2. 1.

1.
2.
3.
4. В кубе 4x4x4 у каждого
Найдите наибольшее
число, у которого каждая
цифра, начиная с третьей,
равна сумме двух предыдущих цифр.
На доске были написаны
числа 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10 ,
11 , 12 , 13 , 14 . Юный математик Вася числа округлил, некоторые в большую, некоторые
в меньшую сторону, сложил
полученные результаты и получил 29. Cколько чисел Вася
округлил в меньшую сторону?
Дан треугольник со
сторонами 2, 3, 4. Найдите
радиус наименьшего круга, из которого можно вырезать этот треугольник.
маленького кубика размером
1х1х1 посчитали число его
соседей (кубики называются
соседями, если они имеют
общую грань). Чему равно
среднее число соседей всех
маленьких кубиков?
5.
6.
7. Известно, что число вида
8.
Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых цифры 1, 2, 3, 4 и 5
встречаются ровно по 1 разу, и
при этом в записи любые две
подряд идущие цифры не могут
отличаться ровно на 1?
11…11 (записываемое одними единицами – репьюнит) делится на 7. Укажите
все другие простые числа,
которые обязательно будут
делителями этого числа.
В классе учится меньше
50 школьников. За контрольную
работу седьмая часть учеников
получила пятёрки, третья  четвёрки,
половина 
тройки.
Остальные работы были оценены как неудовлетворительные.
Сколько было таких работ?
В клетчатом квадрате
8×8 проведена главная
диагональ. Сколько всего
треугольников, стороны
которых идут по линиям
получившейся сетки?
9.
Площадь трапеции
равна 1. Какую наименьшую величину может
иметь наибольшая диагональ этой трапеции?
10.
Сколькими способами сто
миллионов можно представить
в виде произведения двух целых чисел, в десятичной записи
каждого из которых не было бы
ни одного нуля?
11. В простом двузначном 12. Радиус окружности
числе переставили цифры и
также получили простое
число. Из первого числа
вычли второе и получили
квадрат
целого
числа.
Найдите исходное число.
равен 25; две параллельные хорды равны
14 и 40. Найдите расстояние между ними.
13. Решите систему уравнений: 14.
1 1

 x  y  6,

1 1
   4,
y z
 1  1  5.
 z x
15.
В треугольнике ABC с
A=24 на сторонах AB и AC
взяты точки X и Y соответственно. При этом окружность с
центром в Y, проходящая через
A, проходит также через X, а
окружность с центром в X, проходящая через B, проходит также через C и Y. Найдите ∠ABC.
На координатной плоскости расположен шестиугольник ABCDEF площади 6 так, что координаты всех вершин
являются целочисленными, причём известны координаты точек A(0; 0), B(0; 4),
С(1; 1), D(4; 4), а одна из двух оставшихся вершин имеет координаты (4; 0). Какие координаты могли быть ещё у одной
вершины шестиугольника?
16. Все натуральные числа
от 1 до 1000 включительно разбиты на две группы:
чётные и нечётные числа.
В какой из групп сумма
всех цифр, используемых
для записи чисел, больше
и на сколько?
ШИТМ, НФ ГУ ВШЭ.
Математическая игра «Пенальти» (8-9 класс). Решения. 3 марта 2011 года
1. Найдите наибольшее число, у которого каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме двух предыдущих цифр.
(10112358. Число будет тем больше, чем больше в нём цифр. А всего цифр будет тем больше, чем меньше
первые две цифры. Если первые цифры 1 и 0, то получаем 10112358. В остальных случаях число третья
цифра не меньше 2, четвёртая  не меньше 2, пятая – не меньше 4, шестая – не меньше 6, а седьмой
цифры уже не существует.)
2. Дан треугольник со сторонами 2, 3, 4. Найдите радиус наименьшего круга, из которого можно вырезать этот
треугольник. (2. Заметим, что этот треугольник  тупоугольный. Поэтому он помещается в окружность,
построенную на наибольшей стороне, как на диаметре (радиус этой окружности равен 2). С другой стороны, из круга радиуса, меньшего 2, нельзя вырезать данный треугольник, поскольку сторона длины 4
должна быть не меньше диаметра круга.)
3. На доске были написаны числа 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 . Юный математик
Вася числа округлил, некоторые в большую, некоторые в меньшую сторону, сложил полученные результаты и
получил
29.
Cколько
чисел
Вася
округлил
в
меньшую
сторону?
(7
чисел.
Если все числа округлить в меньшую сторону, то сумма получится равной 21+42+53=25. При каждом
округлении одного из чисел в большую сторону, сумма увеличивается на единицу. Поэтому в большую
сторону округлены 4 числа, значит, в меньшую округлено 114=7 чисел.)
4. В кубе 4x4x4 у каждого маленького кубика размером 1х1х1 посчитали число его соседей (кубики называются
соседями, если они имеют общую грань). Чему равно среднее число соседей всех маленьких кубиков? (4,5.
Подсчитаем количество граней маленьких кубиков, лежащих внутри большого куба nnn. 3 направления по n² столбиков по (n-1) граней между ними. Так как каждая грань соединяет 2 кубика, получаем
суммарное количество соседей у всех кубиков 23(n1)n² и среднее количество соседей у всех n³ кубиков
равно 6(n-1)/n. Тогда при n=4 среднее число соседей равно 63/4=4,5.)
5. Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых цифры 1, 2, 3, 4 и 5
встречаются ровно по 1 разу, и при этом в записи любые две подряд идущие цифры
не могут отличаться ровно на 1? (14 чисел – 13524, 14253, 24135, 24153, 25314,
31425, 31524, 35142, 35241, 41352, 42513, 42531, 52413, 53142. Построим граф, в
котором ребром соединим цифры, которые могут быть соседними (см. рис.), и
рассмотрим все возможные ориентированные гамильтоновы пути, т.е. пути,
проходящие по всем вершинам один раз.)
6. В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятёрки, третья  четвёрки, половина  тройки. Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько было таких работ? (1 работа. Поскольку число школьников, получивших ту или
иную оценку, всегда целое, то для решения задачи нам надо найти целое число, меньшее 50, одновременно делящееся на 7, 3, 2. Единственным возможным ответом является число 42. Это значит, что всего
в классе 42 ученика; 6 из них получили пятёрки; 14  четвёрки; 21  тройки. Следовательно, двойку получил 1 ученик.)
7. Известно, что число вида 11…11 (записываемое одними единицами – репьюнит) делится на 7. Укажите все
другие простые числа, которые обязательно будут делителями этого числа. (3, 11, 13 и 37. Нетрудно проверить, что числа 1, 11, 111, 1111, 11111 не делятся на 7, а число 111111 делится на 7. Пусть в записи числа
Еk=11…11 k единиц (такое число называется репьюнитом k-го порядка). Если k делится на 6, то Еk делится на 111111=1111001=33771113. Если k не делится на 6, то k = 6n+r, где остаток r от деления k на 6
не меньше 1 и не больше 5. Тогда Еk=11..110…0+1…1, где в записи первого слагаемого 6n единиц и r нулей, а в записи второго слагаемого r единиц. Поскольку первое слагаемое делится как на 7, а второе не
делится на 7, то число A не делится на 7. Мы убедились, что на 7 число Еk делится тогда и только тогда,
когда число единиц в его записи делится на 6, а тогда оно ещё делится на 3, 11, 13
и 37.)
8. В клетчатом квадрате 8×8 проведена главная диагональ. Сколько всего треугольников,
стороны которых идут по линиям получившейся сетки? (72 треугольника. Треугольники среди своих вершин имеют две на проведённой главной диагонали, а любые
два узла из этих девяти дают по два нужных треугольника (АВС1 и АВС2 на рисунке), тогда всего 2 С92  2 
9 8
 72 треугольника.)
2
9. Площадь трапеции равна 1. Какую наименьшую величину может иметь наибольшая диагональ этой трапеции?
(Длины диагоналей трапеции обозначим через d1 и d2, длины их проекций на основание – через p1 и p2,
длины оснований – через a и b, высоту – через h. Пусть для определенности d1d2, тогда p1p2. Ясно, что
p1+p2a+b. Поэтому p1(a+b)/2=S/h=1/h. Следовательно, d1  p1  h 2 
2
2
1
1
 h 2  2 2  h 2  2 (где по2
h
h
следнее неравенство является неравенством Коши), причём равенство достигается только, если
p1=p2=h=1. При этом d1  2 .)
10. Сколькими способами сто миллионов можно представить в виде произведения двух целых чисел, в десятичной записи каждого из которых не было бы ни одного нуля? (0 способов. В разложении на простые множители имеются только 2 и 5, но они не могут присутствовать в одном числе одновременно, иначе, оно
оканчивается на ноль. Значит, подходит только вариант с учётом знаков 2858, но 58=390625, что не удовлетворяет условию. Следовательно, нет ни одного способа.)
11. В простом двузначном числе переставили цифры и также получили простое число. Из первого числа вычли
второе и получили квадрат целого числа. Найдите исходное число. (11 и 73. Пусть ab – исходное простое
число, тогда ba – полученное число. Их разность равна 9(ab) и может являться одним из следующих
точных квадратов: 0, 9, 36 и 81. 9 не подходит, потому что тогда одно из чисел будет чётным двузначным
и, следовательно, составным. 81 не подходит, потому что тогда исходное число 90 – составное. Два других
случая дадут подходящие варианты: 11 и 73.)
12. Радиус окружности равен 25; две параллельные хорды равны 14 и 40. Найдите расстояние между ними. (39
или 9. Расстояния от центра окружности до данных хорд равны 252  202  15 и 252  7 2  24 . Если
хорды расположены по разные стороны от центра, то расстояние между ними равно 24+15=39, а если по
одну, то 2415=9.)
1 1
 x  y  6,

1
1
1
1 1
13. Решите систему уравнений:    4,
(Введём новые обозначения:
 a,  b,  c . Получим:
x
y
z
y z
 1  1  5.
 z x
a  b  6,

b  c  4, Складывая уравнения системы, получим 2(a+b+c)=15.
 c  a  5.

Теперь нетрудно получить a=3,5; b=2,5; c=1,5, тогда x=2/7, y=2/5,
z=2/3.)
14. На координатной плоскости расположен шестиугольник ABCDEF площади 6 так, что координаты всех вершин являются целочисленными, причём известны координаты точек A(0; 0), B(0; 4),
С(1; 1), D(4; 4), а одна из двух оставшихся вершин имеет координаты (4; 0). Какие координаты могли быть ещё у одной
вершины шестиугольника? (либо (3; 2), либо (2; 1), что видно из двух возможных расположений вершин шестиугольника – см. рис.)
15. В треугольнике ABC с A=24 на сторонах AB и AC взяты точки X и Y соответственно. При этом окружность с центром в
Y, проходящая через A, проходит также через X, а окружность с центром в X,
проходящая через B, проходит также через C и Y. Найдите ∠ABC. (54. Заметим, что AY=XY, т.к. X лежит на окружности с центром в Y , проходящей через A. Тогда AYX является равнобедренным, и
AXY=XAY=24. Поскольку XYC  внешний для треугольника AXY ,
то XYC= AXY +XAY=48. Точки Y, C, B лежат на окружности с центром в X, поэтому XY=XC=XB, а треугольники YXC и BXC являются
равнобедренными. Значит, XCY=XYC=48, XCB=ABC. Сумма углов ABC равна 180, поэтому 180=BAC+XCY+XCB+ABC=24+48+2ABC. Отсюда получаем, что
2ABC=1802448=108, т.е. ABC=54.)
16. Все натуральные числа от 1 до 1000 включительно разбиты на две группы: чётные и нечётные числа. В какой из групп
сумма всех цифр, используемых для записи чисел, больше и на сколько? (Сумма цифр нечётных чисел больше на 499.
Сумма цифр числа 1 равна сумме цифр числа 1000; остальные числа разобьём на пары: 2-3, 4-5, 6-7, 8-9, ..., 998-999.
В каждой из 499 таких пар за счёт разряда единиц сумма цифр у нечётного числа больше на 1, чем у чётного.)