МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ ПРОГРАММА КУРСА.

МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА
INTERNATIONAL INSTITUTE OF ECONOMICS AND LAW
Г.А. Цыганов
МАТЕМАТИКА
ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ
Часть 3
(Теория вероятностей и математическая статистика)
ПРОГРАММА КУРСА.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
Для студентов факультета экономики и управления
(Цикл общих математических
и естественно-научных дисциплин)
Москва
Издательство МИЭП
2004
Автор-составитель канд. физ.-мат. наук, доц. Г.А. Цыганов
Математика для экономистов. Часть 3 (Теория вероятностей
и математическая статистика): Программа курса. Практические задания /
Автор-составитель Г.А. Цыганов. – М.: МИЭП, 2004. – 44 с.
Курс разработан в соответствии с принятой в МИЭП концептуальной формулой
образовательной деятельности. Для студентов факультета экономики и управления.
Цикл общих математических и естественно-научных дисциплин.
© Международный институт экономики и права, 2004
2
ВВЕДЕНИЕ
Основной целью практических заданий по курсу математики для экономистов является формирование способности студентов к самостоятельному
мышлению и умению применять изученные теоретические разделы к количественному анализу конкретных задач. Задания являются составной частью
общего учебно-методического комплекса по математике и по содержанию
полностью соответствуют плану-конспекту лекционного курса.
Особое внимание при работе с пособием следует уделить раскрытию
смысла математических задач, умению обосновывать и объяснять полученные решения.
Пособие состоит из примеров, содержащих в ряде случаев теоретические сведения, контрольных вопросов по темам и контрольных заданий.
Формулы, приводимые в пособии, и их расшифровка содержатся в планеконспекте лекционного курса.
С целью индивидуализации контрольных заданий по каждой теме
студент подставляет вместо резервированных буквенных параметров индивидуальные анкетные характеристики:
p1 – число букв в полном имени студента;
p2 – число букв в полном имени отца студента
(но не в отчестве);
p3 – число букв в фамилии студента.
При отсутствии каких-либо анкетных характеристик соответствующее значение параметра следует принять равным 1.
После проверки выполненных студентом заданий производится компьютерное тестирование, состоящее из теоретических вопросов, аналогичных приведенным в настоящем пособии.
3
ПРОГРАММА КУРСА
Тема 1. Основные понятия и определения
Место случайности в природе и в практической деятельности людей.
Интуитивное понятие вероятности события.
Классификация событий. Классическое определение вероятности
события, его недостатки. Статистическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Теорема Я. Бернулли о сходимости по вероятности.
Тема 2. Элементы комбинаторики
Основные понятия комбинаторики. Правила произведения и суммы.
Виды комбинаций элементов конечных множеств: размещения, перестановки, сочетания и их свойства.
Тема 3. Исчисление вероятностей событий
Основные понятия и соотношения алгебры событий. Теорема сложения
для несовместных событий. Понятие зависимости событий и условная вероятность. Теорема умножения. Теорема сложения в общем виде.
Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
Тема 4. Дискретные случайные величины
Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина и закон
ее распределения. Функция распределения дискретной случайной величины.
График функции распределения дискретной случайной величины.
Схема повторения испытаний с бинарным исходом и биномиальное
распределение. Формула Я. Бернулли. Наивероятнейшее число наступления события.
Распределение Пуассона. Простейший поток событий.
Геометрическое распределение.
Тема 5. Числовые характеристики дискретных случайных величин
О введении числовых характеристик случайных величин. Характеристики положения (математическое ожидание, медиана, мода) и характеристики рассеяния (дисперсия, среднеквадратическое отклонение, вероятное
отклонение).
Числовые характеристики случайных величин, имеющих биномиальное и геометрическое распределение.
Числовые характеристики суммы и произведения дискретных случайных величин.
Понятие о начальных и центральных моментах случайных величин.
Функции дискретного случайного аргумента и их характеристики.
4
Тема 6. Непрерывные случайные величины
и их вероятностные характеристики
Непрерывные случайные величины. Функция и плотность распределения. Кривая распределения. Распределение случайной величины по закону
постоянной плотности (равномерное распределение).
Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Функции непрерывного случайного аргумента и их характеристики.
Тема 7. Некоторые типовые распределения случайных величин
Потоки событий. Распределение Пуассона и определяемый и простейший поток. Основные параметры и характеристики пуассоновского
распределения. Распределение Пуассона как предельный случай биномиального. Общность пуассоновского распределения. Экспоненциальное
распределение и его характеристики.
Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Нормальное распределение и центральная предельная теорема. Нормальная кривая, ее уравнение.
Функция нормального распределения и интеграл вероятности. Вероятность
попадания нормально распределенной случайной величины на заданный
интервал. Правило трех сигм.
Распределения Пирсона, Стьюдента, Фишера и Вейбулла.
Тема 8. Выборочный метод. Общие вопросы
Выборочный метод, генеральная и выборочная совокупности, повторная и бесповторная выборки, репрезентативная выборка, способы отбора,
эмпирическая функция распределения. Сплошное и выборочное наблюдения. Основные задачи теории выборки. Понятие выборочной оценки неизвестного параметра генерального распределения. Требования, предъявляемые к статистической оценке.
Вариационный ряд как результат первичной обработки результатов
опыта (наблюдений). Дискретный и интегральный ряды. Средняя арифметическая и дисперсия, стандартное отклонение, мода, медиана, размах
вариационного ряда. Графическое представление статистических данных.
Тема 9. Оценка доли признака и генеральной средней
Несмещенность и состоятельность выборочной доли как оценки генеральной доли. Формула для расчета доверительной вероятности. Средняя
квадратическая ошибка собственно случайной выборки при оценке доли признака при повторном и безповторном отборе членов. Выборочная средняя как
оценка генеральной средней. Несмещенность и состоятельность этой оценки.
Формула для расчета доверительной вероятности. Средняя квадратическая
ошибка собственно случайной выборки при оценке средней при повторном
и бесповторном отборе членов.
5
Тема 10. Проверка статистических гипотез
Понятие статистической гипотезы. Основные этапы проверки гипотезы.
Проверка гипотез о числовых значениях параметров нормального распределения. Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений с известными дисперсиями, а также с неизвестными,
но равными дисперсиями. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух
нормальных распределений. Проверка гипотезы о числовом значении вероятности события. Проверка гипотезы о равенстве вероятностей. Проверка
гипотезы о модели закона распределения. Критерий согласия Пирсона.
Тема 11. Элементы теории корреляции
Функциональная и статистическая зависимости. Корреляционные
таблицы. Групповые средние. Понятие корреляционной зависимости.
Основные задачи теории корреляции: выбор связи, оценка тесноты и существенности связи. Виды корреляционной связи: парная и множественная,
линейная и нелинейная связи. Линейная корреляция. Уравнения прямых
регрессии для парной корреляции. Определение параметров прямых регрессии методом наименьших квадратов. Коэффициент корреляции и его
свойства. Оценка достоверности (значимости) выборочного коэффициента
корреляции. Критерий Стъюдента. Понятие о множественной корреляционной зависимости.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. –
М.: Гардарика, 1998.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высш.
шк., 2003.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высш. шк., 2003.
4. Коломаев В.А., Камкин В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. –
М.: ЮНИТИ, 2003.
5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:
ЮНИТИ, 2002.
Дополнительная
6. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: АСАДЕМА, 2003.
7. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. –
М.: АСАДЕМА, 2003.
8. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник для университета. – М.:
УРСС, 2001.
9. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. –
М.: УРСС, 2003.
10. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О. Теория вероятностей и математическая
статистика: Учебник. – М.: Форум: Инфра-М, 2003.
6
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
Тема 1. Основные понятия и определения
Цивилизованная рыночная экономика является экономикой риска. Следовательно, закономерности, присущие случайным явлениям, могут служить
основой современной экономической науки. Именно, вероятностными закономерностями массовых однородных случайных событий вне зависимости
от их природы занимается математическая наука под названием «теория
вероятностей». Исходными понятиями теории вероятностей являются «случайное событие» и «вероятность появления» или «непоявления случайного
события».
Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих исходные понятия теории
вероятностей.
1. Абонент забыл только одну цифру семизначного номера телефона.
Сколько попыток должен сделать абонент, чтобы набрать правильный
номер?
Решение: Всего значащих цифр, включая 0, — 10, следовательно, возможных попыток набрать правильный номер будет равно 10.
2. Монета бросается 2 раза. Сколько раз возможно появление «герба» (Г)
или «решки» (Р)?
Решение: В двух бросаниях монеты возможно появление следующих
комбинаций «герба» или «решки»: ГГ, ГР, РГ, РР. Таким образом, количество
возможных исходов равно 4.
3. Отдел технического контроля отобрал 25 изделий и после тщательного
анализа обнаружил среди них пять бракованных изделий. Какова относительная частота появления бракованных изделий?
Решение: Относительная частота появления бракованных изделий
(событие A) определяется по формуле:
W(A) = 5/25 = 1/5.
4. Какова вероятность появления трех «гербов» подряд при трехкратном
бросании монеты?
Решение: Определяем количество возможных исходов при трехкратном
бросании монеты. Возможные комбинации появления «герба» (Г) или
«решки» (Р) при трехкратном бросании: ГГГ, ГГР, ГРР, РРР, РРГ, РГГ, ГРГ, РГР.
Таким образом, возможное количество исходов опыта равно 8. Легко видеть,
что количество благоприятствующих исходов трех «гербов» подряд равно 1.
Следовательно, искомая вероятность равна 1/8.
Замечание: Данная задача легко обобщается на случай n-кратного бросания.
7
5. На отрезок 0A длины L числовой оси 0x наудачу ставится точка B.
Найти вероятность того, что меньший из отрезков 0B и BA имеет длину,
большую L/4. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок
пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения
на числовой оси.
Решение: Разбиваем отрезок 0A точками C, D и E на четыре одинаковых
по длине (L/4) отрезка 0C, CD, DE и EA. Очевидно, что попадание точки B
на отрезки CD и DE удовлетворяет условию поставленной задачи. Следовательно,
искомая вероятность равна отношению суммы длин отрезков CD и DE,
равной L/2 к длине всего отрезка 0A, равной L. Таким образом, искомая вероятность равна 1/2.
Контрольные вопросы по теме 1
1. Случайные события и их классификация.
2. Классическое определение вероятности.
3. Статистическое определение вероятности.
4. Геометрические вероятности.
5. Теорема Я. Бернулли о сходимости по вероятности.
6. Подходы к вычислению вероятности.
Задания по теме 1
1. Какова вероятность появления р1 «гербов» подряд при р1-кратном
бросании монеты?
2. На отрезок 0A длины L числовой оси 0x наудачу ставится точка B.
Найти вероятность того, что меньший из отрезков 0B и BA имеет длину,
большую L/р3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок
пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения
на числовой оси.
3. Отдел технического контроля отобрал для контроля 10р1 изделий
и после тщательного анализа их обнаружил р2 бракованных изделий. Какова
относительная частота появления бракованных изделий?
4. В круг радиуса R = 10p1 помещен круг радиуса r = p2. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в круг радиуса R, попадет также
и в круг радиуса r. Предполагается, что вероятность попадания точки
в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.
 Литература: 1–5.
Тема 2. Элементы комбинаторики
Важное значение в априорном вычислении вероятностей имеют формулы комбинаторики.
Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих применение комбинаторных формул в задачах.
8
1. Упростить выражение B 
7!4!  8!
9! 


.
10!  3!6! 2!7! 
Было бы неправильным просто вычислить все факториалы, после чего
перейти к арифметике – слишком большие числа. Используем, где возможно, расчленение факториалов:
7!4!
7!4!
1  2  3  4 24
1




;
10! 7!8  9  10 8  9  10 720 30
8! 6!7  8  9 7  8  9


 84 ;
3!6!
3!6!
1 2  3
9! 7!8  9 8  9


 36 .
2!7!
2!7!
1 2
1
84  36  48  1,6 .
30
30
m  1 ! .
5!

2. Упростить выражение A 
mm  1 m  1 !3!
m!
Напомним, что m  1 ! m!m  1 ; m  1 ! и 5! 3!4  5 , тогда
m
Следовательно, B 
A
3!4  5 m!(m  1)

 4  5  20 .
m!
m  (m  1)
 3!
m
3. При расследовании хищения установлено, что у преступника семизначный телефонный номер, в котором ни одна цифра не повторяется.
Следователь, полагая, что перебор этих номеров потребует одного-двух
часов, доложил о раскрытии преступления. Прав ли он?
Известно, что любое число может быть записано с использованием
десяти цифр – 0, 1, ... , 9. Так как телефонные номера обычно не начинаются
с 0, то задача состоит в вычислении числа комбинаций из девяти различных цифр по 7. Очевидно, что это – размещение по семи различным местам семи из девяти различных цифр, т.е.
A97 
9!
9! 2!3  4  5  6  7  8  9
 
 181 440 номеров.
(9  7)! 2!
2!
Даже если на проверку одного номера тратить 1 минуту, то на все
уйдет 3024 часа или 126 суток. Таким образом, следователь – не прав.
4. Сколькими способами семь разных учебников можно поставить
на полке в один ряд?
Так как порядок учебников по условию значения не имеет, то имеем
задачу о числе перестановок семи разных книг. Следовательно,
P7  7! 1 2  3  4  5  6  7  5 040 способов.
9
5. В штате мебельного магазина имеется пять грузчиков. Сколькими
способами можно выбрать двух из них для перевозки гарнитура к заказчику?
Поскольку не имеет значения, какой грузчик будет первым, а какой –
вторым, т.е. необходим выбор двух разных грузчиков из пяти возможных,
то это – задача о сочетаниях из пяти человек по два. Следовательно,
C52 
5!
5! 3!4  5


 10 способов.
2!5  2 ! 2!3! 2!3!
6. В розыгрыше первенства по футболу среди вузов принимает участие 16 команд, при этом любые две команды играют между собой только
один матч. Сколько всего календарных игр?
Данная задача – о числе выборок из 16 по 2. Таким образом,
C162 
16!
16! 14!15 16


 120 игр.
2!(16  2)! 2!14!
2!14!
7. Изменим условия примера 3. Пусть стало известно, что в телефонном номере преступника встречаются только цифры 2, 4, 5 и 7. На сколько
уменьшится перебор всех возможных номеров?
Таким образом, в семизначном телефонном номере встречаются только
четыре цифры, остальные три, очевидно, повторяют какие-то из имеющихся.
Следовательно, имеем задачу о размещениях из четырех цифр по семи,
т.е. с повторениями.
Решение:
A47 (повт.) = 47 =16 384 номера.
Перебрать все эти номера можно примерно за 11 суток, что почти в 10 раз
быстрее, чем в примере 3.
8. Сколькими способами можно разложить в ряд две зеленые и четыре
красные папки?
Так как названия папок не указываются, а критерием является цвет,
то задача состоит в расположении шести цветных папок двух цветов. Имеем
случай перестановок с повторениями. Следовательно,
P6 2,4 
6! 4!5  6

 15  ю способами.
2!4! 2!4!
9. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «какао»,
чтобы получились все возможные различные наборы букв?
В заданном слове – пять букв, причем «к» и «а» повторяются по 2 раза, а «о» встречается 1 раз. Таким образом,
P5 2,2,1 
10
5!
 30 способов.
2!2!1!
10. В кондитерской имеется пять разных видов пирожных. Сколькими
способами можно выбрать набор из четырех пирожных?
Ясно, что можно выбрать как различные виды пирожных, так и повторяющиеся и даже составить набор из четырех одинаковых пирожных.
Так как порядок следования пирожных в наборе не имеет значения, то эта
задача относится к классу сочетаний с повторениями. Следовательно,
C54 (повт.)  C44 5 1 
8!
 70 способов.
4!4!
Контрольные вопросы по теме 2
1. Правило произведения.
2. Правило суммы.
3. Факториал и его свойства.
4. Размещения.
5. Размещения с повторениями.
6. Перестановки.
7. Перестановки с повторениями.
8. Сочетания и их свойства.
9. Сочетания с повторениями.
Задания по теме 2
1. Вычислите
  p  1 ! 2 p2  1 ! 
p3 !
.
  1

 p3  2 !   p1  1 ! 2 p2  1 ! 
2. С помощью правила симметрии вычислите:
A  C pp112  2C pp22 3  3C pp332 .
3. В учебной группе p2  p3 студентов. Сколькими способами их
можно разбить на бригады по p1 человек?
4. В рекламном агентстве имеется p1 + p2 + p3 агентов и четыре
менеджера. Сколькими способами можно составить бригаду, состоящую
из трех агентов и одного менеджера?
5. Сколькими способами можно составить (p1+p2)-значное число,
в состав которого входят две двойки и три шестерки?
6. На иномарке, скрывшейся с места ДТП, был p1-значный номер,
в котором имелось три четверки, а остальные цифры не повторялись.
Сколько номеров необходимо проверить по картотеке ГИБДД, чтобы найти
нарушителя?
Замечание: Студенты, у которых p1  3, для данной задачи принимают
значение p1 = 6.
7. Сколькими способами можно составить сувенирный набор из p1
ложек, p2 вилок и p3 ножей?
11
8. Составим слово из имени и фамилии студента. Сколькими способами
можно переставить буквы в этом слове, чтобы получились все возможные
различные наборы букв?
9. В распоряжении финансового дилера имеется p2 пакетов различных
акций. Сколькими способами можно составить p3 комбинаций пакетов для
проведения биржевой операции?
10. Сколькими способами можно упаковать (p1+p2+p3) различных книг
в три ящика соответственно по p1, p2 и p3 книги в каждом ящике?
 Литература: 1–5.
Тема 3. Исчисление вероятностей событий
Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих вычисление вероятностей событий.
1. Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма
очков на выпавших гранях равна пяти, а произведение – четырем.
Каждый кубик при бросании дает одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Так как
оба кубика бросаются независимо, то по теореме умножения общее число
исходов: 6 · 6 = 36.
Ясно, что удовлетворить условию задачи можно только двумя сочетаниями очков: 1, 4 или 4, 1. То есть только два исхода соответствуют условию задачи. Следовательно, по определению вероятности:
P  A 
2
1

 0,056 .
36 18
2. В коробке имеется 15 шаров, из которых 10 – окрашены, а 5 – прозрачные. Извлекаем, не глядя, три шара. Какова вероятность того, что все
они будут окрашены?
Общее число исходов при извлечении шаров:
n  C153 
15!
 455 .
3!(15  3)!
Количество случаев извлечения окрашенных шаров при этом может
быть равно:
m  C103 
Следовательно, P A 
10!
 120 .
3!10  3!
120 24

 0,264 .
455 91
3. В библиотеке на стеллаже расставлено 15 учебников по математике,
причем только пять из них предназначены для студентов экономического
факультета. Студент-экономист наудачу выбирает три учебника. Какова
вероятность того, что хотя бы один из учебников нужный?
12
Всего три учебника из 15 можно выбрать:
n  C153 
15!
 455  ю способами.
3!(10  3) !
Ненужные учебники при этом (из 10 шт.) могут быть выбраны:
m  C103 
10!
 120  ю способами.
3!10  3 !
Следовательно, вероятность того, что все учебники непригодны:
PA  
m 120 24


 0,264 .
n 455 91
Поскольку события А – «хотя бы один учебник пригоден» и A – «все
три учебника непригодны» противоположны и составляют полную группу, то
P A  PA   1 ,
следовательно, P A  1  PA   1  0,264  0,736 .
4. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель первого стрелка равна 0,7, второго – 0,8. Найти вероятность
того, что в мишень попадет только один стрелок.
Так как оба стрелка стреляют одновременно и независимо друг
от друга, то, используя противоположные события «попадание – промах»
и правило умножения вероятностей, получим следующие варианты событий:
 попадают оба стрелка:
P1  P2  0,7  0,8  0,56 ;
 попадает первый стрелок и не попадает второй:
P1  P2  0,7  0,2  0,14 ;
 попадает второй и промах у первого:
P1  P2  0,3  0,8  0,24 ;
 промах обоих стрелков:
P1  P2  0,2  0,3  0,06 .
Эти события образуют полную группу, так как
0,56  0,14  0,24  0,06  1 .
Решением задачи по правилу сложения будет:
P1  P2  P1  P2  0,14  0,24  0,38 .
13
5. Программа экзамена содержит 25 вопросов, из которых студент
знает 20. Преподаватель последовательно задает три вопроса. Найти вероятность того, что студент сможет ответить на все вопросы (А, В, С).
Вероятность того, что первый вопрос экзаменатора будет из числа
известных студенту, равна
P  A 
20
.
25
Таким образом, остается 24 вопроса, из которых 19 – известны. Следовательно,
P B / A 
19
.
24
Аналогично, вероятность того, что студент ответит и на третий
вопрос:
PC / AB  
18
.
23
Таким образом, вероятность отличной оценки:
P A  PB / A  PC / AB  
20 19 18
 
 0,496 .
25 24 23
6. В мешок, содержащий два шара неизвестного цвета, опущен белый
шар. После встряхивания извлечен один шар. Найти вероятность того,
что извлеченный шар окажется белым, если возможны любые предположения о цвете двух шаров, находившихся в мешке.
Пусть А – событие извлечения белого шара. Построим предположения
о первоначальном составе шаров:
В1 – белых шаров нет;
В2 – один белый шар из двух;
В3 – оба шара белые.
Так как гипотезы В1, В2 и В3 по условию равновероятны, то
PB1   PB2   PB3  
1
.
3
А теперь промоделируем извлечение:
 если в мешке первоначально не было белых шаров, то
P  A / B1  
1
, так как только одно событие из трех благоприятно;
3
 в мешке уже был один белый шар, следовательно,
P A / B2  
14
2
, так как уже два события из трех благоприятны;
3
 в мешке оба шара были белые:
P A / B3  
3
 1.
3
Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, найдем
по формуле полной вероятности:
P A  PB1 P A / B1   PB2 P A / B2   PB3 P A / B3  
1 1 1 2 1
2
     1  .
3 3 3 3 3
3
7. Два автомата производят одинаковые детали. Производительность
первого автомата в 2 раза больше производительности второго. Вероятность производства отличной детали у первого автомата равна 0,60,
а у второго – 0,84. Наудачу взятая для проверки деталь оказалась отличного
качества. Найдите вероятность того, что эта деталь произведена первым
автоматом.
Пусть А – событие: деталь отличного качества. Можно сделать две
гипотезы:
В1 – деталь произведена первым автоматом. Тогда PB1   , так как
2
3
этот автомат производит по условию деталей в 2 раза больше второго.
В2 – деталь изготовлена вторым автоматом, причем PB2   .
1
3
Условные вероятности того, что деталь произведена первым автоматом, по условию: P A / B1   0,60 , а вторым – P A / B2   0,84 .
Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного
качества, по формуле полной вероятности:
P A  PB1 P A / B1   PB2   A / B2  

2
1
 0,60   0,84  0,68 .
3
3
Искомая вероятность того, что взятая деталь изготовлена первым
автоматом, по формуле Байеса:
 B  PB1 P A B1  2 3  0,6
P 1  

 0,588 .
P  A
0,68
 A
Контрольные вопросы по теме 3
1. Понятие полной группы событий.
2. Понятие условной вероятности.
3. Понятия зависимого и независимого событий.
4. Теорема сложения вероятностей.
5. Теорема умножения вероятностей.
6. Формула полной вероятности.
7. Формула Байеса.
15
Задания по теме 3
1. Бросаются три игральных кубика. Определите вероятность появления ровно p2 очков.
2. Среди (p1 + p2 + p3) деталей имеются четыре бракованных. Произвольно вынимаются пять деталей. Какова вероятность того, что среди них
хотя бы одна – бракованная?
3. На экзамен вынесено (p1·p2·p3) вопросов, причем студент может
ответить на три четверти этих вопросов. Для получения тройки надо ответить не менее чем на три вопроса, четверки – на четыре и пятерки –
на пять. Определить вероятность получения студентом оценок 2, 3, 4 и 5.
4. На трех станках изготавливаются патроны. На первом станке
в минуту изготавливается p1 патронов, на втором – p2 и на третьем – p3.
Установлено, что после одного часа работы на первом станке 2% патронов,
на втором 3% и на третьем 5% – дефектные. На контроль берется 1 патрон
после каждого часа работы. Определите полную вероятность того, что
он будет дефектным.
 Литература: 1–5.
Тема 4. Дискретные случайные величины
Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих свойства дискретных
случайных величин.
1. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
X
p
1
0,2
3
0,1
6
0,4
8
.
0,3
Построить многоугольник распределения.
В прямоугольной системе координат по оси x будем откладывать возможные значения xi, а по оси y – вероятности этих значений. Построим
точки M1 (1; 0,2) ; M 2 (3; 0,1) ; M 3 (6; 0,4) и M 4 (8; 0,3) . Соединив эти точки отрезками, получим ответ.
Pi
0,5
M3
0,4
M4
0,3
0,2
M1
M2
0,1
1
16
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
2. Компьютер состоит из трех независимо работающих элементов: системного блока, монитора и клавиатуры. При однократном резком
повышении напряжения вероятность отказа каждого элемента равна 0,1.
Исходя из распределения Бернулли составить закон распределения числа
отказавших элементов при скачке напряжения в сети.
Возможные значения величины X (число отказов):
x0 =0 – ни один из элементов не отказал;
x1 =1 – отказ одного элемента;
x2 =2 – отказ двух элементов;
x3 =3 – отказ всех элементов.
Так как по условию p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9. Используя формулу
Бернулли, получим
P3 0  C30 p 0 q 3  q 3  0,9 3  0,729 ,
P3 1  C31 p1 q 2  3 pq 2  3  0,1  0,9 2  0,243 ,
P3 2  C32 p 2 q1  3 p 2 q  3  0,12  0,9  0,027 ,
P3 3  C33 p 3 q 0  p 3  0,13  0,001 .
Контроль: 0,729  0,243  0,027  0,001  1 .
Следовательно, искомый закон распределения:
X
p
0
0,729
1
0,243
2
0,027
3
0,001
.
3. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
X
p
2
0,6
5
0,1
8
0,3
.
Найти интегральную функцию F(x) и построить ее график.
Так как интегральная функция строится последовательным суммированием вероятностей по интервалам, то




при
при
при
при
x2
F ( x)  0 , так как здесь нет значений p;
2 x5
F ( x)  0  0,6  0,6 ;
5 x8
F ( x)  0  0,6  0,1  0,7 ;
x8
F ( x)  0  0,6  0,1  0,3  1,0 ;
Соответствующий график:
17
F(x)
0,5
0,7
0,6
2
5
8
x
Контрольные вопросы по теме 4
1. Случайные величины и их виды.
2. Закон распределения случайной величины.
3. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
4. Интегральная функция распределения вероятностей.
5. Формула Я. Бернулли. Биноминальное распределение.
6. Геометрическое распределение.
7. Распределение Пуассона.
8. Графическое представление функции распределения дискретной случайной величины.
Задания по теме 4
1. Монету бросают p1 раз. Напишите распределение Бернулли для
случайной величины X – числа появлений орла в процессе бросания.
2. Учебник по математике издан тиражом 100 000 экз. Вероятность
бракованного экземпляра p 
p1
. С помощью распределения Пуассона
10 000
найдите вероятность того, что в тираже будет ровно p2 бракованных книг.
3. Для закона распределения, заданного таблицей
Х
p
1
2
4
7
a1 a2+0,04 a3+0,01 a1+a2
где а1 
пределения.
18
8
a2+a3
10
,
0,95–(2a1+3a2+2a3)
p
p1
p
; a 2  2 ; a3  3 , построить интегральную функцию рас100
100
100
4. Для закона распределения, заданного таблицей
Х
p
где а1 
1
2
5
7
a1 a2+0,06 a3+0,03 a1+a2
9
a2+a3
12
,
0,91–(2a1+3a2+2a3)
p
p1
p
; a 2  2 ; a3  3 , постройте график функции распределения.
100
100
100
 Литература: 1–5.
Тема 5. Числовые характеристики дискретных случайных величин
Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих числовые характеристики
дискретных случайных величин.
1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X,
заданной законом распределения:
–5
0,4
X
p
2
0,3
3
0,1
4
0,2
.
Математическое ожидание:
M  X   5  0,4  2  0,3  3  0,1  4  0,2  0,3 .
2. Найти дисперсию дискретной случайной величины X, заданной
законом распределения:
–3
0,4
X
p
1
0,3
2
0,1
3
0,2
.
Сначала находим математическое ожидание случайной величины X:
M  X   3  0,4  1 0,3  2  0,1  3  0,2  0,1.
Далее запишем закон распределения X2:
X2
p
9
0,4
1
0,3
4
0,1
9
0,2
.
Математическое ожидание случайной величины X2:
M ( X 2 )  9  0,4  1  0,3  4  0,1  9  0,2  6,1 .
Находим дисперсию:
D X   M ( X 2 )  [M ( X )] 2  6,1  (0,1) 2  6,09 .
19
3. Найти среднеквадратическое отклонение дискретной случайной
величины X, заданной законом распределения:
X
p
–1
0,3
1
0,4
2
0,1
3
0,2
.
Сначала находим математическое ожидание случайной величины X:
M  X   1 0,3  1 0,4  2  0,1  3  0,2  0,9 .
Далее запишем закон распределения X2:
X2
p
1
0,3
1
0,4
4
0,1
9
0,2
.
Математическое ожидание случайной величины X2:
M ( X 2 )  1 0,3  1 0,4  4  0,1  9  0,2  2,9 .
Находим дисперсию:
D X   M ( X 2 )  [M ( X )]2  2,9  (0,9) 2  2,09 .
Отсюда находим среднеквадратическое отклонение
  X   D X   2,09  1,45 .
4. Найти модальное значение (моду) дискретной случайной величины X,
заданной законом распределения:
X
p
–1
0,3
1
0,4
2
0,1
3
0,2
.
Мода – это наиболее вероятное значение случайной величины. Следовательно:
Mo ( X )  1.
5. Найти серединное значение (медиану) дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:
X
p
–1
0,3
1
0,4
2
0,1
3
0,2
.
Медиана – это значение дискретной случайной величины, упорядоченной по возрастанию, слева и справа от которого располагается одинаковое количество значений случайной величины. При этом, если количество
значений случайной величины нечетно, то медиана равна этому серединному значению случайной величины. В случае, когда количество значений
20
случайной величины четно, то медиана равна половинной сумме двух рядом
стоящих значений случайной величины, слева и справа от которых располагается одинаковое количество значений случайной величины. Так как
для заданной случайной величины имеем четное количество ее значений, то:
Me( X )  1,5.
6. Случайная величина X задана законом распределения:
Х
p
1
0,1
2
0,3
4
0,6
.
Найти начальные и центральные моменты первых трех порядков.
Найдем сначала начальные моменты  k  M ( X k ) .
 1  M  X   1 0,1  2  0,3  4  0,6  3,1 ;
 2  M ( X 2 )  1  0,1  4  0,3  16  0,6  10,9 ;
 3  M ( X 3 )  1  0,1  8  0,3  64  0,6  40,9 .
Теперь найдем центральные моменты  k  M [ X  M ( X )] k .
1  M X  M  X   0 ;
 2   2   12  10,9  3,12  1,29  D X  ;
 3   3  3 1 2  2 13  40,9  3  3,1  10,9  2  3,13  0,888 .
Контрольные вопросы по теме 5
1. Понятие математического ожидания дискретной случайной величины.
2. Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.
3. Понятие дисперсии дискретной случайной величины.
4. Свойства дисперсии дискретной случайной величины.
5. Понятие моды (модального значения) дискретной случайной величины.
6. Понятие медианы (серединного значения) дискретной случайной величины.
7. Понятие среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины.
8. Начальные теоретические моменты.
9. Центральные теоретические моменты.
10. Функция распределения дискретной случайной величины и ее свойства.
11. Понятие функции одного дискретного случайного аргумента.
12. Понятие функции двух дискретных случайных аргументов.
13. Математическое ожидание функции дискретного случайного аргумента.
21
Задания по теме 5
1. Для случайной величины, заданной таблицей
Х
p
1
2
5
7
a1 a2+0,06 a3+0,03 a1+a2
9
a2+a3
12
,
0,91–(2a1+3a2+2a3)
p1
p
p
; a2  2 ; a3  3 , определите математическое ожидание.
100
100
100
где а1 
2. Для случайной величины, заданной таблицей
Х
p
1
2
4
8
a1 a2+0,06 a3+0,03 a1+a2
9
a2+a3
12
,
0,91–(2a1+3a2+2a3)
p1
p
p
; a2  2 ; a3  3 , определите медиану.
100
100
100
где а1 
3. Для случайной величины, заданной таблицей
Х
p
1
2
5
7
a1 a2+0,04 a3+0,03 a1+a2
9
a2+a3
11
,
0,93–(2a1+3a2+2a3)
p
p1
p
; a 2  2 ; a3  3 , определите дисперсию.
100
100
100
где а1 
4. Для случайной величины, заданной таблицей
Х
p
1
2
a1 a2+0,06
где а1 
5
7
a3+0,03 a1+a2
9
a2+a3
12
,
0,91–(2a1+3a2+2a3)
p
p1
p
; a 2  2 ; a3  3 , определите среднеквадратическое откло100
100
100
нение.
5. Для случайной величины, заданной таблицей
Х
p
1
2
5
7
a1 a2+0,02 a3+0,03 a1+a2
9
a2+a3
12
,
0,95–(2a1+3a2+2a3)
p
p1
p
; a 2  2 ; a3  3 , определите модальное значение.
100
100
100
где а1 
6. Для случайной величины, заданной таблицей
Х
p
1
2
4
7
a1 a2+0,04 a3+0,01 a1+a2
где a1 
8
a2+a3
p
p1
p
; a 2  2 ; a3  3 , определите начальные и центральные
100
100
100
теоретические моменты первых трех порядков.
 Литература: 1–5.
22
10
,
0,95–(2a1+3a2+2a3)
Тема 6. Непрерывные случайные величины
и их вероятностные характеристики
В экономической науке важное значение имеют непрерывные случайные величины и их вероятностные характеристики. Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих эти математические объекты.
1. Случайная величина X задана интегральной функцией:
при x  1
0

F ( x)  0,75 x  0,75
1

при  1  x  0,33 .
при x  0,33
Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале 0  x  0,33 .
Решение. Вероятность того, что X примет значение из заданного
интервала, равно приращению интегральной функции в этом интервале,
т.е. P(a  X  b)  F (b)  F (a) . В нашем случае a  0 и b  0,33 , поэтому
P(0  X  0,33)  F (0,33)  F (0) 
 (0,75  0,33  0,75)  (0,75  0  0,75)  0,25 .
2. Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:
при x  0
при x  0 .
0
f ( x)  
2e 2 x

Найти вероятность того, что X примет значение, лежащее в интервале
1 x  2.
Воспользуемся формулой:
b
P(a  X  b)   f ( x)dx .
a
Таким образом,
2
P(1  X  2)   2e
1
2 x
1
1 e2 1
dx  ...  2  4  4  0,12 .
e
e
e
3. Непрерывная случайная величина задана в интервале 0  x  1 дифференциальной функцией f ( x)  2 x , а вне этого интервала f ( x)  0 . Найти
ее числовые характеристики.
Математическое ожидание:
1
1
2x 3
M ( X )   xf ( x)dx   2 x dx 
3
0
0
1

2
0
2
.
3
23
Дисперсия:
2
2
D( X )   xf ( x)dx  M ( X )    2 x dx    
3
0
0
1
1
2
 ... 
3
1 4 1
  .
2 9 18
Стандарт:
1
 0,24 .
18
 ( X )  D( X ) 
4. Найти числовые характеристики случайной величины X, равномерно
распределенной в интервале 2  x  8 .
Закон равномерного распределения по интервалу a  x  b выразится
значением:
f ( x) 
1
1
1

 ,
ba 82 6
поэтому:
8
1
1 x2
M ( X )   xdx 
6
6 2
2
8
 5;
2
8
1
1 x3
D( X )   x 2 dx  5 2 
6
6 3
2
8
 25  3 ;
2
 ( X )  3  1,73 .
5. Математическое ожидание нормально распределенной случайной
величины a  10 , а стандарт   2 . Найти вероятность того, что в результате
испытания X примет значение из интервала 12  X  14 , и записать закон
распределения
Решение. Запишем вначале закон распределения. Общая формула
имеет вид:
f ( x) 
2
1
e ( x  a )
 2
2 2
.
Подставляя a  10 и   2 , после вычислений:
f ( x) 
1
2 2
e ( x 10) 8 .
2
Вероятность того, что X примет значение из интервала   X   , имеет
вид:
 a
  a 
P(  X   )  
  
,
  
  
24
где ( x) 
1
x
e
2
 x2 2
dx – функция Лапласа. Эта функция определяется
0
с помощью таблиц (см. приложения в № 3–5 и др.). В нашем случае:
 14  10 
 12  10 
P(12  X  14)  
  
  (2)   (1) .
 2 
 2 
По таблице находим: (2)  0,4772; (1)  0,3413 , следовательно:
P(12  X  14)  0,4772  0,3413  0,1359 .
Контрольные вопросы по теме 6
1. Функция распределения непрерывной случайной величины и ее свойства.
2. Дифференциальная функция распределения вероятностей непрерывной
случайной величины и ее свойства.
3. Математическое ожидание непрерывной случайной величины и его
свойство.
4. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной
величины и их свойства.
5. Мода и медиана непрерывной случайной величины.
6. Нормальное распределение.
7. Функция нормального распределения и интеграл вероятности.
8. Свойства кривой нормального распределения.
9. Закон равномерного распределения вероятностей.
10. Понятие функции одного непрерывного случайного аргумента.
11. Понятие функции двух непрерывных случайных аргументов.
12. Математическое ожидание функции непрерывного случайного аргумента.
Задания по теме 6
1. Случайная величина X задана дифференциальной функцией
f ( x)  0,1p1 x в интервале 0  x 
20
. Определите математическое ожидание,
p1
дисперсию и стандарт этой величины.
2. Известно, что случайная величина X имеет нормальное распределение, описываемое плотностью:
f ( x) 
1
p1 2
e
( x3)2 / 2 p12
.
Определите дисперсию и среднеквадратическое отклонение этой случайной величины.
25
3. Известно, что случайная величина X имеет нормальное распределение, описываемое плотностью:
f ( x) 
1
5 2
e
( x p )2 / 50
2
.
Определите математическое ожидание этой случайной величины.
4. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение
нормально распределенной величины X равны соответственно 3p1 и p2.
Запишите закон распределения и найдите вероятность того, что в результате
испытания X примет значение, заключенное в интервале p3  x  2 p3 .
5. Постройте график функции плотности равномерного распределения
случайной величины, считая, что все возможные значения этой величины
заключены в интервале (min(p1,p2), max(p1,p2)).
6. Найдите функцию плотности распределения линейной функции
Y=p2X + 1, если аргумент распределен нормально, причем математическое
ожидание X равно 5, а среднеквадратическое отклонение равно 1.
 Литература: 1–5.
Тема 7. Некоторые типовые распределения случайных величин
В экономике широко используются различные распределения непрерывных случайных величин и их вероятностные характеристики. Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих эти математические объекты.
1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины X, распределенной по показательному
закону:
f ( x)  2e 2 x при x  0; f ( x)  0 при x  0.
Решение:


0
0
M ( X )   xf ( x)dx  2 xe2 x dx  0,5.


0
0
D( X )   x 2 f ( x)dx  [ M ( X )] 2  2 x 2 e 2 x dx  0,25  0,25.
 ( X )  D( X )  0,25  0,5.
2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X,
имеющей распределение Стьюдента с тремя степенями свободы.
26
Решение. Известно, что математическое ожидание случайной величины X,
имеющей распределение Стьюдента, в силу симметричности функции распределения, плотности этого распределения, равно 0. Следовательно:
M ( X )  0.
Далее, дисперсия случайной величины с распределением Стьюдента
рассчитывается по формуле:
где m – число степеней свободы. Отсюда:
D( X ) 
D( X ) 
m
,
m2
3
 3.
3 2
3. Построить функцию плотности вероятности «хи-квадрат» распределения для числа степеней свободы, равного 5.
Решение:
3
x

 1
2
2
x e при x  0,
 5
f ( x)   2 2  5 
2

0
при x  0,
где

( y)   e u u y 1du –
0
гамма-функция, которая для целых положительных y равна
( y )  ( y  1)!.
4. Постройте функцию распределения Фишера-Снедекора и функцию
плотности вероятности этого распределения при условии, что числа степеней свободы равны соответственно 4 и 6.
Решение. Известно, функция распределения Фишера-Снедекора определяется через «хи-квадрат» распределения (χ2) следующей формулой:
F
k 2  2 (k1 )
,
k1  2 (k 2 )
27
где k1 и k2 – число степеней свободы соответственно случайных величин χ2 (k1) и χ2 (k2).
Отсюда:
3 2 (4)
F
.
2  2 (6)
Плотность распределения определяется по формуле:
 k  k 2  21 22
 1
k1 k 2 k1
k k
1
 1 2
2 

 ( x) 
x 2 ( k1 x  k 2 ) 2 ,
k  k 
 1    2 
2  2
k
k
Отсюда в силу свойства гаммы-функции для целого положительного
аргумента имеем:
 ( x) 
(5)4 2 6 3
x(4 x  6) 5  82944 x(2 x  3) 5 .
(2)(3)
5. Определите интервал, в котором практически достоверно заключены
значения случайной величины распределенной по нормальному закону,
если известно, что математическое ожидание этой величины равно 5,
а среднеквадратичное отклонение равно 2.
Решение. Согласно правилу трех σ искомый интервал определяется
как
(a  3 , a  3 ) .
Отсюда имеем, что значения нормально распределенной случайной
величины будут располагаться в интервале (–1, 11).
6. Постройте двухпараметрическую функцию распределения Вейбулла
и функцию плотности вероятности этого распределения при условии,
что параметры равны соответственно α=0,5 и β=4.
Решение. Известно, что функция плотности распределения Вейбулла
определяется по формуле:
 1 x

 ( x)  x e ,
0,


при x  0 (  0,   0),
при x  0.
Отсюда функция распределения будет иметь вид:
1  e x , при x  0,
F ( x)  
 0,
при x  0.

28
Следовательно:
1  e 0,5 x , при x  0,
F ( x)  
 0,
при x  0.
4
2 x 3e 0,5 x , при x  0,
 ( x)  
 0, при x  0.
4
Контрольные вопросы по теме 7
1. Понятие потока событий.
2. Распределение Пуассона и простейший поток.
3. Основные параметры и характеристики пуассоновского распределения.
4. Распределение Пуассона как предельный случай биномиального.
5. Экспоненциальное распределение и его характеристики.
6. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
7. Нормальное распределение и центральная предельная теорема.
8. Правило трех сигм.
9. Распределение χ2 «хи-квадрат».
10. Распределение Стьюдента.
11. Распределение Фишера.
12. Распределение Вейбулла.
Задания по теме 7
1. Найдите математическое ожидание показательного распределения:
f ( x)  p2 e  p2 x при x  0; f ( x)  0 при x  0.
2. Найдите дисперсию и среднеквадратическое отклонение показательного распределения:
f ( x)  p1e  p1x при x  0; f ( x)  0 при x  0.
3. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с р2 степенями свободы.
4. Постройте функцию плотности вероятности «хи-квадрат» распределения для числа степеней свободы равному p1.
5. Постройте функцию распределения Фишера-Снедекора и функцию
плотности вероятности этого распределения при условии, что числа степеней свободы равны соответственно p2 и p3.
6. Определите интервал, в котором практически достоверно заключены
значения случайной величины, распределенной по нормальному закону,
29
если известно, что математическое ожидание этой величины равно
max(p1,p2), а среднеквадратичное отклонение равно min(p1,p2).
7. Постройте двухпараметрическую функцию распределения Вейбулла
и функцию плотности вероятности этого распределения при условии, что
числа степеней свободы равны соответственно 1/p2 и p3.
 Литература: 1–5.
Тема 8. Выборочный метод. Общие вопросы
Рассмотрим отдельные примеры, характерные для выборочного метода.
1. Задано распределение частот выборки:
xi
ni
2
3
6
10
12
7
15 .
5
Составить распределение относительных частот.
Определим сначала объем выборки:
n  3  10  7  5  25 .
Найдем относительные частоты по формуле wi 
w1 
ni
:
n
3
10
7
5
 0,12 ; w2 
 0,40 ; w3 
 0,28 ; w4 
 0,20 .
25
25
25
25
Следовательно,
xi
wi
2
6
12
15 .
0,12 0,40 0,28 0,20
Контроль: 0,12  0,40  0,28  0,20  1 .
2. По результатам примера 1 построить полигоны частот и относительных частот.
Отобразив на плоскости точки с координатами ( xi ,ni ) и соединив их
отрезками, получим полигон частот:
ni
10
7
5
3
30
2
6
12
15
xi
Аналогично построим полигон по точкам ( xi ,wi ) :
wi
0,40
0,28
0,20
0,12
2
6
12
15
xi
3. Постройте гистограмму по следующему статистическому распределению:
№ интервала
1
2
3
4
5
6
7
Интервал
длиной
h=5
5 – 10
10 – 15
15 – 20
20 – 25
25 – 30
30 – 35
35 – 40
Сумма частот
вариант
ni
4
6
16
36
24
10
4
Решение. Прежде всего, определим объем выборки:
n  4  6  16  36  24  10  4  100 .
По известным суммам частот вариант рассчитаем плотность частоты
по интервалам:
№
интервала
1
2
3
Плотность частоты
ni
h
0,2
1,2
3,2
№
интервала
5
6
7
Плотность частоты
ni
h
4,8
2,0
0,8
31
4
7,2
Изобразим полученный результат:
ni
h
7
6
5
4
3
2
1
5
10
15
20
25
30
35
40
x
4. Найдите статистические оценки генеральной совокупности, заданной следующим вариационным рядом:
варианта xi
частота Ni
2
8
4
9
5
10
6
3
Решение. Определим объем совокупности:
N   8  9  10  3  30 .
Найдем генеральную среднюю:
X 
Для
D  X 2
8  2  9  4  10  5  3  6
 4.
30
вычисления генеральной дисперсии
2
 X   . Определим среднюю квадратов:
используем
формулу
8  2 2  9  4 2  10  5 2  3  6 2
X 
 17,8 .
30
2

Таким образом, D  17,8  4 2  1,8 .
Генеральное стандартное отклонение:    D  1,8  1,34 .
Обычно полученных результатов достаточно для практических задач.
Однако можно получить дополнительные характеристики для более тонкой оценки генеральной совокупности. Приведем их:
Мода Mo : наибольшая частота
Mo  10 .
Медиана Me : вариационный ряд делится пополам в точке
32
Me  4,5 .
Размах вариации R: в примере xmax  6; xmin  2 , поэтому
R  6  2  4.
5. Из генеральной совокупности извлечена выборка
xi
ni
1
92
2
94
3
103
4
5 .
105 106
Найдите статистические характеристики выборки.
Определим объем выборки:
n  92  94  103  105  106  500 .
Выборочная средняя:
XB 
92  1  94  2  103  3  105  4  106  5
 1,82 .
500
Определим среднюю квадратов:
X B2 
92  12  94  2 2  103  32  105  4 2  106  5 2
 11,45 .
500
Выборочная дисперсия:
DB  X B2  X B   11,45  1,82 2  8,14 .
2
Выборочное стандартное отклонение:
 B  8,14  2,85 .
Контрольные вопросы по теме 8
1. Задачи математической статистики.
2. Генеральная и выборочная совокупности.
3. Классификация выборок.
4. Способы отбора.
5. Варианты и вариационный ряд.
6. Полигон, гистограмма, эмпирическая функция распределения.
7. Генеральная и выборочная средние.
8. Генеральная и выборочная дисперсии и стандартное отклонение.
9. Мода, медиана, размах и коэффициент вариации.
10. Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты.
Задания по теме 8
1. Построить полигоны частот и относительных частот по распределению выборки:
xi
2
4
7
8
9
12
.
33
p12
ni
2p2
p22
p2
p3
3p3
2. Постройте гистограммы частот и относительных частот по распределению выборки:
Интервал, Сумма частот
№
вариант интервала,
интервала xi  xi 1
ni
1
3– 5
p1
2
5– 7
2p2
3
7– 9
3p3
p12
4
9 – 11
2 p22
5
11 – 13
3 p32
6
13 – 15
7
15 – 17
p1+p2
3. Для генеральной совокупности, заданной распределением:
xi 5
Ni p1
10 15
3p1 p2
20 25
2p2 p22
30 35 .
2
2p3 2 p3
Найдите генеральную среднюю, генеральную дисперсию, генеральное
стандартное отклонение, моду, медиану и размах.
4. Из генеральной совокупности сделана выборка, заданная распределением:
xi
ni
2
p2
4
2p2
6
p1
8
2
1
p
10
p3
12
2p3
14 .
p2+p3
Найти выборочную среднюю выборочные дисперсию и стандартное
отклонение.
 Литература: 1–5.
Тема 9. Оценка доли признака и генеральной средней
В статистике важное значение имеет оценка параметров статистической совокупности по выборке из нее. Рассмотрим отдельные примеры
оценок статистических параметров.
1. Из генеральной совокупности извлечена выборка:
34
xi
ni
1
92
2
94
3
103
4
5 .
105 106
Найдите несмещенную оценку дисперсии и стандартного отклонения.
Решение. Согласно примеру 5 темы 8 выборочная дисперсия:
DB  X B2  X B   11,45  1,82 2  8,14 .
2
Выборочное стандартное отклонение:
 B  8,14  2,85 .
Как известно, выборочная дисперсия является смещенной оценкой
вариационного ряда. Несмещенная оценка, т.е. исправленная дисперсия
определяется по формуле:
DuB 
n
500
DB 
 8,14  8,16 .
n 1
500  1
Соответственно, исправленное стандартное отклонение:
 uB  8,16  2,86 .
2. Известно, что величина X распределена нормально и   3 . Найдите
доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания a по выборочным средним x , если объем выборки n = 36 и задана
надежность оценки   0,95 .
Решение. Найдем характеристический параметр t из соотношения
2(t )  0,95 ,
т.е.  (t )  0,475 .
По таблице функции Лапласа находим t  1,96 .
Точность оценки:  
t
n

1,96  3
36
 0,98 .
Следовательно, доверительный интервал имеет вид:
x  0,98  a  x  0,98 .
3. Случайная величина X распределена нормально. По выборке объемом n = 16 найдены xB  20,2 и  иB  0,8 . Оцените неизвестное математическое ожидание a с надежностью   0,95 .
Решение. Найдем t . С помощью таблицы (см. литературу):
t  t ( ,n)  t (0,95;16)  2,13 .
Тогда доверительные границы:
xB 
t  иB
n
 20,2 
2,13  0,8
16
 19,77 ,
35
xB 
t  иB
n
 20,2 
2,13  0,8
16
 20,63 .
Следовательно, неизвестный параметр a с надежностью 0,95 заключен
в доверительном интервале:
19,77  a  20,63 .
4. Найдите минимальный объем выборки, при которой с надежностью
0,975 точность оценки математического ожидания a генеральной совокупности по выборочной средней будет   0,3 , если известен стандарт   1,2 .
Решение. Воспользуемся формулой:
 t

n
, т.е.
 t 
n  .
 
2
По условию   0,975 или 2(t )  0,975 , т.е.  (t )  0,4875 . По таблице
находим t  2,24 . Таким образом:
2
 2,24  1,2 
n
  80 .
 0,3 
Контрольные вопросы по теме 9
1. Несмещенные и смещенные оценки.
2. Эффективная и состоятельная оценки.
3. Исправление выборочной дисперсии.
4. Точность оценки, надежность.
5. Доверительный интервал.
Задания по теме 9
1. Из генеральной совокупности сделана выборка, заданная распределением:
xi
ni
2
p2
4
2p2
6
p1
8
2
1
p
10
p3
12
2p3
14 .
p2+p3
Найдите несмещенные дисперсию и стандартное отклонение.
2. По данным p2 измерений некоторой величины найдены средняя
результатов измерений, равная 30 и выборочная дисперсия, равная 36.
Найдите границы, в которых с надежностью 0,99 заключено истинное значение измеряемой величины.
3. Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью p появления события А в каждом испытании. Найдите
36
доверительный интервал для оценки p с надежностью, равной 0,95, если
в 5p1 испытаниях событие А появится p2 раз.
4. Из партии объемом 100p1 однородных товаров для проверки
по схеме случайной бесповторной выборки отобрано 10p3 товаров, среди
которых оказалось 8p3 небракованных. Найдите вероятность того, что доля
бракованных товаров во всей партии отличается от полученной доли
в выборке не более чем на 0,02 (по абсолютной величине), а также границы,
в которых с надежностью 0,96 заключена доля бракованных товаров
во всей партии.
5. Из 1000p3 вкладчиков банка по схеме случайной бесповторной
выборки было отобрано 50p1 вкладчиков. Средний размер вклада в выборке
составил 100p2 руб., а среднеквадратическое отклонение 30p2 руб. Какова
вероятность того, что средний размер вклада случайно выбранного вкладчика
отличается от его среднего размера в выборке не более чем на 5p2 руб.
(по абсолютной величине)?
 Литература: 1–5.
Тема 10. Проверка статистических гипотез
Проверка статистических гипотез тесно связана со статистическим
оцениванием, которое необходимо осуществлять при решении многих экономических задач: таких, как оценка уровня доходности ценных бумаг,
оценка преимуществ того или иного способа инвестиций, оценка эффективности управления и т.д.
Рассмотрим отдельные примеры проверки статистических гипотез.
1. Имеются две независимые выборки с объемами n=50 и m=50, которые извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей.
Для этих выборок найдены выборочные средние x=142 и y=150. Кроме
этого, известны генеральные дисперсии D(X)=28,2 и D(Y)=22,8. При уровне
значимости α=0,01 проверить нулевую гипотезу H0: M(X)=M(Y), если альтернативная гипотеза H1: M(X)<M(Y).
Решение. В качестве критерия возьмем формулу:
Z
x y
D( X ) D(Y )

n
m
,
где x и y выборочные средние из генеральных совокупностей X и Y.
Используя эту формулу, имеем Z= –8. В силу выбора альтернативной
гипотезы критическая область будет левосторонней. Находим «вспомогательную точку» zкр по формуле:
37
Ф( z кр ) 
1  2 1  2  0,01

 0,49,
2
2
где Ф(t) – функция Лапласа. По таблице Ф(t) находим zкр = 2,33. Так как
Z < -zкр, то нулевую гипотезу отвергаем.
2. Из генеральных совокупностей X и Y, распределенных по нормальному закону, извлечены малые выборки с объемами соответственно n = 5
и m = 6, выборочными средними x = 3,3 и y = 2,48 и исправленными
дисперсиями sX2 = 0,25, sY2 = 0,108. При уровне значимости α = 0,05
проверить нулевую гипотезу H0: M(X)=M(Y), если альтернативная
гипотеза H1: M(X)  M(Y).
Решение. Так как выборочные дисперсии различны, то сначала проверяем нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий с использованием критерия Фишера-Снедекора. Для этого сравниваем sX2 и sY2 т.е. рассчитываем отношение:
F
s X2
0,25

 2,31.
2
sY 0,108
Это наблюдаемое значение критерия Фишера-Снедекора.
Следовательно, имеет смысл в качестве альтернативной гипотезы
взять гипотезу H1: D(X) > D(Y). В этом случае критическая область будет
правосторонней. Используя уровень значимости α = 0,05 и степени свободы
k1 = n-1 = 4 и k2 = m–1 =5, находим по соответствующей таблице критическую точку Fкр(0,05; 4; 5)=5,19. Так как F < Fкр, то оснований отвергнуть
нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нет. Отсюда имеем то,
что можем сравнивать средние.
Вычисляем наблюдаемое значение критерия Стьюдента:
T
x y
ns  ms
2
X
2
Y
n  m  (n  m  2)
3,3  2,48
5  6(5  6  2)

 3,27.
nm
56
5  0,25  6  0,108
Так как альтернативная гипотеза имеет вид M(X)  M(Y), то критическая область является двусторонней. Используя уровень значимости
и общее число степеней свободы k =n + m - 2 = 9, по соответствующей таблице критерия Стьюдента находим критическую точку t(0,05; 9) = 2,26.
Отсюда получаем, что T > t. Следовательно, вынуждены гипотезу о равенстве генеральных средних отвергнуть.
3. Произведено 100 независимых испытаний, в которых событие A
появлялось с относительной частотой, равной 0,08. При уровне значимости
α = 0,05 проверьте нулевую гипотезу H0: P(A) = p= p0 = 0,12, если альтер38
нативная гипотеза H1: p  p0. Считается, что по теореме Лапласа относительная частота распределена по закону, близкому к нормальному.
Решение. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимаем
случайную величину:
M
 p0 )  n
U n
,
p0  q0
(
где q0 = 1–p0, а М – случайная величина частоты появления события A.
Вычисляем наблюдаемое значение критерия:
m
 p0 )  n
(0,08  0,12)  100
n
Uн 

 1.23.
p0  q0
0,12  0,88
(
По условию альтернативной гипотезы критическая область является
двусторонней. Критическую точку uкр можно найти из равенства:
Ф(u кр ) 
1   1  0,05

 0,475,
2
2
где Ф – функция Лапласа. Используя соответствующую таблицу,
находим uкр = 1,96. Так как
U н  u кр ,
то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.
Контрольные вопросы по теме 10
1. Понятие статистической гипотезы.
2. Основные этапы проверки гипотезы.
3. Проверка гипотезы о числовых значениях параметров нормального
распределения.
4. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений с известными дисперсиями.
5. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений с неизвестными, но равными дисперсиями.
6. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений.
7. Проверка гипотезы о числовом значении вероятности события.
8. Проверка гипотезы о равенстве вероятностей.
9. Проверка гипотезы о модели закона распределения.
10. Критерий согласия Пирсона.
Задания по теме 10
1. Имеются две независимые выборки с объемами n=10p1 и m=20p2,
которые извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей. Для этих выборок найдены выборочные средние x=40p2 и y=50p3.
Кроме этого, известны генеральные дисперсии D(X)=8,5p3 и D(Y)=7,5p2.
39
При уровне значимости α=0,01 проверьте нулевую гипотезу
H0: M(X)=M(Y), если альтернативная гипотеза H1: M(X)<M(Y).
2. Из генеральных совокупностей X и Y, распределенных по нормальному закону, извлечены малые выборки с объемами соответственно n = p1
и m = p3, выборочными средними x = p2/2 и y = p3/3 и исправленными
дисперсиями sX2 = p1/50, sY2 = p3/80. При уровне значимости α = 0,05
проверьте нулевую гипотезу H0: M(X)=M(Y), если альтернативная гипотеза
H1: M(X)  M(Y).
3. Произведено 100p1 независимых испытаний, в которых событие A
появлялось с относительно частотой равной 0,06. При уровне значимости
α = 0,05 проверьте нулевую гипотезу H0: P(A) = p= p0 = p3/500, если альтернативная гипотеза H1: p  p0. Считается, что по теореме Лапласа относительная частота распределена по закону, близкому к нормальному.
 Литература: 1–5.
Тема 11. Элементы теории корреляции
Характерной особенностью экономической науки является то, что
в большинстве случаев между переменными величинами отсутствует
функциональная зависимость, когда конкретному значению одной переменной соответствует определенное значение другой. Как правило, в экономике каждому значению одной переменной величины соответствует
множество значений другой, т.е. распределенное множество значений.
В этих случаях вводится понятие статистической зависимости. Основой
изучения статистической зависимости являются корреляционный и регрессионный анализы.
Рассмотрим ряд примеров, характерных для корреляционного и регрессионного анализов статистической зависимости.
1. Найдите коэффициент корреляции между производительностью
труда Y (тыс. руб.) и энерговооруженностью труда X (Квт) (в расчете
на одного работника) для 14 предприятий, данные по которым представлены
в следующей таблице.
xi
yi
2,8
2,2
3,0
3,5
3,2
3,7
4,0
4,8
6,0
5,4
5,2
5,4
6,0
6,7
6,9
7,2
7,3
8,4
8,8
9,1
9,8
10,6 10,7 11,1 11,8 12,1 12,4
Решение. Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:
40
9,0
.
 n  n

n xi y i    xi   y i 
i 1
 i 1  i 1 
n
r


n xi2    xi 
i 1
 i 1 
n
n
2


n y i2    y i 
i 1
 i 1 
n
n
2
.
Рассчитав все суммы по табличным данным, получаем:
r
14  650,99  64,2  132,9
14  335,26  64,2 2  14  1313,95  132,4 2
 0,898,
что свидетельствует о тесной связи между рассматриваемыми переменными.
2. Определите выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X
по данным наблюдений, представленных в следующей таблице.
xi
yi
1,0
1,25
1,5
1,4
3,0
1,5
4,5
1,75
5.0
2,25
Решение. Уравнение будем искать в виде:
Y  ax  b.
Используя метод наименьших квадратов, получаем:
n
a
n
n
n xi y i   xi   y i
i 1
i 1
n
b
i 1
2
;


n xi2    xi 
i 1
 i 1 
n
n
n
n
n
x  y  x x y
i 1
2
i
i 1
i
i 1
i
i 1
2
i


n xi2    xi 
i 1
 i 1 
n
n
i
.
Проведя вычисление всех сумм, входящих в постоянные a и b, получаем:
a
5  26,975  15  8,15
 0,202;
5  57,5  15 2
41
b
57,5  8,15  15  26,975
 1,024.
5  57,5  15 2
Отсюда для искомого уравнения получаем:
Y  0,202 x  1,024.
3. При большом числе наблюдений значения xi, yi и xiyi могут повторяться. В этом случае результаты наблюдений группируются путем подсчитывания частот nx, ny и nxy и по группам записываются в корреляционную таблицу. Рассмотрим пример такой таблицы.
Y
10,5
12,6
15,0
nx
10
5
3
8
20
2
19
21
X
30
7
6
13
40
14
4
18
ny
26
12
22
n=60
В этой таблице числа 5, 7, 14, 2, 6, 4, 3 и 19 – это значения частот nxy
(дефис – отсутствие таких значений). Числа 10, 20, 30, 40 – это значения
случайной величины X. Числа 10,5, 12,6 и 15,0 – значения варианты Y.
Числа 8, 21, 13 и 18 – значения частот nx. Числа 26, 12 и 22 – значения частот ny. И, наконец, n=60 – количество всех наблюдений.
Контрольные вопросы по теме 11
1. Функциональная и статистическая зависимости.
2. Корреляционные таблицы.
3. Групповые средние.
4. Понятие корреляционной зависимости.
5. Основные задачи теории корреляции: выбор связи, оценка тесноты
и существенности связи.
6. Виды корреляционной связи: парная и множественная, линейная
и нелинейная связи. Линейная корреляция.
7. Уравнения прямых регрессии для парной корреляции.
8. Определение параметров прямых регрессии методом наименьших квадратов.
9. Коэффициент корреляции и его свойства.
10. Оценка достоверности (значимости) выборочного коэффициента корреляции.
11. Критерий Стьюдента.
12. Понятие о множественной корреляционной зависимости.
42
Задания по теме 11
1. Найдите коэффициент корреляции и определите тесноту связи двух
вариантов, заданных таблицей:
xi 0,1p1 0,3p2 0,5p3
p1
p3
.
yi
p3
p2
2p1
3p3
4p2
2. Определите выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X
и постройте его график по данным наблюдений, представленных в следующей таблице.
xi
yi
p1
3p3
2p2
2p1
3p3
p2
4p1
p1
5p2 .
p3
3. Из опыта известно, что значению p1 величины Y соответствуют 4
значения p2 величины X, 3 значениям 2p3 величины X соответствует
значение p3 величины Y, значению 3p1 величины X не соответствует ни одно
значение величины Y, значению 5p2 величины Y не соответствует ни одно
значение величины X, 14 значениям 7p3 величины X соответствует
значение 4p1 величины Y, 11 значениям 6p3 величины Y соответствует
значение 5p2 величины X. По этим данным постройте корреляционную
таблицу.
 Литература: 1–5.
43
Цыганов Герман Алексеевич
МАТЕМАТИКА
ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ
Часть 3
(Теория вероятностей и математическая статистика)
Программа курса.
Практические задания
Редактор М.В. Егорова
Макет, верстка А.М. Моисеев
Корректоры Т.И. Маляренко, Г.В. Платова
Лицензия ИД № 00871 от 25.01.00. Подписано в печать 18.03.2004
Формат 60×84 1/16. Усл. печ. л. 2,6. Изд. № 1483
Издательство МИЭП, типография МИЭП
107082, Москва, Рубцовская наб., д.3, стр.1
44