Департамент образования города Москвы Некоммерческая организация «Ассоциация московских вузов»

Департамент образования города Москвы
Некоммерческая организация «Ассоциация московских вузов»
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Московский государственный институт электронной техники (технический университет)
Полное название вуза
Научно-образовательный материал
Контрольно-измерительные материалы для подготовки школьников к ЕГЭ по
математике
Москва 2009 г.
Разработаны
варианты
контрольно-измерительных
материалов
по
разделам,
«Квадратный трехчлен», «Алгебраические уравнения, задачи на составление уравнений»,
«Планиметрия», «Тригонометрия» для 9-х классов. Разработаны варианты контрольноизмерительных материалов по разделам «Тождественные преобразования алгебраических
выражений», «Квадратный трехчлен», «Тригонометрические уравнения» для 10-х классов.
Образцы разработанных контрольно-измерительных материалов для 9-х классов
«Алгебраические уравнения, задачи на составление уравнений»
Вариант 1
1 часть
1.
23% числа 15,5 равны 5% числа а. Найти а.
2.
Решить уравнение
3.
Вес 3-х конфет «Мишка» на 30 г меньше веса 5-ти конфет «Цитрон». Вес 20-ти
конфет «Цитрон» на 140 г больше веса 11-ти конфет «Мишка». Сколько граммов
весят 4 конфеты «Мишка» и 2 конфеты «Цитрон» вместе?
4.
Решить уравнение 4 x 4  9 x 2  2  0 .
5.
Вместо одной грузовой машины для перевозки груза массой 45 тонн взяли другую
машину, грузоподъёмность которой на 2 тонны меньше первой. Поэтому было
сделано на 6 рейсов больше, чем предполагалось. Какой грузоподъёмности машина
была намечена для перевозки груза?
6.
Решить уравнение | x  2 |  3x .
1
12
3x  5


.
2
x 3x  x
3 x
2 часть
7.
Кофе при жарении теряет 12% своей массы. Сколько свежего кофе надо взять, чтобы
получить 14,08 кг жареного кофе?
8.
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 18 км, одновременно выезжают
два велосипедиста. Скорость одного из них на 5 км/ч меньше скорости другого.
Велосипедист, который первым прибыл в В, сразу же повернул обратно и встретил
другого велосипедиста через 1 час 20 мин после выезда из А. На каком расстоянии от
пункта В произошла встреча?
9.
Решить уравнение ( x  6)( x  7)( x  2)( x  3)  180  0 .
x y 5
   ,
10. Решить систему уравнений  y x 6
x 2  y 2  5.

11. Найти
b,
при
которых
уравнение
( х  6  ab)  (9  x  a  b)  4  4 x  x имеет хотя бы одно решение x.
2
все
2
пары
чисел
2
a
и
2
2
«Квадратный трехчлен»
Вариант 1
1 часть
1.
Найти абсциссы точек пересечения графиков функций y  x 2  4 x  4 и y  x  2 .
2.
Разложить на множители квадратный трёхчлен 3 x 2  8 x  3 .
3.
x2  x  6
Сократить дробь 2
и вычислить её значение при x  3 .
x  4 x  21
4.
Решить графически уравнение x 2  2  x .
5.
Составить квадратное уравнение по данным его корням 3  2 и 3  2 .
2 часть
2 x 2  5x  2 имеет смысл?
6.
При каких x выражение
7.
х12
Вычислить значение выражения x1 
, где х1 и х2 – корни уравнения
х1  x2
х2  7х  1  0 .
8.
 x 2  y 2  41,
Решить систему уравнений 
 y  x  1.
9.
 x 2  2 x  8  0 ,
Решить систему неравенств 
 x 2  9 .
10. Найти значения a, при которых квадратное уравнение 3x 2  2ax  a  6  0 не имеет
корней.
11. Построить график функции y  x 2  4 | x |  3 .
«Планиметрия»
Вариант 1
1 часть
1.
В прямоугольном треугольнике ABC C  90 , BC  4 см, AC  5 см. Найти
тангенс угла A треугольника.
2.
Вычислить скалярное произведение векторов a  {3;  1} и b  {2 ; 5} .
3.
Дано уравнение окружности x 2  y 2  2 y  8  0 . Найти координаты центра и радиус
этой окружности.
4.
В треугольнике АВС AB  6 см, A  60 , C  45 . Найти длину стороны ВС.


3
5.
Расстояние от центра окружности до хорды равно 5 3 см и вдвое меньше радиуса.
Найти длину хорды этой окружности.
6.
Один из внутренних углов выпуклого четырёхугольника равен 60°, а остальные
относятся между собой, как 1 : 2 : 3 . Найти бóльший угол этого четырёхугольника.
2 часть
7.
Периметры двух подобных треугольников равны 60 см и 160 см, площадь мéньшего
из них равна 72 см2. Найти площадь бόльшего из них.
8.
Периметр правильного шестиугольника, описанного около окружности, равен 36 см.
Найти периметр квадрата, вписанного в эту же окружность.
9.
Найти площадь треугольника, две медианы которого равны 6 см и 9 см, а угол между
этими медианами равен 60°.
10. Найти площадь круга, вписанного в ромб с диагональю 10 см, если сторона ромба в
1,3 раза больше этой диагонали.
11. Периметр прямоугольной трапеции равен 50 см, а мéньшее основание равно 10 см.
Найти её площадь, если боковая сторона трапеции на 1 см больше её высоты.
«Тригонометрия»
Вариант 1
1 часть
12. Найти значение выражения
ctg 30  sin 30
.
cos 60
13. Упростить выражение ctg()  sin(   ) и вычислить его значение при  

.
3
14. Что больше: tg 210 или cos 0 ?
2  cos2   sin 2 
1.
15. Упростить выражение
1  2 sin 2 
16. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения 2 sin x  1 .
17. Найти sin  , если tg  
12
3
и 
.
5
2
2 часть
18. Найти значение выражения sin 960  cos 495  tg( 840) .
19. Найти cos , если cos 2 
1
и 180    270 .
8
4
 3

   , если    
.
3
 2

20. Найти значение выражения cos(  )  2 sin  cos
4
21. Найти область значений функции y  2 1  sin 2 x .


3
  0 .
Найти два значения  , при которых cos   3  sin  
2


Образцы разработанных контрольно-измерительных материалов для 10-х классов
Вариант 1
1 часть
Вычислить:
1. a 2  6ab  9b2 , если a  3, 63 , b  1, 01 . 2.
3. Представить в виде
Упростить:
 
a3  a 2
4.
a 4
n m
x
8a3  b3
4a 2  2ab  b 2
, если a  12 , b  13 .
3 2 4 3
x  x .
выражение
4
5. 1  2 x  3x  1 , если x  1 .
.
6.
45  20 .
2 часть
7. Сократить дробь
x3  2 x 2  5 x  6
x2  4 x  3
.
Упростить:

4 xy  
x
2 xy 
y
8.  x  y 


.
:
x  y   x  y y  x x2  y 2 

9. x  1  2 x  3  x 2  4 x  4 , если 1  x  2 .
Вычислить:

10. 3  2 2

17  12 2 

3
32

74 3 .
11. x3  3bx  2 , если x  a  a2  b3 
3
a2  b3  a , a  2, b  1 .
5
«Тождественные преобразования тригонометрических выражений»
Вариант 1.
1 часть
1. Вычислить cos(   )  cos( ), если    / 6 .

6
6

2. Вычислить cos cos  sin sin .
15
15
15
15
3. Упростить sin   cos   cos   sin  , если    
3
.
2
4. Сравнить числа cos140 и cos141 (ответ обосновать).

2 3
5. Найти tg , если cos       ,
   2 .

2
3
2
6. Доказать тождество sin 3  sin 2  sin 5 sin 
2
2
2 часть
7. Упростить выражение

sin 2   (1  ctg  )  cos 2   (1  tg  ) , если
3
  .
4

8. Найти sin   2  , если sin   ,    .
13 2
6

12
1
1  cos 2 sin 2 



  4ctg 2 .
cos 
 cos3 cos  sin 
9. Доказать тождество 
10. Найти наименьшее и наибольшее значения выражения 12sin 3  5cos3  1 .
11. Сравнить cos3 и ( sin 2). Ответ обосновать.
«Тригонометрические уравнения»
Вариант 1
1
2
1. Решить уравнение cos(3 x  1)  .
2. Решить уравнение 2 cos 2 4 x  5sin 4 x  4  0 .
3. Решить уравнение sin    x   3cos x  0 .
4. Решить уравнение 2 cos10 x  cos2 5 x  0 .
5. Решить уравнение ctg 0,5 x  tg 0,5 x  0 .
6. Найти точки пересечения графиков функций y  cos 5 x и y  cos 7 x .
7. Найти корни уравнения sin 2 x  2cos x  3  3 sin x , принадлежащие промежутку [0; 2] .
8. Найти все решения уравнения cos 2 x  sin 2 x  4sin x cos x  6 cos 2 x , удовлетворяющие
условию cos x  0 .
9. Решить уравнение sin 7 x cos x  sin 6x .
10. Решить уравнение
3 tg x  2sin x .
11. Решить уравнение 81x4  3  cos x  3 sin x  18x2 .
6