УТВЕРЖДАЮ Проректор-Директор ФТИ ТПУ ____________ В.П. Кривобоков «_____» _____________

УТВЕРЖДАЮ
Проректор-Директор ФТИ ТПУ
____________ В.П. Кривобоков
«_____» _____________
2011 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ М 3.2.6.
НАПРАВЛЕНИЕ (СПЕЦИАЛЬНОСТЬ) ООП 231300 Прикладная математика
ПРОФИЛЬ(И) ПОДГОТОВКИ (СПЕЦИАЛИЗАЦИЯ, ПРОГРАММА) Применение
математических методов к решению инженерных и экономических задач
КВАЛИФИКАЦИЯ (СТЕПЕНЬ) бакалавр прикладной математики
БАЗОВЫЙ УЧЕБНЫЙ ПЛАН ПРИЕМА 2011 г.
КУРС 2 СЕМЕСТР 3
КОЛИЧЕСТВО КРЕДИТОВ 4
ПРЕРЕКВИЗИТЫ линейная алгебра, математический анализ, теория функции комплексного переменного
КОРЕКВИЗИТЫ численные методы, математическое моделирование
ВИДЫ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ И ВРЕМЕННОЙ РЕСУРС:
лекции 36 час.
практич. занятия 36 час.
лаборат. занятия 18 час.
АУДИТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ 90 час.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 90 час.
ИТОГО 180 час.
ФОРМА ОБУЧЕНИЯ очная
ВИД ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ 3 семестр – экзамен
ОБЕСПЕЧИВАЮЩЕЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЕ кафедра ВММФ ФТИ
ЗАВЕДУЮЩИЙ КАФЕДРОЙ
РУКОВОДИТЕЛЬ ОПП
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ
А. Ю. Трифонов
А.Ю.Трифонов
М.Л. Шинкеев
2011 г.
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «теория вероятностей» в области обучения,
воспитания и развития, соответствующие целям Ц1, Ц2, Ц3 ООП «Прикладная математика», являются:

подготовка в области основ математических и естественнонаучных знаний,
получение высшего профессионально-профилированного (на уровне бакалавра), углубленного профессионального (на уровне магистра) образования, позволяющего выпускнику успешно работать в избранной сфере деятельности,
обладать универсальными и предметно-специализированными компетенциями;

формирование знаний о теории вероятностей, как особом способе познания
мира и образе мышления;

приобретение опыта построения моделей случайных явлений и процессов в
экономике и проведения необходимых расчётов в рамках построенных моделей;

формирование социально-личностных качеств студентов: целеустремленности, организованности, трудолюбия, ответственности, гражданственности,
коммуникативности, толерантности, повышение общей культуры, готовности
к деятельности в профессиональной среде.
2. Место дисциплины в структуре ООП
Дисциплина «теория вероятностей» входит в базовую часть математического и
естественнонаучного цикла ООП по направлению 231300 «Прикладная математика». Она связана с дисциплинами математического цикла «линейная алгебра», «математический анализ», «теория функции комплексного переменного» и опирается
на освоенные при изучении данных дисциплин знания и умения. Эта дисциплина
является необходимой для освоения дисциплины «Математическая статистика»
естественнонаучного цикла и дисциплин «Многомерные статистические методы» и
«Статистические модели» профессионального цикла ООП. Параллельно с данной
дисциплиной могут изучаться дисциплины гуманитарного, социального и экономического цикла, дисциплины естественнонаучного цикла, профессионального цикла
и цикл «Физическая культура».
3. Результаты освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен будет
знать:
общность понятий и представлений теории вероятностей и математической
статистики с другими, изучаемыми студентом дисциплинами и её значение при изучении последующих курсов;
аксиоматику теории вероятностей, основные свойства вероятности;
понятия случайной величины, закона распределения случайной величины,
функции и плотности распределения, числовых характеристик случайной величины;
основные законы распределения случайных величин и их числовые характеристики, связь между различными законами распределения случайных величин;
понятия системы случайных величин, совместного закона распределения случайных, зависимости и независимости случайных величин;
закон больших чисел Чебышева, теорему Чебышева, условия сходимости последовательностей случайных величин;
центральную предельную теорему и основные следствия из нее.
уметь:
использовать классический, геометрический, статистический подходы вычисления вероятностей событий;
применять основные теоремы теории вероятностей для расчета вероятностей
сложных событий
использовать формулу Бернулли и приближенные формулы Пуассона и Муавра-Лапласа;
использовать закон распределения для нахождения числовых характеристик и
вероятностей случайной величины;
находить закон распределения и числовые характеристики функции случайной
величины, а также композиции случайных величин;
использовать неравенство Чебышева, закон больших чисел Чебышева, центральную предельную теорему, а также основные следствия из них;
владеть:
математической символикой для выражения количественных и качественных
отношений объектов;
основными аналитическими приемами вероятностного и статистического анализа;
методиками проведения вероятностных расчетов, навыками расчета основных
характеристик, возникающих при проведении вероятностного анализа в практических задачах.
В процессе освоения дисциплины у студента развиваются следующие компетенции:
1. Универсальные (общекультурные) 
способность владеть культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК1);

уметь логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную
речь (ОК-2);

способность к кооперации с коллегами, работе в коллективе (ОК-6);

способность к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства
(ОК-9);

способность анализировать социально-значимые проблемы и процессы (ОК11)
2. Профессиональные 
готовность к самостоятельной работе (ПК-1)




способность использовать современные прикладные программные средства и
осваивать современные технологии программирования (ПК-2);
способностью использовать стандартные пакеты прикладных программ для
решения практических задач на ЭВМ (ПК-3);
знать основные положения, законы и методы естественных наук; способность
выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, готовность использовать для их решения соответствующий естественнонаучный аппарат (ПК-6);
готовность применять математический аппарат для решения поставленных задач, способность применить соответствующую процессу математическую модель и проверить ее адекватность (ПК-7)
4. Структура и содержание дисциплины
4.1. Наименование разделов дисциплины
4.1.1 Случайные события
Понятие пространства элементарных исходов и случайного события, классификация событий, алгебра событий, диаграммы Эйлера-Венна. Вероятность события, статистическое, классическое и геометрическое определения вероятности. Комбинаторный метод вычисления вероятностей для схемы исходов. Понятие  алгебры событий, аксиоматическое определение вероятности, основные теоремы
теории вероятностей. Условные вероятности, независимость событий, теорема
умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Байеса. Схема последовательных испытаний Бернулли, формула Бернулли, приближенные формулы Муавра-Лапласа и Пуассона.
4.1.2 Случайные величины
Понятие случайной величины и ее закона распределения. Случайная величина
дискретного типа, ряд распределения. Функция распределения случайной величины
и ее свойства. Случайная величина непрерывного типа, плотность распределения и
ее свойства. Числовые характеристики случайных величин и их свойства. Математическое ожидание, дисперсия, начальные и центральные моменты, квантили и критические точки распределений. Характеристическая функция случайной величины.
Распределения равномерное, показательное, Бернулли, биномиальное, Пуассона,
геометрическое. Распределение Пуассона как предельный случай биномиального,
простейший поток событий. Нормальный закон распределения, стандартный нормальный закон, функция Лапласа, правило трех сигм. Преобразования случайных
величин, формула преобразования плотности.
4.1.3 Системы случайных величин
Понятие случайного вектора. Дискретные и непрерывные вектора. Функция
распределения случайного вектора, таблица распределения дискретного вектора,
плотность распределения непрерывного вектора. Понятие независимости случайных
величин, условные законы распределения. Функция случайного вектора, задача
композиции случайных величин, устойчивость по суммированию, распределения
устойчивые по суммированию. Числовые характеристики системы случайных вели-
чин, свойства характеристик. Ковариация и коэффициент корреляции, свойства коэффициента корреляции. Матрица ковариаций, свойства матрицы ковариаций. Многомерное нормальное распределение.
4.1.4 Предельные теоремы теории вероятностей
Последовательности случайных величин, сходимость случайных последовательностей: сходимость почти наверное, сходимость по вероятности, сходимость по
распределению. Связь между различными видами сходимости последовательностей
случайных величин. Неравенство Чебышева, закон больших чисел Чебышева,
обобщенная теорема Чебышева, теорема Хинчина, теорема Бернулли. Центральная
предельная теорема в формулировке Ляпунова, теорема Муавра-Лапласа, интегральная и локальная формулы Муавра-Лапласа. Предельная теорема Пуассона.
4.2 Структура дисциплины по разделам и формам организации обучения
Таблица 1.
Структура дисциплины по разделам и видам учебной деятельности
Название
темы
раздела/ Аудиторная работа (час)
Лекции
Случайные события
Случайные величины
Системы случайных
величин
Предельные теоремы
теории вероятностей
Итого
СРС
(час)
Колл,
контр. р.
Итого
8
12
Практ./сем.
занятия
8
8
Лаб.
раб.
4
6
20
22
2
2
42
50
8
8
4
24
0
44
8
6
4
24
2
44
36
30
18
90
6
180
5. Образовательные технологии
Для успешного освоения дисциплины применяются как предметноориентированные технологии обучения (технология постановки цели, технология
полного усвоения, технология концентрированного обучения), так и личностноориентированные технологии обучения (технология обучения как учебного исследования, технология педагогических мастерских, технология коллективной мыследеятельности, технология эвристического обучения) которые обеспечивают достижение планируемых результатов обучения согласно основной образовательной программе. Перечень методов обучения и форм организации обучения представлен в
таблице.
Таблица 2
Методы и формы организации обучения
ФОО Лекц.
Методы
IT-методы
Работа в команде
Лаб.
зан
х
х
Пр.зан./ Тр.*,
сем.
Мк**
х
СРС
х
х
Case-study
Игра
Методы проблемного обучения
Обучение на основе опыта
х
Опережающая
самостоятельная
работа
Проектный метод
Поисковый метод
х
Исследовательский метод
х
* - Тренинг, ** - Мастер-класс
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
6. Организация и учебно-методическое обеспечение
самостоятельной работы студентов (СРС)
6.1 Виды и формы самостоятельной работы студентов по дисциплине
6.1.1 Текущая СРС:
- работа с лекционным материалом, поиск и обзор литературы и электронных источников информации по индивидуально заданной проблеме курса;
- выполнение индивидуальных домашних заданий
- опережающая самостоятельная работа;
- изучение тем, вынесенных на самостоятельную проработку;
- подготовка к практическим и лабораторным занятиям;
- подготовка к контрольным работам и коллоквиуму, к зачету, к экзамену.
6.1.2 Творческая проектно-ориентированная самостоятельная работа (ТСР):
-- поиск, анализ, структурирование и презентация информации
- исследовательская работа и участие в научных студенческих конференциях, семинарах и олимпиадах;
- анализ научных публикаций по заранее определенной преподавателем теме.
6.2. Содержание самостоятельной работы студентов по дисциплине
6.2.1
1.
2.
3.
Темы индивидуальных заданий:
Случайные события.
Случайные величины.
Системы случайных величин. Предельные теоремы теории вероятностей.
6.2.2 Темы работ выносимые на самостоятельную проработку:
1.
Последовательности случайных событий. Предел последовательности событий.
2.
Борелевская σ-алгебра и мера Лебега.
3.
Независимые испытания с несколькими исходами.
4.
Функция ошибок, связь функции ошибок с функцией распределения нормального распределения.
5.
Распределения, связанные с нормальным распределением (хи-квадрат, Стьюдента, Фишера).
6.3 Контроль самостоятельной работы
Контроль СРС студентов проводится путем проверки работ, предложенных
для выполнения в качестве домашних заданий согласно разделу 6.2. и рейтингплану освоения дисциплины. Одним из основных видов контроля СРС является
защита индивидуальных домашних заданий. Наряду с контролем СРС со стороны
преподавателя предполагается личный самоконтроль по выполнению СРС со
стороны студентов.
6.4 Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Для организации самостоятельной работы студентов рекомендуется использование литературы и Internet-ресурсов согласно перечню раздела 9. Учебнометодическое и информационное обеспечение дисциплины.
7. Средства (ФОС) текущей и итоговой оценки качества освоения дисциплины
7.1. Текущий контроль. Средствами оценки текущей успеваемости студентов по ходу освоения дисциплины являются:
7.1.1. Перечень вопросов, ответы на которые дают возможность студенту
продемонстрировать, а преподавателю оценить степень усвоения теоретических
и фактических знаний на уровне знакомства

Что в теории вероятностей понимают под событием? Какое событие называют
достоверным? Какое – невозможным?

Какие операции определены над событиями? Каковы свойства этих операций?

Сформулируйте статистическое, классическое, геометрическое определения
вероятности. В каких случаях используются эти определения?

Дайте определение  -алгебры событий. Для чего вводится понятие  алгебры событий?

Сформулируйте основные аксиомы теории вероятностей.

Укажите основные свойства вероятности.

Что такое условная вероятность? Как определяется зависимость и независимость событий?

Чему равны вероятности суммы и произведения событий?

В каких случаях для расчета вероятностей применяется формулы полной вероятности и Байеса?

Что такое схема испытаний Бернулли?

В каких случаях для расчета вероятностей применяются формулы Бернулли.
Муавра-Лапласа, Пуассона?

Как определяется наивероятнейшее число успехов для схемы испытаний Бернулли?

Что такое случайная величина? Что называют законом распределения случайной величины?

Какая случайная величина называется дискретной случайной величиной? Что
такое ряд распределения дискретной случайной величины?

Дайте определение функции распределения случайной величины. Каковы основные свойства функции распределения случайной величины?

Какая случайная величина называется непрерывной случайной величиной?
Что такое плотность распределения непрерывной случайной величины?

Каковы основные свойства плотности и функции распределения непрерывной
случайной величины.

Какие числовые характеристики случайной величины Вы знаете? Что характеризуют эти характеристики?

Как определяется математическое ожидание случайной величины, каковы
свойства математического ожидания?

Как определяется дисперсия случайной величины? Каковы свойства дисперсии?

Что определяет неравенство Йенсена?

Как определяются и что характеризуют коэффициент асимметрии и эксцесс
распределения?

Как определяются квантили и критические точки распределения?

Дайте определение характеристической функции случайной величины. Каковы
основные свойства характеристической функции?

Какое распределение называется распределением Бернулли? Укажите основные числовые характеристики распределения Бернулли.

Какое распределение называется биномиальным? Укажите основные числовые
характеристики биномиального распределения.

Какое распределение называется геометрическим? Каковы основные числовые
характеристики геометрического распределения?

Какое распределение называется распределением Пуассона? Каковы основные
числовые характеристики распределения Пуассона?

Как связаны распределение Пуассона и биномиальное распределения?

Что такое простейший поток событий? Какому распределению подчиняется
простейший поток событий?

Какое распределение называют равномерным распределением? Чему раны
плотность и функция распределения, основные числовые характеристики равномерного распределения?

Какое распределение называют показательным распределением? Чему раны
плотность и функция распределения, основные числовые характеристики показательного распределения? Как связан показательный закон распределения с законом
Пуассона?

Какое распределение называют нормальным распределением. Какова плотность и основные числовые характеристики нормального закона?

Что такое стандартная нормальная величина? Какова связь между функциями
распределения произвольной нормальной величины и стандартной нормальной величины? Как связана функция распределения стандартной величины с функцией
Лапласа?

Как определяется вероятность отклонения нормальной случайной величины от
математического ожидания на заданную величину? В чем состоит правило «трех
сигм»?

Как преобразуется плотность распределения при преобразовании случайной
величины?

Что называют системой случайных величин (случайным вектором)? Как определяется функция распределения системы случайных величин, каковы ее свойства
(для двухмерного случайного вектора)?

Какие случайные векторы относят к векторам дискретного типа? Что такое
таблица совместного распределения системы, имеющей дискретное распределение?

Какие случайные векторы относят к векторам непрерывного типа? Что такое
плотности совместного распределения системы, имеющей непрерывное распределение? Каковы основные свойства плотности совместного распределения?

Как определяется независимость случайных величин? Что такое условный закон распределения?

Что называют композицией случайных величин? Как определяется плотность
суммы непрерывных независимых величин?

В чем заключается свойство устойчивости распределения по суммированию.
Приведите примеры распределений, устойчивых по суммированию.

Чему равны математическое ожидание и дисперсия суммы и произведения
случайных величин?

Что характеризуют ковариация и коэффициент корреляции случайных величин? Укажите основные свойства коэффициента корреляции.

Дайте определения сходимости последовательности случайных величин «почти наверное», «по вероятности», «по распределению». Каковы основные свойства
этих сходимостей?

Как оценить вероятность отклонения случайной величины от математического
ожидания с помощью неравенства Чебышева?

Сформулируйте закон больших чисел Чебышева, теорему Хинчина, теорему
Бернулли. В каком случае говорят, что последовательность случайных величин удовлетворяет закону больших чисел?

Сформулируйте центральную предельную теорему (ЦПТ). Каковы основные
следствия ЦПТ?
7.2. Рубежный контроль. Данный вид контроля производится на основе баллов, полученных студентом при выполнении лабораторных работ, контрольных и
индивидуальных заданий.
Данный вид деятельности оценивается отдельными баллами в рейтинг-листе.
7.2.1 Образцы индивидуальных заданий
Индивидуальное задание 1
1.
Доказать тождество: ( A  B)  ( A  C )  A  BC .
2.
Колода карт (36 листов) делится случайным образом на две равные части по 18
карт. Найти вероятность того, что в каждой пачке будет по два туза.
3.
На одной полке наудачу расставляется 8 книг. Найти вероятность того, что
определенные 3 книги окажутся поставленными рядом.
4.
Среди 10 лотерейных билетов 6 выигрышных. Наудачу взяли 4 билета. Определить вероятность того, что среди них хотя бы 2 выигрышных.
5.
В лифт 6-этажного дома сели 4 пассажира. Каждый независимо от других с
одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже.
Определить вероятность того, что: а) все вышли на разных этажах; б) по крайней
мере, трое сошли на одном этаже.
6.
В отрезке единичной длины наудачу выбираются две точки. Определить вероятность того, что расстояние между точками не превосходит ¼.
7.
Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени
длиной 200 минут. Одно из событий длится 10 мин., другое - 5 мин. Определить вероятность того, что: а) события «перекрываются» по времени; б) «не перекрываются».
8.
В сфере радиуса 2 случайно и независимо друг от друга разбросано 10 точек.
Найти вероятность того, что расстояние от центра до ближайшей точки не меньше
1.
9.
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Произведено 3
выстрела. Какова вероятность, что будет: а) три попадания; б) один промах; в) хотя
бы одно попадание?
10. Урна содержит 12 занумерованных шаров с номерами от 1 до 12. Шары извлекаются по одному без возвращения. Рассматриваются следующие события: А - номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1,2,...,12; В - хотя
бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения; С - нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения. Определить вероятности событий А, В, С. Найти предельные значения вероятностей при числе шаров в урне стремящемся к бесконечности.
11. Бросаются три монеты. Определить зависимы или нет события А={выпал орел
на первой монете} и В={выпала хотя бы одна решка}.
12. Мышь может выбрать наугад один из 5 лабиринтов. Известно, что вероятности
её выхода из различных лабиринтов за три минуты равны 0,5; 0,6; 0,2; 0,1; 0,1.
Пусть оказалось, что мышь выбралась из лабиринта через три минуты. Какова вероятность того, что она выбрала первый лабиринт? Второй лабиринт?
13. В первом ящике из 6 шаров 4 красных и 2 черных, во втором ящике из 7 шаров
2 красных и 5 черных. Из первого ящика во второй, переложили один шар, затем из
второго в первый переложили один шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный после этого из первого ящика, черный.
14. Для проверки геодезических работ назначена группа экспертов, состоящая из
трех подгрупп. В первой подгруппе - 1 человек, во второй - 4 и в третьей - 5. Эксперты первой подгруппы принимают верное решение с вероятностью 0,8, эксперты
второй подгруппы c вероятностью 0,6, эксперты третьей подгруппы с вероятностью
0,5. Наудачу вызванный эксперт принимает 3 независимых решения. Найти вероятность того, что: а) ровно 3 решения приняты верно; б) принимал решения эксперт из
первой подгруппы, если 3 решения приняты верно.
15. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,3. Куплено 10 билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.
16. Монета бросается до тех пор, пока орел не выпадет 3 раза. Определить вероятность того, что при этом решка выпадет 2 раза.
17. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна
0,003. Поступило 500 вызовов. Определить вероятность того, что будет более 2
«сбоев».
18. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых
испытаний равна 0,8. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет неравенству 80≤m≤90.
Индивидуальное задание 2
1.
Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Случайная величина Х - число проб при открывании замка (испробованный ключ в последующих
пробах не участвует). Найти 1) ряд распределения случайной величины X; 2) функцию распределения; 3) математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, коэффициент асимметрии и эксцесс распределения.
2.
Задана плотность распределения непрерывной случайной величины  :
f  ( x)  Acos( x) при x  -π / 2; π / 2, f  ( x)  0 при x  -π / 2; π / 2. Найти коэффициент A и функцию распределения F (x) ; построить графики f  (x) и F (x) ; найти
M ( ) , D( ) ,  ( ) , коэффициент асимметрии A( ) и эксцесс распределения E ( ) ;
найти вероятность попадания случайной величины в интервал (3;  / 4) .
3.
Задана функция распределения непрерывной случайной величины  :
0

F ( x)   Ax  B
1

при x   2,
при  2  x  4, Найти: а) постоянные А и В; б) плотность веропри x  4.
ятности f  (x) ; в) вероятность попадания случайной величины в интервал [-3; 1], г)
M ( ) , D( ) . Построить графики f  (x) и F (x) .
4.
Случайная величина X может принимать два значения: 2 и –2 с равной вероятностью. Найти характеристическую функцию случайной величины g t  и, используя ее, вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины
X.
5.
При записи программы на неисправном накопителе появляется в среднем 4
ошибки (поток ошибок предполагается простейшим). Какова вероятность безошибочной записи? Сколько раз в среднем надо записывать программу, чтобы получить
безошибочную запись?
6.
Вероятность выиграть хотя бы на один билет из 100 в лотерею равна 0,8.
Сколько в среднем из 100 билетов выигрышных? Каково наивероятнейшее число
выигрышных билетов? Предполагается, что вероятность выигрыша на каждый билет одинакова.
7.
Время работы элемента до отказа подчинено показательному закону распределения с параметром   2  10 5 ч-1. Найти среднее время между появлением двух
смежных отказов и вероятность безотказной работы к моменту среднего времени
после включения технического устройства.
8.
Коробки с шоколадом упаковываются автоматически: их масса есть нормальная случайная величина со средним 1.06 кг. Найти среднеквадратическое отклонение случайной величины - массы коробок, если известно, что 5% коробок имеют
массу меньше 1 кг.
9.
Случайная величина X распределена равномерно на интервале ( / 2,  / 2) .
Найти плотность распределения случайной величины Y  tg ( X ) .
10. Случайная величина  распределена равномерно на отрезке [ 2; 1] . Найти
плотность распределения случайной величины   1/ 2 .
Индивидуальное задание 3
1.
Двумерная случайная величина { ,} распределена равномерно в области D ,
ограниченной снизу осью OX , а сверху кривой y  Exp( x 2 ) . Найти совместную
плотность распределения f ξ ,η ( x, y ) , плотности распределения f  (x) и f ( y ) ,
условные плотности распределения f  ( x / y ) и f ( y / x) , основные числовые характеристики величин  и  , коэффициент корреляции между  и  .
2.
Пусть  и  — независимые случайные величины, причем  имеет равномерное на отрезке [–1, 1] распределение, а  имеет биномиальное распределение с
параметрами 2 и 1/2. Найти функцию и плотность распределения суммы    .
3.
Пусть X и Y – независимые случайные величины, имеющие показательные
распределения с параметрами 1 и 2 соответственно. Доказать, что случайные величины X  Y и min{ X , Y } независимы.
4.
Пусть ξ1 , ξ 2 ,, ξ n , независимые случайные величины. При любом k  1 величина ξ 2 k 1 имеет распределение Пуассона с параметром λ  3 , а величина
ξ 2 k  N 0,1 . Найти предел по вероятности последовательности (ξ1  ξ 2    ξ n ) / n .
5.
Дана последовательность независимых случайных величин ξ1 , ξ 2 ,, ξ n , .
Случайная величина ξ n ( n  0, 1, 2, ) может принимать два значения:  ln 2 n с вероятностями равными 1 / 2 . Удовлетворяет ли эта последовательность закону больших чисел Чебышева?
6.
Складывается 10 4 чисел, каждое из которых округлено с точностью до 10  m .
Предполагается, что ошибки от округления независимы и равномерно распределены
в интервале (  0.5 10  m , 0.5 10  m ). Используя центральную предельную теорему
найти пределы, в которых с вероятностью 0,99, будет лежать суммарная ошибка.
7.
Случайная величина  является средней арифметической независимых и одинаково распределенных случайных величин, среднеквадратическое отклонение
каждой из которых равно 2. Сколько нужно взять таких величин, чтобы случайная
величина  с вероятностью, не меньшей 0,92, имела отклонение от своего математического ожидания, не превосходящее 0,05. Решить задачу, используя а) неравенство Чебышева; б) центральную предельную теорему.
7.2.2 Образцы контрольных заданий
Контрольная работа 1
1. На отрезок [0,2] наудачу, независимо друг от друга, брошены две точки  и
 . Найти P(max(  ,2 )  1) .
2. Из колоды 36 карт выбирают три карты. Какова вероятность того, что среди
них окажутся два туза?
3. Три шарика случайным образом разбрасываются по пяти лункам. Каждый
шарик с равной вероятностью и независимо от других попадает в любую лунку. Определить вероятность того, что в первых трех лунках будет по одному
шарику.
4. В первой урне 5 белых и 3 черных шара, во второй - 3 белых и 4 черных.
Наудачу выбирается урна, и из нее 3 шара с возвращением. Найти вероятность того, что была выбрана первая урна, если все три шара оказались белыми.
5. Проведено 20 независимых испытаний, в каждом подбрасывается три монеты.
Определить вероятность того, что хотя бы в одном испытании появятся три
герба.
1.
Контрольная работа 2
Случайная величина  имеет непрерывное распределение с плотностью
A x2 , 0  x  3
. Найти постоянную A и вычислить P(|   M ( ) | 1) .
f  ( x)  
x  (0; 3)
0,
2.
Случайная величина  имеет нормальное распределение N 3, 8 . Какова вероятность, что из двух наблюдаемых значений этой величины одно меньше 2, а другое
больше 4?
3.
Число ошибок в каждой контрольной по теории вероятностей распределено по
закону Пуассона со средним равным 7. Сколько в среднем надо проверить контрольных, чтобы обнаружить работу, содержащую не более 2 ошибок?
4.
Случайная величина  имеет показательное распределение с параметром
  1. Найти закон распределения случайной величины   (  1) 2 .
5.
Случайная величина  принимает значение 0 с вероятностью 1/3, а остальные
значения  1;  2 с равными вероятностями. Нарисовать график функции распределения случайной величины |  | .
Контрольная работа 3
1. Пусть  и  - независимые случайные величины, имеющие биномиальное распределение с параметрами 2 и 1/2. Найти ряд распределения случайной величины min(  , ) .
2. Правильная монета подбрасывается трижды. Найти ковариацию числа гербов,
выпавших при первых двух подбрасываниях, и общего числа гербов при трех
подбрасываниях.
3. Пусть 1 ,  2 , - последовательность независимых одинаково распределенных
случайных
величин
с
плотностью
распределения
2  2 x, если x  [0, 1]
f ( x)  
. Доказать, что при n   последовательность
если x  [0, 1]
0,
случайных величин  n  max( 1 ,  2 ,,  n ) сходится по вероятности к 1.
4. Пусть  и  - независимые случайные величины,  имеет нормальное распределение N (1, 3) ,  имеет нормальное распределение N (2, 9) . Найти плотность
распределения случайной величины   2  3  1.
5. Сколько (минимум) необходимо взять случайных величин, распределенных по
показательному закону с параметром   1 / 6 , чтобы с вероятностью не меньшей 0,97 ожидать, что среднее арифметическое этих величин будет лежать в интервале [5,7; 6,3]. Решить задачу, используя а) неравенство Чебышева; б) центральную предельную теорему.
7.2.3 Образцы лабораторных работ
Лабораторная работа 1. Схема испытаний Бернулли, формула Бернулли, приближенные формулы Муавра-Лапласа и Пуассона (вычисление с использованием
статистических функций пакета EXCEL)
1. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна
0,003. Поступило 500 вызовов. Определить вероятность того, что будет более 2
«сбоев». Найти точное значение вероятности и приближенные значения, используя формулы Муавра-Лапласа и Пуассона. Сделать выводы о точности используемых приближенных формул.
2. Пара игральных костей подбрасывается 1000 раз. Найти вероятность того, что
сумма очков равная 12, выпадет не менее 30 раз. Найти точное значение вероятности и приближенное, используя формулу Муавра-Лапласа.
3. В партии из 100000 изделий имеется 500 дефектных. Из партии выбирается для
контроля 1000 изделий. Найти вероятность того, что среди них будет от 40 до 60
дефектных. Найти точное значение вероятности и приближенные значения, используя формулы Бернулли (предполагаем, что каждая деталь с равной вероятностью и не зависимо от остальных может оказаться дефектной), МуавраЛапласа и Пуассона.
4. Каждый из 240 абонентов АТС в любой момент времени может занимать линию
с вероятностью 1/40. Каково минимальное число линий должна содержать АТС,
чтобы вероятность потери вызова (занятости линии) не превосходила 0,005.
Лабораторная работа 2. Дискретные и непрерывные распределения. Расчет
числовых характеристик, вероятностей, используя статистические функции
пакета MATHEMATICA .
1.
Случайная величина ξ распределена по закону Пуассона с параметром λ  5 .
Вычислить по определению M (ξ ), D (ξ ) , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения.
2.
Найти по определению характеристическую функцию величины ξ , и, используя ее, вычислить M (ξ ), D (ξ ) .
3.
Найти P(3  ξ  17) , P(ξ  10) .
4.
Построить многоугольник и функцию распределения величины ξ .
5.
Случайная величина  имеет гамма распределение с параметрами α  2 ,
    1 x
x e , x0

λ  2 , с плотностью распределения f  ( x)   ( )
Вычислить по
0,
x0

определению M (ξ ), D (ξ ) , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения.
6.
Найти по определению характеристическую функцию величины ξ , и, используя ее, вычислить M (ξ ), D (ξ ) .
7.
Вычислить P(3  ξ  17) , P(ξ  10) .
8.
Построить графики плотности и функции распределения случайной величины
.
Лабораторная работа 3. Нормальное распределение и распределения, связанные
с нормальным законом. Расчет вероятностей, числовых характеристик через
статистические функции пакета EXCEL.
1) Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a  3 и
  2,6 . Найти:
а)
вероятность того, что  примет значение в интервале  1; 2  ;
б)
квантиль распределения уровня 0,8 5
в)
критическую точку распределения уровня 0,07
г)
интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором
с вероятностью 0,95 содержатся значения  .
2) Случайная величина  распределена по закону Стьюдента с числом степеней
свободы равным 7. Найти:
а)
вероятность того, что  примет значение в интервале  1; 2  ;
б)
квантиль распределения уровня 0,8
в)
критическую точку распределения уровня 0,1
г)
интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором
с вероятностью 0,95 содержатся значения  .
3) Случайная величина  распределена по закону хи-квадрат с числом степеней
свободы равным 10. Найти:
а)
вероятность того, что  примет значение в интервале (2; 7) ;
б)
квантиль распределения уровня 0,9
в)
критическую точку распределения уровня 0,05
г)
интервал, в котором с вероятностью 0,95 содержатся значения  , причем вероятность выхода  за нижнюю и верхнюю границу интервала одинакова.
Лабораторная работа 4. Системы случайных величин. Расчет числовых характеристик, вероятностей, используя статистические функции пакета
MATHEMATICA .
Двумерная случайная величина { ,} распределена равномерно в области D , ограниченной снизу осью OX , а сверху кривой y  Exp( x 2 ) . YНайти:, плотности распределения f  (x) и f ( y ) , условные плотности распределения f  ( x / y ) и f ( y / x) ,
основные числовые характеристики величин  и  , коэффициент корреляции
между  и  .Случайная величина ξ распределена по закону Пуассона с параметром λ  5 . Вычислить по определению M (ξ ), D (ξ ) , коэффициент асимметрии и
эксцесс распределения.
Найти совместную плотность распределения f ξ ,η ( x, y ) и построить график
1.
плотности совместного распределения величин  и  .
2.
Найти функцию распределения F , ( x, y ) системы { ,} и построить график
функции распределения.
3.
Найти плотности распределения f  (x) и f ( y ) , условные плотности распределения f  ( x / y ) и f ( y / x) величин  и  .
4.
Вычислить основные числовые характеристики величин  и  .
5.
Вычислить коэффициент корреляции между  и  .
6.
Найти вероятность попадания случайной точки { ,}
0    1, 0    0,5 .
в
область:
Лабораторная работа 5. Закон больших чисел Чебышева. Центральная предельная теорема.
Задан закон распределения F случайной величины  (закон задается преподавателем).
a)
Для каждого из n  {15, 60, 240, 960} , сгенерировать, используя генератор
случайных чисел пакета EXCEL, по 10 последовательностей из n значений величины  распределенных по закону F . Для каждой последовательности определить
1 n
среднее арифметическое значение: X   X i . Данные представить в виде таблиn i 1
цы:
Среднее арифметическое X
N посл-ти
n=15
n=60
n=240
n=960
1
2
…
10
X min
X max
W  X max  X min
Сделать выводы о сходимости среднего арифметического. Оценить изменение величины разброса W  X max  X min с ростом объема выборки.
b)
Если наблюдается сходимость среднего, используя центральную предельную
теорему определить для заданной в задании вероятности  и величины отклонения
 необходимое число N значений случайных величины, так, чтобы
P X  M ( )     . Проверить, сгенерировав 10 последовательностей значений


найденного объема N и подсчитав для каждой величину X  M ( ) .
7.2.4 Образец экзаменационного билета
Экзаменационный билет №1
Теория вероятностей
Семестр III Курс II ФТИ
1.
Центральная предельная теорема (доказательство).
2.
Колода карт (36 листов) делится случайным образом на две равные части.
Найти вероятность того, что в каждой пачке будет по два туза и два короля.
3.
Число ошибок в каждой контрольной по теории вероятностей распределено по
закону Пуассона со средним равным 7. Сколько в среднем надо проверить контрольных, чтобы обнаружить работу, содержащую не более 2 ошибок?
4.
Случайная величина  распределена по закону Стьюдента с числом степеней
свободы равным 7. Найти интервал, симметричный относительно математического
ожидания, в котором с вероятностью 0,95 содержатся значения  .
5.
Пусть величины ξ и η независимы и имеют распределение Пуассона с параметрами   3 и   2 соответственно. Найти математическое ожидание и дисперсию величины 7 ξ  η .
8. Рейтинг качества освоения дисциплины
Дисциплина
Теория вероятностей
Институт
Физико-технический
Кафедра
ВММФ
Семестр
III
Группы
13190
Преподаватель
Число недель - 18
Число кредитов - 4
Лекции - 36 час
Лаб. работы - 18 час
Практ. занятия – 36 час
Шинкеев Михаил Леонидович, доцент
Всего аудит.работы - 90 час
Самост.работа – 90 час
ВСЕГО - 180 час
Рейтинг-план дисциплины «Теория вероятностей»
Текущий контроль
1
Случайные события
Случайные
события.
Алгебра событий
Пространство
элементарных событий.
Алгебра событий
Индивидуальные задания по
разделам
дисциплины
ИДЗ 1,
задание
1
Итого
Название
лабораторных
работ
Баллы
Название
практических
занятий
Баллы
Название
лекции
Баллы
Тема
модуля
Практическая деятельность
Баллы
Недели
Теоретический материал
2
Вероятность
события.
3
Аксиоматика
теории вероятностей.
Лаб. раб. 1
Схема
испытаний Бернулли
Основные
теоремы теории вероятностей
Формулы
Лаб. раб. 1
Формулы
полной вероФормулы
полной вероятности и
Лапласа и
ятности
и
Байеса. СхеПуассона
Байеса. Схема
Бернулли
ма Бернулли
Контрольная
5
работа 1
Всего по контрольной точке № 1
4
5
5
Комбинаторный метод
вычисления
вероятностей.
Случайные величины
6
Законы распределения
случайных
величин.
Непрерывные случайные величины
Числовые
характеристики случайных величин.
Распределения Бернулли, биномиальное, геометрическое,
Пуассона
Распределения равномерное, показательное,
нормальное
Преобразования случайных величин
7
8
9
10
Дискретные
случайные
величины
Лаб. раб. 2
Дискретные случайные
величины
2
3
Лаб. раб. 2
Непрерывные
случайные
величины
5
Лаб. раб. 3
Распределения,
связанные
с нормальным
4
ИДЗ 1,
задания
7-13
2
2
ИДЗ 1,
задания
14-18
2
5
16
2
3
Преобразования случайных величин
Контрольная
работа 2
2
5
Непрерывные
случайные
величины
Основные
дискретные и
непрерывные
распределения
ИДЗ 1,
задания
2-6
2
ИДЗ 2,
задание
1
1
3
ИДЗ 2,
задания
2-4
2
2
ИДЗ 2,
задания
5-6
1
4
ИДЗ 2,
задания
7-8
2
2
ИДЗ 2,
задания
9-10
1
8
18
Всего по контрольной точке № 2
11
Системы случайных
величин.
Законы распределения
систем случайных величин
Законы распределения
систем случайных величин
ИДЗ 3,
задания
1-2
1
1
12
Числовые
характеристики системы случайных величин
Числовые
характеристики систем
случайных
величин
13
Функция
двух случайных величин.
Задача композиции
Многомерное нормальное распределение
Ковариация и
коэффициент
корреляции
14
Лаб. раб. 4
Законы
распределения систем сл.
величин
Функция
двух случайных величин
Лаб. раб. 4
Числовые
характеристики
систем сл.
величин
2
3
ИДЗ 3,
задания
1-2
1
3
ИДЗ 3,
задания
2-3
2
2
ИДЗ 3,
задания
2-3
1
4
Всего по контрольной точке № 3
15
16
Закон
больших
чисел и
центральная предельная
теорема
17
18
Последовательности
случайных
величин
Неравенство
Чебышева,
закон больших чисел
Чебышева
Центральная
предельная
теорема
Теорема МуавраЛапласа.
Теорема
Пуассона
Предел последовательности случайных величин
Неравенство
Чебышева,
закон Больших чисел
Чебышева
Центральная
предельная
теорема
Контрольная
работа 3
Лаб. раб. 5
Закон
больших
чисел
5
Лаб. раб. 5
Центральная предельная
теорема
10
3
2
ИДЗ 3,
задания
4-5
2
2
ИДЗ 3,
задания
4-5
1
4
ИДЗ 3,
задания
6-7
ИДЗ 3,
задания
6-7
2
2
1
8
Всего по контрольной точке № 4
16
Итоговая текущая аттестация
60
Экзамен
40
Итого баллов по дисциплине
100
Зав. Кафедрой
Преподаватель
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
9.1. Основная литература
1.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М. Высшая школа, 2002.
2.
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М. Высшая школа, 2000.
3.
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М. Наука, 1988.
4.
Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. - М. Наука, 1982.
5.
Боровков А.А. Теория вероятностей. – М. Наука,1986.
6.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М. Высшая
школа, 2001.
7.
Колмогоров А.Н., и др. Введение в теорию вероятностей. - М. Наука, 1982.
9.2. Дополнительная литература
1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. - М.
Высшая школа, 2002.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. - М. Высшая школа, 2004.
3. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей. - М. 1986.
4. Емельянов Г.В., Скитович В.П. Задачник по теории вероятностей и математической статистике. - М. 1982.
5. Михальчук А.А., Крицкий О.Л., Шинкеев М.Л. Статистический анализ экономических данных. Методические указания и индивидуальные задания к выполнению лабораторных работ в пакете Mathematica. - Томск, ТПУ, 2009.
6. Михальчук А.А., Крицкий О.Л., Трифонов А.Ю., Шинкеев М.Л. Теория вероятностей и математическая статистика. - Томск, ТПУ, 2010.
9.3. Internet-ресурсы
http://portal.tpu.ru - персональный сайт преподавателя дисциплины Шинкеева М.Л.
http://www.nsu.ru/mmf/tvims/ - сайт кафедры Теории вероятностей и математической
статистики НГУ.
http://www.mathnet.ru.ru/ - общероссийский математический портал
http://www.lib.mexmat.ru – электронная библиотека механико-математического факультета Московского государственного университета
10. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Освоение дисциплины производится на базе учебных аудиторий учебных корпусов ТПУ. Аудитории оснащены современным оборудованием, позволяющим проводить лекционные, практические занятия и лабораторные занятия.
Программа составлена на основе Стандарта ООП ТПУ в соответствии с требованиями ФГОС по направлению 231300 «Прикладная математика» и профилю подготовки «Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач».
Программа одобрена на заседании кафедры ВММФ ФТИ ТПУ ((протокол
№ ___ от «___» ____________ 2011 г.).
Авторы
доцент кафедры ВММФ ФТИ ТПУ Шинкеев М.Л.
Рецензент
доцент кафедры ВММФ ФТИ ТПУ Цехановский И.А.