 1
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
7.1. Основная литература
1.
2.
3.
4.
5.
Горяинов В.Б., – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. – 424 с.
. – М.: Высшая школа, 1972. – 368 с.
Исследование операций; Т.ХХ – М. Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2000. – 560 с.
Краснов М. Л., Киселев А. И. и др. Вся высшая математика. Т. 3 и 4. – М.: УРСС, 2001
Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986. – 386 с
6
6. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006. – 584 с.