Применение производной

Семинар 6.
По теме: «Применение производной».
10 класс.
2 часа.
Учитель математики МБОУ СОШ №3
Солдатова Л.В.
1
Цель семинара:
1. Сформировать у учащихся умение применять алгоритм
нахождения:





интервалов монотонности функции,
точек экстремума,
наибольшего и наименьшего значения функции,
решения задач на максимум и минимум,
исследовать с помощью производной функцию и построить график,
 запись уравнения касательной к графику функции.
2. Развивать логическое мышление и умение применять
теоретические знания в более сложных нестандартных заданиях.
3. Воспитывать у учащихся умение наблюдать, обобщать и делать
вывод.
Задачи семинара:
 закрепить вычислительные навыки,
 развивать навыки самостоятельной работы, работы в парах и группах,
 продолжить работать над развитием самостоятельного мышления,
развитию мыслительных операций: сравнения, анализа, синтеза,
обобщения, аналогии,
 развивать творческую способность.
Структура семинара:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
организационный момент,
фронтальная работа,
работа в четверках,
работа в парах,
фронтальная работа,
самостоятельная работа,
домашняя работа.
2
 Организационный момент.
Собрать домашнюю работу на проверку.
 Фронтальная работа.
1) Найдите критические точки функции у = 3𝑥 4 − 4𝑥 3 − 12𝑥 2 + 7.
2) Найдите промежутки монотонности функции у =
𝑥 2 +3х
х+4
.
3) Найдите точки экстремума функции у = (х + 1)2 (х + 5)2 .
4) Составьте уравнение касательной к графику функции у = √2х + 1, если её
1
угловой коэффициент равен .
3
5) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = 𝑥 2 − 3𝑥 2 − 45х + 1 на [−4; 6].
Решение:
1) Найдите критические точки функции у = 3𝑥 4 − 4𝑥 3 − 12𝑥 2 + 7.
у/ = 12𝑥 3 − 12𝑥 2 − 24х.
у/ = 0; 12𝑥 2 − 12𝑥 2 − 24х=0; 12х(𝑥 2 − х − 2) = 0; х ∈ {−1; 0; 2}.
Ответ: х ∈ {−1; 0; 2}.
2) Найдите промежутки монотонности функции у =
у/ =
(2х+3)(х+4)−(𝑥 2 +3х)
(х+4)2
=
2𝑥 2 +3х+8х+12−𝑥 2 −3х
(х+4)2
=
𝑥 2 +3х
х+4
𝑥 2 +8х+12
(х+4)2
.
.
(х + 6)(х + 2) > 0 х ∈ (−∞; −6) ∪ (−2; ∞)
; {
.
х ≠ −4
х ≠ −4
(х + 6)(х + 2) < 0 х ∈ (−6; −2)
у/ < 0; {
; {
.
х ≠ −4
х ≠ −4
Функция возрастает на ]−∞; −6] и [−2; ∞[.
Функция убывает на [−6; −4[ и ]−4; −2].
Ответ:функция возрастает на ]−∞; −6] и [−2; ∞[;
функция убывает на [−6; −4[ и ]−4; −2].
у/ > 0; {
3) Найдите точки экстремума функции у = (х + 1)2 (х + 5)2 .
у/ = 2(х + 1)(х + 5)2 + 2(х + 1)2 (х + 5) = 2(х + 1)(х + 5)(2х + 6)=
4(х + 1)(х + 5)(х + 3). х∈ {−5; −3; −1} - критические точки.
3
(−∞; −5)
_
↘
х
у/
у
(−5; −3)
+
↗
-5
0
min
(−3; −1)
_
↘
-3
0
max
(−1; ∞)
+
↗
-1
0
min
Ответ: 𝑥𝑚𝑖𝑛 = −5, 𝑥𝑚𝑖𝑛 = −1, 𝑥𝑚𝑎𝑥 = −3.
4) Составьте уравнение касательной к графику функции у = √2х + 1, если её
1
угловой коэффициент равен .
3
укас. = у(х0 ) + у
/ (х
1
0 )(х − х0 ).
/
у/ (х0 ) = ; у/ = (√2х + 1) =
3
1
√
1∗2
2√2х+1
=
1
;
√2х+1
1
= ; √2х + 1 = 3; 2х + 1 = 9; 2х = 8; х0 = 4.
2х+1
3
1
1
4
1
5
3
3
3
3
3
у(4) = 3; укас. = 3 + (х − 4) = 3 + х − = х + ;
или х−3у+5=0.
Ответ: х-3у+5=0.
5) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 45х + 1 на [−4; 6].
у/ (х) = 3𝑥 2 − 6х − 45;
у/ (х) = 0 3𝑥 2 − 6х − 45 = 0; 𝑥 2 − 2х − 15 = 0;
х = 5 ∈ [−4; 6]
х=-3 ∈ [−4; 6].
х
-4
-3
5
у
69
82
-174
max
min
6
-161
Ответ: max у(-3)=82 и min у(5)=-174.
[−4; 6][−4; 6]
 Работа вчетверках с последующей проверкой выполнения
задания.
Исследовать функцию с помощью производной и постройте её график.
8
У(х)=2𝑥 4 + 𝑥 3
3
У(х)=4𝑥 4 −
16
3
𝑥3
Проверка решения (смотри на экран).
4
2
4
1
D(y):R, E(y):[− ; ∞[
D(y):R, E(y):[− ; ∞[
2
3
4
Ни четная, ни нечетная
Не периодическая
Ни четная, ни нечетная
Не периодическая
5
𝑥 3 (х + 3) > 0; (−∞; − 3) ∪ (0; ∞);
𝑥 3 (х − 3) > 0; (−∞; 0) ∪ (3 ; ∞);
𝑥 3 (х + 3) < 0; (− 3 ; 0).
𝑥 3 (х + 3) < 0; (0; 3).
у/ (х) = 8𝑥 3 + 8𝑥 2 .
у/ (х) = 0, 8𝑥 3 + 8𝑥 2 = 0.
Х=0 и х=-1-критические точки.
(−∞; −1) -1 (-1;0)
х
/
_
0
+
у
2
у
↘
↗
-
у/ (х) = 16𝑥 3 − 16𝑥 2 .
у/ (х) = 0, 16𝑥 3 − 16𝑥 2 = 0.
Х=0 и х=1-критические точки.
(−∞; 0)
х
0
(0;1)
/
_
0
у
у
↘
0
↘
3
8
4
У=0; 2𝑥 4 + 𝑥 3 = 0; 2𝑥 3 (х + ) =
3
3
0;
Х=0 и х=-4/3.
4
4
4
6
3
3
7
8
9
(0;∞
+
↗
унаиб. − нетиунаим. (−1) = −
3
2
3
2
+
вогн.
3
-
2
3
0
2
(− ; 0
3
выпук.
//
0
(0;∞
+
вогн.
у
−4
3
3
унаиб. − нетиунаим. (1) = −
Изгиб. у = 24𝑥 + 16х.
у// = 0; 24𝑥 2 + 16х = 0.
2
Х=0 и х = 2
(−∞; − )
3
4
1
0
-4/3
(1;∞
+
↗
Дополнительные точки
1
1
У(2)=11 и у(-1)=9 .
3
//
4
4
Дополнительные точки
2
2
У(1)=4 и у(-2)=10 .
3
4
4
4
0
0
0
16
У=0; 4𝑥 4 − 𝑥 3 = 0; 4𝑥 3 (х − ) = 0;
3
3
Х=0 и х=4/3.
4
3
2
Изгиб. у = 48𝑥 − 32х.
у// = 0; 48𝑥 2 − 32х = 0.
2
Х=0 и х =
3
2
(−∞; 0)
2
0
(0; )
3
3
+
0
вогн.
выпук.
2
( ;∞)
3
+
вогн.
у
2
3
-1
−2
3
х
1
4
3
4
х
-
3
 Работа в парах.
Составьте уравнение касательной к графику функции у(х) в точке х0. .
5
1
1
У(х)=(2х−1)2 , где х0. = 1.
У(х)=(3х−2)2 , где х0. = 3.
Проверка решений на доске по одному ученику из пары. Другие делают
поправки на каждом этапе выполнения.
Решение:
Вариант 1
Вариант 2
У(1)=1
У(3)=1/49
4
6
/ (х)
−3
у
= −2 ∗ 2(2х − 1) = − (2х−1)3 . у/ (х) = −2 ∗ 3(3х − 8)−3 = − (3х−8)3 .
у/ (1) = −4.
укас. = 1 − 4(х − 1) = −4х + 5.
у/ (3) = −6.
укас. = 1/49 − 6(х − 3) = −6х +
1
18 .
49
 Фронтальная работа.
Задача.
Из всех прямоугольников с диагональю 18см найдите прямоугольник
наибольшей площади.
Решение:
х∈ (0; 18).
18
х
√182 − 𝑥 2
S=х√324 − 𝑥 2 - найти наибольшую.
𝑆 / (х) = √324 − 𝑥 2 +
х(−2х)
2√324−𝑥 2
=
324−2𝑥 2
√324−𝑥 2
.
𝑆 / (х) = 0;2𝑥 2 = 324; 𝑥 2 = 162; х = 9√2.
х
𝑆 / (х)
(0; 9√2)
+
9√2
max
(9√2; 18)
-
S(x)=S(9√2) = 162см2 .
Ответ: квадрат со стороной
9√2 имеет наибольшую площадь равную 162 см2 .
6
 Самостоятельная работа.
№
1
Вариант 1
Вариант 2
Написать уравнение касательной к заданной функции
1
2
У=(4х−11)2 , х0 = 3
У=√1 − 4х, к = −
3
2
Решите уравнение у/ = 0, если
У=(𝑥 2 − 6х + 5)2
У=(𝑥 2 − 2х − 3)2
3
Исследовать функцию и построить график
𝑥 2 −3
У=
𝑥 2 +3
У=
х−2
х+1
Взаимопроверка заданий.
Вариант 1.
1)у(3)=1;
−8
у/ (х) = ((4х − 11)−2 )/ = −2 ∗ 4(4х − 11)−3 = (4х−11)3.
у/ (3) = −8. укас. = 1 − 8(х − 3) = −8х + 25.
Ответ:укас. = −8х + 25.
2) У=(𝑥 2 − 6х + 5)2
у/ (х) = 2(𝑥 2 − 6х + 5)(2х − 6).
2
у/ (х) = 0; 2(𝑥 2 − 6х + 5)(2х − 6) = 0 [𝑥 − 6х + 5 = 0.
2х − 6 = 0
х=1
[ х = 5.
х=3
Ответ:{1; 3; 5}.
3) У=
𝑥 2 −3
х−2
=х+2+
1
𝑥 2 −3
У=
х−2
х+1
=х-1+
−2
х+1
7
2
3
4
D(y):(−∞; 2) ∪ (2; ∞),
E(y):]−∞; 2] ∪ [6; ∞[
Ничетная, ни нечетная
Не периодическая
У=0; 𝑥 2 − 3 = 0;
Х=√3 и х = −√3 .
Х=0 и у=1,5
D(y):(−∞; −1) ∪ (−1; ∞),
E(y):R.
Ни четная, ни нечетная
Не периодическая
5
(х−√3)(х+√3)
(х−√3)(х+√3)
1
х−2
(х−√3)(х+√3)
х−2
6
у/ (х) =
У=0; х = ±√3
Х=0 и х = - 3.
> 0; (−√3; √3) ∪ (2; ∞);
х+1
(х−√3)(х+√3)
< 0; (−∞; −√3) ∪ (√3; 2).
х−2
𝑥 2 −4х+3
.
(х−2)2
2
у/ (х) =
у/ (х) = 𝑥 − 4х + 3 = 0.
Х=3 и х=1-критические точки.
х
у/
у
(−∞; 1)
+
1
0
2
↗
(1;2)
-
2
у/ (х) ≠
(2;3)
-
↘
↘
3
0
6
> 0; (−√3; −1) ∪ (√3; ∞);
< 0; (−∞; −√3) ∪ (−1; √3).
𝑥 2 +2х+3
.
(х+1)2
𝑥 2 +2х+3
0, (х+1)2
> 0 − возрастающая.
(3; )
+
↗
7
Дополнительные точки
1
У(2,5)=8,5 и у(3,5)=66.
Дополнительные точки
1
У(-2)=-1и у(-3)=-3,у(1)=-1, у(2)=3
8
унаиб. − нетиунаим. − нет
унаиб. − нетиунаим. − нет.
9
Изгиб. у// = (х−2)3
1
−4
Изгиб. у// = (х+1)3
у// = 0; 24𝑥 2 + 16х = 0.
2
Х=0 и х = - 3
(−∞; 2)
2
(2;∞
0
+
Вып.
вогн.
(−∞; −1)
+
вогн.
у// ≠ 0;
-1
(-1;∞)
0
+
вогн.
у
у
6
√3
-√3
-1
2
-√3
1 √3 2
3
х
х
-3
8
Вариант 2.
Пример 1.
2
−2
3
√1−4х
у/ = − ; у/ =
;
−2
2
√1−4х
= − ; √1 − 4х = 3; 1 − 4х = 9; х0 = −2.
3
У(-2)=3.
2
2
4
2
5
3
3
3
3
3
укас. = 3 − (х + 2) = − х + 3 − = − х + ;2х+3у-5=0.
Ответ: 2х+3у-5=0.
Пример 2.
У=(𝑥 2 − 2х − 3)2 .
у/ (х) = 2(𝑥 2 − 2х − 3)(2х − 2).
х=3
2
у/ (х) = 0; 2(𝑥 2 − 2х − 3)(2х − 2) = 0 ; [𝑥 − 2х − 3 = 0; [х = −1.
2х − 2 = 0
х=1
Ответ:{−1; 1; 3}.
 Оцениваниеследующих работ: в парах, в группах, самостоятельная
работа.
Количество
5
4
3
1-2
заданий
оценка
5
4
3
2
 Домашняя работа: №: 316, 305(в, г), 302(в, г).
9