УП-БИб-Б2.В.ОД-ИМ-12 -

Министерство образования и науки Российской Федерации
ГОУ ВПО «Магнитогорский государственный университет»
Е. Н. Гусева
Имитационное моделирование
экономических процессов
Учебное пособие
Магнитогорск
2008
УДК 330.115
ББК У.в 6
Рецензенты:
доцент, канд. тех. наук П. В. Стащук
доцент, канд. физ-мат. наук А. С. Макаров
Г96 Гусева Е.Н. Имитационное
моделирование
экономических процессов : учеб. пособие / Е. Н. Гусева. –
Магнитогорск: МаГУ, 2008.– 120 с.
Пособие содержит базовый теоретический материал курса
«Имитационное моделирование экономических процессов»,
основные методы и приемы проектирования информационных
экономических моделей. Оно адресовано студентам очного и
заочного отделений высших учебных заведений, получающим
специальности: 080801 - прикладная информатика в экономике,
080700 – бизнес-информатика.
УДК 330.115
ББК У.в 6
ISBN- 978-5-86781-477-9
© Гусева Е.Н., 2007
© Магнитогорский государственный
университет, 2007
2
СОДЕРЖАНИЕ
Методы моделирования бизнес-процессов ............................. 4
Имитация работы объекта экономики в трех измерениях:
материальные, денежные и информационные потоки ........... 22
Имитация основных процессов системы массового
обслуживания ............................................................................. 35
Модели управления ресурсами (запасами) ............................. 53
Задачи оптимизации производства....................................... 68
Финансовые модели фирмы ..................................................... 79
Имитация клиринговых процессов .......................................... 94
Список литературы .................................................................... 114
3
Методы моделирования бизнес-процессов
Актуальность моделирования бизнес-процессов
Сегодня у многих компаний появляется необходимость
объединить
информацию
структуре,
действующих
о
собственной
информационных
организационной
системах
для
создания общей модели предприятия.
Такая
модель
дает
возможность
понять
степень
вовлечения ресурсов в решение задач фирмы, и прогнозировать
развитие событий на рынке. Компаниям, стремящимся выйти на
серьезный рынок, требуется международная сертификация в
области качества и зрелости бизнеса. Успешное прохождение
такой сертификации "по плечу" только тем организациям,
бизнес которых прозрачен, а бизнес-процессы формализованы.
Описание процессов, протекающих в компании, их
взаимосвязь, способы достижения стратегических и тактических
целей позволяет увидеть и оценить работу компании в целом.
Формализация бизнес-операций позволяет найти узкие места в
деятельности предприятия
и улучшить все экономические
показатели предприятия:

увеличить объем производства и прибыль,

снизить издержки и численность персонала,

оптимизировать деятельность каждого сотрудника,

избежать дублирования функций.
4
Сегодня у многих компаний появляется необходимость
объединить информацию о собственной организационной
структуре,
действующих
информационных
системах,
используемых документах и создать в результате модель
предприятия. Эта модель дает возможность понять степень
вовлечения разного рода ресурсов в решение тех или иных
задач, определить взаимодействие между ними и прогнозировать
развитие событий с необходимой степенью точности.
Необходимость в услуге по моделированию бизнеспроцессов появилась относительно недавно – около 20 лет назад,
вслед за возникновением концепции процессного подхода к
управлению предприятиями и организациями. С появлением
понятия бизнес-процесса у компаний сформировалась и
необходимость в их формализации, а следовательно, в описании
процессов, протекающих в компании, их взаимосвязей, способов
достижения стратегических и тактических целей компании,
действий сотрудников по выполнению определенных бизнесопераций и их влияния на достижение целей, регламентов,
необходимых для ее нормального функционирования.
Компаниям, стремящимся выйти на серьезный рынок,
требуется международная сертификация в области качества и
зрелости бизнеса. Успешное прохождение такой сертификации
"по плечу" только тем организациям, бизнес которых
прозрачен, а бизнес-процессы формализованы.
Бизнес-система – это система, которая объединяет
совокупность связанных между собой бизнес-процессов,
конечной целью которой является выпуск продукции или услуг.
5
Бизнес-процесс – это связанная совокупность различных
видов деятельности, в ходе выполнения которых, потребляются
ресурсы и создается продукт, имеющий ценность для
потребителя.
Бизнес-модель – это структурированное графическое
описание сети процессов и операций, связанных с
информационными финансовыми и материальными потоками,
отражающими деятельность предприятия.
Бизнес-система
Бизнес-процесс 1
Бизнес-процесс 2
Бизнес-процесс 3
Продукция и услуги
6
Необходимость создания бизнес-моделей вызвана высокой
динамичностью деловой среды. Чтобы удержаться в этом
"бурном потоке", компаниям приходится постоянно "двигаться",
внедрять инновации, в противном случае они довольно быстро
будут вытеснены с рынка более динамичными конкурентами.
Смоделировать и оценить успешность планируемых изменений,
их актуальность и отдачу для компании можно с помощью
инструментов имитационного моделирования.
Основные этапы моделирования бизнес-процессов:
1. определение целей и задач моделирования;
2. анализ бизнес-процессов (структуры, связей, функций
подразделений);
3. разработка модели реального бизнес-процесса (как есть
as-is);
4. анализ существующего бизнес-процесса и нахождение
узких мест;
5. разработка оптимизированной модели бизнес-процесса
(как будет to-be);
6. апробация и доработка модели;
7. внедрение модели бизнес-процесса в деятельность
предприятия.
Для моделирования бизнес-процессов используется
несколько различных методов, основой которых являются как
структурный, так и объектно-ориентированный подходы к
моделированию. Однако деление самих методов на структурные
и объектные является достаточно условным, поскольку наиболее
развитые методы используют элементы обоих подходов.
Методы моделирования бизнес-процессов:
1. метод функционального моделирования SADT (IDEF0);
2. метод моделирования процессов IDEF3;
7
моделирование потоков данных DFD;
метод ARIS;
метод Ericsson-Penker;
метод моделирования, используемый в технологии
Rational Unified Process.
 SADT - основополагающая методология, заложившая
принципы современного моделирования и послужившая
основой для разработки стандарта IDEF0.
IDEF0 – методология и стандарт функционального
моделирования. С помощью графического языка IDEF0,
изучаемая система предстает в виде набора взаимосвязанных
функциональных блоков. Моделирование средствами IDEF0,
как правило, является первым этапом изучения системы.
IDEF3 - с помощью IDEF3 описывается логика
выполнения
действий.
IDEF3
может
использоваться
самостоятельно и совместно с методологией IDEF0: любой
функциональный блок IDEF0 может быть представлен в виде
последовательности процессов или операций средствами IDEF3.
Если IDEF0 описывает, что делается в системе, то IDEF3
описывает, как это делается.
 DFD -диаграммы потоков данных (Data Flow
Diagrams)[2] представляют собой иерархию функциональных
процессов, связанных потоками данных. Цель такого
представления — продемонстрировать, как каждый процесс
преобразует свои входные данные в выходные, а также выявить
отношения между этими процессами.
В соответствии с данным методом модель системы
определяется как иерархия диаграмм потоков данных,
описывающих
асинхронный
процесс
преобразования
информации от ее ввода в систему до выдачи потребителю.
3.
4.
5.
6.
8
Источники информации (внешние сущности) порождают
информационные потоки (потоки данных), переносящие
информацию к подсистемам или процессам. Те, в свою очередь,
преобразуют информацию и порождают новые потоки, которые
переносят информацию к другим процессам или подсистемам,
накопителям данных или внешним сущностям — потребителям
информации.
Поскольку методы функционального моделирования
IDEF0, IDEF3 и DFD мы подробно рассматривали в прошлом
семестре, то остановимся подробнее на таких методах
моделирования как ARIS, Ericsson-Penker и Rational Unified
Process.
Метод ARIS
В настоящее время наблюдается тенденция интеграции
разнообразных методов моделирования и анализа систем,
проявляющаяся в форме создания интегрированных средств
моделирования. Одним из таких средств является продукт,
носящий название ARIS (Architecture of Integrated Information
System), разработанный германской фирмой IDS Scheer.
Система ARIS представляет собой комплекс средств
анализа и моделирования деятельности предприятия. Ее
методическую основу составляет совокупность различных
методов моделирования, отражающих разные взгляды на
исследуемую систему. Одна и та же модель может
разрабатываться с использованием нескольких методов, что
позволяет использовать ARIS специалистам с различными
теоретическими знаниями и настраивать его на работу с
системами, имеющими свою специфику.
9
Методика моделирования ARIS основывается на
разработанной профессором Августом Шером теории
построения интегрированных ИС, определяющей принципы
визуального отображения всех аспектов функционирования
анализируемых компаний. ARIS поддерживает четыре типа
моделей, отражающих различные аспекты исследуемой
системы:
 организационные модели, представляющие структуру
системы — иерархию организационных подразделений,
должностей и конкретных лиц, связи между ними, а также
территориальную привязку структурных подразделений;
 функциональные модели, содержащие иерархию целей,
стоящих перед аппаратом управления, с совокупностью деревьев
функций, необходимых для достижения поставленных целей;
 информационные модели, отражающие структуру
информации, необходимой для реализации всей совокупности
функций системы;
 модели управления, представляющие комплексный
взгляд на реализацию бизнес-процессов в рамках системы.
Для
построения
перечисленных
типов
моделей
используются как собственные методы моделирования ARIS, так
и различные известные методы и языки моделирования, в
частности, UML.
10
Рис. 1. ARIS-модель
На Рис. 1 видно, что связи между объектами имеют
определенный смысл и отражают последовательность
выполнения функций в рамках процесса. Стрелка, соединяющая
Событие 1 и Функцию 1, "активирует" или инициирует
выполнение Функции 1. Функция 1 "создает" Событие 2, за
которым следует символ логического "И", "запускающий"
выполнение Функций 2 и 3. Нотация eEPC построена на
определенных правилах:
 каждая функция должна быть инициирована событием и
должна завершаться событием;
11
в каждую функцию не может входить более одной
стрелки, "запускающей" выполнение функции, и выходить не
более одной стрелки, описывающей завершение выполнения
функции.
На Рис. 2 показано применение различных объектов ARIS
при создании модели бизнес-процесса.
Рис. 2. Фрагмент модели бизнес-процесса
12
Бизнес-процесс в нотации eEPC представляет собой
поток
последовательно
выполняемых
работ
(процедур,
функций), расположенных в порядке их выполнения. Реальная
длительность выполнения процедур в eEPC визуально не
отражается. Это приводит к тому, что при создании моделей
возможны ситуации, когда на одного исполнителя будет
возложено выполнение двух задач одновременно. Используемые
при построении модели символы логики позволяют отразить
ветвление
и
слияние
бизнес-процесса.
Для
получения
информации о реальной длительности процессов необходимо
использовать другие инструменты описания, например, графики
Ганта в системе MS Project.
Основное достоинство метода ARIS заключается в его
комплексности, которая проявляется во взаимосвязи между
моделями различных типов. Метод ARIS позволяет описывать
деятельность организации с разных точек зрения и
устанавливать связи между различными моделями. Однако
такой подход трудно реализуем на практике, поскольку влечет за
собой большой расход ресурсов (человеческих и финансовых) в
течение длительного времени. Кроме того, инструментальная
среда ARIS достаточно дорогостояща и сложна в использовании.
Метод Ericsson-Penker
Метод Ericsson-Penker представляет интерес прежде всего
в связи с попыткой применения языка объектного
моделирования UML (изначально предназначенного для
моделирования архитектуры систем ПО) для моделирования
13
бизнес-процессов. Это стало возможным благодаря наличию в
UML механизмов расширения.
Механизмы расширения UML предназначены для того,
чтобы разработчики могли адаптировать язык моделирования к
своим конкретным нуждам, не меняя при этом его метамодель.
Наличие механизмов расширения принципиально отличает UML
от таких средств моделирования, как IDEF0, IDEF1X, IDEF3,
DFD и др. Перечисленные языки моделирования можно
определить как сильно типизированные (по аналогии с языками
программирования), поскольку они не допускают произвольной
интерпретации семантики элементов моделей. UML, допуская
такую интерпретацию (в основном за счет стереотипов),
является слабо типизированным языком. К его механизмам
расширения относятся:
 стереотипы;
 тегированные (именованные) значения;
 ограничения.
Стереотип — это новый тип элемента модели, который
определяется на основе уже существующего элемента.
Стереотипы расширяют нотацию модели, могут применяться к
любым элементам модели и представляются в виде текстовой
метки или пиктограммы. Стереотипы классов — это механизм,
позволяющий разделять классы на категории. Участники
проекта (аналитики) могут создавать свои собственные наборы
стереотипов, формируя тем самым специализированные
подмножества UML (например, для описания бизнес-процессов,
Web-приложений, баз данных и т.д.). Такие подмножества
(наборы стереотипов) в стандарте языка UML носят название
профилей языка.
14
Именованное значение — это пара строк "тег = значение"
или "имя = содержимое", в которых хранится дополнительная
информация о каком-либо элементе системы, например, время
создания, статус разработки или тестирования, время окончания
работы над ним и т.п.
Ограничение — это семантическое ограничение, имеющее
вид текстового выражения на естественном или формальном
языке (OCL — Object Constraint Language), которое невозможно
выразить с помощью графической нотации UML.
Авторы метода Ericsson-Penker создали свой профиль UML
для моделирования бизнес-процессов под названием EricssonPenker Business Extensions, введя набор стереотипов,
описывающих процессы, ресурсы, правила и цели деятельности
организации.
15
Рис. 3. Метамодель категорий бизнес-модели
Основной диаграммой UML, используемой в данном
методе, является диаграмма деятельности
16
Рис. 4. Диаграмма деятельности
Основным элементом диаграммы является деятельность
(activity). Интерпретация этого термина зависит от той точки
зрения, с которой строится диаграмма (это может быть
17
некоторая задача, которую необходимо выполнить вручную или
автоматизированным способом, или операция класса).
Деятельность
изображается
в
виде
закругленного
прямоугольника с текстовым описанием.
Любая диаграмма деятельности должна иметь начальную
точку, определяющую начало потока событий. Конечная точка
необязательна. На диаграмме может быть несколько конечных
точек, но только одна начальная.
На диаграмме могут присутствовать объекты и потоки
объектов (object flow). Объект может использоваться или
изменяться в одной из деятельностей. Показ объектов и их
состояний (в дополнение к диаграммам состояний UML)
помогает понять, когда и как происходит смена состояний
объекта.
Объекты связаны с деятельностями через потоки объектов.
Поток объектов отмечается пунктирной стрелкой от
деятельности к изменяемому объекту или от объекта к
деятельности, использующей объект.
UML – unified modeling language – унифицированный
язык моделирования. Был создан для определения,
представления, проектирования и документирования различных
систем, приемник методов объектно-ориентированного анализа.
Создавался в конце 1994 г. Г. Буч, Д. Рамбо, И. Якобсон. Язык
визуального
моделирования,
независимый
от
систем
программирования и расширяемый в плане специализации. Все
мировые производители CASE-средств поддерживают UML
(структурные модели, модели поведения).
Данный метод основан на использовании UML для
моделирования бизнес-процессов. Авторы создали свой профиль
UML.
18
Ресурсы (объекты, участвующие в бизнес-процессах:
люди, материалы, информация),
процессы (деятельность,
которая изменяет состояние ресурсов), цели (выражают
требуемое состояние ресурсов), бизнес-правила (условия или
ограничения процессов). Основная диаграмма – это диаграмма
деятельности (см. Рис. 5). Goal – это цель.
«goal»
Goal
«process»
«resource»
«resourse»
ProcessA
In: aClass
«sypply»
Out: aClass
«control»
«resource»
«resource»
ResourceA
ResourceB
Рис. 5. Диаграмма деятельности для процесса
Метод моделирования Rational Unified Process – методика,
основанная на объектно-ориентированном подходе, использует
язык UML. Позволяет строить модели бизнес-процессов и
модели бизнес-анализа.
Модель бизнес-процесса – модель, описывающая бизнеспроцессы организации в терминах ролей и их потребностей.
Модель бизнес-анализа – содержит диаграммы разного
типа (диаграмма классов, содержащая исполнителей и
сущности)
19
Метод функционального моделирования позволяет
оптимизировать существующие на предприятии бизнеспроцессы,
однако
для
оптимизации
конкретных
технологических операций функциональной модели
может быть недостаточно. В этом случае целесообразно
использовать имитационное моделирование.
Имитационное моделирование – это метод, позволяющий
строить модели, учитывающие время выполнения операций, и
обеспечивающий наиболее полные средства анализа динамики
бизнес-процессов. Имитационные модели описывают не только
потоки сущностей, информации и управления, но и различные
метрики. Полученную модель можно «проиграть» во времени и
получить статистику происходящих процессов так, как это было
бы в реальности. В имитационной модели изменения процессов
и данных ассоциируются с событиями. «Проигрывание» модели
заключается в последовательном переходе от одного события к
другому.
Связь между имитационными моделями и моделями
процессов заключается в возможности преобразования модели
процессов в имитационную модель. Имитационная модель дает
больше информации для анализа системы, в свою очередь
результаты такого анализа могут быть причиной модификации
модели процессов.
Одним
из
наиболее
эффективных
инструментов
имитационного моделирования является система ARENA,
разработанная фирмой System Modeling Corporation. Система
позволяет строить имитационные модели, проигрывать их и
анализировать результаты.
20
Функциональные и имитационные модели тесно
взаимосвязаны и эффективно дополняют друг друга.
Имитационные модели дают больше информации для
анализа системы, результаты которого могут быть
причиной
модификации
модели
процессов.
Целесообразно сначала строить функциональную
модель, а на ее основе — имитационную.
21
Имитация работы объекта экономики в трех измерениях:
материальные, денежные и информационные потоки
Моделирование любого объекта экономики можно
рассматривать как взаимодействие структурных элементов,
связывающих звенья экономической системы. Между
подразделениями экономической системы проходят потоки
ресурсов (материальные, информационные и финансовые).
Производитель
Мат. поток
Посредник
Фин. поток
Потребитель
Информ. поток
Рис. 6. Управление материальными, информационными и
финансовыми потоками предприятия
Материальный поток – это находящийся в состоянии
движения материальный ресурс, незавершенное производство и
готовая продукция, которые перемещаются в пространстве
(загрузка, разгрузка, сортировка, перевозка).
Он может быть представлен в виде дроби, в числителе
которой располагается единицы измерения груза (штуки,
тонны), а в знаменателе единицы времени.
Выделение и анализ всех операций на пути продвижения
груза позволяет увидеть общий процесс продвижения продукта
на рынок, а значит и эффективно управлять им в дальнейшем.
Материальный поток может быть внутренним и внешним,
входящим и выходящим, однопродуктовым и много
продуктовым.
По
степени
определенности
потоки
бывают
детерминированными и стохастическими (если хотя бы один
из
параметров
неизвестен,
то
поток
считается
стохастическим).
22
Финансовый поток - это направленное движение
финансовых
ресурсов,
связанное
с
материальными,
информационными и другими потоками.
Характеристиками финансового потока являются объем
(определяется в сопроводительных документах), стоимость
(определяется затратами на его организацию), время и
направление. Различают входящие и исходящие финансовые
потоки, например предоплата – входящий поток, оплата
поставок – исходящий поток.
Финансовая операция – это совокупность двух или более
финансовых потоков (привлечение ресурсов, вложение в
производство, получение выручки- 3 потока).
Финансовые операции характеризуются рентабельностью и
прибыльностью.
Информационный поток - поток сообщений любой формы
(устной, электронной), соответствующий материальному или
финансовому потоку, служащий для реализации управляющих
функций.
Поток данных также является информационным потоком.
Он определяет информацию, передаваемую через некоторое
соединение от источника к приемнику. Реальный поток данных
может быть информацией, передаваемой по кабелю между
двумя устройствами, пересылаемыми по почте письмами,
магнитными лентами или дискетами, переносимыми с одного
компьютера на другой и т.д. Поток данных на диаграмме
изображается линией, оканчивающейся стрелкой, которая
показывает направление потока (Рис. 7). Каждый поток данных
имеет имя, отражающее его содержание. Информационные
потоки делятся на внутренние и внешние, регулярные,
периодические и оперативные.
23
1.5
Отчет о
продажах
Вывести отчет о
Руководство
продажах
Бухгалтерия
Рис. 7. Информационный поток данных
Мат. поток
Фин. поток
Инф. поток
Платит
Отдел
Помещает
заказ
Клиент
Постав
Заказывает
закупо
щик
Поставляет материал
к
Подает
заявку
Продаж
Подае
т
Платит
деньги
деньги
Произ
Отдел гп
водств
о
Проверяет заявку Планируют,
заказ
изготовляют
Отправляе
т
24
Понятие случайного процесса
Строго говоря, случайные возмущения присущи любому
процессу. Проще привести примеры случайного, чем
«неслучайного» процесса. Даже, например, процесс хода часов
(вроде бы это строгая выверенная работа – «работает как часы»)
подвержен случайным изменениям (уход вперед, отставание,
остановка). Но до тех пор, пока эти возмущения несущественны,
мало влияют на интересующие нас параметры, мы можем ими
пренебречь и рассматривать процесс как детерминированный,
неслучайный.
Пусть имеется некоторая система S (техническое устройство,
группа таких устройств, технологическая система – станок,
участок, цех, предприятие, отрасль промышленности и т.д.). В
системе S протекает случайный процесс, если она с течением
времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния
в другое), причем, заранее неизвестным случайным образом.
Примеры: 1. Система S – технологическая система (участок
станков). Станки время от времени выходят из строя и
ремонтируются. Процесс, протекающий в этой системе, случаен.
2. Система S – самолет, совершающий рейс на заданной
высоте по определенному маршруту. Возмущающие факторы –
метеоусловия, ошибки экипажа и т.д., последствия – «болтанка»,
нарушение графика полетов и т.д.
Марковский случайный процесс
Случайный процесс, протекающий в системе, называется
Марковским, если для любого момента времени t0
вероятностные характеристики процесса в будущем зависят
только от его состояния в данный момент t0.
Пусть в настоящий момент t0 система находится в
определенном состоянии S0. Мы знаем характеристики
состояния системы в настоящем
и все, что было при t <
25
t0 (предысторию процесса). Можем ли мы предугадать
(предсказать) будущее, т.е. что будет при t > t0? В точности –
нет, но какие-то вероятностные характеристики процесса в
будущем найти можно. Например, вероятность того, что через
некоторое время система S окажется в состоянии S1 или
останется в состоянии S0 и т.д.
Пример. Система S – группа самолетов, участвующих в
воздушном бою. Пусть x – количество «красных» самолетов, y –
количество «синих» самолетов. К моменту времени t0
количество
сохранившихся
(не
сбитых)
самолетов
соответственно – x0, y0. Нас интересует вероятность того, что в
момент времени
численный перевес будет на стороне
«красных».
Эта вероятность зависит от того, в каком состоянии
находилась система в момент времени t0, а не от того, когда и в
какой последовательности погибали сбитые до момента t0
самолеты.
На практике Марковские процессы в чистом виде обычно не
встречаются. Но имеются процессы, для которых влиянием
«предистории» можно пренебречь. И при изучении таких
процессов можно применять Марковские модели (в теории
массового обслуживания рассматриваются и не Марковские
системы массового обслуживания, но математический аппарат,
их описывающий, гораздо сложнее).
В исследовании операций большое значение имеют
Марковские случайные процессы с дискретными состояниями и
непрерывным временем.
Процесс называется процессом с дискретным состоянием,
если его возможные состояния S1, S2, … можно заранее
определить, и переход системы из состояния в состояние
происходит «скачком», практически мгновенно.
Процесс называется процессом с непрерывным временем,
если моменты возможных переходов из состояния в состояние
не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны и могут
произойти в любой момент.
26
Рассмотрим процессы с дискретным состоянием и
непрерывным временем
Пример. Технологическая система (участок) S состоит из
двух станков, каждый из которых в случайный момент времени
может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно
начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее
неизвестное, случайное время. Возможны следующие состояния
системы:
S0 - оба станка исправны;
S1 - первый станок ремонтируется, второй исправен;
S2 - второй станок ремонтируется, первый исправен;
S3 - оба станка ремонтируются.
Переходы системы S из состояния в состояние происходят
практически мгновенно, в случайные моменты выхода из строя
того или иного станка или окончания ремонта.
При анализе случайных процессов с дискретными
состояниями удобно пользоваться геометрической схемой –
графом состояний. Вершины графа – состояния системы.
S0
S1
S2
S3
Рис. 8. Граф состояний системы
27
Дуги графа – возможные переходы из состояния в состояние.
Для нашего примера граф состояний приведен на Рис. 8. Граф
состояний системы
Примечание. Переход из состояния S0 в S3 на рисунке не
обозначен, т.к. предполагается, что станки выходят из строя
независимо друг от друга. Вероятностью одновременного
выхода из строя обоих станков мы пренебрегаем.
Потоки событий
Поток событий – последовательность однородных событий,
следующих одно за другим в какие-то случайные моменты
времени.
Примеры потоков событий:
 поток вызовов на телефонной станции;
 поток больных в поликлинику;
 поток покупателей в магазине и т.д.
Поток событий можно наглядно изобразить рядом точек на
оси времени O t – ( см. Рис. 9).
Рис. 9. Изображение потока событий на оси времени
Положение каждой точки случайно, и здесь изображена
лишь какая-то одна реализация потока.
Интенсивность потока событий ( ) – это среднее число
событий, приходящееся на единицу времени.
28
Рассмотрим некоторые свойства (виды) потоков событий.
Поток событий называется стационарным, если его
вероятностные характеристики не зависят от времени.
В частности, интенсивность
стационарного потока
постоянна. Поток событий неизбежно имеет сгущения или
разрежения, но они не носят закономерного характера, и среднее
число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и
от времени не зависит.
Поток событий называется потоком без последствий, если
для любых двух непересекающихся участков времени и (см.
Рис. 9) число событий, попадающих на один из них, не зависит
от того, сколько событий попало на другой. Другими словами,
это означает, что события, образующие поток, появляются в те
или иные моменты времени независимо друг от друга и
вызваны каждое своими собственными причинами.
Поток событий называется ординарным, если события в
нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу.
Поток
событий
называется
простейшим
(или
стационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя
свойствами: 1) стационарен, 2) ординарен, 3) не имеет
последствий.
Простейший поток имеет наиболее простое математическое
описание. Он играет среди потоков такую же особую роль, как и
закон нормального распределения среди других законов
распределения. А именно, при наложении достаточно большого
числа независимых, стационарных и ординарных потоков
(сравнимых между собой по интенсивности) получается поток,
близкий к простейшему.
Для простейшего потока с интенсивностью
интервал T
между соседними событиями имеет так называемое
с
показательное
(экспоненциальное)
распределение
плотностью
где
- параметр показательного закона.
29
Для случайной величины T, имеющей показательное
распределение, математическое ожидание
есть величина,
обратная параметру, а среднее квадратичное отклонение
равно математическому ожиданию
Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.
Финальные вероятности состояний
Рассматривая
Марковские
процессы
с
дискретными
состояниями и непрерывным временем, подразумевается, что
все переходы системы S из состояния в состояние происходят
под действием простейших потоков событий (потоков вызовов,
потоков отказов, потоков восстановлений и т.д.). Если все
потоки событий, переводящие систему S из состояния в
состояние простейшие, то процесс, протекающий в системе,
будет Марковским.
Итак, на систему, находящуюся в состоянии , действует
простейший поток событий. Как только появится первое
событие этого потока, происходит «перескок» системы из
состояния
в состояние
(на графе состояний по стрелке
).
Для наглядности на графе состояний системы у каждой дуги
проставляют интенсивности того потока событий, который
переводит систему по данной дуге (стрелке).
- интенсивность
потока событий, переводящий систему из состояния
в
.
Такой граф называется размеченным. Для нашего примера
размеченный граф приведен (см. Рис. 10).
30
Рис. 10. Размеченный граф состояний системы
На этом рисунке
- интенсивности потока отказов;
интенсивности потока восстановлений.
Предполагаем, что среднее время ремонта станка не зависит
от того, ремонтируется ли один станок или оба сразу. Т.е.
ремонтом каждого станка занят отдельный специалист.
Пусть система находится в состоянии S0. В состояние S1 ее
переводит поток отказов первого станка. Его интенсивность
равна
где
- среднее время безотказной работы первого
станка.
Из состояния S1 в S0 систему переводит поток «окончаний
ремонтов» первого станка. Его интенсивность равна
где
- среднее время ремонта первого станка.
Аналогично вычисляются интенсивности потоков событий,
переводящих систему по всем дугам графа. Имея в своем
распоряжении размеченный граф состояний системы, строится
математическая модель данного процесса.
31
Пусть рассматриваемая система S имеет
- возможных
состояний
. Вероятность - го состояния
- это
вероятность того, что в момент времени система будет
находиться в состоянии . Очевидно, что для любого момента
времени сумма всех вероятностей состояний равна единице:
Для нахождения всех вероятностей состояний
как
функций времени составляются и решаются уравнения
Колмогорова – особого вида уравнения, в которых
неизвестными функциями являются вероятности состояний.
Правило составления этих уравнений приведем здесь без
доказательств. Но прежде, чем его приводить, объясним понятие
финальной вероятности состояния.
Что будет происходить с вероятностями состояний при
? Будут ли
стремиться к каким-либо
пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от
начального состояния системы, то они называются
финальными вероятностями состояний.
где - конечное число состояний системы.
Финальные вероятности состояний – это уже не
переменные величины (функции времени), а постоянные числа.
Очевидно, что
Финальная вероятность состояния – это по – существу
среднее относительное время пребывания системы в этом
состоянии.
Например, система S имеет три состояния S1, S2 и S3. Их
финальные вероятности равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5. Это
значит, что система в предельном стационарном состоянии в
32
среднем 2/10 времени проводит в состоянии S1, 3/10 – в
состоянии S2 и 5/10 – в состоянии S3.
Правило составления системы уравнений Колмогорова:
в каждом уравнении системы в левой его части стоит
финальная вероятность данного состояния
, умноженная на
суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного
состояния, а в правой его части – сумма произведений
интенсивностей всех потоков, входящих в - е состояние, на
вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.
Пользуясь этим правилом, напишем систему уравнений для
нашего примера:
Эту систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными
, казалось бы, можно вполне решить. Но эти
уравнения однородны (не имеют свободного члена), и, значит,
определяют неизвестные только с точностью до произвольного
множителя. Однако можно воспользоваться нормировочным
условием
и с его помощью решить систему. При этом одно (любое) из
уравнений можно отбросить (оно вытекает как следствие из
остальных).
Продолжение примера. Пусть значения интенсивностей
потоков равны:
.
Четвертое уравнение отбрасываем, добавляя вместо него
нормировочное условие:
33
.
Т.е. в предельном, стационарном режиме система S в
среднем 40 % времени будет проводить в состоянии S0 (оба
станка исправны), 20 % - в состоянии S1 (первый станок
ремонтируется, второй работает), 27 % - в состоянии S2 (второй
станок ремонтируется, первый работает), 13% - в состоянии S3
(оба станка ремонтируются). Знание этих финальных
вероятностей может помочь оценить среднюю эффективность
работы системы и загрузку ремонтных органов.
Пусть система S в состоянии S0 (полностью исправна)
приносит в единицу времени доход 8 условных единиц, в
состоянии S1 – доход 3 условные единицы, в состоянии S2 –
доход 5 условных единиц, в состоянии S3 – не приносит дохода.
Тогда в предельном, стационарном режиме средний доход в
единицу времени будет равен
условных единиц.
Станок 1 ремонтируется долю времени, равную
. Станок 2 ремонтируется долю
времени, равную
. Возникает задача
оптимизации. Пусть мы можем уменьшить среднее время
ремонта первого или второго станка (или обоих), но это нам
обойдется в определенную сумму. Спрашивается, окупит ли
увеличение дохода, связанное с ускорением ремонта,
повышенные расходы на ремонт? Нужно будет решить систему
четырех уравнений с четырьмя неизвестными.
34
Имитация основных процессов системы массового
обслуживания
Генератор - узел, создающий транзакты, имитационной модели.
Граф модели - структурная схема имитационной модели,
представляющая собой направленный граф.
Поток заявок - процесс перемещения заявок от одного
обслуживающего прибора к другому.
Ресурс - исчисляемые в целых единицах объекты, необходимые
транзакту для дальнейшего обслуживания в модели.
Транзакт (заявка)- формальный запрос на обслуживание в узле
модели.
Терминатор - узел, уничтожающий транзакты.
Узел обслуживания - центр обслуживания заявок.
Система массового обслуживания (СМО) — объект
(предприятие, организация и др.), деятельность которого связана
с многократной реализацией исполнения каких-то однотипных
задач и операций.
СМО состоит из обслуживаемой и обслуживающей систем.
Обслуживаемая система включает совокупность источников
требований и входящего потока требований. Обслуживающая
система состоит из накопителя и механизма обслуживания.
Примерами систем массового обслуживания являются
(СМО): телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные
кассы, справочные бюро, станочные и другие технологические
системы, системы управления гибких производственных систем
и т.д.
35
Каждая
СМО
состоит
из
какого–то
количества
обслуживающих единиц, которые называются каналами
обслуживания (это станки, транспортные тележки, роботы,
линии связи, кассиры, продавцы и т.д.). Всякая СМО
предназначена для обслуживания какого – то потока заявок
(требований), поступающих в какие – то случайные моменты
времени.
Обслуживание
заявки
продолжается
определенное
(случайное) время, после чего канал освобождается и готов к
приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и
времени обслуживания приводит к тому, что в какие – то
периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое
количество заявок (они либо становятся в очередь, либо
покидают СМО необслуженными). В другие же периоды СМО
будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.
Процесс работы СМО – случайный процесс с дискретными
состояниями и непрерывным временем. Состояние СМО
меняется скачком в моменты появления каких - то событий
(прихода новой заявки, окончания обслуживания, момента,
когда заявка, которой надоело ждать, покидает очередь).
Предмет теории массового обслуживания – построение
математических моделей, связывающих заданные условия
работы СМО (число каналов, их производительность, правила
работы, характер потока заявок) с интересующими нас
характеристиками – показателями эффективности СМО. Эти
показатели: среднее число заявок, обслуживаемых СМО в
единицу времени; среднее число занятых каналов; среднее число
заявок в очереди; среднее время ожидания обслуживания и т.д.
Математический анализ работы СМО очень облегчается,
если процесс этой работы Марковский, т.е. потоки событий,
переводящие систему из состояния в состояние – простейшие.
Иначе математическое описание процесса очень усложняется и
его редко удается довести до конкретных аналитических
зависимостей. На практике не Марковские процессы с
приближением приводятся к Марковским. Приведенный далее
математический аппарат описывает Марковские процессы.
36
Рис.
11.
Обобщенная
схема
системы
массового
обслуживания
Классификация систем массового обслуживания
Первое деление (по наличию очередей): 1)СМО с отказами;
2)СМО с очередью.
В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все
каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем
не обслуживается.
В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все
каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает
возможности быть обслуженной.
СМО с очередями подразделяются на разные виды в
зависимости от того, как организована очередь – ограничена
37
или не ограничена. Ограничения могут касаться как длины
очереди, так и времени ожидания, «дисциплины обслуживания».
Итак, например, рассматриваются следующие СМО:
 СМО с нетерпеливыми заявками (длина очереди и время
обслуживания ограничено);
 СМО с обслуживанием с приоритетом, т.е. некоторые
заявки обслуживаются вне очереди и т.д.
Кроме этого СМО делятся на открытые и замкнутые СМО.
В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят
от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято).
В замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий
обслуживает группу станков, время от времени требующих
наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны
станков зависит от того, сколько их уже исправно и ждет
наладки.
Классификация
СМО
далеко
не
ограничивается
приведенными разновидностями, но этого достаточно.
Математические модели простейших систем массового
обслуживания
Ниже будут рассмотрены примеры простейших систем
массового обслуживания (СМО). Понятие «простейшие» не
означает «элементарные». Математические модели этих систем
применимы и успешно используются в практических расчетах.
Одноканальная СМО с отказами
Дано: система имеет один канал обслуживания, на который
поступает простейший поток заявок с интенсивностью . Поток
обслуживаний имеет интенсивность
. Заявка, заставшая
систему занятой, сразу же покидает ее.
38
Найти: абсолютную и относительную пропускную
способность СМО и вероятность того, что заявка, пришедшая в
момент времени t, получит отказ.
Система при любом t > 0 может находиться в двух
состояниях: S0 – канал свободен; S1 – канал занят. Переход из S0
в S1 связан с появлением заявки и немедленным началом ее
обслуживания. Переход из S1 в S0 осуществляется, как только
очередное обслуживание завершится (рис.4).
Рис.4. Граф состояний одноканальной СМО с отказами
Выходные характеристики (характеристики эффективности)
этой и других СМО будут даваться без выводов и доказательств.
Абсолютная пропускная способность (среднее число
заявок, обслуживаемых в единицу времени):
где – интенсивность потока заявок (величина, обратная
среднему промежутку времени между поступающими заявками 1
t з , где   );
tз
– интенсивность потока обслуживаний (величина,
обратная среднему времени обслуживания
)
Относительная пропускная способность (средняя доля
заявок, обслуживаемых системой):
39
Вероятность отказа (вероятность того, что заявка покинет
СМО необслуженной):
Очевидны
следующие
соотношения:
и
.
Пример. Технологическая система состоит из одного станка.
На станок поступают заявки на изготовление деталей в среднем
через 0,5 часа
. Среднее время изготовления одной
детали равно
. Если при поступлении заявки на
изготовление детали станок занят, то она (деталь) направляется
на другой станок. Найти абсолютную и относительную
пропускную способности системы и вероятность отказа по
изготовлению детали.
Решение.
Т.е. в среднем примерно 46 % деталей обрабатываются на
этом станке.
.
Т.е. в среднем примерно 54 % деталей направляются на
обработку на другие станки.
40
N – канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
Это одна из первых задач теории массового обслуживания.
Она возникла из практических нужд телефонии и была решена в
начале 20 века датским математиком Эрлангом.
Дано: в системе имеется n – каналов, на которые поступает
поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет
интенсивность . Заявка, заставшая систему занятой, сразу же
покидает ее.
Найти: абсолютную и относительную пропускную
способность СМО; вероятность того, что заявка, пришедшая в
момент времени t, получит отказ; среднее число заявок,
обслуживаемых одновременно (или, другими словам, среднее
число занятых каналов).
Решение. Состояние системы S (СМО) нумеруется по
максимальному числу заявок, находящихся в системе (оно
совпадает с числом занятых каналов):
 S0 – в СМО нет ни одной заявки;
 S1 – в СМО находится одна заявка (один канал занят,
остальные свободны);
 S2 – в СМО находится две заявки (два канала заняты,
остальные свободны);
 ...
 Sn – в СМО находится n – заявок (все n – каналов заняты).
Граф состояний СМО представлен на рис. 5
Рис.5. Граф состояний для n – канальной СМО с отказами
41
Почему граф состояний размечен именно так? Из состояния
S0 в состояние S1 систему переводит поток заявок с
интенсивностью
(как только приходит заявка, система
переходит из S0 в S1). Если система находилась в состоянии S1 и
пришла еще одна заявка, то она переходит в состояние S2 и т.д.
Почему такие интенсивности у нижних стрелок (дуг графа)?
Пусть система находится в состоянии S1 (работает один канал).
Он производит
обслуживаний в единицу времени. Поэтому
дуга перехода из состояния S1 в состояние S0 нагружена
интенсивностью
. Пусть теперь система находится в
состоянии S2 (работают два канала). Чтобы ей перейти в S1,
нужно, чтобы закончил обслуживание первый канал, либо
второй. Суммарная интенсивность их потоков равна
и т.д.
Выходные характеристики (характеристики эффективности)
данной СМО определяются следующим образом.
Абсолютная пропускная способность:
где n – количество каналов СМО;
– вероятность нахождения СМО в начальном состоянии,
когда все каналы свободны (финальная вероятность нахождения
СМО в состоянии S0);
Рис.6. Граф состояний для схемы «гибели и
размножения»
42
Для того, чтобы написать формулу для определения
,
рассмотрим рис.6
Граф, представленный на этом рисунке, называют еще
графом состояний для схемы «гибели и размножения». Напишем
сначала для
общую формулу (без доказательства):
Кстати, остальные финальные вероятности состояний СМО
запишутся следующим образом.
Вероятность того, что СМО находится в состоянии S1, когда
один канал занят:
Вероятность того, что СМО находится в состоянии S2, т.е.
когда два канала заняты:
Вероятность того, что СМО находится в состоянии Sn, т.е.
когда все каналы заняты.
Теперь для n – канальной СМО с отказами
При этом
43
Относительная пропускная способность:
Напомним, что это средняя доля заявок, обслуживаемых
системой. При этом
;
.
Вероятность отказа:
Напомним, что это вероятность того, что заявка покинет
СМО необслуженной. Очевидно, что
.
Среднее число занятых каналов (среднее число заявок,
обслуживаемых одновременно):
При этом
.
Пример. Имеется технологическая система (участок),
состоящая из трех одинаковых станков. В систему поступают
для обработки детали в среднем через 0,5 часа ( ). Среднее
время изготовления одной детали
. Если при
поступлении заявки на изготовление детали все станки заняты,
то деталь направляется на другой участок таких же станков.
Найти финальные вероятности состояний системы и
характеристики (показатели эффективности) данной СМО.
44
,
т.е. в среднем две заявки на обработку деталей в час.
.
Граф состояний системы представлен на рис.7
Рис.7. Граф состояний для рассматриваемого примера
Возможные состояния системы:
S0 – в СМО (на участке) нет ни одной заявки;
S1 – в СМО (на участке) одна заявка;
S2 – в СМО (на участке) две заявки;
S3 – в СМО (на участке) три заявки (заняты все три станка).
Вероятность того, что все станки свободны:
Вероятность того, что один станок занят:
Вероятность того, что два станка заняты:
45
Вероятность того, что все три станка заняты:
Т.е. в среднем в этой системе обрабатывается 1,82 дет/ч
(примерно 91 % направляемых деталей), при этом примерно 9 %
деталей направляется для обработки на другие участки.
Одновременно в среднем работает в основном один станок
(
). Но из–за случайных характеристик потока заявок
иногда работают одновременно все три станка (
отсюда 9 % отказов.
),
Возможные постановки задач оптимизации n –
канальных СМО с отказами
1.
Определить
оптимальное
число
каналов,
обеспечивающее минимум затрат на систему, при условии
достижения требуемого уровня ее безотказной работы.
46
Пример.
Пусть
.
функция (затраты на СМО) запишется:
. Найти:
.
Решение:
Целевая
, где
или
.
По другому можно записать:
.
Последнее равенство начинает выполняться при
,
т.к.
;
;
;
.
2. Определить оптимальное число каналов, обеспечивающее
максимум прибыли от эксплуатации СМО в единицу
времени.
Содержание каждого канала в единицу времени обходится в
какую–то сумму. Чем больше каналов, тем больше затраты на
47
эксплуатацию СМО. Вместе с тем, чем больше каналов (при и
), тем больше доля обслуживаемых заявок. А каждая
обслуженная заявка дает определенный (пусть постоянный)
доход в единицу времени. При увеличении числа каналов растут
доходы D, но растут и расходы на эксплуатацию СМО – R.
Чтобы решить эту задачу, необходимо найти оптимальное число
каналов
, обеспечивающее максимум целевой функции
, т.е. нужно максимизировать прибыль в
единицу времени.
МОДЕЛИ ПРЕДПРИЯТИЙ МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ
Для многих предприятий сферы услуг и потребительских
товаров
характерна
ситуация,
когда
спрос
покупателей
распределяется во времени случайным образом (то часто, то
редко, то со средней частотой), т.е. представляет собой случайный
поток заявок (рис.1 ).
D(t)
Предприятие
C(t)
Рис. 12. Схема системы массового обслуживания:
D(t) – поток заявок (спрос)
C(t) – поток продаж
В связи с тем, что объемы отдельных заявок могут
отличаться, время их обслуживания на предприятии тоже
становится случайным (С(t) на рис.12). Поэтому при частом
поступлении заявок на предприятии может образоваться очередь
48
клиентов, ждущих покупки (или выполнения заказа на услугу).
Если же заявки поступают редко, то оборудование и персонал
предприятия простаивают без дела. В первом случае предприятие
несет убытки, связанные с тем, что клиенты могут не дождаться
своей очереди и перейти на другое предприятие (упущенная
выгода), а также с тем, что ввиду очереди на складе требуется
хранить большое количество продукции (потери происходят из-за
складских расходов и "омертвления" капитала, заключенного в
стоимости запасов). Во втором случае простой оборудования
ведет к упущенной прибыли, а также непроизводительным
эксплуатационным расходам, затратам на аренду и пр.
В силу случайности потока заявок рекомендации по
уменьшению суммарных затрат в такой экономической системе
можно сделать только на основании имитационного эксперимента
с ее моделью. Рассмотрим такую модель на примере одного
предприятия.
В качестве экзогенной (входной) переменной в модели
примем параметр, характеризующий поток спроса D(t) - интервал
времени между поступлением i-й и i + 1-й заявки на покупку
(услугу). Обозначим его Т3, i, и, так как он случаен, зададим также
распределение его плотности вероятностей W(Тз).
Выходной (эндогенной) переменной в модели будет средняя
стоимость потерь, связанных с возникновением очереди и
простоем
оборудования,
С
пот,
49
которая
складывается
из
стоимости потерь вследствие простоя С
пр
=T
пр Спр0
(где T
пр
-
среднее время простоя оборудования; С пр0 - стоимость простоя
оборудования в единицу времени) и стоимости потерь из-за
возникновения очереди С
ож
= T
ожСож0
(где T
ож
- среднее время
ожидания заявки в очереди; Сож0 - стоимость потерь из-за
ожидания в очереди в единицу времени). Усреднение здесь
ведется по текущему общему числу заявок i = 1,..., N.
Технологию
работы
предприятия
в
модели
будет
характеризовать время обслуживания i-й заявки в очереди Tобi,
описывающееся распределением плотности вероятностей W(Tоб).
Алгоритм такой программы модели приведен на рис. 2 .
После окончания имитационного эксперимента получаем
общую стоимость потерь С
пот
при поступлении N заявок.
Уменьшение этих потерь возможно только при изменении
технологии работы предприятия, что в модели учитывается
изменением распределения плотности вероятностей времени
обслуживания W(Тоб). Очевидно, что должна существовать
оптимальная технология, соответствующая минимуму С
пот,
и этот
минимум достигается не путем убыстрения обслуживания заявок,
так как при этом увеличивается простой оборудования, а
вследствие соответствия технологии обслуживания параметрам
потока заявок. Таким образом, можно найти оптимальные
значения математического ожидания времени обслуживания T
об
и среднего квадратического разброса этого времени. Возможна
50
также вариация и закона распределения, но она должна
соответствовать реальной технологии.
Рассмотренная
модель
является
базовой
для более
сложных систем, в частности с последовательной передачей
заявок при многоэтапном обслуживании или с параллельным
обслуживанием.
Модели
массового
обслуживания
находят
широкое применение – от сферы услуг до спутниковых систем
связи, в которых действуют много абонентов.
51
Задание параметров и начальных условий
Сож0, Спр0,
i=0, Тобi = T
пр
=
T
ож =
С
пот =0
i=i+1
Да
i>N
Н
ет
Генерирование Тзi
Тзi = Тзi – Tобi-1
end
Генерирование Тобi
Нет
Да
Тпрi = 0
Тожi = Тобi - Тзi
С ож 
С ож 0
i
Тожi = 0
Тзi > Тобi
Тпрi = Тзi - Тобi
i
 Tожi
Сож 
Спр0
i
i
T
k 1
прi
k 1
Cпот  Сож  Спр
Рис. 13. Алгоритм программы модели предприятия
массового обслуживания
52
Модели управления ресурсами (запасами)
Задача управления запасами возникает, когда необходимо
создать запас материальных ресурсов или предметов
потребления с целью удовлетворения спроса на заданном
интервале времени. Для обеспечения непрерывного и
эффективного
функционирования
практически
любой
организации необходимо создание запасов. В любой задаче
управления запасами требуется определить количество
заказываемой продукции и сроки размещения заказов.
В любой задаче управления запасами требуется определить
количество заказываемой продукции и сроки размещения
заказов.
Спрос можно удовлетворить
 путем
однократного создания запаса на весь
рассматриваемый период времени
 посредством создания запаса для каждой единицы
времени этого периода.
Эти два случая соответствуют избыточному запасу (по
отношению к единице времени) и недостаточному запасу (по
отношению к полному периоду времени). При избыточном
запасе требуются более высокие удельные (отнесенные к
единице времени) капитальные вложения, но дефицит возникает
реже и частота размещения заказов меньше. При
недостаточном запасе удельные капитальные вложения
снижаются, но частота размещения заказов и риск дефицита
возрастают.
Для любого из этих двух крайних случаев характерны
значительные экономические потери. Таким образом, решения
относительно размера заказа и момента его размещения могут
основываться на минимизации соответствующей функции
общих затрат, включающих затраты, обусловленные потерями
от избыточного запаса и дефицита.
53
Обобщенная модель управления запасами.
Любая модель управления запасами в конечном счете должна
дать ответ на два вопроса:
1. Какое количество продукции заказывать?
2. Когда заказывать (при каком объеме запасов нужно давать
заявку на пополнение запасов)?
Ответ на первый вопрос выражается через размер заказа,
определяющего оптимальное количество ресурсов, которое
необходимо поставлять всякий раз, когда происходит
размещение заказа. В зависимости от рассматриваемой ситуации
размер заказа может меняться во времени.
Точка заказа обычно определяется уровнем запаса, при
котором необходимо размещать новый заказ.
Размер и точка заказа обычно определяются из условий
минимизации суммарных затрат системы управления запасами,
которые можно выразить в виде функции этих двух переменных.
Суммарные затраты системы управления
выражаются в виде функции их основных компонент:
54
запасами
Суммарные
Затраты
на
Затраты на
затраты
= приобретение + оформление +
системы
(доставка)
заказа
управления
К
запасами
L1
Затраты
на
хранение
заказа
+
Потери
от
дефицита
L2
Затраты на приобретение становятся важным фактором,
когда цена единицы продукции зависит от размера заказа, что
обычно выражается в виде оптовых скидок в тех случаях, когда
цена единицы продукции убывает с возрастанием размера
заказа.
Затраты на оформление заказа представляют собой
постоянные расходы, связанные с его размещением. При
удовлетворении спроса в течение заданного периода времени
путем размещения более мелких заказов (более часто) затраты
возрастают по сравнению со случаем, когда спрос
удовлетворяется посредством размещения более крупных
заказов (и, следовательно реже).
Затраты на хранение запаса, которые представляют собой
расходы на содержание запаса на складе (затраты на
переработку, амортизационные расходы, эксплуатационные
расходы) обычно возрастают с увеличением уровня запаса.
Потери от дефицита представляют собой расходы,
обусловленные отсутствием запаса необходимой продукции.
Иллюстрация зависимости четырех компонент затрат
обобщенной модели управления запасами от уровня запаса
показана на Рис. 14.
55
в
затраты
Затраты на
год
Издержки
Общие
хранение, L2
Затраты
на
доставку
L1
Q* -оптзаказов,
размер, единицы
заказа
в штуках
Рис. 14. График затрат
на управление запасами
Оптимальный уровень запаса соответствует минимуму
суммарных затрат.
Модель управления запасами не обязательно должна
включать все четыре вида затрат, так как некоторые из них
могут быть незначительными, а иногда учет всех видов затрат
чрезмерно усложняет функцию суммарных затрат. На практике
какую-либо компоненту затрат можно не учитывать при
условии, что она не составляет существенную часть общих
затрат.
Типы моделей управления запасами
Разнообразие моделей этого класса определяется характером
спроса, который может быть детерминированным (достоверно
известным) или вероятностным (задаваемым плотностью
вероятности).
56
На рисунке приведена схема классификации спроса,
принимаемая в моделях управления запасами.
Детерминированный спрос может быть статическим, в
том смысле, что интенсивность потребления остается
неизменной во времени, или динамическим, когда спрос
известен достоверно, но изменяется от времени.
Вероятностный спрос может быть стационарным, когда
функция плотности вероятности спроса неизменна во времени, и
нестационарным, когда функция плотности вероятности спроса
изменяется во времени.
В реальных
условиях случай детерминированного
статического спроса встречается редко. Такой случай можно
рассматривать как простейший. Наиболее точно характер спроса
может быть описан посредством вероятностных нестационарных
распределений. Представленную классификацию можно считать
представлением различных уровней абстракции описания
спроса.
На первом уровне предполагается, что распределение
вероятностей спроса стационарно во времени. Это означает, что
для описания спроса в течение всех исследуемых периодов
времени используется одна и та же функция распределения
вероятностей. Это упрощение означает, что влияние сезонных
колебаний спроса в модели не учитывается.
На втором уровне абстракции учитываются изменения от
одного периода к другому, но при этом функции распределения
не применяются, а потребности в каждом периоде описываются
средней величиной спроса. Это упрощение означает, что
элемент риска в управлении запасами не учитывается. Однако
оно позволяет учитывать сезонные колебания спроса.
На третьем уровне упрощения исключаются как элементы
риска, так и изменения спроса. Тем самым спрос в течение
любого периода предполагается равным среднему значению
известного
(по
предположению)
спроса
по
всем
рассматриваемым периодам. В результате этого упрощения
спрос можно оценить его постоянной интенсивностью.
57
Хотя характер спроса является одним из основных факторов
при построении модели управления запасами, имеются другие
факторы, влияющие на выбор типа модели.
1. Запаздывания поставок или сроки выполнения
заказов. После размещения заказа он может быть поставлен
немедленно или потребуется некоторое время на его
выполнение. Интервал времени между моментом размещения
заказа и его поставкой называется запаздыванием поставки, или
сроком выполнения заказа. Эта величина может быть
детерминированной или случайной.
2. Пополнение запаса. Хотя система управления запасами
может функционировать при запаздывании поставок, процесс
пополнения запаса может осуществляться мгновенно или
равномерно во времени. Мгновенное пополнение запаса может
происходить при условии, когда заказы поступают от внешнего
источника. Равномерное пополнение может быть тогда, когда
запасаемая продукция производится самой организацией. В
общем случае система может функционировать при
положительном запаздывании поставки и равномерном
пополнении запаса.
3. Период времени определяет интервал, в течение которого
осуществляется регулирование уровня запаса. В зависимости от
отрезка времени, на котором можно надежно прогнозировать,
рассматриваемый
период
принимается конечным или
бесконечным.
4. Число пунктов накопления запасов. В систему
управления запасами может входить несколько пунктов
хранения запаса. В некоторых случаях эти пункты организованы
таким образом, что один выступает в качестве поставщика для
другого. Эта схема иногда реализуется на различных уровнях,
так что пункт-потребитель одного уровня может стать пунктомпоставщиком на другом уровне. В таком случае говорят о
системе управления запасами с разветвленной структурой.
5. Число видов продукции. В системе управления запасами
может фигурировать более одного вида продукции. Этот фактор
учитывается при условии наличия некоторой зависимости
58
между различными видами продукции. Так, для различных
изделий может использоваться одно и то же складское
помещение или же их производство может осуществляться при
ограничениях на общие производственные фонды.
Чрезвычайно трудно построить обобщенную модель
управления запасами, которая учитывала бы все разновидности
условий, наблюдаемых в реальных системах. Но если бы и
удалось построить универсальную модель, она едва ли оказалась
аналитически
разрешимой.
Рассмотрим
модели,
соответствующие некоторым системам управления запасами.
Детерминированные модели.
1. Однопродуктовая статическая модель
Модель управления запасами простейшего типа
характеризуется постоянным во времени спросом, мгновенным
пополнением запаса и отсутствием дефицита. Такую модель
можно применять в следующих типичных ситуациях:
 использование осветительных ламп в здании;
 использование канцелярских товаров (бумага, блокноты,
карандаши) крупной фирмы;
 использование некоторых промышленных изделий, таких
как гайки и болты;
 потребление основных продуктов питания (например,
хлеба и молока).
Необходимо найти точку восстановления.
Исходные данные: темп спроса; издержки заказа и хранения;
упущенная прибыль.
Результат: оптимальный размер заказа; время между
заказами; точка восстановления запаса.
На рисунке показано изменение уровня запаса во времени.
59
Уровень запасов
Q
h0
точка заказа
0
Время
Время
доставки
Получение
заказа
Рис. 15. График циклов изменения запасов в модели
Уилсона
Входные параметры:



d– интенсивность потребления запаса, [ед. товара / ед.
времени];
s – затраты на хранение запаса, [ден. ед. / ед. товара * ед.
времени];
K – затраты на оформление заказа, [ден. ед.].
Выходные параметры:



Q – размер заказа, [ед. тов.];
t 0– период поставки, [ед. времени];
L – общие затраты на управление запасами в единицу
времени, [ден. ед./ ед. времени];
60


h 0 – точка заказа [ед. тов.].
Tд – время доставки (срок выполнения заказа).
Допущения модели Уилсона
1. Интенсивность потребления является априорно известной
и постоянной величиной, d  const .
2. Время поставки заказа является известной и постоянной
величиной.
3. Каждый заказ поставляется в виде одной партии.
4. Затраты на осуществление заказа К не зависят от размера
заказа.
5. Отсутствие запаса является недопустимым.
Точка заказа ( h 0 )
- это величина, которая определяет
уровень запаса (объем товаров, являющийся границей), при
котором необходимо размещать новый заказ.
Предполагается, что интенсивность спроса (в единицу
времени) равна d. Наивысшего уровня запас достигает в момент
поставки заказа размером Q Предполагается, что запаздывание
поставки является заданной константой. Уровень запаса
Q
достигает нуля спустя t 0 
единиц времени после получения
d
заказа размером Q. Чем меньше размер заказа Q, тем чаще
нужно размещать заказы. Однако при этом средний уровень
запаса будет уменьшаться. С другой стороны, с увеличением
размера заказов уровень запаса повышается, но заказы
размещаются реже.
61
Так как затраты зависят от частоты размещения заказа и
объема хранимого запаса, то величина Q выбирается из условия
обеспечения сбалансированности между двумя видами затрат.
Это лежит в основе построения соответствующей модели
управления запасами.
Пусть К – затраты на оформление заказа, имеющие место
всякий раз при его размещении, s – затраты на хранение
единицы заказа в единицу времени. Следовательно, суммарные
затраты в единицу времени можно представить в виде:
K d
- затраты на оформление
Q
Q
заказа в единицу времени, а s  ( ) - затраты на хранение запасов
2
в единицу времени
Продолжительность цикла движения заказа составляет
Q
t0  ;
d
Средний уровень запаса равен Q/2.
L(Q) 
K d
Q
 s  ( ) , где
Q
2
62
Оптимальное значение Q получается в результате
минимизации Q(L). Таким образом, в предположении, что Q –
непрерывная переменная, имеем:
dL(Q)
K s
  2   0 (1)
dQ
Q
2
Откуда оптимальное выражение заказа определяется
выражением:
Q* 
2 K d
(2)
s
Можно доказать, что Q* доставляет минимум затрат L(Q),
показав, что вторая производная в точке Q* строго
положительна.
Выражение (2) называют формулой экономичного размера
заказа Уилсона.
Оптимальная стратегия модели предусматривает заказ у*
единиц продукции через каждые t 0 
Оптимальные затраты: L(Q*) 
Q
единиц времени.
d
2 K  d  s (получены путем
непосредственной подстановки).
Для
большинства
реальных
ситуаций
существует
(положительный) срок выполнения заказа (временное
запаздывание) L от момента размещения заказа до его
действительной поставки. Стратегия размещения заказов в
63
приведенной модели должна определять точку возобновления
заказа.
Следующий рисунок показывает случай, когда точка
возобновления заказа должна опережать на Тд. единиц времени
ожидаемую поставку. В практических целях эту информацию
можно просто преобразовать, определив точку возобновления
заказа через уровень запаса, соответствующий моменту
возобновлению.
Рис. 16. Точка заказа опережает время ожидаемой
поставки
На практике это реализуется путем непрерывного контроля
уровня запаса до момента достижения очередной точки
возобновления заказа. По этой причине эту модель еще
называют моделью непрерывного контроля состояния заказа.
Следует заметить, что срок выполнения заказа Тд. можно всегда
принять меньше продолжительности цикла t0*.
Пример. Ежедневный спрос на некоторый товар d
составляет 100ед. Затраты на размещение каждого запаса (К)
64
постоянны и равны 100 долл. Ежедневные затраты на хранение
единицы запаса (s) составляют 0,02долл. Определить
экономичный размер партии и точку заказа при сроке
выполнения заказа, равном 12 дням.
Решение: из формулы Уилсона получаем:
Q* 
2 100 100
 1000 _ единиц
0.02
Оптимальная продолжительность цикла составляет:
t0*=Q*/d = 1000/100 = 10 дней.
Так как срок выполнения заказа равен 12 дням и
продолжительность цикла составляет 10 дней, возобновление
заказа происходит, когда уровень запаса достаточен для
удовлетворения спроса на 12-10=2 дня. Таким образом, заказ
размером Q*=1000 размещается, когда уровень запаса достигает
2*100=200ед.
Можно считать, что эффективный срок выполнения заказа
равен Тд - t0* при Тд > t0*, при этом величина (Тд -t0* ) меньше t0*
и равен Тд в противном, здесь Тд - заданный срок выполнения
заказа.
Для рассматриваемого примера определить точку заказа в
следующих случаях:
а) срок выполнения заказа Тд =15 дней. (Ответ. 500ед.);
б) Тд =23 дня. (Ответ. 300ед.);
в) Тд =8 дней. (Ответ. 800ед.);
г) Тд =10 дней. (Ответ. 0 ед.).
Модель оптимального размера заказа c возможным
дефицитом продукта
Пусть p – упущенная прибыль в единицу времени,
возникающая в результате дефицита одной единицы продукта;
65
P – упущенная прибыль за период, возникающая в
результате дефицита одной единицы продукта.
оптимальный размер заказа
Q* 
2d  K

s
ps
2 D K
PS


p
S
P
максимальный размер запаса
Qmax 
2d  K

s
p
2 D K
P


ps
S
PS
максимальный дефицит
R  Q * Qmax
Задача.
Магазин
пользуется
популярностью
у
покупателей благодаря широкому ассортименту экологически
чистых продуктов. Большинство покупателей не отказываются
от услуг магазина даже том случае, когда интересующий их
товар отсутствует в продаже. Они оставляют заказ на товар и
ждут, когда поступит новая партия. Сыр – не самый популярный
из всего набора товаров, но администратор магазина регулярно
заказывает этот продукт. Годовой спрос на сыр составляет 500
головок. Издержки заказа – 40 тыс. руб. за заказ. Издержки
хранения – 5 тыс. руб. в год Упущенная прибыль вследствие
дефицита составляет 100 тыс. руб. в год на одну головку сыра.
Определить:
66
 Сколько головок сыра следует заказывать, чтобы не
допускать дефицита и иметь при этом минимальные
общие издержки?
 Сколько сыра следует заказывать, если допустить
возможность дефицита?
 Чему равна точка восстановления запаса, если время
выполнения заказа 10 дней и число рабочих дней в году
250?
 Чему равен максимальный размер дефицита?
Дано:
Решение
D=500
Q* 
S=5000
2 D K
PS

S
P
2  500  40000 100000  5000

 91
5000
100000
Q* 
P=100000 (уп. прибыль)
Qmax 
K=40000
Qmax 
2 D K
P

S
PS
2  500  40000
100000

 87
5000
100000  5000
T=250
Tд=10
- макс. размер дефицита
Q*, Qmax, R, tв -?
t0=Q*/d; t0=91/2=45 дней tв=t0 - Tд*d
tв=45-10=35 дней R0=91-35*2=21 шт
67
Задачи оптимизации производства1
Имитационные решения задач минимизации затрат
Доходом (выручкой) R фирмы в определенном временном
периоде (например, в определённом году) называется
произведение у общего объема у выпускаемой фирмой продукции
на (рыночную) цену р0 этой продукции.
Издержками С фирмы называют общие выплаты фирмы в
определённом временном периоде за все виды затрат C = p1x1 + p2x2,
где х1 и х2 - объемы затрачиваемых (используемых) фирмой
ресурсов (факторов производства), p1 и р2 - рыночные цены на эти
ресурсы (факторы производства).
Прибылью PR фирмы в определённом временном периоде называется разность между полученным фирмой доходом R и ее издержками производства:
PR = R - С,
или
PR(x1 х2) = p0f (x1, х2) - (p1x1+ р2х2).
Последнее равенство есть выражение прибыли фирмы в терминах затрачиваемых (используемых) ресурсов. Напомним, что у =
f(x1,x2) - производственная функция фирмы, которая выражает общий объем у выпускаемой фирмой продукции через объемы х1 и х2
затрачиваемых (используемых) ресурсов.
В теории фирмы принято считать, что если фирма функционирует в условиях чистой (совершенной) конкуренции, на рыночные
цены p0, p1 и р2 она влиять не может. Фирма "соглашается "с ценами
1. Замков, О. О. Математические методы в экономике: учебник / О. О.
Замков, А. В. Толстопятенко, Ю. Н. Черемных. – 2-е изд. – М. : МГУ им.
Ломоносова, Издательство «Дело и Сервис», 1999. – 368с.
68
p0, p1 и р2. Случаи функционирования фирмы в условиях чистой
монополии, монополистической конкуренции и олигополии специально рассматриваются в рамках курса по микроэкономике.
Основная цель фирмы заключается в максимизации прибыли путем рационального распределения затрачиваемых (используемых) ресурсов. Формально задача максимизации прибыли в определённом
временном периоде имеет вид:
PR → max. Такая постановка задачи максимизации зависит от того,
какой конкретно временной промежуток (долговременный или
краткосрочный) предшествует периоду, в котором фирма
максимизирует свою прибыль.
В случае долговременного промежутка фирма может
свободно выбирать любой вектор х = (x1,x2) затрат из пространства
затрат (формально из неотрицательного ортанта x1> 0, x2> 0
плоскости 0x1, х2, поэтому задача максимизации прибыли в случае
долговременного промежутка имеет следующий вид:
p0f (x1, х2) - (p1x1+ р2х2) = PR(x1,х2) → max, при
условии, что х 1 >0, х 2 >0 (постановка задачи в
терминах затрачиваемых ресурсов).
В случае краткосрочного промежутка фирма должна учитывать
неизбежные лимиты на объемы затрачиваемых (используемых) ею
ресурсов, которые формально могут быть записаны в виде нелинейного, вообще говоря, неравенства
g(x1, х2)<b.
Следовательно,
задача
максимизации
прибыли
для
краткосрочного промежутка имеет вид задачи математического
программирования:
p0f(x1, х2) - (p1x1+ р2х2) = PR(x1,х2) → max
при условии, что
69
g(x1, х2)<b,
х 1 >0, х 2 >0
(постановка задачи в терминах затрачиваемых ресурсов).
Линия уровня функции С =p1x1+ р2х2, издержек производства
называется изокостой (см. рис. 11.1).
В связи с тем, что по экономическому смыслу х 1 >0, х 2 >0
(ибо х 1 и х2 - это объемы затрачиваемых (используемых)
ресурсов), строго говоря, изокоста есть отрезок прямой,
попадающий в неотрицательный ортант плоскости Оx1х2. Таким
образом, изокосты - это отрезки А0В0, А1В1, А2В2... (см. Рис. 17).
Отрезки А0В0, А1В1, А2В2 параллельны. Отрезок А1В1
расположенный "северо-восточнее" отрезка A0B0, соответствует
большим издержкам производства.
x2
B2
B1
B0
0
A0
A1 A2
x1
Рис. 17. Объемы, затрачиваемых ресурсов
70
Следовательно, если для отрезка А2В2 издержки
производства С равны величине С2, т.е. С= С2, для отрезка
А1В1 издержки производства С= С1, для отрезка A0B0
издержки производства С= С0, то С0 < С1 < С2 Верно и
обратное, т.е. если С 0 < С1 < С2, то отрезок А2В2,
соответствующий издержкам производства С2, расположен
"северо-восточнее" параллельного ему отрезка A1B1,
соответствующего издержкам производства С1. Аналогично,
отрезок А1В1 расположен "северо-восточнее" параллельного ему
отрезка А0В0, соответствующего издержкам производства С0.
Для отрезка
А0В0 имеем следующее аналитическое
представление:
для отрезка А0В0 : С0 = р1х1 + р2 х2, где х1  0, х2  0,
для А1В1 : С1 = р1х1 + р2 х2 , где х1  0, х2  0,
для А2В2: С2 = р1 х1 + р2 х2 , где х1  0, х2 0.
Максимизация прибыли
Пусть q – количество реализованного товара, R(q)функия дохода, C(q)- функция затрат на производство товара.
Прибыль от реализации товара равна
PP(q) = R(q)-C(q).
Из микроэкономики известно, что для того, чтобы
прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный
доход и предельные издержки были равны, т.е. MR(q) =
MC(q). Действительно, из необходимого условия экстремума для
функции прибыли следует, что PR' (q) = 0, откуда и следует
указанное равенство. Точка q0, удовлетворяющая равенству
71
PR'(q) = 0 является подозрительной на экстремум. Согласно
второму достаточному условию существования экстремума,
если PR''(q0)<0, то q0– точка максимума функции P(q). Данное
условие выполнится, если, например, PR''(q)<0, а C''(q)>0, что
согласуется с экономической теорией.
Пример 1.
Пусть доход описывается функцией R(q) = 100q-q2, а затраты
C(q)
=
q3-37q2+169q+4000.
Тогда
прибыль
определяется
формулой
PR(q) = -q3 + 36q2- 69q - 4000.
PR'(q) = -3q2 + 72q - 69=0,
или q2-24q+23=0. Корни уравнения q1 = 1, q2 = 23.
PR''(q) = -6q+72,
PR''(1) = 66,
PR''(23) = -66<0,
следовательно, при q = 23 PRmax = 1290
Комбинация ресурсов (факторов производства),
минимизирующая издержки при фиксированном (общем)
объёме выпуска
Для случая долговременного промежутка рассмотрим задачу минимизации издержек производства при фиксированном объеме у выпускаемой продукции (т.е. рассмотрим задачу 2):
p1x1+p2x2=C(x1, x2)-> min
(16)
при условии, что
y=f (х1, х 2)
(x1>0,х2>0).
(17)
72
Геометрически решение задачи (16), (17) представлено на
(Рис. 18): нужно перемещаться по изокостам на "юго-запад"
(ибо имеем задачу минимизации) до тех пор, пока они
продолжают иметь общие точки с изоквантой, соответствующей
фиксированному объему у. Ясно, что решением задачи
минимизации издержек будет общая точка (х10(у),х20(у))
изокосты и фиксированной изокванты. Эта точка касания
зависит от объема у (поэтому и написано(х10(у),х20(у)). Если
объем у изменится, то изменится и точка (х10(у),х20(у)).
Множество точек (х10(у),х20(у)), соответствующих различным
объемам у выпускаемой продукции, образуют линию L (см. Рис.
18).
Рис. 18. L - линия развития производства
Решим задачу (16), (17) формально с помощью функции
Лагранжа
73
L(x1,х2,) = p1x1+ p2x2 +  (y- f (x1,х2)).
Для функции Лагранжа выписываем систему
уравнений
L( x1, x 2 ,  )
L( x1, x2 ,  )
L( x1, x2 ,  )
0
 0,
 0,

x1
x2
или в развернутом виде
p2  
f ( x1, x2 ,  )
x2
p1  
f ( x1, x2 ,  )
x1
0,
 0,
Критическая точка (х10(у),х20(у), 0(у)) функции Лагранжа,
удовлетворяющая системе (18) и взятая без последней
координаты 0(у), т.е. точка (х10(у),х20(у)), и есть решение задачи
(16), (17) минимизации издержек при данном фиксированном
объеме производства у. Подставив точку (х10(у),х20(у), 0(у)), в
первые два уравнения системы (18), получим два тождества.
Поделив почленно первое тождество на второе, получим,
очевидно, выражение (3)
f ( x10 , x 20 )
x1
p
 1
0
0
f ( x1 , x 2 ) p 2
x 2
(3)
(множитель 0(у) сократится. Получили аналитическое
обоснование того, что изокоста и изокванта касаются в точке
(х10(у),х20(у)) (см. рис. 11.9). Характер взаимосвязи между
критической точкой функции Лагранжа без последней
74
координаты и решением задачи (16), (17) минимизации может
быть прокомментирован здесь подобно тому, как это было
сделано в разделе 4 для задачи максимизации. Критическая
точка (х10(у),х20(у), 0(у)) является решением задачи
минимизации издержек.
В разделе 2 в точке локального рыночного равновесия
0
(х1 ,х20) был определён объём производства y0=f(х10,х20). Если в
ограничении (17) положить у=у0, то несложно показать, что
х10(y0)=х10, х20(y0)=х20, а также 0 (у0)=р0, т.е. множитель
Лагранжа 0 (у0) равен рыночной цене р0 единицы выпускаемой
продукции. Таким образом, предложена естественная
экономическая интерпретация множителя Лагранжа 0 (у0).
Подставив х10(у) и х20 в выражение С(х1,х2) = p1x1+ p2x2, получим выражение для издержек
p1 х10(y) + p2 х20(y) = С(у)
как функцию объема выпускаемой продукции, а не как функцию
С(х1,х2) = p1x1+ p2x2
объемов затрачиваемых ресурсов.
0
Выражение С(у) = p1 х1 (y) + p2 х20(y) называется значением
задачи (16), (17). Так построенная функция издержек С(у)
соответствует случаю долговременного промежутка. Имея
выражение С(у), выпишем в явном виде представление прибыли
в виде функции объемов у выпускаемой продукции:
PR(у)= p0y - С(у)
Выражение PR(y) = p0y - С(у) играет важную роль в
микроэкономике.
Пусть (х10(C) , х20(C)) и у = h(C) есть решение и значение
задачи максимизации (7), (11) (см. раздел 11.4).
Пусть (х10(y) , х20(y)) и С=С(у) есть решение и значение
задачи минимизации (16), (17) (см. Рис. 19).
75
Пусть значение С в (12) равно значению С(у) задачи
минимизации (16), (17). Тогда значение задачи максимизации
(7), (11) будет равно у.
Наоборот, пусть значение у в (17) равно значению у = h(C)
задачи максимизации (7), (11). Тогда значение задачи
минимизации (16), (17) равно С.
x2
y=f (x1, x2)
x1
L
0
x1
p1x1 + p2x2=C(y)
Рис. 19. Геометрическое решение задачи 16-17
Таким образом, наблюдается взаимная зависимость задач (7),
(11) и (16), (17) (см.Рис. 19).
Задача
минимизации
издержек
производства
при
фиксированном объеме у выпускаемой продукции для случая
краткосрочного промежутка, когда фиксирован объем y*
второго ресурса, имеет вид (у играет роль параметра)
p1 х1 + p2 х2# = С(х1 , х2# ) (min) (19)
при условии, что
76
y=f (х1 , х2) (20),
(х10)
Ограничимся наглядным геометрическим решением задачи
(19), (20) (см. Рис. 20). Имеет место важный результат теории
фирмы: при одном том же объеме у выпускаемой продукции
издержки производства для случая долговременного промежутка
меньше (точнее не больше) издержек производства для случая
краткосрочного промежутка. Эти издержки производства равны
друг другу, если объем у производства будет таким, что х10(y*)
= х2# (Рис. 21).
X2
y=f (X1, X#2)
x02 (y)
x#2
x01(y)
x#1(y)
X1
Рис. 20. Геометрическое решение задачи 19-20
77
X2
Y*=f (X1, X2)
A
X02(y0)= x*2
S
3
X1
X01(y)= X#1(y)
Рис. 21. Геометрическое решение будет таким, что х10(y*) = х2#
при объеме производства y
78
Финансовые модели фирмы
Финансовые модели предназначены для прогнозирования
финансового положения предприятия, определения наилучшей
стратегии капиталовложений и разработки производственных
планов и бюджета предприятий. В основе этих моделей лежит
баланс доходов и расходов предприятия с учетом всех их статей.
Бухгалтерская модель
Отличие
бухгалтерских
моделей
от
бухгалтерского
балансового отчета заключается в том, что такие модели
направлены не на подсчет уже совершенных расходов и
полученных доходов, а на их прогнозирование на будущий
период времени.
79
Инвестиции
Производственн
ые издержки
Торговые
издержки
Рекламные
издержки
Транспортные и
другие расходы
Полные издержки
Налоговая политика,
уровень жизни
населения
Объем выпуска
предприятия и его
филиалов
Налоговый
отчет
Финансовый
отчет
Цены
Чистая
прибыль
Доходы
Производс
твенный
отчет
Бюллетень доходов
фирмы
Анализ
рентабель
ности
План инвестиций
Налоги
Заработная
плата
работников
Дивиденд
ы
акционер
ов
Распределение
денежных
средств по
другим статьям
Рис. 22. Функциональная схема бухгалтерской модели
Показанная на рис. 22 функциональная схема обобщенной
бухгалтерской модели учитывает все статьи расходов и все
доходы предприятия. В качестве выходных данных в ней
рассматриваются налоговый, финансовый, производственный
отчеты за прогнозируемый период, анализ рентабельности,
заработная плата работников и дивиденды акционеров, план
инвестиций на следующий период, распределение денежных
средств по другим статьям расходов, в частности плата за кредит,
80
а также выпускаемый всякой уважаемой фирмой бюллетень
доходов, делающий прозрачной ее финансовую деятельность, что
повышает доверие акционеров и кредиторов.
Изменение управляющих переменных и параметров модели
позволяет рассмотреть возможную финансовую деятельность
предприятия для разных вариантов.
Первым недостатком такой модели является задание в ней цен
на продукцию, что больше характерно для монополии. Частично
избежать
этого
недостатка
позволяет
использование
регрессионной модели цен, созданной на основе временного ряда
предыдущего периода. Однако и в этом случае сохраняется
условность модели, так как цена все равно не будет зависеть от
спроса и предложения на рынке.
Вторым недостатком бухгалтерской модели является то, что в
ней не учитывается принцип неравной ценности денег в разные
моменты времени, который вполне справедливо предполагает, что
для инвестора затраты капитала предпочтительнее отложить на
более
поздний
момент
времени,
а
получить
доход
предпочтительней как можно раньше.
Дисконтная модель
Использование принципа неравной ценности денег в разные
моменты времени позволяет сравнивать планы инвестиций с
разными сроками.
81
Учет неравной ценности денег в разные моменты возможен за
счет применения дисконтирования, т.е. введения определенных
весов при оценке платежей, осуществляемых в разное время. В
качестве такого веса используют дисконтный множитель, или
коэффициент дисконтирования, V = 1 /(1 + i), где i - сложная
процентная ставка, принятая при анализе. Выбор последней
зависит от исследователя, и чем она взята выше, тем менее
ценными становятся более отдаленные по времени платежи.
Процентная ставка может быть взята неодинаковой для разных
моментов времени, т.е. в общем она может являться функцией
времени.
Однако
для
сравнения
разных
вариантов
инвестиционной политики при имитационном эксперименте
удобнее положить ее постоянной, что не внесет значительной
погрешности в такое сравнение. В основном процентная ставка
состоит из двух составляющих: i = imarr + irisk. Составляющая imarr это так называемая минимально привлекательная ставка
доходности,
которая
допустимую
для
представляет
предпринимателя
собой
минимально
норму
доходности
инвестиционного проекта. Составляющая irisk представляет собой
рисковую надбавку, учитывающую возможную инфляцию и
снижение отдачи инвестиционного проекта из-за разных причин
(появление
более
качественных
конкурентных
товаров,
изменение моды, изменение государственной политики и др.).
Отметим, что при этом общая процентная ставка возрастает, так
82
как при имитационном эксперименте инвестиционный проект
оценивается для более неблагоприятных условий.
Иначе
дело
Например,
с
обстоит
с
реальной
увеличением
нормой
доходности.
она,
естественно,
инфляции
уменьшается. В этом заключается отличие реального положения
дел от анализа при имитационном эксперименте, который как раз
и направлен на снижение риска при принятии реального проекта.
Дисконтная модель является динамической, и для каждого
момента времени ее структурная схема не отличается от схемы,
изображенной на Рис. 22. Однако в отличие от бухгалтерской
дисконтная модель относится к продолжительному периоду
времени, в течение которого осуществляются инвестиции на
предприятии.
Включение
в
финансовую
модель
плана
инвестиций
предусматривает построение последовательности ожидаемых
платежей (как доходов, так и расходов). Верхний ряд на рис. 1
определяет
расходную
Ожидаемые
доходы,
часть
как
и
деятельности
расходы,
предприятия.
рассчитывают
на
определенный срок и поступают они с течением времени в
разные моменты. К расходной части можно также отнести и
налоговые отчисления которые зависят как от полных затрат, так и
от доходов. Все эти платежи в дисконтной модели представляются
в виде потока платежей, состоящего из отдельных элементов,
как положительных (доходы) Rk, так и отрицательных (расходы)
83
Kk, где к - номер момента времени платежа. Пример такого
потока платежей приведен на Рис. 23.
Платежи, тыс.р.
100
50
0
1
2
3
4
-50
Рис. 23. Поток платежей
Временные промежутки между соседними элементами потока
платежей могут быть как разными, так и одинаковыми. Поток
платежей,
состоящий
только
из
положительных
членов,
называется рентой. Если все члены ренты одинаковы, то она
называется постоянной рентой.
При анализе финансовой деятельности с помощью дисконтной
модели используют два вида суммарных финансовых показателей:
1) современную стоимость потока платежей (present value of
cash flows), представляющую собой пересчитанную сумму всех
платежей потока с учетом коэффициента дисконтирования на
некоторый момент времени, чаще на начало производственного
проекта;
84
2) наращенную стоимость потока платежей (amount of cash
flows), которая представляет собой сумму всех платежей потока,
пересчитанную
с
учетом
процентной
ставки
на
конец
рассматриваемого производственного проекта.
Этими двумя видами показателей оценивают как стоимости
затрат и доходов, так и прибыли.
В дисконтной модели исследуются эндогенные переменные,
которые называются показателями эффективности инвестиций.
Абсолютным
(приведенная
к
показателем
настоящему
является
моменту
дисконтированная
времени
с
учетом
определенной процентной ставки) стоимость прибыли, или
чистый
приведенный
доход
(net
present
value),
который
обозначают NPV.
Относительным показателем, по которому выбирают варианты
инвестиционных
проектов,
является
внутренняя
норма
доходности (internal rate of return) IRR, рассчитываемая как
процентная ставка, при которой доходность проекта равна нулю, т.е.
современная стоимость доходов равна современной стоимости
затрат.
Дополнительными
показателями
доходности (profitability index) IД
являются
,
индекс
равный отношению
современной стоимости доходов к современной стоимости
затрат, и дисконтный срок окупаемости (discounted payback
method) инвестиционного проекта nок , определяемый как
85
момент времени с начала проекта, в который наращенная
стоимость доходов сравняется с наращенной стоимостью всех
осуществленных затрат.
Так,
для
произвольного
потока
платежей
при
равных
промежутках времени между ними чистый приведенный доход
(современная стоимость прибыли) рассчитывается так:
NPV = R - K ,
где
(1)
n
R   Rk v k
-
современная
стоимость
доходов;
k 0
n
K   K k v k - современная стоимость затрат, если суммировать в
k 0
общем все возможные платежи начиная с момента k = 0 до
момента окончания платежей k = п и учитывать, что некоторые из
них могут равняться нулю; п - общий срок производственного
проекта.
Отметим, что если платеж отнесен к началу соответствующего
периода он называется пренумерандо (его индекс в сумме меньше
на единицу номера соответствующего периода), если же к концу
соответствующе го периода, то он называется постнумерандо (в
этом случае его индекс в сумме равен номеру этого периода).
Выражение (1) можно записать и через процентную ставку:
n
n
n
k 0
k 0
k 0
NPV   Rk (1  i )  k   K k (1  i )  k   Pk (1  i )  k , (2)
где Pk=Rk - Kk.
86
Наращенную сумму потока платежей рассчитывают по
формуле
n
n
n
n
n
k 0
k 0
k 0
k 0
k 0
S   Rk v k n   K k v k n   Rk (1  i) n  k   K k (1  i) n k   Pk (1  i ) n k .
(3)
При этом очевидно, что современная и наращенная стоимости
связаны выражением
NPV=Svn=S(1+i)-n
Внутреннюю норму доходности IRR в соответствии с данным
выше определением рассчитывают из выражения
n
n
k 0
k 0
 Rk (1  IRR ) k   K k (1  IRR ) k
(4)
Если инвестиции делают только один раз (в начале проекта), то
К0 = К и (4) принимает вид
n
R
k 1
k
(1  IRR )  k  K .
(5)
Индекс доходности определяют так:
n
IД
R
 
K
R
k 1
n
K
k 1
k
(1  i )  k
(6)
k
(1  i )
k
Срок окупаемости п0К находят из выражения
nок
 R (1  i)
k 1
k
k
K
(7)
87
Для постоянных потоков платежей, пример которых приведен
на Рис. 24, расчеты упрощаются. Так, современную стоимость
доходов для Rk = R определяют по формуле
n
n
k 0
k 0
R  R  v k  R  (1  i )  k  R a ni ,
(8)
n
где a ni   (1  i )  k - коэффициент приведения ренты. Так как
k 1
сумма в выражении (8) представляет собой сумму геометрической
прогрессии, то
Платежи тыс. р.
a ni 
1  (1  i)  n
.
i
R
100
50
1
2
3
4
-50
-K
k,
лет
Рис. 24. Единовременные инвестиции и постоянный поток
платежей
На
рис.
3
приведена
номограмма
для
определения
коэффициента приведения при годовой процентной ставке i =
0,05...0,2 и n = 2...10 лет.
88
Видно, что с ростом процентной ставки коэффициент ani
падает, причем тем значительнее, чем больше срок проекта п.
Для постоянных платежей упрощаются и выражения для
показателей эффективности:
NPV  R a ni  K ;
(9)
1  (1  IRR )  n K
 ;
IRR
R
nок 
K
)
R ;
ln( 1  i )
 ln( 1  i
I Д  a ni
ani
(11)
R
.
K
n=10
8
(10)
(12)
9
8
7
6
6
5
4
4
3
n=2
2
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
i
Рис. 25. Номограмма для определения коэффициента
приведения при годовой процентной ставке i = 0,05…0,2 и
п = 2... 10 лет
89
Для расчета наращенной суммы используют коэффициент
наращения
s ni  a ni (1  i) n 
(1  i) n  1
.
i
Наращенную сумму доходов определяют по формуле
R = R sni.
Отметим, что в финансовой модели могут применяться не
только
простые
ренты,
но
и
р-срочные,
когда
платежи
осуществляют не один раз в год, а р раз (Рис. 26). Для таких рент
коэффициент приведения (при условии начисления процентов
один раз в год) и коэффициент наращения рассчитывают
следующим образом:
Платежи тыс. р.
a ni 
1  (1  i )  n
;
p[(1  i )1 / p  1]
s ni 
(1  i ) n  1
.
p[(1  i )1 / p  1]
(13)
R
100
50
0
1
2
12 k,
лет
-50
-K
Рис. 26. Пример постоянной р-срочной ренты для р = 12
90
Потоки платежей могут быть нарастающими (характерно для
начальной стадии проектов) или убывающими (характерно для
окончания проектов). Для таких потоков нужно применять общие
формулы (2) - (7). Кроме того, потоки платежей могут считаться
приближено непрерывными, если период между соседними
платежами намного меньше срока проекта. В этом случае суммы
в формулах заменяют на интегралы, и коэффициент приведения
непрерывной
ренты
ani
определяют
как
предел
от
коэффициента приведения р-срочной ренты при стремлении р к
бесконечности согласно правилу Лопиталя:
a~ni  lim
1  (1  i )  n
1  (1  i)  n

.
ln( 1  i)
p[(1  i )1 / p  1]
Обычно для непрерывных рент используют ставку
непрерывных процентов, определяемую как θ = ln(1 + i). С
ее учетом
1 e
a~n 

n
(14)
.
Если же непрерывная рента непостоянна, современную
стоимость рассчитывают с применением интеграла. Например, для
дисконтированных доходов
n
~
R   R (t )e t dt ,
0
~
где R (t ) - скорость поступления доходов в единицу времени.
91
Показатели эффективности непрерывных потоков платежей
определяют по формулам
n
~
NPV   R (t )e t dt  K ;
(15)
0
n
~
a~n   R (t )e t dt  K ;
0
(16)
N
Iд 
~
 R (t )e
t
dt
0
(17)
K
nok
~
t
R
 (t )e dt  K
(18)
0
где  - внутренняя норма доходности непрерывной ренты.
Для
постоянной
непрерывной
ренты
показатели
эффективности (15) - (18) рассчитывают следующим образом:
NPR= R a~n  K ;
(19)
R a~n  K ;
(20)
R a~n
;
K
(21)
R a~nok  K ;
(22)
Iд 
где - величина годовой ренты.
92
Из (22) нетрудно найти аналитическую формулу для расчета
срока окупаемости непрерывной постоянной ренты:
nok 
 ln[ 1   ( K / R )]

.
Чистый приведенный доход и индекс доходности вычисляют
непосредственно по формулам (19) и (21), а вот для расчета
внутренней нормы доходности как для дискретной ренты (см. (10)),
так и для непрерывной (см. (20)) такие формулы вывести не удается,
не говоря уже о случае, когда эти ренты непостоянны. В этом случае
для расчета обычно пользуются методами численной оптимизации.
Отметим, что показатели эффективности инвестиционных
проектов связаны между собой. Так, из (9) и (10) следует, что
NVP  R (a ni  a nIRR ) .
Таким образом, чем выше внутренняя норма доходности IRR,
тем выше чистый приведенный доход NVP, так как с ростом IRR
коэффициент приведения anIRR уменьшается.
Из (10) и (11) находим
nok 
 ln( 1  ia nIRR )
,
ln( 1  i )
т.е. с ростом IRR срок окупаемости nok уменьшается, так как
становится меньше числитель правой части этого выражения.
Из (10) и (12) имеем
I д  ani anIRR ,
откуда ясно, что с ростом внутренней нормы доходности IRR
индекс доходности Iд увеличивается, так как уменьшается anIRR .
93
Имитация клиринговых процессов
Рис. 27. Структура динамической модели предприятия
94
Финансовая модель компании — может быть представлена
набором формул. Использующиеся и них переменные —
ключевые
параметры
бизнеса.
Результат
финансового
моделирования — комплект из трех всем известных форм
финансовой отчетности — баланса, отчета о прибылях и
убытках и отчета о движении денежных средств.
Сопровождает их аналитический блок, задача которого
дать ответ на вопрос, ради чего эта модель составлялась. Так,
инвест-банкиры,
готовящие
компанию
к
продаже,
в
аналитическом блоке подсчитают ее стоимость. Кредитный
офицер банка поймет, сможет ли компания обслуживать долг.
Финансовый директор увидит, в какие моменты и в каком
объеме
компании
понадобится
внешнее
финансирование.
Владелец или топ-менеджер оцепит стратегические перспективы
бизнеса — например, нужна ли ему большая доля рынка. Часто
бывает и так, что выводы, сделанные на основе модели бизнеса,
противоречат интуиции человека, который занимается им много
лет.
Финансовая
электронной
модель
таблицей,
–
может
содержащий
быть
представлена
расчет
необходимых
финансовых показателей проекта:



срок окупаемости,
внутренняя норма рентабельности,
NPV проекта.
95
С точки зрения современного менеджмента главная цель
управления бизнесом – максимизация его стоимости для
акционеров или собственников. Главным показателем успешной
деятельности компании являются денежные средства. Не просто
деньги на счете, а потоки свободных денежных средств, которые
остаются в компании после реализации ее стратегии в текущем
году. Подлинная ценность бизнеса заключается в его
способности генерировать денежные потоки в течение
неограниченного периода времени, используя материальные и
нематериальные активы компании. Эта способность и
называется стоимостью или ценностью бизнеса для акционеров.
Данное внутреннее свойство бизнеса может быть оценено
рынком при его покупке через цену.
Выбор стратегии
Стоимость бизнеса создается за счет реализации двух
стратегий: стратегии роста доходов и стратегии повышения
эффективности (операционной, инвестирования и использования
активов).
Пример 1
Стратегия компании «А» состоит в увеличении объема
продаж. Руководитель заявил, что на сегодня темп роста
объемов продаж составляет 20% в год, рентабельность продаж
96
равна 10%. Эти показатели в дальнейшем компания намерена
сохранить. Темпы роста товарных запасов и дебиторской
задолженности составляют 30% от роста продаж. Консультанты
предложили
просчитать
денежные
потоки
от
основной
деятельности при реализации данной стратегии. Использовался
косвенный метод составления отчета о движении денежных
средств (см. табл. 1).
Таблица 1
Расчет свободных денежных потоков
Показатели
2006 г. 2007 г. 2008 г.
Доход от реализации
100
120
144
Операционная прибыль
10
12
14,4
Чистая прибыль
7,6
9,12
10,94
Изменение дебиторской задолженности –5,0
–6,0
–7,2
Изменение товарных запасов
–6,0
–7,2
–2,88
–3,46
–5,0
Денежный поток от осн. деятельности –2,4
Как видно, прибыль в компании возрастет, а денег будет
становиться все меньше. Такая стратегия явно не отвечает
долгосрочным интересам фирмы.
Выбор цели
97
Управление стоимостью состоит из двух составляющих:
стоимостного
мышления
и
управленческих
процессов,
переводящих это мышление в действие. Стоимостное мышление
заключается в том, что максимизация стоимости компании
принимается за главную финансовую цель компании. Далее
создается «портрет» стоимости. Дело в том, что компания не
может работать непосредственно со стоимостью. Выявляются
факторы ее создания, на которые можно влиять (скорость
обслуживания
клиентов,
организационные
себестоимость
процедуры
и
т.д.).
Они
продукции,
создают
потребительскую ценность для клиентов, определяют денежные
потоки и опосредованно влияют на стоимость.
Для построения причинно-следственных связей следует
воспользоваться стратегическими картами, предложенными
основоположниками концепции BSC Дэвидом Нортоном и
Робертом Капланом.
Задачи, которые надо решить для повышения стоимости
компании, разбивают с помощью карт на четыре группы:
финансы, клиенты, внутренние бизнес-процессы, обучение и
развитие. Разработка карт позволяет уточнить стратегию
компании, графически изобразить ее, выбрать показатели
выполнения задач, а затем представить в виде инициатив и
мероприятий.
98
Пример 2
Компания «B» занимается доставкой товаров клиентам
(продукты питания и промышленные товары). Имеет широко
разрекламированный и поэтому хорошо узнаваемый товарный
знак. Новый владелец купил эту компанию за 20 млн долларов.
После сделки собственник получил доступ к управленческой
отчетности
и
выяснил,
что
деятельность
компании
неэффективна, а рекламная компания проводилась за счет
кредитных средств. В компании принимает заказы хорошо
обученный персонал, но качество их исполнения вызывает
большие нарекания у клиентов. Число постоянных клиентов и
объемы продаж не растут. Получается, что товарный знак не
влияет на реальную стоимость бизнеса, то есть на способность
генерировать денежные потоки.
Процесс создания стоимости через нематериальные
активы
носит
явно
опосредованный
и
контекстуальный
характер. Сами нематериальные активы, например знания
сотрудников, не имеют прямого воздействия на финансовые
результаты. Более того, например, обучение менеджеров
торгового
зала
супермаркета
методам
активных
продаж
приведет к сокращению покупателей и объема выручки. Ведь
покупатели не всегда готовы к «атаке» со стороны продавцов,
это может их оттолкнуть.
99
Расчет стоимости
Когда от процесса разработки стратегии компании
переходят к определению показателей, сразу возникает вопрос,
как рассчитать стоимость.
Традиционно
стоимость
определяется
как
сумма
дисконтированных денежных потоков. Однако ясно, что если
система оценки результатов основывается на дисконтированном
денежном потоке, то она опирается на прогноз, а не на
фактические результаты. Для текущего управления результатами
это не подходит.
Мерилом
стоимости,
создаваемой
компанией
в
единичный период времени (месяц, квартал, год), служит
экономическая добавленная стоимость – EVA (Economic Value
Added).
Один из принципиальных моментов – способ отражения
вложенного капитала. Он состоит из заемного капитала (по
балансу), собственного капитала (по балансу) и эквивалентов
собственного капитала.
Эквиваленты собственного капитала (Equity Equivalents)
– попытка отразить инвестиции в нематериальные активы, то
есть
в
создание
человеческого,
информационного
и
организационного капитала. Например, создание торговой
100
марки, которая в бухучете отражается как расходы. В результате
этого скорректируется операционная прибыль.
Важнейший
принцип
формирования
стоимости,
сформулированный Томом Коуплендом, звучит так: «Новая
стоимость создается лишь тогда, когда компания получает такую
отдачу от инвестированного капитала, которая превышает
затраты на привлечение капитала». Поэтому не всякий рост
бизнеса осуществляется в интересах собственника. Так, если
ROCE (рентабельность вложенного капитала) = 10%, а WACC
(средневзвешенная стоимость капитала) = 12%, то рост бизнеса
ведет к уничтожению стоимости для акционера. Надо иметь в
виду, что стоимость всегда носит элемент субъективности,
который в данном случае выражается в WACC, в части
определения требований к доходности собственного капитала.
Через EVA стоимость компании определяется как сумма
вложенного капитала (с учетом инвестиций в нематериальные
активы)
и
суммарные
дисконтированные
значения
EVA
будущих периодов.
Пример 3
Компания приобрела оборудование за 400 000 долларов,
которое самортизируется за четыре года и не будет иметь
остаточной
стоимости.
Для
начала
работ
потребовались
инвестиции в текущие активы в размере 100 000 долларов.
Операционная прибыль после налога на прибыль в каждом году
101
равна 60 000 долларов. Определим стоимость компании (см.
табл. 2), cчитая, что данный бизнес будет существовать четыре
года.
Таблица 1
Расчет стоимости компании через EVA(экономическую
добавленную стоимость)
Годы
Показатели
Задействованный капитал
WACC, % годовых
Плата за капитал
1
2
3
500
400
300
000
000
000
10%
10%
10%
500
400
300
000
000
000
NOPAT
60 000 60 000 60 000
EVA
10 000 20 000 30 000
Фактор дисконтирования
Дисконтированная
0,91
экономическая
стоимость
Суммарная
75 480
добавленная стоимость
575
Стоимость компании
480
102
0,75
9091 16 529 22 539
дисконтированная
экономическая
0,83
Управление
методологии
стоимостью
стоимостной
не
оценки.
должно
Важен
сводиться
общий
к
вектор
развития компании, который определяет пути изменений, и
понимание
концепции
управления
стоимостью
топ-
менеджментом компании...
Клиринг (англ. clearing) - система безналичных расчетов,
основанная на зачете взаимных требований и обязательств.
1. На бирже - процедура расчетов, в которой расчетная
палата выступает в роли консолидированного покупателя перед
всеми продавцами срочных контрактов и в роли
консолидированного продавца перед всеми покупателями по
биржевым сделкам, гарантируя тем самым исполнение
заключенных контрактов и страхуя их участников от возможных
финансовых потерь.
2. Система безналичных расчетов путем зачета взаимных
требований и обязательств как на международном рынке
(клиринг валютный), так и внутри страны (клиринг
межбанковский).
Простейшая и старейшая форма клиринга - это прямое
урегулирование
(расчет),
двустороннее
удовлетворение
контрактных обязательств между сторонами контракта. Прямое
урегулирование может происходить тремя способами:
1. Поставка товара по истечении срока контракта
2. Прямая компенсация - ликвидация контрактных
обязательств денежной выплатой. Контракт в таком случае
перепокупается у изначального покупателя продавцом. Выплата
в данном случае равняется стоимости контракта при подписании
минус стоимость контракта в момент перекупки.
103
3. Неисполнение контракта - ситуация, когда при
истечении срока контакта одна из сторон не желает или не в
состоянии исполнить свои обязательства. Расчет по контракту
происходит через суд или согласно правилам данной биржи в
отношении арбитража.
Типы систем клиринга
В мировой практике различают:



межбанковский клиринг,
клиринг валютный,
клиринг товарный.
Единичный тип
Данный тип клиринга используется, как правило, при
торговле реальными товарами. За заключением сделки должна
следовать поставка реального товара. К примеру, после
заключения сделки покупатель ценной бумаги переводит
наличные деньги или их эквивалент в доступную для продавца
форму. Продавец держит ценные бумаги в форме, пригодной для
поставки покупателю. Затем две стороны договариваются об
использовании некоторого механизма, позволяющего обменять
бумаги на деньги. Все дальнейшие сделки между этими
сторонами в течение данного рабочего дня будут обработаны в
точности по такой же схеме, но полностью независимо от
предыдущих или последующих сделок.
104
Двусторонний
зачет
Двусторонним, или попарным, зачетом называется зачет,
происходящий между одними и теми же сторонами. Если две
стороны совершили в течение одного рабочего дня несколько
сделок по одному виду ценных бумаг, система определит одно
итоговое число подлежащих поставке ценных бумаг. Если
сторона A приобрела 1000 акций XYZ у стороны B, а затем
продала этой же стороне 950 акций, то итоговым результатом
будет поставка стороной B 50 акций XYZ и получение ею от A
итоговой зачтенной суммы денег. (Если одно и то же число
ценных бумаг было продано двумя сторонами друг другу в
течение одного дня, то поставки ценных бумаг вообще не
должно произойти. Состоится только выплата денег,
покрывающая разницу между ценами в разных сделках.) При
единичном клиринге и при двустороннем зачете возникают
следующие проблемы: - Требуется большое число поставок, что
может привести к большому числу срывов. - Позиция каждой
стороны должна приводиться к рынку и на это уходит больше
времени и средств, чем в более сложных системах.
Многосторонний
зачет
Многосторонний зачет (известный также как ежедневный зачет)
является шагом на пути к более эффективным методам
клиринга. Основным элементом этого метода является подсчет
всех сделок стороны по одному виду ценных бумаг за день к
одному итоговому числу. Фирма может заключить за этот день
много сделок покупки и продажи по данному виду бумаг со
многими сторонами. Но к концу дня у нее окажется одно
единственное обязательство или право на получение либо перед
клиринговым агентством, либо перед одной или несколькими
105
сторонами. Фирме могут быть должны 1000 акций XYZ, или она
должна 1000 этих акций другой стороне. Хотя этот метод не
позволяет достичь максимальной возможной эффективности, он
существенно уменьшает ежедневное число требуемых поставок
и тем самым число возможных срывов.
Урегулирование по кругу
Урегулирование по кругу является многосторонним
вариантом прямых расчетов. Например, если сторона А продает
стороне Б 1000-баррелевый контракт по 20 долларов за баррель,
сторона Б продает стороне В по 20,25 долларов за баррель, а
сторона В продает стороне А по 20,75 долларов за баррель, три
стороны могут образовать круг (кольцо) и произвести расчет
компенсацией, по договорной расчетной цене.
Существует
множество
способов
решения
задач
регионального клиринга, но в основе своей их применение
сводиться к пересчету кредитно – дебитных позиций участников
при помощи математических инструментов, оптимизационных
алгоритмов или построению прогнозов развития ситуации
регионального клиринга. При этом участники клиринга
получают все, кроме одного – гарантии получения прибылей от
проведения клиринговых операций. При использовании такого
рода решений трудно говорить о результатах перерасчета, что, к
сожалению, превращает клиринговую задачу лишь в задачу
перераспределения средств на рынке и сужает круг
потенциально заинтересованных участников.
В этом случае процесс решения задачи регионального
клиринга будет состоять не в оптимальном решении
106
клирингового перерасчета, а в формировании процесса перехода
системы регионального клиринга из текущего состояния в
желаемое в рамках регионального рынка.
Эффективное решение задачи регионального клиринга
требует особого, системного подхода к решению задачи,
основанного на особом системном алгоритмическом решении
(клиринговом алгоритме), представленного в виде системной
технологии, позволяющее реализовать основную задачу –
формирование перехода.
Следующая
схема
кратко
описывает
задачу
функционирования технологии регионального клиринга (Рис.
28.):
Региональный финансовый рынок
Исходное
состояние
системы
Желаемое
Технология
регионального клиринга
клиринга
состояние
системы
клиринга
Рис. 28. Задача регионального клиринга
Технология регионального клиринга – это сложная система
регулирования кредитно – долговых отношений, возникающих
между участниками регионального финансового рынка, с учетом
неформализуемых и слабоформализуемых связей, в основе,
которой лежит системный клиринговый алгоритм.
Для того, чтобы решить основную задачу регионального
клиринга системному алгоритму требуется наличие следующих
параметров и средств.
107
- определенный набор первичных данных о системе,
определяющий ее как единое целое (не нарушающий
целостности системы)
- средства для хранения данных о системе
- средства реализации результатов расчета
- средства для хранения базовых алгоритмических решений
- средства для введения в процесс перерасчета
неформализуемых отношений между участниками
- средства для введения в процесс перерасчета
слабоформализуемых отношений
Таким образом, мы можем представить технологию
клиринга как набор входных и выходных параметров алгоритма.
Не стоит забывать однако, что и сам алгоритм является
средством для формирования процесса перехода, следовательно
частью технологии.
Результат
Исходное
состояние
системы
Клиринговый
алгоритм
взаиморасчетов
Рис. 2:
Рис. 29. Технология регионального клиринга
Применяя современные методы системного проектирования,
мы на основе определенных выше параметров и объектов,
которыми оперирует клиринговый алгоритм, можем провести
синтез технологии регионального клиринга, обеспечивающей
решение системной задачи регионального клиринга.
108
Как и в любой другой технологии, работу технологии
регионального клиринга можно разделить на этапы и
представить их в виде основного бизнес процесса технологии.
Как и любая технология – технология регионального клиринга
обладает определенной структурой и функциональностью.
Если представить в качестве этапов работы технологии
процесс получения, модификации и реализации данных в
системе, то тогда этапы работы технологии могут выглядеть
примерно следующим образом (Рис. 30.)
Рис. 30. Этапы регионального клиринга
Подсистема расчетов или клиринговый алгоритм – отвечает
за перерасчет кредитно – долговых отношений участников
клиринга. Основная функция, которую выполняет алгоритм –
перерасчет отношений, однако он частично реализует функции
подготовки данных для расчета (так как алгоритм обладает
внутренней структурой) и реализация изменений.
Подсистема формирования управляющего воздействия –
эта подсистема формирует управляющее воздействие на систему
регионального клиринга на основе оператора перехода. Кроме
109
того, эта подсистема корректирует модель регионального
клиринга, определяя в ней те же изменения что и в реальной
системе.
В качестве управляющего воздействия подсистема
формирует ряд документов, правил и форм, которые
регламентируют и реализовывают изменения в системе
регионального клиринга. Основная функция этой подсистемы генерирование управляющего воздействия.
Модель регионального клиринга – универсальное
хранилище данных, позволяющее хранить, изменять и
использовать данные, полученные в результате моделирования
системы.
Реестр готовых решений – хранилище данных,
позволяющее клиринговому алгоритму использовать готовые
решения на основе задач, стоящих перед ним.
Банк документов – набор первичной юридической,
финансовой и другой документации, которую необходимо
учитывать при проведении перерасчета. По сути дела
представляет собой набор слабоформализуемых связей,
возникающих в системе регионального клиринга.
И только когда все компоненты технологии будут детально
описаны, можно построить окончательную структурно –
функциональную модель технологии регионального клиринга,
которая будет являться результатом процесса системного
проектирования (Рис. 31).
На основе детального проекта системы легко реализовать
конкретную технологию в виде прикладной информационной
системы при помощи информационных технологий. При
наличии хорошо описанного детального проекта, реализация
технологии становиться задачей технической.
110
Наиболее подходящим методом для реализации такой
технологии является метод трехуровневых приложений,
имеющих структуру БД – бизнес–логика – программный
интерфейс. Модель, реестр и банк данных могут быть
реализованы при помощи БД, бизнес – логика реализует
основной бизнес – процесс системы, а интерфейс полностью
реализует подсистему управления клиринговой технологией.
Рис. 31. Функциональную модель регионального
клиринга
В мировой практике различают межбанковский клиринг,
клиринг валютный и клиринг товарный.
111
Межбанковский клиринг имеет место практически во всякой
стране с развитой банковской инфраструктурой и представляет
собой систему безналичных расчетов между банками,
осуществляемых
через
единые
расчетные
центры.
Взаиморасчеты банки могут осуществлять и без клиринговой
системы, открыв корреспондентские счета друг у друга. На
практике это может выглядеть следующим образом: Банк А
открывает в банке Б корреспондентский счет и депонирует на
нем некоторую сумму. Банк Б по поручению банка А может
производить расчеты в пределах этой суммы. Такая система
расчетов между банками пригодна только для тех стран,
потребности которых (в силу их экономико-географических
условий) могут удовлетворять небольшое количество банков при
небольших объемах проходящих через эту систему платежах. В
странах, где существует широкая банковская сеть с большими
объемами
передвижения
капитала
между
банками,
рассмотренная выше схема становится неэффективной. В
частности, если банк А открывает взаимные корреспондентские
счета в десяти, ста банках, то объем средств, которые для этого
требуется иммобилизовать, возрастает пропорционально числу
банков-партнеров и может оказаться тормозом для всей системы
расчетов.
Практика открытия взаимных корреспондентских счетов
существует в мире, но это, скорее, исключение из правила,
действующего в сфере банковских расчетов. Клиринговая
система базируется на том, что все банки выполняют примерно
одни и те же функции, имеют примерно одинаковую
организацию бухгалтерского учета, что выражается в
однотипном потоке документов. В странах с развитой
банковской инфраструктурой можно выделить три основных
112
способа организации межбанковских расчетов. Например, во
Франции и Великобритании взаимные расчеты между банками
осуществляются центральным банком страны или, как в России,
его расчетно-кассовыми центрами на местах. В ряде стран
действуют несколько автоматизированных расчетных систем,
которые организованны крупными банками с их филиалами.
Яркий пример, Федеративная Республика Германия, где
одновременно
функционируют
расчетные
системы
Коммерцбанка, Дойчебанка, Берлинербанка, Дрезденбанка,
Дойчебундесбанка и др. Каждая расчетная система учитывает
интересы данной кредитно-финансовой организации, ее
функциональные цели. В любую такую систему может
включиться любой банк, любое кредитное товарищество и т.п.
Каждая организация, если она не создает собственной
клиринговой системы, выбирает подходящую для себя. В стране
может быть несколько таких систем. Например, в Соединенных
Штатах Америки их более тридцати.
Все региональные клиринговые системы объединяются
двумя общенациональными: - федеральной (Fedwire) - для
внутренних платежей и международной (CHIPS). Наиболее
распространены на Западе, особенно в небольших странах
(Австрии, Швейцарии, Венгрии и др.) так называемые GIRO системы. Они создаются коммерческими банками обычно в
форме акционерного общества открытого типа путем
объединения
технических
средств,
технологий,
организационных мероприятий и, главное, финансовых
ресурсов. Системы обеспечивают GIRO - расчеты между
участниками и аккумулируют средства для этих расчетов.
113
Список литературы
1. Варфоломеев, В.Н. Алгоритмическое моделирование
экономических систем: учеб. пособие / В.Н Варфоломеев,
С.В Назаров – 2-е изд. – М.: Финансы и статистика, 2004.
– 264 с.
2. Гринсберг,
А.С.
Информационные
технологии
моделирования процессов управления экономикой: учеб.
пособие для вузов / А.С. Гринсберг, В.М. Шестаков. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2003. – 399 с.
3. Гришин А.Ф. Статистические модели в экономике / А.Ф.
Гришин, С.Ф. Котов-Дарти, В.Н. Ягунов.- Ростов н/Д:
«Феникс», 2005. – 344 с.
4. Кургузов, В.В. Корпоративная статистика: экономикостатистическое
моделирование
материальнотехнического снабжения и сбыта/ В.В. Кургузов.– М.:
Финансы и статистика, 2006. –208 с.
5. Салин, В.Н. Социально-экономическая статистика:
Практикум: Учеб. пособие / под ред. В.Н. Салина, Е.П.
Шпаковской.– М.: Финансы и статистика, 2005. –192с.
6. Чернышев, С.Л. Моделирование экономических систем и
прогнозирование их развития: Учебник / С.Л. Чернышев.
– М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003.– 232 с.
7. Райцин, В.Я. Моделирование социальных процессов:
учебник / В.Я. Райцин.– М.: Экзамен, 2005.– 189 с.
8. Емельянов, А.А. Структурный анализ и имитационное
моделирование в системе PILGRIM: Учебное пособие /
А.А. Емельянов, Е.А. Власова. – М.: МЭСИ, 2000.
9. Замков, О.О. Математические методы в экономике:
Учебник / О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н.
Черемных.– 2-е изд.–М.:МГУ им. Ломоносова,
Издательство «Дело и Сервис», 1999. – 368с.
10. Дубов, А.М. Моделирование рисковых ситуаций в
экономике и бизнесе: учеб. пособие /А.М. Дубов, Б.А.
114
Лагоша, Е.Ю. Хрусталева, Т.П. Барановская – 2-е изд. –
М.: Финансы и статистика, 2003. – 224 с.
11. Цисарь, И.Ф. Компьютерное моделирование экономики /
И.Ф. Цисарь, В.Г. Нейман. – М.- «Диалог-МИФИ», 2002.
– 304 с.
12. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем: наука и
искусство.- М.: Мир, 1978.
115
Учебное издание
Гусева Елена Николаевна
Имитационное моделирование
экономических процессов
Учебное пособие
Редактор: Л.С.Новикова
Подписано в печать 1.02.2008 г.
Формат 60x84 1/16. Бумага тип № 2.
Печать офсетная. усл. печ. л. 8,14. Уч.-изд. л.7,7.
Тираж 500 экз.
Заказ № 67. Цена свободная
Издательство Магнитогорского государственного университета
455038, г. Магнитогорск, пр. Ленина, 114
Типография МаГУ
116