Министерство общего и профессионального образования Сверд- ловской области Государственное бюджетное образовательное учреждение

Министерство общего и профессионального образования Свердловской области
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования Свердловской области
«Екатеринбургский техникум отраслевых технологий и сервиса»
Математика
Курс лекций (прикладные разделы)часть2
Разработал преподаватель:
ЕТОТС
Е.В. Костылева
Екатеринбург
2014
3
ВВЕДЕНИЕ
Программа дисциплины “Математика”(прикладные разделы) часть 2 составлена с учетом государственных требований к минимуму содержания и
уровню подготовки выпускников всех специальностей среднего профессионального образования базового уровня.
Основная задача курса – обеспечение студентов математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения специальных дисциплин,
разработки курсовых и дипломных проектов, для профессиональной деятельности.
Программа и тематический план состоит из 3 разделов прикладного характера.
В результате изучения предмета студенты должны усвоить математические понятия, производить анализ задач, применять свои знания на практике.
В соответствии с учебным планом по дисциплине “Математика” предусмотрено выполнение контрольной работы.
Контрольная работа состоит из 10 вариантов. Студент должен выполнить тот вариант, номер которого соответствует последней цифре его порядкового номера в журнале. Если последняя цифра порядкового номера
соответствует нулю, то выбирается 10 вариант.
Контрольная работа выполняется в отдельной тетради с полями для заметок преподавателя.
Контрольная работа должна быть выполнена самостоятельно в полном
объеме и в строгом соответствии с заданиями. При выполнении контрольной работы не допускается механическое списывание теоретического материала из учебника, пособий или других источников.
Контрольная работа должна быть выполнена шариковой ручкой или с
помощью ПК, четко, грамотно, без неоговоренных исправлений, подчисток
или помарок.
В конце контрольной работы приводится список использованной литературы.
Все непонятные вопросы студент выясняет на консультации у преподавателя.
Методические указания содержат краткие теоретические сведения по
разделам программы. Примеры решения задач должны помочь студенту
при выполнении контрольной работы и подготовке к экзамену (зачету) по
вопросам.
В список рекомендованной литературы включены основные учебные
пособия.
4
СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ КУРСА И ТЕМАТИЧЕСКИЙ
ПЛАН
Раздел 1. Простейшие понятия теории множеств и
математической логики
Тема 1.1. Множества и операции над ними.
Тема 1.2. Понятия математической логики.
Студенты должны уметь: разделять элементы множеств на подмножества; производить операции над множествами; применять понятия математической логики к решению задач.
Раздел 2. Комбинаторика
Тема 2.1. Основные понятия комбинаторики.
Тема 2.2. Комбинации элементов с повторениями.
Студенты должны уметь: применять понятия комбинаторики (перестановки, размещения, сочетания) к решению задач; решать комбинаторные
задачи с повторениями элементов; применять правильно умножения к решению задач.
Раздел 3. Элементы теории вероятностей и математической
статистики
Тема 3.1. Вероятность события.
Тема 3.2. Основные теоремы теории вероятностей и их следствия.
Тема 3.3. Условная и полная вероятность события.
Тема 3.4. Случайные величины.
Тема 3.5. Статистические оценки неизвестных параметров.
Тема 3.6. Обработка результатов измерения методом наименьших квадратов.
Студенты должны уметь: определять вид события; определять вероятность события; определять полную и условную вероятность события; применять формулы Бернулли и Байеса к решению задач; определять математическое ожидание и дисперсию случайной величины; строить график закона распределения случайной величины; делать выборку; строить графическое изображение выборки: полигон и гистограмму; применять выборочные характеристики к решению задач; производить статистическую оценку
параметров; применять метод наименьших квадратов к решению задач;
строить прямую линию регрессии.
5
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
с краткими теоретическими сведениями по разделам программы и
примерами решения задач
Раздел 1. Простейшие понятия теории множеств и математической
логики
Следует четко определять множество и операции.
Множество необходимо представлять как соединение, совокупность,
собрание некоторых предметов, объединенных по какому-либо признаку.
Обозначают множество буквами А, В, С, ….
Примеры множеств:
 множество натуральных чисел (1, 2, 3 ...);
 множество букв алфавита (а, б, в, г ...);
 множество книг на полке и т.п.
Множество состоит из элементов.
Множества бывают конечные и бесконечные. Конечное множество содержит такое число элементов, которое можно подсчитать. В бесконечном
множестве конечный элемент неизвестен.
Примеры конечных множеств:
А = {1, 2, 3, 4}, В = {а, б, в, г, д}.
Примеры бесконечных множеств:
С = {1, 2, 3, 4, ... (п - 1), п, (п + 1) ...}.
Отношение элемента к множеству записывают с помощью символа 
(перечеркнутый символ  обозначает “не принадлежит”). Например,  
{  }; 4  {1, 2, 3}.
Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными (одинаковыми) А = В.
Часть множества называется подмножеством. В этом случае говорят,
что одно множество (В) содержится в другом (А) и пишут В  А или А  В.
Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом .
По определению пустое множество является подмножеством любого
множества.
Принадлежность элементов к каждому из данных множеств называется
пересечением множеств и обозначается символом .
6
АВ
А
В
Принадлежность элементов двух разных множеств к новому множеству,
образованному из них, называется объединение множеств и обозначается
символом . Например, {1; 2; 3}  {4; 5} = {1; 2; 3; 4; 5}.

А





В
=
С
Над множествами проводят следующие операции:
вычитание;
дополнение до множества;
прямое произведение двух множеств;
определение эквивалентных множеств;
упорядочивание множества.
Вычитание множеств (А \ В)
Примеры:
1) если А = {1; 2; 3; 4}, В = {1; 2}, то А \ В = {3; 4}
2) если А = {1; 2; 3}, В = {3; 4; 5; 6}, то А \ В = {1; 2}
3) если А = {1; 2}, В = {1; 2}, то А \ В = 
С
А
В
С=А\В
Дополнение до множества
Если А  В, то разность А \ В называется дополнением множества В до
множества А.
А
В
Дополнение множества
7
Например, дополнением множества целых чисел является множество
всех дробных чисел.
Натуральные числа
1, 2, 3, 4 ...
Нуль
0
Отрицательные числа
-1, -2, -3, -4 ...
Целые числа
Рациональные числа
(дроби)
1 1 6
; ; и т.п.
2 3 5
Иррациональные
числа
2 ; 3; 5
Действительные числа
Прямое произведение множеств
Прямым произведением множеств является упорядоченная пара элементов А  В.
Пример 1:
1) А  В = С
А – женский костюм, кофта, платье, мужской полувер.
В – бордовый, красный, синий, зеленый.
С – костюм женский; бордовый
полувер мужской; синий
платье; красное
кофта; зеленая и т.п.
2) А = {0; 1; 2; 3; ...}, В = {1; 2; 3; ...}
АВ
(0; 1), (0; 2), (1; 2), (1; 3), (2; 2), (3; 1) и т.д.
8
Эквивалентные множества
Множества, между которыми можно установить взаимно однозначное
соответствие, называют равносильными или эквивалентными. Обозначают А  В.
А
В
Такие множества применяют в функциональных зависимостях.
Способы установки эквивалентных множеств:
1. Установки связей;
2. Подсчет и сравнение числа элементов в каждом множестве.
Упорядочивание множества
Упорядочивание множества (элементов множества) – определение
порядка его элементов, входящих в множество и присвоение им номера.
Примеры:
1) Список группы (класса) по алфавиту;
2) Последовательность натуральных чисел и т.п.
В конкретных заданиях необходимо выполнять некоторые операции над
множествами, поэтому рассмотрим пример.
Пример 2:
Пусть А  2;5;7 В  2;4;7
1) Пересечение множеств: А  В  2;7 , т.к. элементы 2 и 7 входят в
множество А и В одновременно.
2) Объединение множеств: А  В  2;7;4;5 - новое множество содержит элементы А или В.
3) Вычитание множеств: А \ В  5, число (элемент) 4 не учитывается,
т.к. не входит во множество А. Множество, полученное от разности А \ В ,
должно содержать элементы, исключенные из множества А, с учетом таких
же элементов множества В.
4) Прямое произведение элементов: А  В  2;2; 2;4; 7;2; 7;7; 9;9 и
т.д.
9
Основные понятия математической логики
Утверждения, для которых имеет смысл говорить, истинны они или
ложны, называются высказываниями.
Утверждения (предложения), относительно которых нельзя сказать истинны они или ложны, называются высказывательной формой или предикантом. Например: 2х  5  70; а  0
Логические операции:
 отрицание
 создание сложных высказываний с применением союзов и частиц:
“и”, “или”, “если..., то...”, “не”
Отрицание - это такое высказывание р , которое истинно, если данное
высказывание р ложно, и ложно, если данное высказывание истинно.
р
и
л
р
л
и
р
1
0
р
0
1
- таблица истинности
И - истинно
Л - ложно
Союзом “и” определяется логическая операция – конъюнкция (связь,
союз). Обозначается символом p  q (“p и q”).
Союзом “или” определяется операция дизъюнкция (разобщение, различие). Обозначается символом p  q (“p или q”). Условно “+” - (  ), “  ” (  ).
Конъюнкция
pq
р
q
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
Таблица истинности
Дизъюнкция
pq
р
q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Таблица истинности
Понятия конъюнкции и дизъюнкции применяются при решении систем
неравенств и уравнений.
10
Раздел 2. Комбинаторика
При решении комбинаторной задачи следует четко определять вид комбинации элементов, т.е. операцию комбинаторики, вид соединения.
Комбинаторика - раздел математики, изучающий задачи выбора и расположения элементов из некоторого множества в соответствии с заданными
правилами. Распространенными задачами комбинаторики являются задачи
о числе размещений, перестановок и сочетаний элементов.
Одно из важных правил комбинаторики - правило умножения. Если
требуется выполнить одно за другим К действий и 1ое действие можно выполнить n1 способами, 2 ое – n2 способами, и т.д. до Кго действия, которое
выполняется nк способами, то все действия К можно вместе выполнить
n1  n2  n3..... nк способами.
Пример 3:
I. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 5,
6?
Решение:
Обозначим в числе разряды:
единицы А1
десятки А2
А4 А3 А2 А1
сотни А3
тысячи А4
Разряд тысяч (А4) может составить любая заданная цифра, кроме нуля,
т.к. нуля впереди числа быть не может. Разряды сотен (А3), десятков (А2) и
единиц (А1) могут составить все цифры без исключения.
Таким образом, для состава разряда тысяч существует три возможности,
т.е. каждая цифра может занять это место, кроме нуля, для разрядов сотен,
десятков и единиц – четыре возможности, т.е. каждая из четырех цифр может занять место этого разряда. Следовательно, количество всех четырехзначных чисел равно 3  4  4  4  192 способа.
II. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Решение:
При составлении трехзначного четного числа А3 А2 А1 из данных цифр
вместо А3 можно взять любую из них (7 возможностей), вместо А1 можно
взять любую из цифр 0, 2, 4, 6, (4 возможности).Число является четным,
если в конце его стоит 0 или четное число. Согласно правилу умножения
получаем: 6  7  4  168 способов. Значит, можно составить 168 четных трехзначных чисел.
11
Виды соединений комбинаторики
При выборе n элементов из m различных элементов принять говорить,
что они образуют соединение (комбинацию) из m по n. В зависимости от
того, имеет ли значение порядок элементов в соединении или нет, а также
от того, входят в соединение все m элементы или только часть их, различают три вида соединений.
I. Соединения, каждое из которых содержит n различных элементов,
взятых в определенном порядке, называются перестановками из n элементов. Обозначаются Pn = n!
Для любого натурального числа n произведения 1  2  3....  n обозначается
n! (читается “эн факториал”), т.е. n! = 1  2  3....  n считается 0! = 1; n!  0
Пример 4:
Дано: а, в, с. Составить и подсчитать число всех перестановок букв
Решение:
Все перестановки букв имеют вид: авс, асв, вас, вса, сав, сва. Их количество равно Р3 = 3! = 1*2*3 = 6.
II. Соединения, отличающиеся друг от друга составом элементов ил их
порядком, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m различных элементов, называются размещениями из m элементов по n. Обозначается А nm , вычисляются по формулам А nm  m  m  1  m  2….-n множиm!
телей или A nm 
mn
m  n !
Пример 5:
Сколько всего семизначных телефонных номеров, в каждом из которых
ни одна цифра не повторится, можно составить?
Решение:
Т.к. внутри телефонного номера важен порядок расположения цифр, и
принят ряд из десяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то количество телефонных номеров составляет:
10!
10! 1  2  3  4  5  6  7  8  9
7
А 10



 607800
или
10  7 ! 3!
1  2  3
7
А10
 10  10  110  210  310  410  510  6  10  9  8  7  6  5  4 
 607800
7 множителей
Внутри размещения важен порядок!
12
Соединения, отличающиеся друг от друга по крайней мере одним элементом, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m различных
элементов, называются сочетаниями (выборками). Обозначаются C nm , выm!
числяются по формуле Cnm 
mn
n!m  n !
Внутри сочетания порядок не важен!
Пример 6:
Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги из 8 имеющихся?
Решение:
Поскольку не указан порядок выбора книг (по названию, по автору), то
выборка читателя составляет:
8!
8! 1  2  3  4  5  6  7  8
C83 


= 56 (способов)
3!8  3! 3!5! 1  2  3  1  2  3  4  5
Свойства сочетаний Cmm  1; C0m  1 , С1m  m; C nm  C nmm , m  n
Комбинации элементов с повторениями
Во множествах, в которых имеются повторяющиеся элементы, можно
производить число перестановок с повторениями по формуле:
n!
,
Pn 
K1!K 2 !K 3!...  K n !
где:
К1 – количество элементов одного вида;
К2 – количество элементов другого вида;
К3 – количество элементов третьего вида;
…….
Кn – количество элементов n-го вида;
Пример 7:
Сколькими способами можно переставить буквы в слове
МАТЕМАТИКА?
Решение:
К1 = 2 (буква М)
К2 = 3 (буква А)
К3 = 2 (буква Т), остальных видов букв по одной. Всего букв в слове 10.
10!
Р 10 (2,3,2,1,1,1) 
 151200 (способов)
2!3!2!1!1!1!
13
Раздел 3.Элементы теории вероятностей и математической
статистики
При решении задач по теории вероятностей следует четко определять
вид события и его характеристики. Обозначают события: А, В, С, или А1,
А2, А3,….Событие, которое всегда произойдет в результате опыта - достоверное событие (U). Событие, которое не произойдет в результате опыта –
невозможное событие (V). События А и В называются равносильными
(равными), если А происходит тогда и только тогда, когда происходит событие В (А = В).
Для каждого события А можно рассматривать событие, заключающиеся
в том, что событие А не произошло. Обозначают А и А , А – событие прямого характера, А - событие обратного характера.
Суммой (объединением) событий называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно событие из
множества А  В А “или” В.
Произведение (перечислением) событий называется событие, которое
происходит, когда происходят события одновременно А  В А “и” В.
События А и В называется несовместными, если А  В = U.
Несовместные события образуют полную систему событий. Вероятность события А обозначается Р (А).
Вероятностью Р (А) события А называется отношение числа всех благоприятствующих исходов к числу всех исходов в опыте. Исход – результат
опыта.
Пример 8:
Игральную кость подбрасывают один раз: событие А – выпало число
очков кратное 3; событие В – выпало простое число; событие С – выпало 7
очков; событие Д – выпало число очков меньше 7.
Решение:
Число всех исходов опыта 6, т.к. игральную кость подбрасывают один
раз, если два раза – 62, три – 63, n раз – 6n.
Для события А благоприятствуют 2 исхода (числа 3 и 6).
Для события В - 3 исхода (числа 1, 3, 5).
Для события С - 0 исходов (чисел всего 1, 2, 3, 4, 5, 6).
Для события Д-6 исходов (любое число очков на грани кости меньше 7).
 2 1
m n  все исходы
Р( А)   
  ;
n m  благоприятствующие исходы  6 3
14
Р(В) 
Д
3 1
0
 ; Р(С)   0
6 2
6
6
1
6
Вероятность события следует выражать в процентах, если это позволяет
1
дробь. Например:  0,5  50% . За 100% принимают 1.
2
Свойства вероятности
1) 0  Р( А )  1 Вероятность неотрицательное число, меньшее, либо
равное единице.
0
2) Р( V )   0 Вероятность невозможного события равна нулю.
n
n
3) P( U)   1 Вероятность достоверного события равна единице.
n
Пример 9:
Среди 100 ламп – 5 бракованные. Какова вероятность того, что выбранные на удачу 3 лампы окажутся исправными?
Решение
100 – количество всех ламп;
5 – бракованные лампы;
95 – исправные лампы.
3
Выбор 3 ламп из 100 осуществляется C 100
способами – все исходы; вы3
бор 3 исправных ламп осуществляется C 95 способами – благоприятствующие исходы. Порядок выбор ламп не важен.
3
95  94  93
С
Р  395 
 0,86, т.е.  86%
100

99

98
С100
Пример 10:
При игре “Спортлото” отмечаются 6 номеров из 49. Во время тиража
определилось 6 выигрышных номеров. Какова вероятность того, что удалось угадать 3 выигрышных номера?
Решение:
Число благоприятствующих исходов следует определять с учетом выигрыша и проигрыша. Если 3 выигрышных номера, то 3 оставшихся из 6 могут быть проигрышными, тогда:
15
m  C 36  C 343 (благоприятствующие исходы) - всего 49 билетов, если 6
выигрышных, то 43 проигрышных.
Событие “выигрыш” и “проигрыш” происходит одновременно.
n  C649 - число всех исходов.
С 36  С 343
6! 43! 6!43!
Р



 0,0176  1,76% , применяемая формула
С 649
3!3! 3!40! 49!
m!
С nm 
n!m  n !
Основные теоремы и формулы теории вероятностей
Теорема 1: Вероятность суммы двух несовместимых событий равна
сумме вероятностей каждого события.
Р  А  В  РА   РВ
Следствие 1: Сумма вероятностей противоположных событий равна
единице.
РА   Р А  1
Следствие 2: Вероятность суммы попарно несовместных событий равна
сумме вероятностей этих событий.
РА1  А 2  А 3 ......  А n   РА1   РА 2   РА 3   ...  РА n 
 
Теорема 2: Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме
вероятности событий без вероятности их произведения.
РА  В  РА   РВ  РА  В
Совместные события происходят в одно время, но в разных местах или в
одном месте, но в разное время. Слово “место” заменяют на “опыт” (испытание).
Теорема 3: Для условной вероятности Р (А/В) справедлива формула:
РА  В
РА В 
РВ
Пусть А и В – два случайных события одного и того же испытания, тогда условной вероятностью события А или вероятностью события А при
условии, что наступило событие В называется число Р (А/В). Говорят, вероятность события А при условии, что произошло событие В. “/” – обозначает “при условии”.
16
Теорема 4: Вероятность произведения двух независимых событий равна
произведению вероятностей этих событий.
РА  В  РА   РВ
Эта же теория справедлива для нескольких независимых событий в совокупности.
Пример 11:
I. В ящике 10 ламп по 15 Вт, 10 – по 25 Вт, 15 – по 60 Вт и 25 – по 100
Вт. Определить вероятность того, что взятая лампа имеет мощность более
60 Вт, если известно, что число Ватт на взятой лампе четное.
Решение:
Событие А – лампа имеет мощность более 60 Вт. Событие В – число Вт
на лампе четное.
Более 60 Вт – это 100 Вт. Четное число 60 или 100 (всего 40 ламп).
25 5
РА  В  РА  В 

60 12
40 4 2
РВ 
 
60 6 3
Р А  В  5  3 5
РА В 


Р В 
12  2 8
Событие А/В – лампа имеет мощность более 100 Вт и число Вт на ней
четное.
II. Участок цепи МN состоит из n последовательно соединенных элементов, каждый из них работает независимо от остальных. Известна вероятность невыхода из строя за определенный промежуток времени (надежность) каждого элемента: р1, р2,…..рn. Найти вероятность исправной работы
всего участка цепи (надежность участка):
M
N
1
2
n
………
Решение:
Аi – исправная работа i-го элемента; i – 1, 2, 3,…..n.
Чтобы весь участок цепи работал, необходима работа каждого элемента,
тогда надежность схемы, событие А, состоит в нормальной работе всех
элементов одновременно.
А  А1  А2  А3  ....Аn
"" 
События А1, А2, А3,…… Аn независимы, значит:
РА  РА1   РА2   РА3   .....РАn   р1  р2  р3  .......рn
17
III. Участок электрической цепи состоит из n параллельно соединенных
элементов, каждый из которых работает независимо от остальных. Вероятность исправной работы каждого рi. Найти надежность схемы.
Решение:
р – элемент работает исправно.
q = (1-p) – элемент неисправен.
1
M
N
2.
.
.
n
Аi – надежная работа i-го элемента.
р – прямое событие, А – надежность работы схемы.
q – обратное событие.
Для удобства решения задачи применим противоположные события
А и А.
А  А1  А 2  А 3  ........А n - выход участка цепи из строя;
РА   РА1   РА 2   РА 3   ......  РА n  - вероятность выхода участка цепи
из строя.
РА   1  РА  , т.к. сумма вероятностей противоположных событий
равна 1.
РА   1  РА   1  1  р1   1  р 2   1  р 3   .....  1  р n   1  q 1  q 2  q 3  ....  q n
Полная вероятность события
Если событие А может наступать только вместе с одним из попарно
несовместимых событий Н1, Н2, Н3,….Нn (гипотезами), то для определения
полной вероятности события применяется формула:
РА   РА Н 1   РН 1   РА Н 2   РН 2   РА Н 3   РН 3   ...
...  РА Н n   РН n    РА Н i   РН i 
n
i 1
Гипотеза – утверждение, требующее доказательства или опровержения.
Статистическая гипотеза – гипотеза о вероятностных закономерностях, которым подчиняется рассматриваемое случайное явление.
18
Пример 12:
Имеются три партии ламп по 20, 30, и 50 шт. в каждой. Вероятность того, что лампы проработают заданное время для 1 партии – 0,7; для 2 – 0,8;
для 3 – 0,9. Определить вероятность того, что выбранная наугад лампа проработает заданное время.
Решение:
Номер партии
1
2
3
Всего
Количество шт.
20
30
50
100
Надежность
0,7
0,8
0,9
Гипотезы:
Н1 – лампа принадлежит 1 партии;
Н2 – лампа принадлежит 2 партии;
Н3 - лампа принадлежит 3 партии;
А – лампа проработает заданное время;
20
30
РН 1  
 0,2  20%
РН 2  
 0,3  30%
100
100
50
РН 3  
 0,5  50%
100
А/Нi – лампа проработает заданное время при условии, что принадлежит
-ой
i партии (надежность) (i = 1, 2, 3.)
РА Н1   0,7 РА Н2   0,8 РА Н3   0,9
РА   0,7  0,2  0,8  0,3  0,9  0,5  0,83  83%
Формула Байеса
Когда требуется узнать, к какой партии конкретно принадлежит продукция или проверить некоторую гипотезу, то применяют Формулу Байеса.
РН i   РА Н i 
РН i А   n
 РА Н i   РН i 
i 1
i  1,2,3,....n.
Пример 13:
Партия деталей изготовлена тремя рабочими. 1 рабочий изготовил 25%
всех деталей, 2 – 35%, 3 – 40%. Брак составляет для 1 рабочего 5%, для 2 –
4%, для 3 – 2%. Выбранная для контроля деталь оказалась бракованной.
Какова вероятность того, что она изготовлена вторым рабочим.
19
Решение:
Рабочие
1
2
3 Всего
Количество
25 35 40
100
деталей (%)
Брак (%)
5
4
2
% приводим при решении задачи в числах.
Н1 – деталь изготовлена 1 рабочим;
Н2 – деталь изготовлена 2 рабочим;
Н3 - деталь изготовлена 3 рабочим;
Р (Н1) = 0,25, т.к. 1 рабочий изготовил 25% всех деталей;
Р (Н2) = 0,35, т.к. 2 рабочий изготовил 35% всех деталей;
Р (Н3) = 0,4, т.к. 3 рабочий изготовил 40% всех деталей;
А – выбранная деталь бракованная.
А/Нi – выбранная деталь бракованная, при условии, что изготовлена i-ым
рабочим (i = 1, 2, 3)
Р (А/Н1) = 0,05, т.к. брак 1 рабочего 5%;
Р (А/Н2) = 0,04, т.к. брак 2 рабочего 4%;
Р (А/Н3) = 0,02, т.к. брак 3 рабочего 2%;
РН 2   РА Н 2 
РН 2 А  

РА Н1   РН1   РА Н 2   РН 2   РА Н 3   РН 3 

0,35  0,04
28

 0,41  41%
0,25  0,05  0,35  0,04  0,4  0,02 69
Формула Бернулли
Для определения вероятности повторяющихся событий применяют
формулу Бернулли:
n к
Р n К   Скn рк 1  р  Скn рк  q nк , где
n – число всех событий (опытов);
к – число повторяющихся событий (опытов);
Скn - число сочетаний из n по к;
р – вероятность события прямого характера, удачного завершения опыта;
q – вероятность обратного события.
Пример 14:
По мишени производится пять выстрелов, вероятность попадания при
каждом выстреле равна 0,8. Какова вероятность того, что мишень будет поражена тремя выстрелами..
20
Решение:
n – число всех опытов;
к – число опытов, при которых мишень будет поражена;
р – вероятность удачного завершения опыта (0,8);
q – вероятность промаха (1-0,8 = 0,2).
5!
1  2  3  4  5
Р 5 3  С 35  0,8 3  0,2 2 
 0,8 3  0,2 2 
 0,8 3  0,2 2 
3!(3  2)!
1  2  3  1
 0,4096  40,7%
Вероятности, вычисляемые по формуле Бернулли, являются коэффициентами многочлена:
q  px n   Ckn  q nk  p k   X K   Pn K   X K
n
n
k 0
k 0
Этот многочлен применяется, когда требуется определить такие значения К, при которых величина СКn q n K p К (при n = const), принимает
наибольшее значение.
Случайные величины и их характеристики
Случайной величиной называется переменная величина, которая может
принимать, те или иные значения в зависимости от случая (№ опыта), обозначается X, Y, Z.
Случайные величины делятся на прерывные (дискретные) и непрерывные.
Дискретная случайная величина принимает конечное значение.
Закон распределения случайной величины – формула, связывающая
значение случайной величины и ее вероятность. Этот закон выражается
таблицей.
xi X1 X2 …… Xn
pi P1 P2 …… Pn
По данным таблицы строят график зависиимости.
События X = xi, i = 1, 2, 3,…..n или i = 0, 1, 2, 3,…..n независимы, поэтому они образуют полную систему событий.
р1 + р2 + р3 …+ рn = 1
n
 pi  1
i 1
Если вероятность вычисляется по формуле Бернулли, то распределение
называется биномиальным, и всегда имеет наибольшее значение.
21
Пример 15:
Монету подбрасывают 5 раз. Составить закон распределения случайной
величины X – числа выпадения герба.
Решение:
Герб может выпасть 1 раз, 2 раза, 3 раза, 4 раза, 5 раз и ни разу (0 раз).
Случайная величина Х принимает значение Х = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Так как монета имеет две стороны, то выпадение герба равно выпадению решки, т.е. вероятность появления герба равна 50% (0,5) (р).
1
р = 0,5, q = 0,5 =
2
k
k
Pn K   C n  p  q n  k
PA 5, 0   из 5 раз герб не выпал ни разу;
РА 5,1   из 5 раз герб выпал один раз; и т.д.
РА 5,0  
n5
k0
5
 C p q
0
5
50
0
1
1
 11   
32
2
4
n5
1 1
5
1
1
5 1
РА 5,1  
 C5  p  q  5     
k 1
2 2
32
РА 5,2  
n5
РА 5,3  
n5
РА 5,4  
n5
k2
k3
k4
 C p q
2
5
2
 C p q
3
5
3
53
 C p q
4
5
4
5 2
5 4
2
3
3
2
4
1
5!  1   1 
10

    
3!2!  2   2 
32
5!  1   1 
10

    
2!3!  2   2 
32
5!  1   1 
5

    
1!4!  2   2 
32
5
0
n5
1
1 1
5
5
55
РА 5,5  
 C5  p  q  1      
k5
32
2 2
Закон распределения имеет вид :
Xi
0
1
2
3
4
5
5
10
5
1
10
1
Pi
32
32
32
32
32
32
5
1
5 10 10 5
1
 pi        1
32 32 32 32 32 32
i 0
10
Pmax 
32
22
Pi
0,35000
0,30000
0,25000
0,20000
0,15000
0,10000
0,05000
0,00000
0
1
2
3
4
5
Xi
Математическим ожиданием (MX) случайной величины Х называется число, равное сумме произведений всех значений случайной величины
на вероятности этих значений.
n
МХ   Х к Р к
к 0
Хк – значение случайной величины
Рк – вероятность.
Пример 16:
Случайная величина задана законом:
xi 1 2 3 4 5 6
pi 1 1 1 1 1 1
6 6 6 6 6 6
1
1
1
1
1
1 21
 2  3  4  5  6 
 3,5
к 1
6
6
6
6
6
6 6
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание
квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
2
ДХ   М  Х  МХ 
Дисперсия – рассеивание. Дисперсию можно выразить в формуле:
6
МХ   Х к Р к  1 
Д(Х)   X i  MX  p i из предыдущего примера следует:
n
2
i 1
pi 
1
6
х 1  1; х 2  2; х 3  3; х 4  4; х 5  5; х 6  6; МХ  3,5
Вычислим ДХ =
2
1
6
1
6
2
2
 X i  MX  p i  1  3,5   2  3,5  
6
i 1
2 1
2 1
2 1
2 1
 3  3,5   4  3,5   5  3,5   6  3,5   2,917
6
6
6
6
Математическое ожидание случайной величины, распределенной по биномиальному закону с параметрами n и p, равно n  p
23
MX = np
Дисперсия такой величины находится в формуле: ДХ = npq
Пример 17:
Найти математическое ожидание числа бракованных изделий из партии
10000шт., если каждое изделие может быть бракованным с вероятностью
0,005.
Решение:
МХ  10000  0,005  50
Понятие о законе больших чисел
Закон больших чисел утверждает: для любого числа  вероятность того, что частота наступления события А в серии из n опытов отклоняется от
вероятности р, с которой А происходит в отдельном опыте, не меньше, чем
на  , с ростом n стремиться к нулю
k

  p    0
lim
P
n   n

С вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать,
что при достаточно большом числе независимых опытов (n) частота появk
ления события   мало отличается от вероятности события в отдельном
n
опыте.
Закон больших чисел лежит в основе многих статистических явлений:
рождаемость, планирование ассортимента с учетом спроса, определение качества продукции и т.п.
Выборки и выборочные распределения
На практике часто применяются выборочные исследования. При таком
исследовании из всей совокупности явлений отбирают определенное число
явлений (объектов). Вся совокупность называется генеральной совокупностью. Следует четко определять выборку и ее характеристики.
Выборкой называется совокупность случайно отобранных объектов из
генеральной совокупности.
Число объектов выборки называется объемом выборки.
Разность между наибольшим значением числовой выборки и ее
наименьшим значением называют размахом выборки.
24
Выборку, представляющую собой неубывающую последовательность
чисел, называют вариационным рядом.
Пример 18:
Дана выборка:
1, 10, -2, 1, 0, 1, 10, 7, -2, 10, 10, 7.
Записать ее в виде вариационного ряда и найти ее размах.
Решение:
Представим выборку в виде неубывающей последовательности, min –2, 2, 0, 1, 1, 1, 7, 7, 10, 10, 10,10 max. Полученная последовательность – вариационный ряд. Размах выборки равен 10 – (-2) = 12.
Если величина х1 в выборке встречается n1 раз, х2 – n2 раз, …, значение
хк – nк раз, то числа n1, n2, nк называются частотами, а их отношения к объему выборки (n) называется относительными частотами соответствуюn n
n
щих значений х1, х2, х3…. хn; 1 , 2 ,... k .
n n
n
Сумма частот равна объему выборки (n). Сумма относительных частот
n n
n
равна единице. n 1  n 2 ....  n k  n; 1  2 .....  k  1. Последовательность
n
n
n
пар x1 ; n1 ; x 2 ; n 2 ;.....x k ; n k ; называется статистическим рядом. Статистический ряд записывается в виде таблицы:
Х1 Х2 ….. Хi ….. Хk
N1 N2 ….. Ni ….. Nk
Выборочное распределение задают таблицей величин и их относительных частот.
Х1
Х2
… Хi
… Хk
N1/N N2/N … Ni/N … Nk/N
Пример 19:
Для выборки 3, 8, -1, 3, 0, 5, 3, -1, 3, 5 определить объем, размах, вариационный ряд, статистический ряд, выборочное распределение.
Решение:
Объем выборки n = 10.
Вариационный ряд: -1, -1, 0, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 8.
Размах 8 – (-1) = 9
Статистический ряд: (-1, 2), (0, 1), (3, 4), (5, 2), (8, 1).
Таблица статистического ряда (i = 1, 2, 3, 4, 5):
Хi -1 0 3 5 8
Ni 2 1 4 2 1
25
Сумма частот 2 + 1 + 4 + 2 + 1 = 10
Относительные частоты и выборочное распределение запишем в виде
таблицы:
Хi
-1
0
3
5
8
Ni/N 2/10 1/10 4/10 2/10 1/10
Сумма относительных частот 2/10 + 1/10 + 4/10 + 2/10 + 1/10 = 1.
Полигон частот – ломаная линия с вершинами в точках (х1;n1),
(х2;n2)… (хк;nк).
Полигон относительных частот – ломаная с вешинами в точках
(х1;n1/n), (х2;n2/n)…. (хк;nк/n). Полигон относительных частот получается
путем сжатия вдоль оси ОХ в n раз, где n – объем выборки. Для предыдущего примера 19 полигон частот имеет вид:
Полигон частот для примера 19
5
4
Ni 3
2
1
0
-1
0
3
5
8
Xi
Для построения полигона необходимо определить: объем выборки, частоту, относительную частоту, записать данные в статистический ряд или в
таблицу выборочного распределения.
Гистограмма частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых являются частичные промежутки длины h, а
высотами отрезки длины Si/h, где Si – сумма частот значений выборки, попавших в iый промежуток. Площадь гистограммы равна объему выборки.
Целесообразно для практических задач брать 10 – 20 частичных промежутков.
Гистограмма относительных частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых являются частичные промежутки длины h, а высотами отрезки длины Wi/h, где Wi – суммы относительных частот значений выборки, попавших в iый промежуток. Площадь
такой гистограммы равна 1.
26
Пример 20:
В результате измерения напряжения (в вольтах) в электросети получена
выборка: 218, 221, 215, 224, 220, 220, 222, 230, 218, 223, 216, 224. Построить гистограмму частот, взяв число частичных промежутков равное 5.
Решение:
1) Объем выборки n = 12;
2) Наибольшее значение выборки 230;
3) Наименьшее значение выборки 215;
4) Число частичных промежутков k = 5;
5) Длина частичного промежутка
X max  X min 230  215

3
K
5
6) Кратность значений выборки, попавших в каждый промежуток:
I 215;218  2215,216
II 218;221  4218,218,220,220 
III 221;224  3221,222,223 IV 224;227   2224,224
V 227;230  1230
[ - значение входит в промежуток;
) – значение не входит в промежуток.
S
Высота столбика H  i
hi
4
1
2
1
I II 3
3
3
3
2
1
1
III IV V 3
3
3
Гистограмма
1,5
Hi
1
0,5
0
Xi
Выборочные характеристики
Выборочным математическим ожиданием или выборочным средним – называется среднее арифметическое значение выборки Х .
х  х 2 .....  х n 1 n
Х 1
  Xi
n
n i1
27
1 k
Если выборка задана статистическим рядом, то Х   n i x i
n i1
Выборочная дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонения значений выборки от выборочного среднего S0  .
S0
x

 

2
1
2

 x  x 2  x ....  x n  x
n
выборка
задана

2


2
1 n
  xi  x
n i1
статистическим
Если
рядом,
то
k
2
2
1
S 0   k i x i  x , S 0  x 2   x , х 2  - среднее квадратов значение, х n i 1
выборочное среднее.


Несмещенная выборочная дисперсия
n
 S0
n 1
S0 - выборочная дисперсия;
n – объем выработки.
2
1 n
S
 xi  x
n  1 i1
S


Пример 21:
Для выборки: 4, 5, 3, 2, 1, 2, 0, 7, 7, 3. Найти выборочное среднее х , выборочную дисперсию S0, несмещенную выборочную дисперсию S.
Решение:
n = 10
4  5  3  2 1 2  7  7  3
x
 3,4
10
4 2  52  32  2 2  12  2 2  7 2  7 2  32
2
x  
 16,6
10
S0  16,6  3,4 2  5,04
S
10
 5,04  5,6
10  1
Пример 22:
Выборка задана статистическим рядом:
Xi -1 0 3 5 8
Ni 2 1 4 2 1
Найти: x , S0 , S.
N = 10 (2 + 1 + 4 + 2 + 1) = 10
28
Решение:
2   1  4  3  2  5  1  8
х
 2,8
10
2
2

1  2 1  2,8  10  2,8
  7,36
S0 
10   43  2,82  25  2,82  18  2,82 
10
10
S
 7,36   7,36  8,18
10  1
9
Статистические оценки неизвестных параметров
Приближенное значение параметра а, вычисленное каким-либо способом по значениям выборки (х1,х2,… хn), в статистике называют точечной
оценкой этого параметра а и обозначают a n .
Точечная оценка параметра a n называется несмещенной, если математическое ожидание оценки равно а.
1 n
Ma n  a n MX  a n  x   x i
n i1
Если Ma n  a оценка называется смещенной. Оценка a n называется состоятельной, если для любого числа   0
lim P a n  a     1
n 


Использование состоятельных оценок обеспечивает сближение оценки с
оцениваемыми параметрами при увеличении объема выборки.
Дисперсия a n вычисляется по формуле:
2
1 n
ДХ  а n  S 
 xi  x
n  1 i 1
2
1 n
S 0   x i  x - смещенная оценка для ДХ.
n i 1




Интервальные оценки
Ра  а1 ; а 2   
а1,а2 – доверительные границы;
(а1;а2) – доверительный интервал;
 - доверительная вероятность (надежность оценки)
29
а1 
k x k  n  k 
 
n n
n
k x k  n  k 
 
n n
n
где к – число наступлений события а в n опытах, а х – корень уравнения
1 х  t2

Ф 0 х  
е
dt


2
2 о
Эти формулы применяют при n50, k5, n  k5.
а2 
2
Пример 23:
С автоматической линии было отобрано и проверено 400 деталей. 10 деталей оказались бракованными. Найти доверительный интервал, накрывающий с надежностью   0,9 , неизвестную вероятность изготовления бракованной детали.
Решение:
n  400
k  10
  0,9
0,9
Ф 0 х  
 0,45
2
Ф0(х) – находим по таблице Лапласа х  1,645 (“Алгебра и начало анализа” часть 2, под редакцией Яковлева Г.Н.) (см. приложение)
10 1,645 10  390
а1 


 0,012
400 400
400
а2 
10 1,645 10  390


 0,038
400 400
400
Метод наименьших квадратов
Необходимо найти линию y  ax  b - прямую линию регрессии.
1 n
1 n
x   xi
y   yi
n i1
n i1
x ; y 
by a
x; x 
1 n
1 n 2
x; y    x i y i x; x    x i
n i1
n i1
30
Пример 24:
Результаты пяти измерений некоторой величины У, зависящей от величины Х, приведены в таблице:
xi
-2
-1,5 0
1,5
2
yi
1,25 1,40 1,50 1,75 2,25
Построить прямую линию регрессии.
Решение:
1 5
1 5
x   x i  0 y   y i  1,63
5 i 1
5 i 1
1
x   2  1,5  0  1,5  2  0
5
1
y  1,25  1,40  1,50  1,75  2,25  1,63
5
1 5
b  y  1,63 x; x    x i2  2,5
5 i 1
5
x; y   1  x i y i  0,505 a  x; y   0,505  0,202
5 i 1
x; x  2,5
y  0,202 x  1,63 - уравнение прямой линии регрессии.
2,5
F  yx 
2
Yi
1,5
1
0,5
0
-2
-1,5
0
1,5
2
Xi
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Вариант 1
1. Сколько перестановок можно сделать в слове “КОМБИНАТОРИКА”,
“ЗАДАЧА”, “ОТВЕТ”?
2. В ящике 6 белых и 10 черных шаров. Наудачу вынимают 2 шара.
Найти вероятность того, что оба шара черные.
31
3. Доказать тождество:
Ат6  Ат5
Ат4
 ( т  4) 2
4. Монета подбрасывается три раза. Случайная величина Х – выпадение
герба. Найти распределение случайной величины Х.
5. Для выборки 7,7,2,7,7,5,5,7,5,7 определить объем выборки и ее размах.
Записать эту выборку в виде вариационного ряда и в виде статистического
ряда. Найдите выборочное распределение.
Вариант 2
1. Результаты измерения некоторой величины У, зависящей от температуры Х, даны в таблице:
хi
уi
-5
0,2
-4
0,3
-3
0,6
-2
1,0
-1
1,8
0
2,7
1
3,8
2
5,1
3
6,7
4
8,3
5
10,2
Найти прямую линию регрессии.
2. В каждый из 28 билетов входят два вопроса и одна задача. Студент
подготовил 50 вопросов и 22 задачи. Какова вероятность того, что, взяв билет, студент ответит на все вопросы и решит задачу.
3. А = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2} В = {4; 3; 2; 1; 0; -1} С = {-4; -3; -2; 0; 3;
4}. Найти А  В , А  В , А  С , В  С .
4. Случайная величина Х – квадрат числа очков, выпавших при бросании игральной кости. Найти закон распределения.
5. Для выборки, заданной статистическим рядом, постройте полигон частот, полигон относительных частот.
хi
ni
0
10
3
5
5
7
10
3
Вариант 3
1. А = {7; 8; 9} В = {8; 9; -1}. Найти А  В , А  В , А \ В , А  В .
2. В партии 18 деталей, из них 4 бракованные. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из них 2 детали стандартные.
3. Сколькими способами можно распределить три путевки в санатории
различного профиля между пятью претендентами?
4. Для выборки, заданной статистическим рядом, найдите выборочное
среднее Х .
32
хi
пi
125
2
127
4
130
3
140
1
5. Решить уравнение: А 2x 3  42x .
Вариант 4
1. В ящике 300 деталей I сорта, 200 – II сорта, 50 – III сорта. Наудачу
вынимают одну деталь. Чему равна вероятность того, что вынутая деталь I,
II или III сорта.
2. В группе 30 студентов. Сколькими способами из них можно выбрать
двух дежурных так, чтобы один из них был старшим?
3. Случайная величина х имеет следующий закон распределения, найти
МХ и ДХ. Построить закон распределения случайной величины.
хi
рi
1
0,3
2
0,2
3
0,5
4. Для выборки 1, 1, 3, 3, -5, -5, 3, 1, 1, 1 найдите выборочную дисперсию S 0
5. Вычислить
А85  А84
А83
Вариант 5
1. Автоколонна состоит из 30 автомобилей. Для уборочных работ необходимо выделить 12 грузовиков. Сколькими способами можно это сделать?
2. Электрическая схема состоит из трех параллельно соединенных блоков. Вероятность безотказной работы каждого блока составляют 0,3; 0,7;
0,85. Найти надежность схемы в целом, если выход блока из строя – независимое событие.
3. Построить гистограмму частот для выборки 17, 19, 20, 10, 14, 16, 21,
22, 22, 35, 27, 32, 24, 24, 24, 27, 27, 27, разбив промежуток от х min до х max на
5 промежутков.
4. Случайная величина х распределена по закону
хi
рi
2
4
6
8
10
1
4
1
8
1
4
1
8
1
4
Найдите МХ и ДХ. Построить график распределения.
33
А 94
5. Вычислить C 
P4
3
8
Вариант 6
1. Сколькими способами можно составить расписание занятий из 8
предметов, если в один день может быть только 4 предмета?
2. В 1 коробке 4 белых и 8 черных шаров, во 2 – 3 белых и 9 черных шаров. Из каждой коробки вынули по шару. Найти вероятность того, что оба
шара белые.
3. Проверить равенства:
4
С15

3
С15
4
С16
.

2
4. В коробке 2 белых и 3 черных шара, наугад вынимают 2 шара. Найти
МХ и ДХ, если Х – случайная величина вынутых шаров белого цвета.
5. Для выборки, заданной статистическим рядом
хi
ni
0
12
8
5
5
7
10
8
Построить полигон частот, полигон относительных частот.
Вариант 7
1. Решить уравнение Ах2  12 .
2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться.
3. В лотерее из 20 билетов 6 выигрышных. Куплено 3 билета. Найти вероятность того, что:
а) все билеты выигрышные;
б) один из них выигрышный.
4. Найти математические ожидания и дисперсию числа бракованных изделий в партии из 500 изделий, если каждое изделие может быть бракованным с вероятностью 0,02.
5. Для выборки объема п = 100 вычислена выборочная дисперсия
S 0  12,87 . Найдите несмещенную выборочную дисперсию S.
34
Вариант 8
1. В партии из 18 деталей 4 бракованных. Наудачу выбирают 5 деталей.
Найти вероятность того, что из 5 деталей 2 бракованные.
2. Сколько пятизначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2,
3, 4, 5 без повторений?
3
3. Решить уравнение Ат
1  5т( т  1) .
4. Для случайной величины Х получена выборка
хi
пi
2
16
5
12
7
8
10
14
Укажите несмещенную и состоятельную оценку для МХ.
5. Из изделий, выпускаемых заводом, 98 % имеют знак качества. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа изделий со знаком качества в партии из 5000 изделий.
Вариант 9
4
2
1. Решить уравнение Сх
2  х  1.
2. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента – 0,07, второго – 0,06. Найти вероятность того, что при включении прибора:
а) будут работать оба элемента;
б) выйдет из строя только один элемент.
3. Сколько перестановок можно составить в слове “математика”?
4. Случайная величина Х распределяется по закону, найти МХ и ДХ.
Построить график распределения Х.
хi
рi
1
0
2
0,4
3
0,2
4
0,3
5. Для случайной величины получена выборка
хi
пi
-2
0
4
2
3
5
Укажите несмещенную и состоятельную оценку для ДХ.
Вариант 10
1. Из большой партии изделий, изготовленных станком - автоматом, было отобрано 200 штук, при этом 70 изделий оказались первосортными.
35
Найдите доверительный интервал, накрывающий с надежностью 0,85 неизвестную вероятность изготовления станком-автоматом первосортного изделия.
2. Сколькими способами можно выбрать 5 книг разных авторов из 15
имеющихся?
3. Упростить
Ап6  Ап5
Ап4
.
4. Постройте полигон относительных частиц для выборочного распределения
хi
пi
п
-2
0
1
3
6
1
10
2
10
1
10
1
10
5
10
п = 10.
5. Из 50 деталей 18 изготовлено в первом цехе, 20 – во втором, остальные – в третьем. Первый и третий цеха выпускают продукцию отличного
качества с вероятностью 0,9, второй цех – с вероятностью 0,6. Какова вероятность точности, что взятая наугад деталь отличного качества?
Вопросы для подготовки к экзамену (зачету)
1. Понятие математической логики.
2. Множество и его элементы.
3. Операции над множествами.
4. Действительные числа.
5. Правило умножения в комбинаторике.
6. Перестановки элементов. Перестановки с повторениями.
7. Размещение элементов.
8. Сочетания элементов.
9. Основные понятия теории вероятностей.
10. Противоположные события.
11. Относительная частота. События. Статистическая устойчивость частоты события.
12. Определение вероятности события.
13. Свойства вероятности.
14. Теория сложения. Сумма событий.
15. Теория умножения. Произведение событий.
16. Условная вероятность.
36
17. Полная вероятность.
18. Формула Бернулли.
19. Формула Байеса.
20. Случайная величина.
21. Закон распределения случайной величины.
22. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
23. Понятие о законе больших чисел.
24. Выборки и выборочные распределения.
25. Графическое изображение выборки. Полигон и гистограмма.
26. Выборочные характеристики.
27. Точечные оценки.
28. Несмещенность и состоятельность оценки параметров.
29. Интервалы оценки.
30. Метод наименьших квадратов.
Список рекомендованной литературы
1. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов – М.: Высш. школа, 1990.
2. Вавилов В. В., Мельников И. И. и др. Задачи по математике. Алгебра.
Справочное пособие – М.: Наука. Главная редакция физико- математической литературы, 1987.
3. Валуцэ И. И., Дилигул Г. Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие – М.: Наука. Главная редакция физико- математической литературы, 1990.
4. Математика для техникумов. Алгебра и начало анализа: Учебник,
часть 2, под ред. Яковлева Г. Н. – М.: Наука. Главная редакция физико- математической литературы, 1988.
5. Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних учебных заведений – М.: Наука. Главная редакция физико- математической литературы,
1983.
37
Приложение
Фрагмент таблицы значений функции Лапласа
2
1 х  t2
Ф 0 х  
 е dt
2 о
x
Ф 0 х 
х
Ф 0 х 
х
Ф 0 х 
х
Ф 0 х 
...
...
...
1.38
1.39
1.40
1.41
1.42
1.43
1.44
1.45
1.46
1.47
1.48
1.49
1.50
1.51
1.52
1.53
1.54
1.55
1.56
1.57
1.58
1.59
...
...
...
0.4162
0.4177
0.4192
0.4207
0.4222
0.4236
0.4251
0.4265
0.4279
0.4292
0.4306
0.4319
0.4332
0.4345
0.4357
0.4370
0.4382
0.4394
0.4406
0.4418
0.4429
0.4441
1.60
1.61
1.62
1.63
1.64
1.65
1.66
1.67
1.68
1.69
1.70
1.71
1.72
1.73
1.74
1.75
1.76
1.77
1.78
1.79
1.80
1.81
1.82
1.83
1.84
0.4452
0.4463
0.4474
0.4484
0.4495
0.4505
0.4515
0.4525
0.4535
0.4545
0.4554
0.4564
0.4573
0.4582
0.4591
0.4599
0.4608
0.4616
0.4625
0.4633
0.4641
0.4649
0.4656
0.4664
0.4671
1.85
1.86
1.87
1.88
1.89
1.90
1.91
1.92
1.93
1.94
1.95
1.96
1.97
1.98
1.99
2.00
2.02
2.04
2.06
2.08
2.10
2.12
2.14
2.16
2.18
0.4678
.04686
0.4693
0.4699
0.4706
0.4713
0.4719
0.4726
0.4732
0.4738
0.4744
0.4750
0.4756
0.4761
0.4767
0.4772
0.4783
0.4793
0.4803
0.4812
0.4821
0.4830
0.4838
0.4846
0.4854
2.20
2.22
2.24
2.26
2.28
2.30
2.32
2.34
2.36
2.38
2.40
2.42
2.44
2.46
2.48
2.50
2.52
2.54
2.56
2.58
2.60
2.62
2.64
2.66
...
0.4861
0.4868
0.4875
0.4881
0.4887
0.4893
0.4898
0.4904
0.4909
0.4913
0.4918
0.4922
0.4927
0.4931
0.4934
0.4938
0.4941
0.4945
0.4948
0.4951
0.4953
0.4956
0.4959
0.4961
...
38