Числа с заданными свойствами. Натуральные числа.

40. Числа с заданными свойствами.
Натуральные числа.
Задачи [14,с.326], [5,с.147,148 ], [1,с.18,41,], [16,с.8]. Литература
Задача 1. Числа натурального ряда записаны в столбцы следующим образом:
10 . . .
С какого числа начинается n-ый столбец и каким заканчивается?
5 11 . . .
Доказать, что произведение двух соседних чисел на “биссектрисе
2 6 12 . . .
числового угла” равно числу, также лежащему на биссектрисе.
1 3 7 13 . . .
“Биссектриса” на рисунке выделена. (Какие еще закономерности в
4 8 14 . . .
расположении чисел и связей между ними можно выделить в этом
9 15 . . .
“числовом угле”?)
16 . . .
Доказательство. Высота первого столбца 1, второго 3, третьего 5, … ,n-го 2n-1.
Таким образом, нижнее число n-го столбца равно 1 + 3 + 5 +…+ 2n 1 = n2.
Верхнее число n-го столбца поэтому выражается числом (n 1)2+1. Число на
“биссектрисе угла” в n-ом столбце равно
n  12  1  n  1  n 2  2n  1  1  n  1  n 2  n  1
В качестве соседнего числа возьмем число на “биссектрисе угла” в (n 1)-ом
столбце. Оно равно n  12  n  1  1  n 2  n  1 . Произведение этих двух соседних
чисел оказывается равным n 2  1  n 2  n 4  n 2  1  n 2  1  n 2  1 1 .
Итак, перемножая числа, размещенные в n-ом и (n + 1)-ом столбцах на
“биссектрисе” угла, получаем число, также принадлежащее биссектрисе, но
расположенное в (n2+ 1)-ом столбце.
2
Задача
2
2. Показать, что среди натуральных чисел нет даже
последовательных кубов, сумма которых равнялась бы
следующего числа.
двух
кубу
Решение. Если любые три последовательных числа обозначить как х1, х, х+1,
то, по условию (х1)3+х3=(х+1)3, или х36х22=0.
Придадим кубическому уравнению вид : х2(х6)=2. Проанализируем: правая
часть уравнения число положительное  х должен быть больше 6, но при х=7
левая часть уравнения значительно превысит правую и будет превышать её при
всех последующих значениях х, т.е. убеждаемся, что действительно среди
целых чисел нет корней получившегося кубического уравнения.
Задача 3.В некотором натуральном числе произвольно переставили цифры.
Доказать, что сумма полученного и исходного чисел не равна 999…9
(число цифр  1999)
Решение:
Задача 4. Найдите два натуральных числа, представляющих полный квадрат,
если одно больше другого на 7.
Решение:
Задача 5. Сумма трех различных натуральных чисел 875. Найдите эти числа,
зная, что два из них получаются зачеркиванием у третьего одной
цифры.
Ответ:
Задача 6. Произведение двух трехзначных чисел 60775. Если в каждом из них
зачеркнуть по цифре, произведение станет равным 595. Найдите эти
числа.
Решение:
Задача 7. Можно ли расставить на гранях куба числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, так, чтобы
каждое число являлось делителем суммы своих соседей?
Решение
Задача 8. На гранях куба написаны натуральные числа, а в каждой вершине произведения чисел на трех гранях с этой вершиной. Найдите сумму
чисел на гранях, если сумма в вершинах равна 70.
Решение
Задача 9. Докажите, что для любого натурального а число а3 - 1 не является
степенью двойки.
Решение
Содержание: