КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1, 1 семестр, 2004/2005 учебный год

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. Объединение, пересечение, разность множеств (определения и примеры).
2. Комплексные числа: алгебраическая форма записи (вещественная и мнимая части), тригонометрическая
форма записи (модуль и аргумент). Определения и примеры.
3. Теоремы о производной и частном комплексных чисел (в алгебр. и тригоном. форме) – с док-вом.
4. Общее уравнение прямой на плоскости.
5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
6. Уравнение прямой в отрезках.
7. Вывод формулы угла между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности.
8. Параметрическое уравнение прямой на плоскости и в пространстве.
9. Плоскость и прямая в пространстве.
10. Геометрическая фигура на плоскости. Вывод уравнения окружности радиуса R с центром в начале
координат и в точке (a;b).
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ:
1. Осуществление арифметических операций с комплексными числами.
2. Переход от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической и наоборот.
3. Переход от одного вида уравнения прямой на плоскости к другому.
4. Составление уравнений прямых
5. Проверка параллельности и перпендикулярности прямых, определение угла между прямыми.
6. Составление уравнений и определение длин сторон, медиан и высот в треугольнике.
7. Определение точек пересечения прямых.
8. Решение задач, связанных с параметрическим уравнением прямой.
9. Графическое решение систем линейных неравенств.
10. Решение задач экономического характера.
ПРИМЕР ВАРИАНТА
Для оценки «3» необходимо набрать от 11 до 14 баллов, «4» - от 15 до 18 баллов, «5» - от 19 до 21 балла.
1. Вычислить z 
(2  3i )(3  4i )  2(5i  1)
, указать вещественную и мнимую часть этого комплексного
2i
числа (2 балла).
14
2. Записать z  1  3i в тригонометрической форме, указать его модуль и аргумент, найти z (2 балла).
3. Для прямой 5x-3y=6 найти угловой коэффициент. Записать уравнение прямой, проходящей через точку
A(-1;2) параллельно данной прямой, привести его к виду «в отрезках», построить эту прямую (2 балла)..
4. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(1;3) и B(5;-5), выписать ее вектор нормали (2
балла).
5. Определить тангенс угла между прямыми 2x+y=5, 5x-7y-3=0, найти их точку пересечения (2 балла).
6. Выбрать из данных прямых параллельные и перпендикулярные: 3x=y, x+3y=4, 6x-2y=7, x-3y-2=0 (1
балл)..
 x  1  t

7. Дано параметрическое уравнение прямой:  y  3  2t , где t  R . Выписать координаты направляющего
 z  5t  3

вектора прямой и точки, лежащей на этой прямой, привести уравнение к общему или каноническому виду
(2 балла).
8. Определить графически часть плоскости, удовлетворяющую системе линейных неравенств y  x  0 ,
2 y  3x  9 , y  0 , x  5 , найти вершины полученной области (3 балла).
9. Дать определение разности множеств, найти A \ B, B \ A для A={-7,-5,-4,3,4,5}, B={-5,-3,0,2,3,4} (1
балл).
10. Доказать теорему о произведении комплексных чисел в тригонометрической форме (2 балла).
11. Прибыль от продажи 50 единиц товара составляет 50р., от продажи 100 единиц – 200 р. Считая
функцию прибыли линейной, составить ее уравнение и определить прибыль от продажи 300 единиц товара.
(2 балла).
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К РАБОТЕ
1. Виды матриц (определения и примеры).
2. Арифметические операции с матрицами: линейные, транспонирование, произведение матриц
(определения, свойства операций без док-ва, умение проводить вычисления).
3. Элементарные преобразования матриц, эквивалентные матрицы.
4. Ступенчатая матрица, теорема о ступенчатой матрице, ранг матрицы (понятие, умение определять).
5. Минор и алгебраическое дополнение к элементу квадратной матрицы (определение, умение
находить).
6. Основная теорема теории определителей (формулировка, уметь раскрывать определитель по любой
строке или столбцу).
7. Свойства определителей (уметь доказывать, а также применять к вычислению определителей и к
решению задач вида: как изменится определитель произвольного (n-го) порядка, если поменять
местами первый и последний столбец).
8. Обратная матрица, ее единственность, теорема о существовании, свойства (уметь доказывать, уметь
находить обратную матрицу любым способом, уметь решать матричные уравнения, а также
отвечать на вопросы вида: доказать, что для невырожденных матриц A, B (с определителями,
1
1
отличными от нуля) утверждения АВ  ВА и А В  ВА
равносильны; доказать, что если A –
2
невырожденная матрица, то из А  А следует А  E ).
9. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), их виды.
10. Теорема Крамера (полное доказательство для случая двух переменных и решение систем).
11. Понятие о решении СЛАУ, равносильные системы, элементарные преобразования систем и связь
между матрицами равносильных систем.
12. Каноническая система, приведенная матрица и теорема о совместных СЛАУ.
13. Теорема Кронекера-Капелли и теорема о количестве решений (использовать при решении СЛАУ
методом Гаусса).
ПРИМЕР ВАРИАНТА
Оценка «3» - более 7 баллов, оценка «4» - 11-14 баллов, «5» - более 14 баллов.
1. Сформулируйте
основную теорему
теории определителей
и найдите | A | ,
раскрыв по «удобной»
строке (столбцу) (2б)
2 3  4

0 1 2 
0 0
0 

1 4
1 
 1

 0
A
3

1

T
3
 1

 3  1 5 3 2  

    2  1  ? (2б)
4. 
 1 2   1 0 1   3
4 

2. Определите ранг
матрицы (1б)
1

1
1

1
2
2
2
2
2
1
0
3
3 5

2 1
1 3 

4 0
5. Решите методом
Гаусса (в случае
неопределенной
системы запишите 1
частное решение) (3 б)
3. Найдите матрицу,
обратную к данной
методом алг. дополнений:
 1  1 3


A   4 3 2  (2б)
1  2 5


 3x1 +2x2  x3  x4  4

 3x1  4 x2  2x3  x4  2
 x  5 x  3x  2 x  1
2
3
4
 1
6. Сформулируйте теорему Крамера. (1б)
 2  3   5 11 

 (2 б)
2   3  5 
7. Найдите матрицу X из уравнения X 
3
a1  b1 y a1 y  b1
8. Не раскрывая определитель, доказать: a 2  b2 y a 2 y  b2
a3  b3 y a3 y  b3
c1
a1
2
c2  ( 1  y ) a2
c3
a3
b1
b2
b3
c1
c 2 (дать
c3
обоснование, использующее свойства определителя) (2б)
9. Пусть А, В – квадратные матрицы одного и того же порядка, причем AB  BA . Докажите, используя
свойства арифметических операций с матрицами, что A 2  B 2  ( A  B)( A  B) (2б)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. Однородные системы и их свойства (с доказательством)
2. Понятие о фундаментальной системе решений (ФСР) однородной СЛАУ, теорема о ФСР
(формулировка). Уметь строить фундаментальные системы решений предложенных однородных СЛАУ.
3. Векторное представление общего решения СЛАУ (формулировка теоремы и практическое
применение).
4. Уметь выписать матрицу квадратичной формы или записать квадратичную форму по заданной
матрице, уметь определить знак квадратичной формы и привести ее к каноническому виду.
5. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду и закон инерции
(формулировки).
6. Линейные пространства (определение).
7. Лемма о единственности (с док-вом).
8. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Уметь проверить систему векторов на
линейную зависимость или независимость.
9. Теоремы о линейно зависимых и линейно независимых системах (с док-вом).
10. Базис и ранг системы векторов (определения). Уметь разложить вектор системы по предложенному
базису, уметь выделить базис из предложенной системы.
11.Базис линейного пространства, единственность разложения по базису (с док-вом)
12. Размерность линейного пространства, размерность пространства n-мерных векторов.
13. Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы (знать определения, уметь
находить).
ПРИМЕРЫ ПРОВЕРОЧНЫХ ЗАДАНИЙ
- показать, что если система векторов содержит два равных вектора, то она линейно зависима.
- показать, что если a, b, c - линейно независимые вектора, то вектора b-a и c-a не
пропорциональны.
- Известно, что a, b, c - линейно независимые вектора. Выяснить, являются ли линейно
независимыми системы векторов: а) a, a+b, a+c; б) a+b, c-b, a+c.
- Доказать симметричность матрицы A+B, если A, B - симметрические матрицы одного порядка.
- Доказать, что собственные значения диагональной матрицы равны ее диагональным элементам.
ОБРАЗЕЦ ВАРИАНТА
Для получения «3» надо набрать 8-10 баллов, «4» - 11-13 баллов, «5» - 14-15 балллов.
1. Доказать линейную зависимость предложенной системы векторов, выделить базис и разложить
оставшиеся вектора по базису: a1  (1,2,1) , a2  (2,0,3) , a3  (1,1,1) , a4  (1,7, 4) (3 балла)
2
2
2.Определить знак кв. формы F ( X )  x1  4 x1 x2  3x3  6 x2 x3 и свести ее к каноническому виду. (2 балла)
 x1  2 x2  3x3  x4  0

3. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для  x1  x2  2 x3  0
(2 балла)
 x  x  2x  0
2
4
 1
4. Дайте определение собственных чисел и собственных векторов
квадратной матрицы, найдите собственные числа и собственные
векторы матрицы B (4 балла)
 4 2 2 


B   0 1 0
 1 2 1 


5. Сформулируйте и докажите теорему о системе векторов, содержащей нуль-вектор. (2 балла, за
формулировку 0,5 балла)
6. Дайте определение базиса линейного пространства. Является ли предложенный набор векторов базисом
в пространстве R4: a1  (1; 4; 2;1) , a2  (1; 1;1; 1) , a3  (0; 2; 2;1) ? (2 балла)