РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
advertisement
РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ВЫСШАЯ
Факультет:
МАТЕМАТИКА
экономический
Специальность:
менеджмент организаций (061100)
Курс: 1-2
Семестр: 1.2,3,4
Общее число часов:
Аудиторных: 34 лекций +34 практ. занятий каждый семестр
Составитель:
Отчетность:
канд. физ-мат. наук, доцент Ю.С.Налбандян,
экзамен, экзамен, экзамен, экзамен.
Утверждена зав. кафедрой мат. анализа
Профессором А.В.Абаниным
Ростов-на-Дону
2004-2007
ВЫДЕРЖКА ИЗ ГОССТАНДАРТА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 061100 ............................................................................. 2
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА ................................................................................................................................................ 3
1. ПЕРВЫй СЕМЕСТР ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ..................................................................................... 3
1.1.ЛИТЕРАТУРА.......................................................................................................................................................... 3
1.2. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ЛЕКЦИОННОГО КУРСА ......................................................................................... 4
1.3. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ .................................................................................. 6
1.4. КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ .......................................................................................... 8
ТРЕБОВАНИЯ К ЭКЗАМЕНУ ................................................................................................................................. 8
ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА...................................................................................................................................... 9
ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ ..................................................................................... 12
ОБРАЗЕЦ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА 1-й ЧАСТИ ................................................................................ 16
ОБРАЗЕЦ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА 2-й ЧАСТИ ................................................................................ 18
2. ВТОРОЙ СЕМЕСТР ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ............................................................... 19
2.1.ЛИТЕРАТУРА........................................................................................................................................................ 19
2.2. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ЛЕКЦИОННОГО КУРСА ....................................................................................... 19
2.3. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА практических занятий .............................................................................................. 21
2.4. КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ........................................................................................ 22
ТРЕБОВАНИЯ К ЭКЗАМЕНУ ............................................................................................................................... 22
ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА.................................................................................................................................... 22
ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ ..................................................................................... 26
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К КОЛЛОКВИУМУ № 1 ............................................................................................. 26
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К КОЛЛОКВИУМУ № 2 ............................................................................................. 28
ОБРАЗЕЦ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА 1-й ЧАСТИ ................................................................................ 30
ОБРАЗЕЦ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА 2-й ЧАСТИ ................................................................................ 32
3. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ................................................................................... 33
3.1.ЛИТЕРАТУРА........................................................................................................................................................ 33
3.2. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ЛЕКЦИОННОГО КУРСА ....................................................................................... 33
3.3. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ................................................................................ 35
3.4. КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ........................................................................................ 36
ТРЕБОВАНИЯ К ЭКЗАМЕНУ ............................................................................................................................... 36
ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА.................................................................................................................................... 36
ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ ..................................................................................... 38
ОБРАЗЕЦ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА 1-й ЧАСТИ ................................................................................ 42
ОБРАЗЕЦ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА 2-й ЧАСТИ ................................................................................ 44
4. ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТ. СТАТИСТИКИ .......................... 45
4.1.ЛИТЕРАТУРА........................................................................................................................................................ 45
4.2. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ЛЕКЦИОННОГО КУРСА ....................................................................................... 45
4.3. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ................................................................................ 46
4.4. КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ........................................................................................ 47
ТРЕБОВАНИЯ К ЭКЗАМЕНУ ............................................................................................................................... 47
ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА.................................................................................................................................... 47
ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ ..................................................................................... 50
ОБРАЗЕЦ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА 1-й ЧАСТИ ................................................................................ 55
ОБРАЗЕЦ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА 2-й ЧАСТИ ................................................................................ 57
ВЫДЕРЖКА ИЗ ГОССТАНДАРТА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 061100
Математический анализ. Понятие множества. Операции над множествами. Понятие
окрестности точки. Функциональная зависимость. Графики основных элементарных функций. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции в точке. Свойства числовых множеств и последовательностей. Глобальные свойства непрерывных
функций. Производная и дифференциал. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
и их приложения. Выпуклость функции. Неопределенный интеграл. Несобственные интегралы. Точечные множества в N – мерном пространстве. Функции нескольких переменных, их
непрерывность. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных. Классические методы оптимизации. Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривые
безразличия.
Линейная алгебра. Системы линейных уравнений. Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве. Определители. Системы векторов,
ранг матрицы. N – мерное линейное векторное пространство. Линейные операторы и матрицы. Комплексные числа и многочлены. Собственные векторы линейных операторов. Евклидово пространство. Квадратичные формы. Системы линейных неравенств. Линейные задачи
оптимизации. Основные определения и задачи линейного программирования. Симплексный
метод. Теория двойственности. Дискретное программирование. Динамическое программирование. Нелинейное программирование.
Теория вероятностей и математическая статистика. Сущность и условия применимости теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей. Вероятностное пространство. Случайные величины и способы их описания. Модели законов распределения вероятностей, наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях. Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел и его следствие. Особая роль нормального распределения: центральная предельная теорема. Цепи Маркова и их использование в моделировании социально-экономических процессов. Статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА
Курс «Высшая математика» в соответствии с ГОССТАНДАРТОМ читается студентам
специальности «Менеджмент организаций» в течение 1-4 семестров и является базовым. На
него опираются такие дисциплины как математическое моделирование в экономике, математические методы исследования операций, теория статистики, другие экономико-математические дисциплины. Основная цель - ознакомить студентов с базовыми понятиями некоторых
разделов высшей математики, необходимыми для решения теоретических и практических
задач экономики; привить умение самостоятельно работать с литературой; воспитать абстрактное мышление и умение строго излагать свои мысли; подготовить студентов к практическому применению полученных знаний.
1. ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
1.1.ЛИТЕРАТУРА
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М., 1989 (и позднее).
2. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш Кремера. М.: Банки и Биржи,
ЮНИТИ. 1998 (и позднее).
3. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова. М.:
ИНФРА-М. 2000.
4. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. – М.:
Финансы и статистика, 2001.
5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1974 (и позднее)
6. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. М.: ИНФРА-М, 1999 (и
позднее)
7. Шевцов Г.С. Линейная алгебра. – М.: Гардарики, 1999.
8. Справочник по математике для экономистов. Под ред. В.И.Ермакова. М.: Высшая школа,
1987.
9. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1987 (и позднее)
10. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. В.И.Ермакова. М.:
ИНФРА-М. 2001.
1.2. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ЛЕКЦИОННОГО КУРСА
ЛЕКЦИЯ 1 (ВВОДНАЯ). Курс «Высшая математика» и его актуальность. Методы изучения математических дисциплин. Обзор необходимой литературы.
ЛЕКЦИЯ 2. Элементы теории множеств (равенство множеств, пустое множество, объединение, пересечение и разность множеств). Основные числовые множества. Понятие о
комплексных числах, алгебраическое и геометрическое представление комплексного числа.
Арифметика комплексных чисел.
Литература: [1, гл.2 § 1], [2, пп. 5.1], [3, раздел В пп. 1.1-1.2], [8, пп. 1.20-1.21, 1.241.25].
ЛЕКЦИЯ 3. Декартова плоскость (пространство R2). Длина отрезка, расстояние между
двумя точками, координаты середины отрезка. Общее уравнение прямой на плоскости и вектор нормали. Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение
прямой с известным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку, уравнение
прямой, проходящей через заданную точку параллельно (перпендикулярно) заданной прямой,
уравнение прямой, проходящей через две точки.
Литература: [1, гл.1, гл.3 §§1-4.7], [2, пп. 4.1-4.3,4.6], [3, раздел А п. 6.2].
ЛЕКЦИЯ 4. Параметрическое уравнение прямой. Точка пересечения прямых. Полуплоскости, графическое решение систем линейных неравенств. Пространство R3, плоскость и
прямая в пространстве. Общее уравнение геометрической фигуры, пример окружности как
линии второго порядка. Экономич. приложения.
Литература: [1, гл.3 § 5, гл.4, гл.5, гл.19], [2, пп. 4.3, 4.4, 4.6, 4.7], [3, раздел А пп. 6.1,
6.3, 6.4, 6.6].
ЛЕКЦИЯ 5. Матрицы, основные обозначения. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные арифметические операции с матрицами (сложение, умножение на вещественное число) и
их свойства. Произведение матриц и свойства этой операции. Транспонирование матриц,
свойства. Элементарные преобразования матриц, эквивалентные матрицы. Ступенчатая матрица и ранг матрицы.
Литература: [2, пп. 1.1, 1.2], [3, раздел А пп. 3.1-3.3], [4, пп. 2.1-2.3], [5, гл.1 § 1], [6,
пп.6.1-6.2], [7, п.1.2]., [8, пп. 2.15-2.17, 2.22].
ЛЕКЦИЯ 6. Определители квадратных матриц: определители 1-го, 2-го, 3-го порядков,
обобщение на n-й порядок. Миноры и алгебраические дополнения, формула для раскрытия
определителя по любой строке (столбцу). Свойства определителей. Теорема Лапласа и минорный ранг матрицы1
Литература: [2, пп. 1.3-1.4], [3, раздел А пп. 4.1-4.4], [4, пп. 2.6-2.9], [5, гл.1 § 2], [7,
п.1.3], [8, пп. 2.25-2.27].
ЛЕКЦИЯ 7. Понятие обратной матрицы, ее свойства. Существование и единственность
обратной матрицы. Построение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений.
Построение обратной матрицы методом Гаусса. Основные обозначения для систем линейных
алгебраических уравнений и теорема Крамера.
Литература: [2, пп. 1.5, 2.2], [3, раздел А пп. 3.4, 5.2], [4, пп. 2.3-2.4,2.9], [5, гл.1 § 2 п.7,
гл.3 § 2 п.1], [6, п.6.3], [7, пп.1.4-1.5], [8, пп. 2.21, 2.28].
1
Данная тема разбирается только в сильных по составу группах.
ЛЕКЦИЯ 8. Общая теория систем линейных алгебраических уравнений: виды систем,
равносильные системы и теорема о сведении любой совместной системы к канонической.
Теорема Кронекера-Капелли. Теорема о количестве решений. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Литература: [2, пп. 2.1, 2.3-2.4], [3, раздел А пп. 1.1-1.5, 5.1], [4, пп. 1.4-1.5], [5, гл.3 §§
1-2], [6, п.6.4], [7, пп.1.1, 2.6], [8, пп. 2.1-2.4, 2.11].
ЛЕКЦИЯ 9. Однородные системы и их особенности. Фундаментальная система решений, ее построение. Связь между однородными и неоднородными системами.
Литература: [2, п. 2.5], [3, раздел А пп. 5.3-5.4], [4, п. 1.5], [5, гл.3 § 2], [8, пп. 2.122.13].
ЛЕКЦИЯ 10. Обзорная. Экономические приложения.
Литература: [2, п. 2.7], [4, п. 3.1-3.4], [6, пп.6.5], [8, пп. 2.12-2.13].
ЛЕКЦИЯ 11. Понятие о квадратичной форме. Знакоопределенные квадратичные формы
и критерий Сильвестра. Канонический вид квадратичной формы, теорема о приведении к каноническому виду. Невырожденные линейные преобразования. Закон инерции. Понятие о
методах Якоби и Лагранжа.
Литература: [2, п. 3.8], [3, раздел А пп. 8.1-8.4], [5, гл.7 §§ 2,3,4], [7, пп.7.1-7.6], [8,
п.2.32].
ЛЕКЦИЯ 12. Линейные пространства (аксиоматика, примеры). Лемма о единственности. Линейность пространства Rn, линейная комбинация элементов линейного пространства,
линейная зависимость и линейная независимость системы элементов, основные теоремы о
линейно зависимых и линейно независимых системах. Понятие о базисе и ранге системы.
Литература: [2, п. 3.2], [3, раздел А п. 2.1, 2.5-2.7], [5, гл.2 § 1], [7, пп.2.1-2.2, п.2.3
пример 3].
ЛЕКЦИЯ 13. Свойства базиса и ранге системы элементов линейного пространства. Ранги матриц, свойства. Алгоритмы проверки системы векторов в пространстве Rn на линейную
зависимость (независимость). Базис и размерность линейного пространства (определения,
единственность разложения).
Литература: [2, п. 3.3], [3, раздел А пп. 2.5-2.7], [5, гл. 2 § 2], [7, п.2.4].
ЛЕКЦИЯ 14. Свойства базиса в n-мерном линейном пространстве, размерность пространства Rn . Скалярные произведения в пространстве Rn. Евклидовы пространства, евклидовость Rn. Норма в произвольном евклидовом пространстве и в пространстве Rn.
Литература: [2, п. 3.5], [3, раздел А п. 2.8], [4, п.1.7], [5, гл. 2 § 2, гл.4 § 1], [7, п.2.4,
6.1].
ЛЕКЦИЯ 15. Ортонормированный базис, корректность определения. Лемма об ортонормированном базисе в Rn. Теорема об ортонормированном базисе в n-мерном евклидовом
пространстве. Процедура ортогонализации. Линейные операторы и их основные виды.
Литература: [1, гл.18 §§ 12-13], [2, пп.3.1, 3.5], [3, раздел А 2.9], [4 п.1.6], [5, гл. 4 § 2],
[7, пп.3.1, 6.3].
ЛЕКЦИЯ 16. Пространство всех линейных операторов, действующих в линейном nмерном пространстве, его линейность. Матрица линейного оператора. Характеристический
многочлен, характеристическое уравнение матрицы. Собственные числа (характеристические
значения) и собственные векторы матрицы, алгоритм их нахождения.
Литература: [2, пп. 3.6-3.7], [3, раздел А пп. 7.1-7.3], [4, п. 3.5-3.6], [5, гл.5 §§ 1-3], [7,
пп.3.2,3.6, 3.7].
ЛЕКЦИЯ 17. Обзорное занятие.
1.3. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
ЗАНЯТИЕ 1. Операции с числовыми множествами (разбор 2-3 примеров на определение пересечения, разности и объединения множеств). Комплексные числа (алгебраическая и
тригонометрическая формы записи, арифметика). Задачи на определение вещественной и
мнимой части, на нахождение модуля и аргумента, сложение, умножение и деление комплексных чисел, нахождение корней квадратных уравнений, 1-2 примера на извлечение корней.
В аудитории и дома [10, NN 4.1-4.7, 4.12, 4.13] (обязательные), [10, NN 4.8-4.11] (дополнительные).
ЗАНЯТИЕ 2. Решение задач по аналитической геометрии (длины отрезков, середина отрезков, точка пересечения прямых, общее уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках,
уравнение прямой с угловым коэффициентом, угол между прямыми и проверка условий параллельности и перпендикулярности, составление уравнений прямых).
В аудитории [9, NN 28, 29 (искать только длину медианы), 63-64 (выборочно), 65, 82
(выборочно), 83, 88, 93(*)].
Дома [9, NN 63, 64, 82 (оставшиеся), 87, 95, 96, 98], а также задача вида:
Для прямой на плоскости, заданной общим уравнением 4 x 2 y 5 0 , выписать вектор
нормали и значение углового коэффициента, построить эту прямую. Составить уравнение
прямой, параллельной данной и проходящей через точку A(1;-2). Найти угловой коэффициент
прямых, перпендикулярных данной, и составить уравнение прямой, перпендикулярной данной
и проходящей через точку B(3;7). Составить уравнение прямой (АВ), привести его к общему
виду, выписать вектор нормали и угловй коэффициент. Построить графики найденных прямых.
ЗАНЯТИЕ 3. Решение задач по аналитической геометрии (составление уравнений прямых на плоскости, параметрическое уравнение прямой на плоскости и в пространстве, графическое решение числовых неравенств.)
Аудитория [9, NN 66, 72, 132 (выборочно)], [10, 2.57, 2.59], а также задачи вида
Для предложенного уравнения прямой в параметрическом виде проверить принадлежность к ней конкретных точек, определить ее направляющий вектор, указать точку, лежащую на прямой, провести переход от параметрического уравнения прямой к уравнению в
общем виде.
Параметризовать предложенное уравнение прямой (уравнение общего вида или с угловым коэффициентом).
Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку A(1;-2) параллельно вектору l=(-3;2); привести его к общему виду и выписать вектор нормали.
Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку A(1;-2; 5) параллельно вектору l=(-2;3;4); привести его к общему виду.
Построить область, удовлетворяющую системе линейных неравенств: 2x+y4, -x+y4,
x+2y 14, x 4, y 0.
Дома [9, NN 72, 132 (оставшиеся)], [10, NN 2.56, 2.58 (и их аналоги для плоскости)], а
также построение областей, удовлетворяющих неравенствам (например):
а) 2 x + y 4, - x + y 4, x + 2 y 14, x 4;
б) 4 x - y 0, - x + y 3, y0;
в) -4 x+ y 0, - x + y 3, x0.
В качестве подготовки к самостоятельной работе можно предложить просмотреть
дополнительно задачи [10, 2.2-2.8, 2.10, 2.14-2.24, 2.28]
ЗАНЯТИЕ 4. Самостоятельная работа.
ЗАНЯТИЕ 5. Арифметические действия с матрицами и эквивалентные преобразования
матриц для определения их ранга. Обратить внимание на различие между понятиями «равенство» и «эквивалентность» матриц.
В аудитории [10, NN 5.1, 5.2, 5.4, 5.6 (на этом примере показать отсутствие коммутативности у произведения), 5.8, 5.9, 5.11, 5.56, 5.60]. Н
Дома [10, NN 5.3, 5,7 (проверить коммутативность), 5.12, 5.58б 5.61-5.63], задачи, включающие одновременно все арифметические действия с матрицами, а также дополнительные
задания теоретического характера [10, NN 5.18, 5.20, 6.64-5.65].
ЗАНЯТИЕ 6. Различные приемы вычисления определителей (по 1-й строке, по «удобной» строке или столбцу, путем преобразования матрицы к диагональному или треугольному
виду). Обратить особое внимание на свойства определителей.
В аудитории [10, NN 4.21, 4.23, 4.24 (2 способа), 4.28, 4.36], а также задания на нахождение миноров и алгебраических дополнений (в N 4.36 обязательно найти A33.).
Дома [9, NN 4.22, 4.30, 4.31, 4.37, 4.41, дополнительно 4.33, 4.34].
ЗАНЯТИЕ 7. Различные способы нахождения обратных матриц (обращать внимание на
проверку).
В аудитории [10, NN 5.25, 5.28 (через алг. дополнения), 5.24, 5.27 (способ Гаусса), 5.33
(способ Гаусса), 5.39, 5.44].
Дома [10, NN 5.25, 5.29 (два способа), 5.30 (через алг. дополнения), 5.35 (способ Гаусса), 5.40, 5.41, 5.46, дополнительно 5.37, 5.47, 5.49].
ЗАНЯТИЕ 8. Решение квадратных систем по методу Крамера. Метод Гаусса.
В аудитории [10, NN 6.2, 6.7 – метод Крамера, в 6.7 найти одно из неизвестных, а потом
перейти к решению методом Гаусса до конца, 6.18 – метод Гаусса, 6.25 – метод Гаусса, предварительно убедившись, что определитель матрицы системы равен нулю, 6.17, дополнительно 6.26, 6.28]
Дома [10, NN 6.3, 6.5 – двумя способами, 6.17, 6.19, 6.20, 6.22, 6.23, 6.34(*)].
ЗАНЯТИЕ 9. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ЗАНЯТИЕ 10. Поиск фундаментальной системы решений однородных системы линейных алгебраических уравнений, выписывание общего решения основной системы линейных
алгебраических уравнений в векторном виде.
В аудитории [10, NN 7.116,7.114, 7.117, 7.120, 7.122, запас - 7.119, 7.125].
Дома [10, NN 6.21, 7.115, 7.118, 7.121, 7.123, 7.124].
ЗАНЯТИЕ 11. Квадратичные формы (приведение к каноническому виду и проверка знакоопределенности).
В аудитории [10, NN 9.59 – для разминки, 9.62, 9.64 – сведение к каноническому, причем один из примеров рассмотреть и через выделение полных квадратов, и по методу Якоби,
9.77, 9.78 (взять функцию со знаком «минус»), 9.74 – или любые другие три примера, чтобы
квадратичные формы оказались разными по знакоопределенности; 9.66, 9.69, 9.72].
Дома [10, NN 9.63, 9.64 – сведение к каноническому виду, определить знак квадратичной формы для 9.62, 9.65, F ( x1 , x 2 , x3 ) x12 2 x 22 3x32 2 x1 x 2 2 x 2 x3 , а так же 9.68, 9.70,
9.71].
ЗАНЯТИЕ 12. Проверка системы векторов на линейную зависимость, определение базиса системы векторов, разложение элементов по базису.
В аудитории [10, NN 7.23,7.25, 7.28, 7.45 и 7.48 (в этих примерах – а) проверить систему на линейную зависимость, б) выделить базис, в) не вошедшие в базис вектора разложить
по базису)].
Дома [10, NN 7.24, 7.26, 7.27, 7.44, 7.47, 7,40(*)].
ЗАНЯТИЕ 13. Нахождение характеристических значений и собственных векторов ли2
0
1
нейных операторов. На занятии: рассмотреть матрицу 0
2
0 и номера [9, NN 9.5 2 2 1
9.7]. Дома [9, NN 9.8, 9.9, 9.11, 9.12].
ЗАНЯТИЕ 14. Скалярное произведение векторов. Евклидовы пространства, ортонормированные базисы.
В аудитории и дома [10, 1.17-1.19, 1.24, 7.99, 7.101 (только проверка ортогональности и
ортонормированности), 7.92-7.97 выборочно]
ЗАНЯТИЕ 15. Обзорное (разбор домашних заданий)
ЗАНЯТИЕ 16. Самостоятельная работа.
ЗАНЯТИЕ 17. Подведение итогов семестра.
1.4. КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
ТРЕБОВАНИЯ К ЭКЗАМЕНУ
Оценка может быть выставлена по итогам семестра или в результате двухступенчатого
письменного экзамена.
А) Условия получения оценки «автоматом». В течение семестра выполнить на положительную оценку три контрольных работы, включающих теоретические вопросы и практические задания (образцы прилагаются). Оценка выводится как среднее арифметическое.
Студент вправе согласиться с оценкой или претендовать на более высокую. В последнем случае он освобождается от первой части экзамена.
Б) Первая часть экзамена состоит из вопросов на знание определений и простейших
заданий. Успешно выполнивший задание студент получает оценку «удовлетворительно» и,
если набрал необходимое количество баллов, допускается ко второй части. В экзаменационные билеты второй части экзамена включаются вопросы на знание теории (с доказательством), умение ее применить и практические задачи.
ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ.
1. Экзамен проводится в два этапа. Первый проверяет знание основных понятий и умение
применять их на практике (оценка "3"), второй проверяет умение логически рассуждать и
проводить доказательства основных результатов (оценки "4" и "5").
2. Первый этап проводится в виде письменной работы (составленной из вопросов и практических заданий Части 1) в течение 120 минут (2 астрономических часа). От него освобождаются студенты, получившие положительную оценку по итогам работы в семестре (на практических занятиях). Для получения оценки "3" необходимо ответить не менее чем на 65% вопросов, вошедших в билет.
3. Ко второму этапу допускаются студенты, сдавшие первую часть и желающие повысить
оценку. Второй этап проводится в виде письменной работы в течение 90 минут (1,5 астрономических часа). В работу включаются теоретические вопросы и практические задания из Части 2, а также тестовые теоретические вопросы, образцы которых приведены в Части 3. Для
получения оценки "4" необходимо ответить не менее чем на 3 вопроса из предложенных 4-х,
для получения оценки "5" - на все вопросы. В спорных ситуациях будет учитываться оценка,
выставленная по итогам работы в семестре.
ЧАСТЬ 1
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ (необходимо знать определения и формулировки приводимых утверждений, без доказательств)
1. Множество. Подмножество. Равенство множеств. Объединение, пересечение, разность
множеств. Основные числовые множества (натуральных, целых, рациональных, иррациональных, вещественных чисел).
2. Мнимая единица, комплексное число, его алгебраическая форма. Модуль и аргумент
комплексного числа, тригонометрическая форма записи.
3. Общее уравнение прямой на плоскости, смысл параметров.
4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, смысл параметров.
5. Формула для определения тангенса угла между прямыми на плоскости и ее следствия
(условия параллельности и перпендикулярности).
6. Параметрическое уравнение прямой на плоскости и в пространстве.
7. Плоскость и прямая в пространстве.
8. Матрицы: определение, основные обозначения, виды матриц, равенство матриц.
9. Определения арифметических операций с матрицами (сложение, умножение на число,
транспонирование, произведение матриц) и их свойства.
10. Элементарные преобразования матриц, эквивалентные матрицы.
11. Ступенчатая матрица и теорема о ней. Ранг матрицы.
12. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков: понятие об определителе, раскрытие по первой строке.
13. Свойства определителей.
14. Миноры и алгебраические дополнения к элементам матрицы, основная теорема об
определителях. Практическое вычисление определители 2-го, 3-го, 4-го порядков наиболее
рациональным способом.
15. Обратные матрицы: определение, обратимость и невырожденность матрицы. Теорема
о существовании обратной матрицы.
16. Обратные матрицы: определение, свойства.
17. Теорема Крамера
18. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): основные определения и обозначения, векторная (матричная) запись, совместность, определенность.
19. Равносильные СЛАУ, элементарные преобразования матриц и теорема о равносильных системах.
20. Канонические СЛАУ, и теорема о сведении СЛАУ к канонической,
21. Теорема Кронекера-Капелли и теорема о количестве решений.
22. Однородные СЛАУ: определение, основные свойства.
23. Однородные СЛАУ: определение, фундаментальная система решений (ФСР). Теорема
о ФСР.
24.Основная и приведенная системы, теорема об общем решении основной системы.
25. Линейное пространство (определение), лемма о единственности.
26. Линейная комбинация элементов линейного пространства. Линейная зависимость
(ЛЗ) и линейная независимость (ЛНЗ) систем векторов: определения, лемма о линейной зависимости.
27. Свойства ЛЗ и ЛНЗ систем (три теоремы)
28. Базис и ранг системы векторов (определение, свойства).
29. Понятие о строчном и столбцовом ранге матрицы, свойства ранга
30. Базис линейного пространства, лемма о единственности разложения.
31. Размерность линейного пространства, свойства базиса в n-мерном пространстве.
32. Пространство Rn: определение пространства, его линейность, базис и размерность.
33. Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы: определение,
теорема, свойства.
34. Определение евклидова пространства и нормы в нем, условие ортогональности элементов.
35. Пространство Rn (евклидовость, норма).
36. Ортонормированный базис (определение, пространство Rn, теорема о евклидовом
пространстве).
37. Операторы и их виды. Функционалы.
38. Квадратичные формы: определение, матрица квадратичной формы, угловые миноры,
знакоопределенные квадратичные формы и критерий Сильвестра.
39. Канонический вид квадратичной формы, невырожденные линейные преобразования,
теорема о сведении к каноническому виду и закон инерции.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ:
- проведение арифметических действий с комплексными числами (сложение, умножение,
деление, возведение в степень). Нахождение модуля и аргумента комплексного числа;
- решение простейших задач по аналитической геометрии (нахождение длины отрезка,
координат середины отрезка, координат точки пересечения прямых, угла между прямыми
проверка параллельности-перпендикулярности прямых, составление различных уравнений
прямых, графическое решение систем линейных неравенств);
- проведение арифметических операций с матрицами;
- элементарные преобразования матриц, определение ранга матрицы;
- вычисление определителей, миноров и алгебраических дополнений к элементам матрицы;
- построение обратной матрицы методом алгебраических уравнений и методом Гаусса;
- решение СЛАУ методом Крамера и методом Гаусса;
- построение ФСР однородной СЛАУ, запись общего решения СЛАУ в векторном виде;
- определение знака квадратичной формы;
- проверка системы векторов на линейную зависимость;
- разложение вектора по базису;
- нахождение собственных значений и собственных векторов квадратной матрицы.
ЧАСТЬ 2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ.
1 Теорема о произведении и частном комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме (с доказательством). Следствия.
2. Вывод формулы для определения тангенса угла между прямыми на плоскости
3. Определения и свойства арифметических операций с матрицами (сложение, умножение
на число, транспонирование, произведение матриц) с доказательством.
4.. Свойства определителей (с доказательством).
5. Обратные матрицы: определение, обратимость и невырожденность матрицы. Теорема о
существовании обратной матрицы (доказать необходимую часть).
6. Обратные матрицы: определение, свойства (с доказательством).
7. Теорема Крамера (с полным доказательством)
8. Теорема Кронекера-Капелли и теорема о количестве решений (формулировки).
9. Однородные СЛАУ: определение, основные свойства (с доказательством).
10. Однородные ЛАУ: определение, фундаментальная система решений (ФСР). Теорема о
ФСР (с доказательством).
11. Линейное пространство (определение), лемма о единственности (с доказательством).
12. Линейная комбинация элементов линейного пространства. Линейная зависимость
(ЛЗ) и линейная независимость (ЛНЗ) систем векторов: определения, лемма о линейной зависимости (с доказательством).
13. Свойства ЛЗ и ЛНЗ систем (три теоремы - с доказательством)
14. Базис и ранг системы векторов (определение, свойства - формулировки).
15. Базис линейного пространства, лемма о единственности разложения (с доказательством).
16. Размерность линейного пространства, свойства базиса в n-мерном пространстве - второе утверждение с доказательством.
17. Пространство Rn: определение пространства., его линейность, базис и размерность (с
доказательством).
18. Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы: определение,
теорема, свойства - формулировки.
19. Определение евклидова пространства и нормы в нем, условие ортогональности элементов - формулировки.
20. Пространство Rn (евклидовость, норма - с доказательством).
21. Ортонормированный базис (определение, доказать корректность)
22. Операторы и их виды. Функционалы (определения).
23. Квадратичная форма и ее матрица, канонический вид квадратичной формы, невырожденные линейные преобразования, теорема о сведении к каноническому виду и закон инерции (формулировки).
24. Матрица линейного оператора.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
- проведение арифметических действий с комплексными числами, включая извлечение
корней;
- решение задач, связанных с параметрическими уравнениями прямых на плоскости и в
пространстве, приложения к экономическим ситуациям;
- вычисление определителей с помощью свойств;
- построение обратной матрицы и решение матричных уравнений;
- построение ФСР однородной СЛАУ, представление общего решения СЛАУ в векторном
виде;
- приведение квадратичной формы к каноническому виду путем выделения полных квадратов;
- выделение базиса системы векторов и разложение оставшихся векторов по базису;
- нахождение собственных значений и собственных векторов квадратной матрицы.
ЧАСТЬ 3. ТЕСТОВЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА 2
1. Как изменится произведение матриц AB, если переставить j-ю и i-ю строки матрицы A?
Если к i-му столбцу A прибавить j-й, умноженный на число k?
2. Как изменится определитель n-го порядка, если у каждого элемента изменить знак на
противоположный? Если первый столбец переставить на последнее место?
3. Пусть A 0 , B 0 Доказать, что AB BA AB 1 B 1 A .
4. Если вектора A1 ( 3,1,1,5 ) и A2 ( 1,2,3,4 ) образует фундаментальную систему решений некоторой однородной системы линейных алгебраических уравнений, то будет ли вектор
B ( 3,4 ,7 ,2 ) решением этой системы уравнений?
5. Показать, что если система векторов A, B, C, D имеет только один базис, то она линейно
независима.
6. Показать, что совокупность всех решений однородной системы линейных алгебраических уравнений образует линейное пространство, а базисом этого пространства является
фундаментальная система решений.
7. Являются ли базисом в пространстве R3 вектора A1 ( 1,1,1 ) , A2 ( 1,0 ,1 ) , A3 ( 2 ,1,2 ) ?
Являются ли эти вектора ортогональной системой? Приведите пример ортонормированного
базиса.
ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
Контрольная работа № 1
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1.
Объединение, пересечение, разность множеств (определения и примеры).
2.
Комплексные числа: алгебраическая форма записи (вещественная и мнимая части), тригонометрическая форма записи (модуль и аргумент). Определения и примеры.
3.
Теоремы о производной и частном комплексных чисел (в алгебр. и тригоном. форме) – с доквом.
4.
Общее уравнение прямой на плоскости.
5.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
6.
Уравнение прямой в отрезках.
7.
Вывод формулы угла между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности.
8.
Параметрическое уравнение прямой на плоскости и в пространстве.
9.
Плоскость и прямая в пространстве.
10.
Геометрическая фигура на плоскости. Вывод уравнения окружности радиуса R с центром в
начале координат и в точке (a;b).
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ:
1.
Осуществление арифметических операций с комплексными числами.
2.
Переход от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической и
наоборот.
3.
Переход от одного вида уравнения прямой на плоскости к другому.
2
Образцы! См. также вопросы к контрольным работам
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Составление уравнений прямых
Проверка параллельности и перпендикулярности прямых, определение угла между прямыми.
Составление уравнений и определение длин сторон, медиан и высот в треугольнике.
Определение точек пересечения прямых.
Решение задач, связанных с параметрическим уравнением прямой.
Графическое решение систем линейных неравенств.
Решение задач экономического характера.
ОБРАЗЕЦ ВАРИАНТА
Для оценки «3» необходимо набрать от 11 до 14 баллов, «4» - от 15 до 18 баллов, «5» - от 19 до 21
балла.
1. Вычислить z
(2 3i)(3 4i) 2(5i 1)
, указать вещественную и мнимую часть этого комплекс2i
ного числа (2 балла).
14
2. Записать z 1 3i в тригонометрической форме, указать его модуль и аргумент, найти z (2
балла).
3. Для прямой 5x-3y=6 найти угловой коэффициент. Записать уравнение прямой, проходящей через
точку
A(-1;2) параллельно данной прямой, привести его к виду «в отрезках», построить эту прямую (2 балла)..
4. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(1;3) и B(5;-5), выписать ее вектор нормали
(2 балла).
5. Определить тангенс угла между прямыми 2x+y=5, 5x-7y-3=0, найти их точку пересечения (2 балла).
6. Выбрать из данных прямых параллельные и перпендикулярные: 3x=y, x+3y=4, 6x-2y=7, x-3y-2=0 (1
балл)..
x 1 t
7. Дано параметрическое уравнение прямой: y 3 2t , где t R . Выписать координаты направля z 5t 3
ющего вектора прямой и точки, лежащей на этой прямой, привести уравнение к общему или каноническому виду (2 балла).
8. Определить графически часть плоскости, удовлетворяющую системе линейных неравенств
y x 0 , 2 y 3x 9 , y 0 , x 5 , найти вершины полученной области (3 балла).
9. Дать определение разности множеств, найти A \ B, B \ A для A={-7,-5,-4,3,4,5}, B={-5,-3,0,2,3,4} (1
балл).
10. Доказать теорему о произведении комплексных чисел в тригонометрической форме (2 балла).
11. Прибыль от продажи 50 единиц товара составляет 50р., от продажи 100 единиц – 200 р. Считая
функцию прибыли линейной, составить ее уравнение и определить прибыль от продажи 300 единиц
товара. (2 балла).
Контрольная работа № 2
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К РАБОТЕ
1. Виды матриц (определения и примеры).
2. Арифметические операции с матрицами: линейные, транспонирование, произведение матриц
(определения, свойства операций без док-ва, умение проводить вычисления).
3. Элементарные преобразования матриц, эквивалентные матрицы.
4. Ступенчатая матрица, теорема о ступенчатой матрице, ранг матрицы (понятие, умение определять).
5. Минор и алгебраическое дополнение к элементу квадратной матрицы (определение, умение
находить).
6. Основная теорема теории определителей (формулировка, уметь раскрывать определитель по
любой строке или столбцу).
7. Свойства определителей (уметь доказывать, а также применять к вычислению определителей
и к решению задач вида: как изменится определитель произвольного (n-го) порядка, если поменять местами первый и последний столбец).
8. Обратная матрица, ее единственность, теорема о существовании, свойства (уметь доказывать,
уметь находить обратную матрицу любым способом, уметь решать матричные уравнения, а
также отвечать на вопросы вида: доказать, что для невырожденных матриц A, B (с определи1
1
телями, отличными от нуля) утверждения АВ ВА и А В ВА
равносильны; доказать,
2
что если A – невырожденная матрица, то из А А следует А E ).
9. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), их виды.
10. Теорема Крамера (полное доказательство для случая двух переменных и решение систем).
11. Понятие о решении СЛАУ, равносильные системы, элементарные преобразования систем и
связь между матрицами равносильных систем.
12. Каноническая система, приведенная матрица и теорема о совместных СЛАУ.
13. Теорема Кронекера-Капелли и теорема о количестве решений (использовать при решении
СЛАУ методом Гаусса).
ПРИМЕР ВАРИАНТА
Оценка «3» - более 7 баллов, оценка «4» - 11-14 баллов, «5» - более 14 баллов.
1. Сформулируйте основную теорему теории определителей и
найдите | A | , раскрыв
по «удобной» строке
(столбцу) (2б)
4
0 1 2
0 0
0
1 4
1
1
0
A
3
1
2
3
T
3
1
3 1 5 3 2
2 1 ? (2б)
4.
1 2 1 0 1 3
4
2. Определите ранг
матрицы (1б)
1
1
1
1
5
1
2 0 1 3
2 3 4 0
2 2 3
2 1 2
3. Найдите матрицу, обратную к данной методом
алг. дополнений:
1 1 3
A 4 3 2 (2б)
1 2 5
5. Решите методом
Гаусса (в случае неопределенной системы
запишите 1 частное
решение) (3 б)
3x1 +2x2 x3 x4 4
3x1 4 x2 2x3 x4 2
x 5 x 3x 2 x 1
2
3
4
1
6. Сформулируйте теорему Крамера. (1б)
2 3 5 11
(2 б)
2 3 5
7. Найдите матрицу X из уравнения X
3
a1 b1 y
a1 y b1
8. Не раскрывая определитель, доказать: a 2 b2 y
a 2 y b2
a3 b3 y
a3 y b3
c1
a1
b1
c1
c2 ( 1 y ) a2
c3
a3
b2
c 2 (дать
c3
2
b3
обоснование, использующее свойства определителя) (2б)
9. Пусть А, В – квадратные матрицы одного и того же порядка, причем AB BA . Докажите, используя свойства арифметических операций с матрицами, что A 2 B 2 ( A B)( A B) (2б)
Контрольная работа № 3
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. Однородные системы и их свойства (с доказательством)
2. Понятие о фундаментальной системе решений (ФСР) однородной СЛАУ, теорема о ФСР
(формулировка). Уметь строить фундаментальные системы решений предложенных однородных
СЛАУ.
3. Векторное представление общего решения СЛАУ (формулировка теоремы и практическое
применение).
4. Уметь выписать матрицу квадратичной формы или записать квадратичную форму по заданной
матрице, уметь определить знак квадратичной формы и привести ее к каноническому виду.
5. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду и закон инерции
(формулировки).
6. Линейные пространства (определение).
7. Лемма о единственности (с док-вом).
8. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Уметь проверить систему векторов
на линейную зависимость или независимость.
9. Теоремы о линейно зависимых и линейно независимых системах (с док-вом).
10. Базис и ранг системы векторов (определения). Уметь разложить вектор системы по
предложенному базису, уметь выделить базис из предложенной системы.
11.Базис линейного пространства, единственность разложения по базису (с док-вом)
12. Размерность линейного пространства, размерность пространства n-мерных векторов.
13. Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы (знать определения,
уметь находить).
ТВОРЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
- показать, что если система векторов содержит два равных вектора, то она линейно зависима.
- показать, что если a, b, c - линейно независимые вектора, то вектора b-a и c-a не
пропорциональны.
- Известно, что a, b, c - линейно независимые вектора. Выяснить, являются ли линейно
независимыми системы векторов: а) a, a+b, a+c; б) a+b, c-b, a+c.
- Доказать симметричность матрицы A+B, если A, B - симметрические матрицы одного порядка.
- Доказать, что собственные значения диагональной матрицы равны ее диагональным элементам.
ОБРАЗЕЦ ВАРИАНТА
Для получения «3» надо набрать 8-10 баллов, «4» - 11-13 баллов, «5» - 14-15 балллов.
1. Доказать линейную зависимость предложенной системы векторов, выделить базис и разложить
оставшиеся вектора по базису: a1 (1,2,1) , a2 (2,0,3) , a3 (1,1,1) , a4 (1,7, 4) (3 балла)
2
2
2.Определить знак кв. формы F ( X ) x1 4 x1 x2 3x3 6 x2 x3 и свести ее к каноническому виду. (2
балла)
x1 2 x2 3x3 x4 0
3. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для x1 x2 2 x3 0
(2 б)
x x 2x 0
2
4
1
4. Дайте определение собственных чисел и собственных векторов
квадратной матрицы, найдите собственные числа и собственные
векторы матрицы B (4 балла)
4 2 2
B 0 1 0
1 2 1
5. Сформулируйте и докажите теорему о системе векторов, содержащей нуль-вектор. (2 балла, за
формулировку 0,5 балла)
6. Дайте определение базиса линейного пространства. Является ли предложенный набор векторов базисом в пространстве R4: a1 (1; 4; 2;1) , a2 (1; 1;1; 1) , a3 (0; 2; 2;1) ? (2 балла)
ОБРАЗЕЦ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА 1-й ЧАСТИ
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ, специальность МЕНЕДЖМЕНТ ОРГАНИЗАЦИЙ
ЭКЗАМЕН ПО КУРСУ «Высшая математика (линейная алгебра-1)»
«Тестовая часть» (уровень «3»)
Ф.И.О. ___________________________________________ Курс, группа_______
БИЛЕТ N
В таблице приводится ответ, решение – на следующих листах. В случае отсутствия подробного,
с объяснениями, решения, ответ не засчитывается. Для получения оценки «3» необходимо набрать от
10 баллов, для допуска ко второй части экзамена более 14 баллов.
Оц.
ВОПРОС
1.Мнимая единица, комплексное число,
его алгебраическая форма (дать определения). Найти Re( z1 2 z2 z1 ) , Im( z1 2 z2 z1 ) ,
где z1 2 7i , z2 4i 3
(1,5 б)
2. Записать уравнение прямой с угловым
коэффициентом, объяснить смысл числовых параметров. Для прямой, заданной
уравнением 2 y x 4 0 , определить
угловой коэффициент и построить эту
прямую. (1 б)
3. Составить уравнения прямой, проходящей через точки A(-3;2) и B(5;1) и прямой, проходящей через точку B перпендикулярно первой прямой. (2 б)
4. Решить графически систему линейных
неравенств (заштриховать соответствующую часть плоскости и найти координаты
вершин): x 2 y 4 0 , y x 0 , y 6 .
(2 б)
5. Перечислить элементарные преобразо-
ОТВЕТ
вания матриц и дать определение эквивалентных матриц (1 б)
6.Найти (1 б)
5 6
T
4 2
3 4 5
2
4
7 6 4
1 1 1 1
2 1 3 1
5 0 4 2
7. Для матрицы A
вы7 2 4 3
3 1 2 2
писать и найти A34 и M 42 (2 б)
8. Сформулируйте теоремы КронекераКапелли и о количестве решений СЛАУ
(1 б)
9. Дайте определение евклидова пространства. (1 б)
10. Выписать матрицу и угловые миноры
заданной квадратичной формы, определить ее знак: (2 б)
F ( X ) 4 x12 4 x1 x 2 2 x1 x3 3x 22 3x32 .
11. Дайте определение линейной комбинации элементов линейного пространства и
найдите представление вектора
b (1;0;1;2) в виде линейной комбинации векторов a1 (1;3;0;5) ,
a 2 (1;2;0;4) , a3 (1;3;3;1) .
Экзаменатор_________________
Дата___________
ОБРАЗЕЦ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА 2-й ЧАСТИ
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ, специальность МЕНЕДЖМЕНТ ОРГАНИЗАЦИЙ
ЭКЗАМЕН ПО КУРСУ «Высшая математика (линейная алгебра-1)»,ЧАСТЬ 2
БЛАНК ОТВЕТА НА БИЛЕТ N
Ф.И.О. __________________________ Курс, группа_____ Оценка по семестру_______ ИТОГ______
ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте и докажите теорему о произведении комплексных чисел, представленных в
тригонометрическом виде.
2. Матрица линейного оператора.
3. Дайте определение фундаментальной системы решений однородной СЛАУ. Если вектора
A1 (2, 4, 4;0) , A2 (3;0; 2;3) , A3 (1; 1;1; 3) образует фундаментальную систему решений некоторой однородной системы линейных алгебраических уравнений, то будет ли вектор
B (2;7;15; 12) решением этой системы уравнений
4. Запишите матрицу квадратичной формы F ( X ) 8 x 22 x32 8 x1 x 2 4 x 2 x3 , приведите
квадратичную форму к каноническому виду, укажите линейное преобразование координат и покажите его невырожденность.
ТЕКСТ ОТВЕТА (указывать только номер вопроса, порядок произвольный)
2. ВТОРОЙ СЕМЕСТР
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
2.1.ЛИТЕРАТУРА
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М., 1989 (и позднее).
2. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш Кремера. М.: Банки и Биржи,
ЮНИТИ. 1998 (и позднее).
3. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова. М.: ИНФРАМ. 2000.
4. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. М.: ИНФРА-М, 1999. (и последующие)
5. Фоменко С.В. Математический анализ. Часть I. - Ростов-на-Дону. 2001
6. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1987 (и позднее)
7. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. В.И.Ермакова. М.:
ИНФРА-М. 2001
8. Налбандян Ю.С., Спинко Л.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. Метод. указания для студентов специальности «Менеджмент организаций» (дневное и
заочное отделение экономфака РГУ). - Ростов-на-Дону, 2004
9. Фоменко С.В. Математический анализ. Учебное пособие, ч. II(1). Ростов-7а-Дону, 2005
(лекции 13-16, практические занятия 13-15).
2.2. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ЛЕКЦИОННОГО КУРСА
ЛЕКЦИЯ 1. Модуль (абсолютная величина) действительного числа, его геометрический
смысл и основные свойства. Числовые интервалы. Понятие окрестности (действительного
числа, бесконечно удаленной точки). Функциональная зависимость. Функция, ее область
определения, множество значений, график, основные свойства. Ограниченность функции.
ЛИТЕРАТУРА: [2: пп.5.2-5.6], [3: раздел B, пп. 2.1, 3.1], [5: гл.2].
ЛЕКЦИЯ 2. Числовая последовательность как функция, примеры. Понятие предела последовательности, сходимость последовательности. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. Определение предела функции, его единственность. Связь между ограниченностью и существованием предела. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах.
ЛИТЕРАТУРА: [2: пп. 6.1-6.2], [3: раздел B, пп. 2.2, 2.3, 3.2], [5: гл.3, пп.1-3].
ЛЕКЦИЯ 3. Бесконечно малые функции. Лемма о представлении функции, имеющей конечный предел. Свойства бесконечно малых функций. Бесконечно большие функции и их
свойства. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими. Предел суммы, произведения, частного.
ЛИТЕРАТУРА: [2: пп. 6.3-6.5], [3: раздел B, пп. 3.2], [5: гл.3, пп.4-6].
ЛЕКЦИЯ 4. Предел сложной функции. Число е, функции «экспонента» и «натуральный
логарифм». Замечательные пределы. Эквивалентные функций, «цепочка» эквивалентностей,
применение при вычислении пределов. Односторонние пределы. Теория пределов в экономике.
ЛИТЕРАТУРА: [2: пп. 6.6], [3: раздел B, пп. 2.5, 3.2], [5: гл.3, пп. 6-8], [4]
ЛЕКЦИЯ 5. Приращения аргумента и функции. Определение непрерывности функции в
точке. Критерий непрерывности (на языке приращений). Непрерывность функции на множестве. Непрерывность элементарных функций. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Использование непрерывности при вычислении пределов. Точки разрыва и их классификация.
ЛИТЕРАТУРА: [2: пп. 6.7], [3: раздел B, пп. 3.2-3.3], [5: гл.4].
ЛЕКЦИЯ 6. Производная функции в точке и на множестве. Физический смысл производной, производная константы. Геометрический смысл производной. Экономический смысл
производной. Дифференцируемость функции, связь с непрерывностью. Производные суммы,
произведения, частного. Производная сложной функции. Производные элементарных функций.
ЛИТЕРАТУРА: [2: пп. 7.1-7.6], [3: раздел B, пп. 4.1-4.3 ], [5: гл.5, пп.1-2].
ЛЕКЦИЯ 7. Таблица производных. Понятие о производных высших порядков. Понятие о
дифференциале функции, единственность дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Дифференциалы высших порядков. Раскрытие неопределённостей с помощью
производной (правило Лопиталя).
ЛИТЕРАТУРА: [2: пп. 7.5, 8.2, 9.1, 9.3], [3: раздел B, пп. 4.41-4.53 ], [5: гл.5, пп.1-2, 4, 6].
ЛЕКЦИЯ 8. Теорема Лагранжа и ее следствия. Монотонность и дифференцируемость,
нестрогий и строгий критерии, следствие. Локальный экстремум: определения, необходимые
условия экстремума. Первое достаточное условие экстремума. Абсолютный экстремум,
наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
ЛИТЕРАТУРА: [2: пп. 8.3-8.5], [3: раздел B, пп. 4.6,4.8 ], [5: гл.6, пп.2,4,5].
ЛЕКЦИЯ 9. Понятие о выпуклости графика функции, связь со знаком второй производной. Второе достаточное условие экстремума. Точки перегиба, необходимые и достаточные
условия.
ЛИТЕРАТУРА: [2: пп. 8.8], [3: раздел B, пп. 4.8], [5: гл.5, пп.6].
ЛЕКЦИЯ 10. Асимптоты к графику функции. Исследование функций и построение графиков.
ЛИТЕРАТУРА: [2: пп. 8.7-8.9], [3: раздел B, пп. 4.9 ], [5: гл.6, пп.7,8].
ЛЕКЦИЯ 11. Первообразная функция, теорема о первообразной.. Неопределённый интеграл, теорема Коши. Простейшие свойства неопределённого интеграла. Внесение под знак
дифференциала. Замена переменной и интегрирование по частям.
ЛИТЕРАТУРА: [2: пп. 10.1-10.4, 10.9], [3: раздел B, пп. 6.1], [5: гл.7, пп.1-3].
ЛЕКЦИЯ 12 Интегрирование рациональных функций с квадратичным знаменателем. Интегрирование простейших иррациональных и тригонометрических функций.
ЛИТЕРАТУРА: [2: пп. 10.5-10.7], [3: раздел B, пп. 6.2-6.3]. [5: гл.7, пп.4-6].
ЛЕКЦИЯ 13. Определенный интеграл как предел интегральных сумм, интегрируемые
функции. Основные свойства определенного интеграла. Интегрирование по частям и замена
переменой в определенном интеграле. Монотонность и теорема о среднем.
ЛИТЕРАТУРА: [2: пп. 11.1-11.2,11.5], [3: раздел B, пп. 7.1-7.2], [9, стр.1-2,5-13].
ЛЕКЦИЯ 14. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и связь с первообразной подынтегральной функции. Теорема Коши. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический смысл определенного интеграла.
ЛИТЕРАТУРА: [2: пп. 11.3, 11.4, 11.6], [3: раздел B, пп. 7.3-7.4], [9, стр.2-5].
ЛЕКЦИЯ 15. Вычисление площадей и объемов плоских фигур. Понятие о несобственных
интегралах с конечной (для неограниченных функций) и бесконечной особой точкой. Приближенное вычисление определенного интеграла.
ЛИТЕРАТУРА: [2: пп. 11.6-11.8], [3: раздел B, пп. 7.4,8.1-8.2], [9, стр.3-4, 18-26, 14-17].
ЛЕКЦИЯ 16. Экономические приложения определенного интеграла.
ЛИТЕРАТУРА: [2: пп.11.9], [9, стр. 17-18].
ЛЕКЦИЯ 17. Обзорное занятие
2.3. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
1. Функции, их области определения, проверка четности-нечетности, свойства элементарных
функций, преобразование графиков. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ: [7, задачи из пп.10.1-10.2
выборочно].
2. Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей вида / , , 0 / 0 для многочленов. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ: [8, пп. 1.1-1.3, 1.4 пример 1.3, стр. 3-6] , [7, №№ 11.1,
11.5, 11.6, 11.32-11.33, 11.35, 11.42 б], [6, №№ 734-737, 747, 748, 750, 751, 782-784].
3. Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей 0 / 0 (с использованием сопряженных
выражений и эквивалентных функций). ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ: [8, п.1.4 примеры 1.4-1.5,
стр. 6-7] , [7, №№ 11.34, 11.42а, 11.19-11.25, 11.37], [6, №№ 738-745, 749, выборочно из §§
4 и 10 главы 5].
4. Экономические приложения, сравнение бесконечно малых. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ: [7, задачи из п.11.4], [6, задачи из § 7 главы 5].
5. Исследование непрерывности функций, классификация точек разрыва. Обратить внимание:
выделяем точки устранимого разрыва, точки разрыва первого рода (с разными, но конечными односторонними пределами) и точки разрыва второго рода. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ:
[8, §2 стр. 6-7] , [7, выборочно из п.11.5], [6, №№ 8.15-8.20, 8.21-1].
6. Вычисление производных и дифференциалов 1-го порядка (в общем случае и в точке).
ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ: [8, §3, примеры 3.1-3.3, стр. 8-11] , [7, выборочно задачи из
пп.12.1 и 12.5], [6, выборочно задачи из §§ 1,2,5, 6,11 главы 5].
7. Вычисление производных старших порядков Правило Лопиталя. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ:
[8, § 3 примеры 3.4-3.5, стр.11-13] , [7, выборочно из п.12.2, а также №№ 12.172-12.174,
12.176-12.179, 12.182, 12.189-12.191], [6, выборочно задачи из § 9 главы 6 и § 3 главы 7].
8. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
9. Монотонность функций, определение точек экстремума и экстремумов функций.
ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ: [8, §4 п.4.1, стр.17-19] , [7, №№ 12.206-12.215, 12.220-12.226,
12.230-12.233], [6, выборочно задачи из § 4 главы 7 без построения графиков].
10. Наибольшее и наименьшее значения функции на множестве, прикладные задачи, выпуклость графика функции, точки перегиба. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ: [8, §4 п.4.1, стр.17-19] ,
[7, №№ 12.234-12.237, 12.244, 12.216, 12.219, 12.246-12.253], [6: №№ 1247, 12.55-12.59].
11. Вычисление неопределенных интегралов, внесение под знак дифференциала, интегрирование по частям, интегрирование квадратных трехчленов. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ: [8, § 5,
примеры 5.1а, 5.2а, 5.4а, 5.5] , [7, №№ 14.2-14.9, 14.12-14.15, 14.19-14.30, 14.55-14.70,
14.84], [6, №№ 1264-1268, 1281-1292, 1305-1308, 1330-1331, 1336-1338, 1340-1347, 1360,
1362, 1364, 1371, 1372, 1375, 1377].
12. Простейшие замены и интегрирование тригонометрических функций. ТИПОВЫЕ
ПРИМЕРЫ: [8, § 5, примеры 5.3а, 5.6] , [7, №№ 14.103-14.118, 14.122-14.124, 14.14214.145], [6, №№ 1269-1271, 1277-1278, 1293-1297, 1299-1304, 1383-1391].
13. Вычисление определенных интегралов. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ: [8, § 5, примеры 5.1 б 5.4 б] , [7, №№ 15.3-15.9, 15.23, 15.26, 15.28, 15.34-15.36], [6, №№ 1594-1601, 1603-1605,
1612, 1619-1622].
14. Геометрические приложения определенных интегралов. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ: [8, § 5,
пп. 5.6, стр. 33-34], [7, №№ 15.43-15.46, 15.53-15.56, 15.58-15.61], [6, №№ 1625-1630,
1671].
15. Обзорное занятие.
16. Контрольная работа.
17. Подведение итогов семестра.
2.4. КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
ТРЕБОВАНИЯ К ЭКЗАМЕНУ
Оценка может быть выставлена по итогам семестра или в результате двухступенчатого
письменного экзамена.
А) Условия получения оценки «автоматом». В течение семестра выполнить на положительную оценку две контрольных работы, включающих практические задания (образцы
прилагаются), домашнее индивидуальное задание (построение графика функции) и два письменных опроса по теории (образцы прилагаются). Студент, которого оценка (выведенная как
среднее арифметичекое) не устроила, может претендовать на более высокую. В последнем
случае он освобождается от первой части экзамена.
Б) Первая часть экзамена состоит из вопросов на знание определений и простейших
заданий. Успешно выполнивший задание студент получает оценку «удовлетворительно» и,
если набрал необходимое количество баллов, допускается ко второй части. В экзаменационные билеты второй части экзамена включаются вопросы на знание теории (с доказательством), умение ее применить и практические задачи.
ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА
ЧАСТЬ 1
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ (необходимо знать определения и формулировки приводимых утверждений, без доказательств)
1. Модуль вещественного числа, его свойства. Что представляют собой множества, описанные неравенствами: |x|<6; |x-3|>4; |x+2|=5; |x-4|2; |x|3 (и им аналогичными)…
2. Окрестности числа и бесконечно удаленной точки (определения). Уметь выписывать
окрестности заданных чисел или бесконечных символов.
3. Ограниченность функции (определения, примеры ограниченных и неограниченных
функций).
4. Числовая последовательность как функция. Предел числовой последовательности, сходимость.
5. Замечательный предел, задающий число «e», функции «экспонента» и «натуральный
логарифм», их свойства (включая эскиз графика).
6. Конечный предел функции (определение) и его единственность.
7. Ограниченность функции (определение), теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел.
8.Теоремы о переходе к пределу в неравенствах.
9. Бесконечно малые функции: определение и свойства.
10. Бесконечно большие функции: определение и свойства.
11. Определения бесконечно малой и бесконечно большой функции, теорема о связи
между ними.
12. Теорема об арифметических действиях с пределами функций.
13. Понятие о сложной функции, теорема о пределе сложной функции(формулировка).
14. Замечательные пределы, эквивалентные функции, теорема о замене эквивалентных
функций, цепочки эквивалентностей.
15. Приращения аргумента и функции, определение непрерывности функции в точке и
на множестве, критерий непрерывности функции.
16. Теоремы о непрерывных функциях (формулировки).
17. Понятие об односторонних пределах, теорема о связи с обычным пределом
18. Классификация точек разрыва (точки устранимого разрыва, точки разрыва первого и
второго рода).
19. Приращения аргумента и функции, определение производной функции в точке,
физический и геометрический смысл производной.
20. Приращения аргумента и функции, определение производной функции в точке, понятие о дифференцируемой функции и бесконечной производной.
21. Основные правила дифференцирования (производная константы, суммы, произведения (со следствием), частного, сложной функции).
22. Определения производной функции в точке, непрерывности функции в точке, теорема
о связи между непрерывностью и дифференцируемостью.
23. Правило Лопиталя.
24. Теорема Лагранжа, два следствия.
25. Определение возрастания (убывания) функции, достаточные условия (связь со знаком
первой производной).
26. Определение точек локального экстремума и экстремумов функции, необходимое
условие.
27. Направления выпуклости графика функции (для непрерывной и дифференцируемой
функций). Связь со знаком второй производной для дифференцируемой функции.
28. Определение точки перегиба графика функции, необходимое и достаточное условие
29. Первообразная функции, теорема о первообразной, понятие о неопределенном интеграле.
30. Основные свойства неопределенного интеграла.
31. Теорема об интегрировании по частям для неопределенного интеграла и теорема о замене переменной в неопределенном интеграле.
32. Интегральные суммы и понятие об определенном интеграле.
33. Основные свойства определенного интеграла.
34. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.
35. Монотонность определенного интеграла и теорема о среднем.
36. Понятие об интеграле с переменным верхним пределом, свойства этой функции.
37. Теорема Коши и формула Ньютона-Лейбница
38. Геометрический смысл определенного интеграла.
39. Несобственные интегралы с конечной особой точкой.
40. Несобственные интегралы с бесконечной особой точкой.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
Вычисление пределов функций одного переменного, раскрытие простейших неопределенностей.
Определение характера точек разрыва
Нахождение производных первого и второго порядка функции одной переменной в произвольной точке и в указанной точке.
Нахождение дифференциалов первого и второго порядков функций одной переменной.
Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя.
Определение экстремумов функций одной переменной (точек экстремума и экстремальных
значений) и определение интервалов монотонности.
Определение наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на указанном числовом отрезке.
Определение характера выпуклости и нахождение точек перегиба графика функции.
Нахождение неопределенных и определенных интегралов с помощью интегрирования по
частям, внесения под знак дифференциала, замены переменной.
Интегрирование простейших рациональных функций.
Интегрирование квадратичных иррациональностей.
Интегрирование простейших тригонометрических функций
Вычисление площадей плоских фигур.
ЧАСТЬ 2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ (необходимо также знать формулировки тех утверждений, которыми
Вы пользуетесь при доказательствах)
1. Ограниченность функции (определения, примеры ограниченных и неограниченных
функций).
2. Конечный предел функции (определение) и его единственность (с доказательством).
3. Понятие о монотонной и ограниченной числовой последовательностях, теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. Число «e», функции «экспонента» и
«натуральный логарифм».
4. Бесконечно малые функции (определение), лемма о представлении функции, имеющей
конечный предел (доказывать).
5. Приращения аргумента и функции, определение непрерывности функции в точке и на
множестве, критерий непрерывности функции (доказывать).
6. Приращения аргумента и функции, определение производной функции в точке,
геометрический смысл производной (доказать). Уравнение касательной.
7. Основные правила дифференцирования (теоремы о производной суммы, произведения,
частного – доказывать, производная сложной функции – только формулировка).
8. Теорема о дифференцируемости (доказывать), определение дифференциала функции,
формула для его вычисления, нахождение по определению дифференциала для y=x2, y=x3(*).
9. Теорема Лагранжа (с геометрической иллюстрацией), два следствия (с
доказательством).
10. Определение возрастания (убывания) функции, критерий нестрогой монотонности
(доказывать отдельно для случая убывания и возрастания), критерий строгой монотонности
(формулировки).
11. Необходимое условие экстремума (доказательство для случая точки максимума и
точки минимума).
12. Понятие об абсолютном экстремуме функции, теорема о наибольшем и наименьшем
значениях функции на отрезке (формулировка).
13. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции, определение и их нахождение
14. Первообразная функции, теорема о первообразной (доказывать), понятие о неопределенном интеграле.
15. Основные свойства неопределенного интеграла (доказывать).
16. Теорема об интегрировании по частям для неопределенного интеграла (доказывать).
17. Теорема о замене переменной в неопределенном интеграле (формулировка).
18. Интегральные суммы и понятие об определенном интеграле.
19. Основные свойства определенного интеграла (доказывать).
20. Монотонность определенного интеграла (доказывать две теоремы) .
21. Теорема о среднем (с доказательством)
22. Понятие об интеграле с переменным верхним пределом, свойства этой функции, теорема Коши.
23. Понятие об интеграле с переменным верхним пределом, формула Ньютона-Лейбница
(доказывать)
24. Несобственные интегралы с конечной особой точкой.
25. Несобственные интегралы с бесконечной особой точкой.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
Проверка ограниченности функций (например, вида f(x)=x2/( x2+1); f(x)=cosx/(2+cos2x)
Вычисление пределов с помощью замечательных пределов и эквивалентных функций.
Определение характера точек разрыва различных функций, в том числе содержащих знак модуля или строчно-заданных функций.
Определение угла между заданными кривыми (например, между графиками функций
y x 3 , y x 2 ; y x x 2 , y 5x ),
Нахождение производных и дифференциалов первого и высших порядков.
Вычисление пределов с использованием правила Лопиталя.
Нахождение наибольшего-наименьшего значения функции на отрезке и на интервале, решение прикладных задач экономического характера, например:
1) Сыр реализуется по цене 150 р. за кг, x - объем выпуска сыра (в кг), функция издержек
производства имеет вид S(x)=50x-3x3. Найти объем сыра, производство которого дает максимальную прибыль (и значение этой максимальной прибыли).
2) Цена одной порции мороженого – х руб. Функция суточного спроса (объема продаж) в
зависимости от цены имеет вид Q( x) 3 x (в сотнях порций). При какой цене за
порцию выручка будет максимальной (найти значение этой выручки).
Определение характера точки экстремума с помощью второго достаточного условия.
Нахождение неопределенного и определенного интегралов основными методами, упомянутыми в программе 1-й и 2-й части.
Нахождение площадей плоских фигур.
Приближенное вычисление определенных интегралов.
Проверка (по определению) сходимости несобственных интегралов.
ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
Контрольная работа № 1
ОБРАЗЕЦ ВАРИАНТА
Критерии оценки: «3» - от 7 балов; «4» - от 10,5 баллов, «5» - от 13,5 баллов
1. Найти без применения правила Лопиталя:
n2
3n 2 1
n 3 n 1
x32
(2б)
а) lim
(1б);
б) lim 2
(1б);
в) lim
2
n 2n 2 4n 1
x1 2 x 3 x 1
n 3n 4
sin 4 x
| x 1|
2. Охарактеризовать точки разрыва: а) f ( x)
, (2б) ; б) f ( x)
(2б)
x 2 3x 3
x3 1
2
3. Найти
2x 2 5
а). f ( x)
, df ? , (1б);
3x 1
в) f ( x) xe
x3 4 x
1
б) f ( x)
., f ' ' ( x) ? (1,5б);
x 2 3x 6
г) f ( x) arctg(5
4. Найти с помощью правила Лопиталя: а) lim
sin 7 x 7 sin x
x0
x
2
2x
, df
x 1
(1,5 б)
2 x 5 ) f ' ( x) ? (1б)
2
(1б); б) lim x ln x (2б)
x 0
Контрольная работа № 2
ОБРАЗЕЦ ВАРИАНТА
Вариант №
(критерии оценки: «3» - от 7 балов; «4» - от 11 баллов, «5» - от 14 баллов)
1.Найти точки перегиба и определить направления выпуклости графика функции f ( x) ( x 1)e
(2б)
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f x
x
x2 4x 9
, на отрезке[0;4] .(2б)
3. Найти площадь области, ограниченной линиями y x 1, x y 3 0 .(3б)
2
4. Найти:
2
5x
а) x3
dx (2б);
б)
2
/6
г)
sin
0
2
2 xdx (2б);
d)
x2
dx (2б);
x 3
dx
x3 ln x
(1б)
в)
dx
x
x 2 4 x 1 (1б);
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К КОЛЛОКВИУМУ № 1
1. Модуль вещественного числа, его свойства. Что представляют собой множества, описанные
неравенствами: |x|<6; |x-3|>4; |x+2|=5; |x-4|2; |x|3 …
2. Окрестности числа и бесконечно удаленной точки (определения и примеры).
3. Функция одного переменного и ее график (определения). Построение графиков функций –
f(x), f(-x), |f(x)| при известном графике f(x). Знать и уметь использовать свойства и графики элементарных функций.
4. Четность-нечетность функций (знать определения, свойства графиков; уметь проверить наличие одного из этих свойств).
5. Ограниченность функции (определения, примеры ограниченных и неограниченных функций).
Уметь доказывать по определению ограниченность функций вида f(x)=x2/( x2+1); f(x)=cosx/(2+cos2x)
6. Числовая последовательность как функция. Предел числовой последовательности, сходимость.
7. Понятие о монотонной и ограниченной числовой последовательностях, теорема о пределе
монотонной ограниченной последовательности. Число «e», функции «экспонента» и «натуральный
логарифм».
8. Различные определения предела функции (общие и варианты для конкретных случаев).
9. Конечный предел функции (определение) и его единственность (с доказательством).
10. Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел (доказывать). Подобрать
пример функции, ограниченной, но не имеющей предела в окрестности какой-либо точки.
11. Теорема о переходе к пределу в неравенствах (формулировка). Найти limx0 f(x), если в
окрестности x=0 выполняется неравенство sinx f(x) x/(x+1).
12. Бесконечно малые функции, их свойства (c доказательством). Уметь обоснованно (с учетом
свойств) доказывать, что данная функция является бесконечно малой (например, для функций
f(x)=sinx/(x+1) в окрестности x=0; f(x)=tg(x-1)+x-1 в окрестности x=1).
13. Бесконечно большие функции, их свойства. Уметь обоснованно (с учетом свойств) доказывать, что данная функция является бесконечно большой (например, для функций f(x)=cosx+x при
x; f(x)=x+1/x при x).
14. Определения бесконечно малой и бесконечно большой функции, теорема о связи между ними (доказывать).
15. На примерах объяснить, почему отношение бесконечно малых функций является неопределенностью.
16. Бесконечно малые функции (определение), лемма о представлении функции, имеющей конечный предел (доказывать).
17. Теорема об арифметических действиях с пределами функций (доказывать утверждения для
суммы и произведения).
18. Понятие о сложной функции, теорема о пределе сложной функции(формулировка).
19. Замечательные пределы, эквивалентные функции, теорема о замене эквивалентных функций,
цепочки эквивалентностей.
20. Односторонние пределы (определения), теорема о связи с обычным пределом.
21. Функция знака, построение графиков функции sgnf(x).
22. Приращения аргумента и функции, определение непрерывности функции в точке и на
множестве, критерий непрерывности функции (доказывать).
23. Теоремы о непрерывных функциях (формулировки).
24. Проверка непрерывности строчно заданных функций в точках «склейки».
ОБРАЗЦЫ БИЛЕТОВ
Билет № 1
1. Конечный предел функции (определение) и его единственность (доказать).
2. Сформулируйте теоремы о непрерывных функциях. Является ли непрерывной на (-3;3)
функция f(x) = cos x / (x+5)?
3. Построить график функции f(x)=|x2 –6x-7|
Билет № 2
1. Конечный предел функции (определение). Теорема об ограниченности функции, имеющей
конечный предел (доказать).
2. Бесконечно большие функции и их свойства. Докажите, что lim x (x2– cos x ) = .
3. Проверьте наличие свойства четности-нечетности у функции f(x)=( 3x-1) / (3x+1).
Билет № 3
1. Определение бесконечно малой функции, лемма о представлении функции, имеющей конечный предел (доказать).
2. Дайте определение ограниченной функции, покажите ограниченность на множестве (-4;4)
функции f(x) = cos x ( x - 1 0 ) .
3.Какие числовые интервалы представляют собой множества, описанные неравенствами |x+3|
5; |x| 4?
Билет № 4
1. Теорема об арифметических действиях с пределами (доказать утверждение о сумме).
2. Дать определение модуля вещественного числа, перечислить его свойства. Описать с помощью числовых неравенств и интервалами множество чисел, удовлетворяющих неравенству
|x|100.
x 2 1, x 1
3. Проверить непрерывность в точке x = 1 функции f ( x)
2, x 1
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К КОЛЛОКВИУМУ № 2
Знаком * выделены дополнительные вопросы, частично не рассмотренные на лекциях, но использующие материал этого и прошлого семестров, предлагаемые на оценку «5»
1. Определение непрерывности функции в точке, приращения аргумента и функции, критерий непрерывности функции в точке (доказать).
2. Приращения аргумента и функции, определение производной функции в точке, физический
смысл производной.
3. Приращения аргумента и функции, определение производной функции в точке, геометрический
смысл производной (доказать).
4 (*). Геометрический смысл производной функции в точке. Составить уравнение касательной, проходящей к графику заданной функции в указанной точке.
5 (*). Считая, что угол между линиями можно рассматривать как угол между касательными к их
графикам, проведенными в точке пересечения линий, найти угол между заданными кривыми (напри2
мер, между графиками функций y x , y x ; y x x , y 5x ),
6. Приращения аргумента и функции, определение производной функции в точке, понятие о бесконечной производной и дифференцируемой функции.
7. Основные правила дифференцирования (теоремы о производной суммы, произведения, частного
(*) – доказывать, производная сложной функции – только формулировка).
8. Приращения аргумента и функции, определение производной функции в точке, вывод производной функции y=sin x, y=cos x (*).
9. Основные правила дифференцирования, вывод производной функции y=tgx, y=ctgx (*).
10. Теорема о дифференцируемости (доказывать), определение дифференциала функции, формула
для его вычисления.
11.Определение дифференциала функции, нахождение по определению дифференциала для y=x2,
3
y=x3(*).
12. Правило Лопиталя (формулировка).
13. Теорема Лагранжа (с геометрической иллюстрацией).
2
14. Теорема Лагранжа (формулировка), два следствия (с доказательством).
15 (*). Определение возрастания (убывания) функции, критерий нестрогой монотонности (доказывать отдельно для случая убывания и возрастания), критерий строгой монотонности (формулировки).
16. Определения точек экстремума и экстремумов функции (локальных максимума и минимума).
17 (*). Необходимое условие экстремума (доказательство для случая точки максимума и точки минимума).
18. Формулировка первого достаточного условия точки экстремума.
19. Понятие об абсолютном экстремуме функции, теорема о наибольшем и наименьшем значениях
функции на отрезке (формулировка).
20 (*). Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале, прикладные задачи, например:
1)
Сыр реализуется по цене 150 р. за кг, x - объем выпуска сыра (в кг), функция издержек
производства имеет вид S(x)=50x-3x3. Найти объем сыра, производство которого дает максимальную прибыль (и значение этой максимальной прибыли).
2)
Цена одной порции мороженого – х руб. Функция суточного спроса (объема продаж) в
зависимости от цены имеет вид Q( x) 3 x (в сотнях порций). При какой цене за порцию
выручка будет максимальной (найти значение этой выручки).
21. Понятие о направлениях выпуклости графика функции (для непрерывной и дифференцируемой
функций).
22. Понятие о направлениях выпуклости графика для дифференцируемой функции, связь со знаком
второй производной.
23. Определение точки перегиба графика функции, необходимое и достаточное условие (формулировки).
24. Второе достаточное условие экстремума, его применение на практике (например, используя
2 x
второе достаточное условие, найти точки экстремума функций y x 2 sin x , y x e ).
25. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции, определение и их нахождение
2
x3
3 3
2
2
(ПРИМЕРЫ: найти асимптоты графика функций y
; y x 1 ; y x 6x ).
1 x
ОБРАЗЦЫ БИЛЕТОВ:
БИЛЕТ № 1
1. Приращения аргумента и функции, определение производной функции в точке, физический
смысл производной.
2. Определение возрастания функции в точке, критерий нестрогого возрастания (сформулировать, доказать).
3. Дать определение наклонной асимптоты графика функции, найти наклонные асимптоты к графику функции y 2 x
sin x
.
x
БИЛЕТ № 2
1 Определение точки перегиба графика функции, достаточное условие (формулировка).
2 Приращения аргумента и функции, определение производной функции в точке, геометрический
смысл производной (доказать).
3. Издержки производства товара определяются функцией f ( x) 4 15x , функция спроса (цена
на товар) имеет вид p( x) x 20x 2 , x – объем произведенного товара. Определить объем
товара, при котором полученная прибыль будет максимальной.
2
БИЛЕТ № 3
1 Определение точки перегиба графика функции, необходимое условие (формулировка).
2. Основные правила дифференцирования (теоремы о производной суммы, произведения, частного
– сформулировать, теорему о производной произведения доказать).
3. Составить уравнение касательной к графику параболы y 9 x в точках ее пересечения с
осью OX.
2
ОБРАЗЕЦ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА 1-й ЧАСТИ
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ, специальность МЕНЕДЖМЕНТ ОРГАНИЗАЦИЙ
Летняя сессия 2004/2005
ЭКЗАМЕН ПО КУРСУ «Высшая математика (математический анализ)»
«Тестовая часть» (уровень «3»)
Ф.И.О. ___________________________________________ Курс, группа_______
БИЛЕТ N
В таблице приводится ответ, решение – на следующих листах. В случае отсутствия подробного,
с объяснениями, решения, ответ не засчитывается. Для получения оценки «3» необходимо набрать
более8 баллов, для допуска ко второй части экзамена 14 баллов и выше.
Оц.
ВОПРОС
1.Дайте определение окрестности конечного числа. Запишите -окрестность числа a=5 при =0,01. (1 б)
2. Сформулируйте теорему Лагранжа и
два ее следствия. (1 б)
3. Сформулируйте правило Лопиталя и с
его помощью найдите
lim
x 1
2 x 2 x 1 1
x 2 3x 2
(2 б)
4. Интегральные суммы и понятие об
определенном интеграле. (1,5 б)
ОТВЕТ
5. Вычислить
lim
x 2 x 12
x 3
6.Найти df
,
x 0
x2 9
f ( x)
(1,5 б)
2x 3
x 2 4x 1
(2 б)
7. Найти направления выпуклости и точки перегиба графика функции
f ( x) xe x
8. Найти
(2 б)
x 5x x 4
x2
3
9. Найти
dx
(2 б)
dx
x 2 4x 10 . (2 б)
2
10. Найти
x
5
ln xdx
(2 б)
Экзаменатор_________________
Дата_________________
ОБРАЗЕЦ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА 2-й ЧАСТИ
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ, специальность МЕНЕДЖМЕНТ ОРГАНИЗАЦИЙ, 1 КУРС
Летняя сессия 2004/2005
ЭКЗАМЕН ПО КУРСУ «Высшая математика (математический АНАЛИЗ)»,ЧАСТЬ 2
БЛАНК ОТВЕТА НА БИЛЕТ N
Ф.И.О. __________________________ К, гр_____ Оценка по семестру_______ Баллы_____ИТОГ______
ВОПРОСЫ («4» -БОЛЬШЕ 4,5 БАЛЛОВ, «5» - БОЛЬШЕ 6,5 БАЛЛОВ)
1. Дайте определение ограниченной функции. Проверьте, является ли ограниченной функция
f ( x)
cos x
x2 1
(1,5 б)
2. Интегральные суммы и понятие об определенном интеграле (1,5 б).
3. Основные правила дифференцирования. Докажите теорему о производной произведения. (2
б)
4. Охарактеризуйте точки разрыва функции
1 /( x 2 3), x 0
f ( x) sin( x / 3) / x, 0 x 3
x / 9, x 3
ТЕКСТ ОТВЕТА (указывать только номер вопроса, порядок произвольный)
(2 б)
3. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
3.1.ЛИТЕРАТУРА
1. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова. М.:
ИНФРА-М, 2000. (весь лекционный курс)
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. В.И.Ермакова. М.:
ИНФРА-М, 2001. (весь практический курс)
3. Исследование операций в экономике. Под ред. Н.Ш.Кремера. М.: Банки и биржи,
ЮНИТИ, 1997 и позднее (лекции 5-17)
4. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш.Кремера. М.: Банки и биржи,
ЮНИТИ. 1998 и позднее. (лекции 1-4, 17)
5. Солодовников А.С., Бабайцев П.А., Браилов А.В Математика в экономике. Ч.1. М.: Финансы и статистика, 2001. (лекции 3, 5-11)
6. Справочник по математике для экономистов. Под ред. В.И.Ермакова. М.: Высшая школа, 1987. (все лекции и практические занятия)
7. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: ДИС, 1997 (лекция 1-5, 17, дополн. «прикладной» материал ко всем темам)
8. Налбандян Ю.С., Спинко Л.И. Контрольные задания по математическому анализу. Метод. указания для студентов заочного отделения экономфака РГУ. Часть II. Ростов–на-Дону:
УПЛ РГУ. 2001 (практические занятия 1-5).
9. Налбандян Ю.С., Спинко Л.И. Контрольные задания по математическому анализу. Метод. указания для студентов заочного отделения экономфака РГУ. Часть III.Ростов-на-Дону:
УПЛ РГУ. 2000 (практические занятия 1-5).
10. Фоменко С.В. Математический анализ. Учебное пособие, ч. II(1). Ростов-7а-Дону, 2005
(лекции 1-4, практические занятия 1-5).
3.2. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ЛЕКЦИОННОГО КУРСА
Лекция 1. Пространство R2 : множества, окрестности точек. Функции двух переменных:
область определения, линии уровня, графики. Понятие о пределе и непрерывности. Частные
производные первого и второго порядка, смешанные производные и случай их совпадения.
Производные сложных функций (примеры, теорема).
ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел B, пп. 5.1-5.3], [4, пп. 15.1-15.3], [6, пп.3.1-3.2, 6.1, 6.6], [7,
пп.7.1-7.2], [10, стр.27-37].
Лекция 2. Дифференциал первого порядка функции двух переменных, дифференцируемость функции. Полный дифференциал второго порядка (формула, дифференциал как квадратичная форма от приращений аргументов). Производная по направлению, градиент.
ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел B, пп. 5.2-5.3], [4, пп. 15.3-15.5], [6, пп.6.2-6.5], [7, пп.7.2] , [10,
стр.37-52].
Лекция 3. Локальные безусловные экстремумы функции двух переменных. Метод
наименьших квадратов. Понятие об условном экстремуме.
ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел B, пп. 5.4], [4, пп. 15.6-15.8], [5, пп.5.1-5.3], [6, пп.6.7,6.11], [7,
п.7.2-7.4] , [10, стр.56-60, 64-70, 72-74].
Лекция 4. Понятие о методе Лагранжа. Абсолютный экстремум функции нескольких переменных.
ЛИТЕРАТУРА: [4, пп. 15.7], [6, пп.6.6,6.8, 6.12], [7, пп.8.1-8.2] , [10, стр.70-72, 60-64].
Лекция 5. Задачи математического программирования, основные определения. Экономические примеры (задача об использовании ресурсов). Линейное программирование. Симметричные стандартные задачи, переход к канонической задаче. С ведение канонической задачи
к стандартной.
ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел D, пп. 1.1-1.4], [5, пп. 7.1], [6, пп.9.1, 9.2, 9.4], [7, пп.8.3].
Лекция 6. Выпуклые и ограниченные множества. Графическое решение задачи линейного
программирования. Теоремы об области допустимых решений, об экстремуме целевой функции. Частный случай для целевой функции двух переменных, основная теорема. Алгоритм
решения. Случай замкнутой области.
ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел B, пп.1.2, раздел D, пп. 2.1, 3.1-3.3], [5, пп. 6.1-6.3, 7.1-7.4], [6,
пп.9.3,9.5].
Лекция 7. Возможность графического решения произвольной канонической задачи линейного программирования. Основные понятия и идеи симплекс-метода. Построение симплекс-таблиц и проверка на оптимальность.
ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел D, пп. 2.2, 3.1-3.3], [5, пп. 7.4, 8.1-8.2], [6, пп.9.6-9.7].
Лекция 8. Переход к новому опорному плану. Алгоритм решения задаи линейного программирования симплекс-методом.
ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел D, пп. 4.1-4.4], [5, пп. 8.2-8.3, 8.5], [6, п. 9.7].
Лекция 9. Метод искусственного базиса и его обоснование.
ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел D, пп. 4.5-4.6], [5, п. 8.4], [6, п. 9.9].
Лекция 10. Задача планирования производства и теория двойственности. Симметричные
пары двойственных задач. Правила составления двойственных задач.основное неравенство
теории двойственности. Первая теорема двойственности.
ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел D, пп. 5.1-5.3], [5, пп. 9.1-9.2], [6,пп. 9.10].
Лекция 11. Связь между оптимальными решениями прямой и двойственной задач. Вторая
теорема двойственности (теорема равновесия), ее приложения к решению двойственных задач.
ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел D, пп. 5.-5.4], [5, пп. 9.2-9.4], [6, пп. 9.10-9.11].
Лекция 12. Транспортная задача и ее математическая модель. Закрытые и открытые
транспортные задачи, теорема о разрешимости. Векторная форма математической модели
транспортной задачи.
ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел D, пп. 6.1-6.3], [6, пп. 9.12].
Лекция 13. Теорема о ранге матрицы системы ограничений, следствия. Цикл, критерий
того, что допустимое решение будет опорным. Базисные и свободные клетки таблицы транспортной задачи, проверка решения на опорность методом вычеркивания. Построение начального опорного плана перевозок методом «северо-западного угла»
ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел D, пп. 6.4-6.6], [6, пп. 9.13].
Лекция 14. Построение начального опорного плана методом «минимальной стоимости».
Проверка опорного плана на оптимальность с помощью потенциалов. Переход к другому
опорному плану (сдвиг по циклу).
ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел D, 6.6-6.8], [6, пп. 9.14].
Лекция 15. Метод потенциалов для транспортной задачи с правильным и неправильным
балансом. Транспортная задача с ограничениями на пропускную способность.
ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел D, пп. 6.9-6.10, 6.12].
Лекция 16.. Особенности целочисленного программирования, метод Гоморри. Понятие о
динамическом программировании.
ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел D, пп. 7.1-7.2], [6, пп. 9.16-9.20].
Лекция 17. Экономические приложения
ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел D, пп. 6.14], [4, пп. 15.10], [5, пп.3.1-3.2], [7].
3.3. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Занятие 1. Функции многих переменных: область определения, линии уровня, частные
производные 1-го и 2-го порядков. Разобрать в аудитории и дома, в зависимости от подготовки группы: [2, №№ 13.1-13.5,13.11, 13.13, 13.29-13.31, 13.34-13.37, 13.40-13.42,13.79,
13.85-13.86] и [9, стр.11, задание VII,по выбору].
Занятие 2. Полные дифференциалы 1-го и 2-го порядков, производная по направлению,
градиент и его величина. Разобрать в аудитории и дома, в зависимости от подготовки
группы: [2, №№ 13.60-13.64,13.67, 13.68, 13.49-13.51] и [9, стр.11 задание VI и стр.12 задание VIII, по выбору].
Занятие 3. Дифференцирование функций двух переменных (самостоятельная работа на 40
минут). Определение стационарных точек ([2, №№ 13.105-13.107],[9, стр.13, задание IX, по
выбору])
Занятие 4. Локальный (безусловный) экстремум функции двух переменных. Простейшие
задачи на определение условного экстремума (сводящиеся к случаю одного переменного).
Разобрать в аудитории и дома, в зависимости от подготовки группы: [2, №№ 13.10913.111] и [9, стр.13, задание IX,по выбору].
Занятие 5.Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значение функций двух переменных. ). Разобрать в аудитории и дома, в зависимости от подготовки группы: [2, №№
13.112-13.115] и [9, стр.15, задание X,по выбору].
Занятие 6. Контрольная работа.
Занятие 7. Задачи линейного программирования: составление задач, переход от канонического вида к стандартному и от стандартного к каноническому. Разобрать в аудитории и
дома, в зависимости от подготовки группы: [2: №№ 28.3-28.4, 28.7-28.12; на задачах 28.328.4 в конце занятия - идея графического решения]
Занятие 8. Графический метод решения задач линейного программирования. В аудитории [2: №№ 29.6, 29.7, 29.12, ,29.20, 29.24], дома [2: №№ 29.8, 29.10, 29.11, 29.19, 29.25].
Занятия 9-10. Симплекс-метод и метод искусственного базиса. Разобрать в аудитории и
дома, в зависимости от подготовки группы: [2, №№ 30.12-30.30, 30.32, 30.3, 30.38, 30.39,
30.46, 30.47, 30.52, 30.53]
Занятие 11. Контрольная работа.
Занятие 12. .Решение двойственных задач, основные теоремы двойственности. Разобрать в аудитории и дома, в зависимости от подготовки группы: [2: №№ 31.4-1.5, 31.11,
31.14-31.17, 31.24-31.31 – с большим самостоятельным домашним заданием].
Занятие 13. Вторая теорема двойственности (разбор домашнего задания). Составление
математической модели и получение начального опорного плана транспортной задачи. Разобрать в аудитории и дома, в зависимости от подготовки группы: [2: №№ 32.2-32.3, 32.632.9, опережающее дом. задание].
Занятие 14. Транспортная задача. Метод потенциалов. Разобрать в аудитории и дома, в
зависимости от подготовки группы: [2: №№ 32.6-32.9 – решить, уже имея опорные начальные планы, 32.11-32.12-32.3, 32.6-32.9, опережающее дом. задание для открытой задачи –
разобрать решение 32.10 и решить 32.13-32.14].
Занятие 15.Открытая модели транспортной задачи и транспортная задача с ограничениями на пропускную способность. Разобрать в аудитории и дома, в зависимости от подготовки группы: [2: №№ 32.15, 32.17-32.24, 32.34-32.37 с большим самостоятельным домашним
заданием
Занятие 16. Обзорное (разбор домашних заданий).
Занятие 17. Контрольная работа
3.4. КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
ТРЕБОВАНИЯ К ЭКЗАМЕНУ
Оценка может быть выставлена по итогам семестра или в результате двухступенчатого
письменного экзамена.
А) Условия получения оценки «автоматом». В течение семестра выполнить на положительную оценку три контрольных работы, включающих теоретические вопросы и практические задания (образцы прилагаются). Оценка выводится как среднее арифметическое.
Студент вправе согласиться с оценкой или претендовать на более высокую. В последнем случае он освобождается от первой части экзамена.
Б) Первая часть экзамена состоит из вопросов на знание определений и простейших
заданий. Успешно выполнивший задание студент получает оценку «удовлетворительно» и,
если набрал необходимое количество баллов, допускается ко второй части. В экзаменационные билеты второй части экзамена включаются вопросы на знание теории (с доказательством), умение ее применить и практические задачи.
ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА
1-Я ЧАСТЬ (УРОВЕНЬ «3»)
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ (все без доказательства)
1. Функции двух переменных: определение f(x,y), понятие о графике и линиях уровня.
2. Частные и полное приращения функции f(x,y), определение частных производных первого порядка.
3. Частные производные f(x,y) второго порядка и теорема о совпадении смешанных
частных производных.
4. Направляющие косинусы, определение производной функции f(x,y) по направлению и
теорема о формуле для вычисления такой производной.
5. Градиент функции f(x,y) в точке, его величина и смысл.
6. Определение точек безусловного экстремума функции f(x,y). Стационарные точки.
7. Необходимые и достаточные условия точки безусловного экстремума (формулировки).
8. Определения внутренней и граничной точек множества, области, границы, ограниченного и замкнутого множества.
9. Свойства функции, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве.
10. Основные понятия математического программирования: постановка задачи, целевая
функция, допустимое решение, область допустимых решений, оптимальное решение.
11. Канонический и стандартный (в том числе симметричный) вид задачи матем. программирования. Частный случай для задач линейного программирования.
12. Выпуклое множество (геометрическое и аналитическое определения). Угловая точка,
выпуклая многогранная область и выпуклый многогранник..
13. Теорема об области допустимых решений целевой функции и теорема о целевой
функции для задачи линейного программирования.
14. Линии уровня и опорные прямые для целевой функции двух переменных в задаче линейного программирования, теорема об изменении целевой функции.
15. Ограниченное и замкнутое множества (определения), основная теорема линейного
программирования.
16. Теорема о возможности графического решения задачи линейного программирования n
переменных.
17. Основные понятия симплекс-метода: вид задачи, базисное решение, опорное решение,
невырожденное решение, базис опорного решения. Два основных утверждения.
18. Метод искусственного базиса: построение расширенной задачи, две леммы. Балансовые и искусственные переменные.
19. Метод искусственного базиса: построение расширенной задачи и признак оптимальности решения.
20. Метод искусственного базиса: построение расширенной задачи и признак несовместности системы ограничений.
21. Метод искусственного базиса: построение расширенной задачи и признак неограниченности целевой функции.
22. Симметричные и несимметричные пары двойственных задач.
23. Симметричные пары двойственных задач, основное неравенство теории двойственности.
24. Симметричные пары двойственных задач, случай неограниченной целевой функции.
25. Симметричные пары двойственных задач, первая теорема двойственности.
26. Симметричные пары двойственных задач, вторая теорема двойственности.
27. Транспортная задача и ее математическая модель. Условие правильного баланса и теорема о разрешимости транспортной задачи. Открытая и закрытая транспортные задачи.
28. Векторная форма математической модели транспортной задачи. Теорема о ранге матрицы системы ограничений транспортной задачи, ее следствия.
29. Занятые и свободные клетки, цикл и лемма о цикле. Критерий опорности допустимого
решения транспортной задачи.
30. Теорема о свободной клетке, определение означенного цикла, сдвиг по циклу и теорема об опорном решении.
31. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
1.Нахождение частных производных 1-го и 2-го порядков.
2. Определение производной по направлению и градиента функции в точке.
3. Нахождение точек безусловного экстремума функции двух переменных.
4. Определение наибольшего (наименьшего) значения функции на замкнутом ограниченном
множестве.
5. Переход от одной задачи линейного программирования к другой.
6. Составление математических моделей, сводящихся к задаче линейного программирования.
7. Графическое решение задач линейного программирования для функции двух переменных
для разных областей допустимых решений (с использованием опорных прямых или учитывающее замкнутость и ограниченность области)
8. Решение задач линейного программирования симплекс-методом (построение таблиц,
определение опорного плана, проверка опорного плана на оптимальность, выбор разрешающего элемента и переход к новому опорному плану).
9. Применение метода искусственного базиса.
10. Построение задачи, двойственной к исходной (как симметричной, так и
несимметричной).
11. Определение оптимального плана одной из двойственных задач по известному оптимальному решению второй с помощью первой или второй теорем двойственности.
12. Построение математической модели транспортной задачи.
13. Построение начального опорного плана транспортной задачи методами северозападного угла и минимальной стоимости.
14. Проверка опорного плана транспортной задачи на оптимальность методом потенциалов.
15. Переход к новому опорному плану (сдвиг по циклу).
16. Решение закрытой и открытой транспортной задачи
2-Я ЧАСТЬ (УРОВЕНЬ «4» И «5»)
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. Частные и полное приращения функции f(x,y), определение частных производных первого порядка. Частные производные f(x,y) второго порядка и теорема о совпадении
смешанных частных производных (формулировка).
2. Определение функции двух переменных, дифференцируемой в точке. Свойства такой
функции (доказывать существование производных первого порядка).
3. Сложная функция и теорема о производной сложной функции (формулировка).
4. Направляющие косинусы, определение производной функции f(x,y) по направлению,
теорема о формуле для вычисления такой производной (формулировка). Градиент
функции в точке и теорема о связи с производной по направлению (доказывать).
5. Необходимое (с доказательством) и достаточное условие экстремума функции двух
переменных.
6. Вывод формулы наименьших квадратов для линейной зависимости.
7. Вывод формулы наименьших квадратов для квадратичной зависимости.
8. Каноническая и стандартная задачи линейного программирования. Теорема о связи
решений (доказывать).
9. Метод искусственного базиса, три основных теоремы (формулировки).
10. Симметричные пары двойственных задач, основное неравенство теории двойственности (доказывать).
11. Симметричные пары двойственных задач, две теоремы двойственности (формулировки).
12. Транспортная задача, условие правильного баланса и теорема о разрешимости транспортной задачи (доказывать).
13. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.
14. Понятие о задачах динамического программирования.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
1.Нахождение дифференциалов 1-го и 2-го порядков.
2. Определение производной по направлению и градиента функции в точке.
3. Нахождение частных производных сложной функции.
4. Нахождение точек экстремума функции двух переменных.
5. Нахождение точек условного экстремума функции двух переменных методом Лагранжа.
6. Составление математических моделей, сводящихся к задаче линейного программирования.
7. Графическое решение задач линейного программирования для функции n переменных (с
объяснением возможности)
8. Решение задач линейного программирования методом искусственного базиса.
9. Совместное решение двойственных задач.
10. Решение транспортных задач: закрытой, открытой, с ограничениями на пропускную
способность.
11. Решение простейших задач целочисленного программирования.
ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
Контрольная работа № 1
1. Уметь находить частные производные 1-го и 2-го порядка функции двух переменных.
2. Уметь находить дифференциалы 1-го и 2-го порядка функции двух переменных.
3. Уметь находить градиент функции двух переменных, величину градиента, производную по
направлению (в указанной и произвольной токе).
4. Уметь проверить необходимые условия точки безусловного экстремума функции двух переменных.
5. Уметь проверить, выполняются ли для предложенной точки достаточные условия безусловного
экстремума функции двух переменных.
6. Уметь найти точки безусловного экстремума функции двух переменных.
7. Уметь найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в заданной области.
8. Уметь найти условный экстремум функции двух переменных в простейших случаях (подстановкой).
9. Уметь найти условный экстремум функции двух переменных с помощью функции Лагранжа.
10. Уметь применить метод наименьших квадратов.
ОБРАЗЕЦ ВАРИАНТА
Критерии оценок: «3» - от 8 до 12 баллов по первой части; «4» - 14-17 баллов по обеим частям;
«5» - 18-21 балл.
f
1. (3б) Найти производную по направлению
(M ) , если f ( x, y ) x 2 y xy 1 , M(2;4), l=(1;2).
l
2 f
2. (2б) Для функции f ( x, y) ln( x 2 3xy 4 y) найти смешанные частные производные
,
xy
2 f
и доказать их равенство.
yx
3. (3б) Для функции f ( x, y) 3x 2 4 xy 2 y 2 10 x 1 выписать дифференциал второго порядка и
найти точки безусловного локального экстремума (охарактеризовать их).
4. (2б) Найти экстремумы функции f ( x, y) x 2 2 xy 5 при условии y x 2 4 .
5. (4б) Найти наибольшее и наименьшее значения функции f ( x, y) x 2 xy y в области, ограниченной линиями x+y=1, x=0, y=0.
--------------F
F
(1;3) для сложной функции F ( x, y) f (5 x y 2 , x 3 / y) (f дифференци6. (4б) Найти
(1;3) ,
y
x
руема).
7. (3б) Данные о среднесуточной температуре в течение 5 дней наблюдения приведены в таблице.
Составить уравнение линейной зависимости y(x) и определить ожидаемую среднесуточную температуру на 10-й день наблюдений.
X (номер дня)
1
2
3
4
5
Y (температура), в
6
8
10
9
12
градусах Цельсия
Контрольная работа № 2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. Определения целевой функции, системы ограничений, допустимого решения, области
допустимых решений, оптимального решения.
2. Каноническая и стандартная (произвольная и симметричные) задачи линейного программирования.
3. Определения граничной точки множества, ограниченного множества, замкнутого множества, выпуклого множества, выпуклой многогранной области и выпуклого многогранника.
4. Формулировка теоремы об области допустимых решений задачи линейного программирования.
5. Формулировка теоремы о целевой функции задачи линейного программирования.
6. Понятие о линиях уровня целевой функции и опорных прямых.
7. Основная теорема линейного программирования.
8. Основные понятия симплекс-метода: базисное решение, опорное решение, невырожденное
опорное решение, базис опорного решения.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
1. Переход от одной задачи линейного программирования к другой.
2. Составление математических моделей, сводящихся к задаче линейного программирования.
3. Графическое решение задач линейного программирования для разных областей допустимых решений (с использованием опорных прямых или учитывающее замкнутость и ограниченность области)
4. Решение задач линейного программирования симплекс-методом (построение таблиц, определение опорного плана, проверка опорного плана на оптимальность, выбор разрешающего элемента и
переход к новому опорному плану).
5. Применение метода искусственного базиса.
ОБРАЗЕЦ ВАРИАНТА
1. Дать определение выпуклого множества. Какие из множеств А, В, С являются выпуклыми? (1 балл)
А
В
С
2. Для производства «любительской» и «ливерной» колбас закуплено 36 кг
мяса, 30 кг сала, 36 кг ливера. Компоненты, необходимые для производства
10 кг колбасы каждого вида приведены в таблице. Прибыль от продажи 10
кг «любительской» колбасы составляет 120р., «ливерной» - 70 р,. Составить матем. модель задачи определения кол-ва выпущенных колбас, приносящего максимальную прибыль (1 балл). Построить область допустимых
решений этой задачи (1 балл)
f ( X ) x1 3 x 2 max,
3. Перейти к
каноническому
виду (1 балл).
x1 x 2 6
x 3 x 3
1
2
x
2
x
2 2
1
2 x1 x 2 6
4. Решить задачу линейного
программирования
графически.
(3балла )
Виды
ресурсов
Мясо
Сало
Ливер
Затраты
«Люб»
6
6
0
«Лив»
4
0
6
f ( X ) 2 x1 x 2 min,
x1 3x 2 6
2x x 7
1
2
x
x
2 1
1
x1 0, x 2 0
5. Сформулировать признак неограниченности целевой функции в методе искусственного базиса (1балл).
6. Дана симплекс-таблица задачи линейного программирования (1), f(x) min. Указать базисные переменные,
выписать опорное решение и значение функции для него, проверить, является ли оно оптимальным (объяснить,
почему). (1 балл) Завершить решение задачи симплекс-методом (1 балл).
7. Решить задачу (2) симплекс-методом (3 балла ) 8. Решить задачу (3) методом искусственного базиса (4 балла)
Баз
f
x1
2
3
-1
3
x 2 x3
1
0
0
0
-1
6
1
-6
x4
0
1
0
0
x5
0
0
1
0
4
3
5
1
f ( X ) x1 2 x2 4 x3 min,
f ( X ) 2 x1 3 x2 2 x4 max,
B
(1)
x1 x2 x3 2 x4 3
5 x1 2 x2 x3 7 x4 9
x 0, i 1, 2,3, 4
i
(2)
x1 2 x2 3 x3 8
x1 4 x2 4 x3 18
x1 4 x2 5 x3 18
x 0, i 1, 2,3, 4
i
Контрольная работа № 3
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. Основное неравенство теории двойственности.
2. Первая теорема двойственности.
3. Вторая теорема двойственности.
4 Цикл, означенный цикл (определения).
5 Теорема о свободной клетке для транспортной задачи.
6. Теорема об опорном решении транспортной задачи.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
1. Построение задачи, двойственной к исходной (как симметричной, так и несимметричной).
Решение любым способом (симплекс-метод, графический способ).
(3)
2. Определение оптимального плана одной из двойственных задач по известному оптимальному
решению второй с помощью первой или второй теорем двойственности.
3. Построение математической модели транспортной задачи.
4. Построение начального опорного плана транспортной задачи методами северо-западного угла и
минимальной стоимости.
5. Проверка опорного плана транспортной задачи на оптимальность методом потенциалов.
6. Переход к новому опорному плану (сдвиг по циклу).
7. Решение транспортной задачи: закрытой, открытой , с ограничениями на пропускную способность.
ОБРАЗЕЦ ВАРИАНТА
1.Сформулировать определения цикла и означенного цикла (1б.)
f ( X ) 2 x1 5 x2 max
2. Записать задачу, двойственную к исходной (1б.).
2x x 4
Зная, что X*=(2,6) - оптимальное решение исходной 1 2
задачи, определить оптимальные значения f(X*) и
x1 x2 4
*
*
F(Y ) и найти оптимальное решение Y двойствен x1 2 x2 14
ной задачи с помощью второй теоремы двойствен x 4
1
ности (2б.). Сами задачи не решать!
x
1,2 0
3. Для предложенной транспортной задачи: выписать начальные опорные решения методом северозападного угла и методом минимальной стоимости
и сравнить значения целевой функции (2б.)
4. Записать задачу, двойственную к исходной (1б.).
Решить исходную задачу симплекс-методом (1б.)
Найти опт. решение Y* и оптимальное значение
F(Y*) с помощью первой теоремы двойственности
(2б.).
5. Решить предложенную транспортную задачу с
ограничениями на пропускную способность:
x32 30, x33 30 . (4б.)
В
А
100
200
200
450
1
3
4
4
6
8
7
4
12
3
9
2
250
300
400
f ( X ) 7 x1 15 x2 3 x3 2 x4 min
x1 x2 x4 6
2 x1 x3 x4 2
x1,2,3,4 0
В
А
40
60
90
90
30
1
9
3
5
90
3
5
4
7
60
4
2
5
2
60
5
4
4
6
ОБРАЗЕЦ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА 1-й ЧАСТИ
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ, специальность МЕНЕДЖМЕНТ ОРГАНИЗАЦИЙ
ЭКЗАМЕН ПО КУРСУ «Высшая математика (линейная алгебра-2)»
«Тестовая часть» (уровень «3»)
Ф.И.О. ___________________________________________ Курс, группа_______
БИЛЕТ N
В таблице приводится ответ, решение – на следующих листах. В случае отсутствия подробного,
с объяснениями, решения, ответ не засчитывается. Для получения оценки «3» необходимо набрать 1015 баллов, для допуска ко второй части экзамена – 16-18 баллов.
ВОПРОС
1. Частные и полное приращения функции f(x,y), определение частных производных первого порядка (1 балл)
2. Найдите df
(1;1)
для функции
f ( x, y) x ln( x 2 xy 2 y) (2 балла)
3. Найдите точки локального безусловного экстремума и экстремальные значения функции
f ( x, y) 2 x 2 y x 2 3 y 2 (2 балла)
4. Перечислите свойства функций, непрерывных на ограниченном замкнутом
множестве. (1 балл)
5. У Вас есть запасы стали (12 т.) и меди (13 т.), из которых можно производить детали А, В. Нормы расхода материала даны в таблице. Прибыль от продажи изделия А 6 у.е., изделия В 2 у.е.
Составить матем. модель задачи определения количества выпущенных изделий,
приносящего максимальную прибыль,
указать, где целевая функция. Построить
область допустимых решений этой задачи (2 балла)
Виды
ресурсов
Сталь
Медь
Затраты
А
3
5
В
4
2
6. Для задачи линейного программирования составить расширенную задачу
ОТВЕТ
(для решения методом искусств. базиса),
указать, какие переменные являются
балансовыми, какие искусственными.
Сформулировать теорему о признаке
неограниченности целевой функции
(2балла)
f ( X ) 3x1 4 x2 5 x3 max,
x1 x2 x3 4
3x x 2 x 12
1 2
3
x1 x2 2 x3 8
xi 0, i 1, 2,3
7. Решить симплекс-методом (2 балла)
f ( X ) 6 x1 3 x2 3 x3 2 x4 min,
10 x1 x2 2 x3 3 x4 2
6 x1 2 x2 3 x3 x4 18
xi 0, i 1, 2,3, 4
8. Составить задачу, двойственную к
исходной. Сформулировать первую теорему двойственности (2 балла)
f ( x) 2 x1 x2 2 x3 min
x1 2 x2 x3 2
2 x x 2 x 2
1
2
3
2 x1 x3 6
xi 0, i 1, 2,3
9. Решить транспортную задачу (2 балла)
В
11
7
8
4
А
2
5
8
1
9
8
3
9
2
16
7
4
6
3
5
10. Сформулировать условие правильного баланса, понятия об открытой и замкнутой транспортной задаче, теорему о
разрешимости транспортной задачи.
Определить тип транспортной задачи,
заданной таблицей, составить ее начальное опорное решение методом минимальной стоимости. (2 балла)
В
20
30
10
15
А
3
5
4
3
17
4
1
3
2
23
6
2
3
1
30
ОТВЕТ: f(x)=
В
11
А
7
8
4
9
2
5
8
1
16
8
3
9
2
5
7
4
6
3
ОБРАЗЕЦ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА 2-й ЧАСТИ
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ, специальность МЕНЕДЖМЕНТ ОРГАНИЗАЦИЙ
ЭКЗАМЕН ПО КУРСУ «Высшая математика (линейная алгебра-2)»,ЧАСТЬ 2
БЛАНК ОТВЕТА НА БИЛЕТ N
Ф.И.О. __________________________ Курс, группа_____ Оценка по семестру_______ ИТОГ______
ВОПРОСЫ:
1. Частные и полное приращения функции f(x,y), определение частных производных первого порядка.
Частные производные f(x,y) второго порядка и теорема о совпадении смешанных частных производных (формулировка).
2. Симметричные пары двойственных задач, основное неравенство теории двойственности (доказывать).
3. Решить графически задачу линейного программирования (1).
4. Решить транспортную задачу (2) с ограничениями на пропускную способность x44 20, x33 10 .
В
30
30
30
30
f ( X ) 2 x1 x2 2 x3 x4 max,
А
7
2
3
1
10
x1 x2 2 x3 x4 2
(1)
2
4
4
7
9 x1 x2 6 x3 5 x4 6
20
x 0, i 1, 2,3, 4
3
4
5
5
i
30
40
4
3
3
2
4. ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТ. СТАТИСТИКИ
4.1.ЛИТЕРАТУРА
1. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова. М.: ИНФРАМ, 2000. (весь лекционный курс)
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. В.И.Ермакова. М.:
ИНФРА-М, 2001. (весь практический курс)
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, 2003
4 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1977
или любое позднее издание.
5 Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике. М., Высшая школа, 1977 или любое более позднее издание.
6 Луценко А.И. Задачи по теории вероятностей. Ростов-на-Дону, 1998 (2003).
7 Справочник по математике для экономистов. Под ред. В.И.Ермакова. М.: Ввысшая школа,
1987. (все лекции и практические занятия)
8 Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике.
М.: ДИС, 1997
4.2. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ЛЕКЦИОННОГО КУРСА
Лекция 1. Основные понятия и формулы комбинаторики. Испытания и события. Виды событий. События полной группы и противоположные события. Классическое определение вероятности, простейшие свойства вероятности. Произведение и сумма событий.
ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел С, пп. 1.1,1.3], [4, гл. 1 §§ 1-5].
Лекция 2. Теорема сложения, следствия о вероятности событий полной группы и противополодных событий. Условная вероятность, теорема умножения. Теорема сложения для совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного события. Понятие о вероятностном
пространстве. Понятие о геометрической вероятности3. ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел С, пп.
1.2,2.1-2.4], [4, гл.1 § 8, гл. 2, гл.3 §§ 1-4, гл.4 § 1].
Лекция 3. Формула полной вероятности и формула Байеса. Повторные независимые испытания и формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Наивероятнейшее число появления событий. ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел С, пп. 3.1-3.4], [4, гл.
4 §§ 2-3, гл.5].
Лекция 4. Случайные дискретные величины. Закон распределения, многоугольник распределения. Функция распределения. Равномерное, биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое распределения, распределение Пуассона. ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел С, пп. 4.14.2], [4, гл. 6 §§ 1-5, 7-8].
Лекция 5. Числовые характеристики случайных дискретных величин (математическое
ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, начальные и центральные моменты). Сумма и произведение случайных дискретных величин. ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел С, пп.
4.3-4.6], [4, гл. 7-8].
Лекция 6. Закон больших чисел, теорема Чебышёва. ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел С, пп. 7.1],
[4, гл. 9].
Лекция 7. Непрерывные случайные величины, функция распределения и ее свойства.
Плотность распределения непрерывной случайной величины и ее свойства. Математическое
ожидание и дисперсия. ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел С, пп. 5.1,5.2], [4, гл. 10-11].
3
Факультативно
Лекция 8. Равномерный, экспоненциальный и нормальный законы распределения. Функция Лапласа. Особая роль нормального распределения и центральная предельная теорема.
ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел С, пп. 5.3-5.5,7.2], [4, гл. 12-13].
Лекция 9. Двумерная дискретная случайная величина, таблица распределения, частные
распределения компонент. Числовые характеристики двумерной дискретной случайной величины – математическое ожидание, ковариационный момент, коэффициент линейной корреляции и его свойства. ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел С, пп. 6.1-6.3], [4, гл. 14].
Лекция 10. Требования к статистическим данным, генеральная совокупность и выборка.
Повторная, бесповторная, репрезентативная выборки. Первичная обработка данных, статистическое распределение, эмпирическая и теоретическая функции распределения. Полигон и
гистограмма. Вариационный ряд и его характеристики (мода, медиана). ЛИТЕРАТУРА: [1,
раздел С, пп. 8.1-8.3], [4, гл. 15].
Лекция 11. Статистические оценки числовых параметров. Требования к оценкам (несмещенные, эффективные, состоятельные). Генеральная и выборочная средние. Групповая и общая средние, дисперсии. ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел С, пп. 9.1-9.4], [4, гл. 16 §§ 1-12].
Лекция 12. Точность оценки, доверительная вероятность, доверительный интервалы для
математического ожидания и дисперсии нормального распределения. Распределения «Хи
квадрат» и Стьюдента. ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел С, пп. 9.6-9.11], [4, гл. 16 §§ 14-16, 18, гл.12
§§ 13-14].
Лекция 13. Виды статистических гипотез, ошибки первого и второго рода. Критерии проверки статистических гипотез. Критическая область и область принятия гипотезы, критические точки. ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел С, пп. 10.1-10.4], [4, гл. 19 §§ 1-4].
Лекция 14. Три типа задач статистической проверки гипотез. Элементы теории корреляции
(функциональная, статистическая, корреляционная зависимости, условные средние, выборочные уравнения регрессии). ЛИТЕРАТУРА: [4, гл. 18 §§ 1-4].
Лекция 15. Корреляционная таблица, оценка коэффициентов линейной корреляции, выборочное уравнение прямой линии регрессии. ЛИТЕРАТУРА: [1, раздел С, пп. 11.1-11.3], [4, гл.
18 §§ 5-9].
Лекция 16. Понятие о методе Монте-Карло и цепях Маркова.. ЛИТЕРАТУРА: [4, гл.2122].
Лекция 17. Экономические приложения. ЛИТЕРАТУРА: [8].
4.3. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Занятие 1. Классическое определение вероятности. ЛИТЕРАТУРА: [2, пп. 19.1], [5,
гл. 1 §§ 1], [6, §§ 1]
Занятие 2. Вероятность суммы и произведения событий. Вероятность появления
хотя бы одного события. ЛИТЕРАТУРА: [2, пп. 19.2-19.3], [5, гл. 2 §§ 1-2], [6, §§ 2]
Занятие 3. Формула полной вероятности и формулы Байеса, повторные независимые
испытания, формула Бернулли, ЛИТЕРАТУРА: [2, пп. 19.3-19.4], [5, гл. 2 §§ 3-5], [6, §§
3-4]
Занятие 4. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа и применение
интегральной теоремы в оценках отклонения относительной частоты появления события от
его вероятности. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях.
ЛИТЕРАТУРА: [2, пп. 19.4-19.5], [5, гл. 3 §§ 24], [6, §§ 5-7]
Занятие 5. Обзорная контрольная работа.
Занятия 6-7-8. Дискретные и непрерывные случайные величины и их числовые
характеристики. ЛИТЕРАТУРА: [2, пп. 20.1-21.3], [5, гл. 4, гл. 6 §§ 1-3], [6, §§ 8-11].
Занятие 9. Нормальный закон распределения. ЛИТЕРАТУРА: [2, пп. 21.4], [5, гл. 6 §5],
[6, §12].
Занятие 10. Двумерные случайные величины и их числовые характеристики. Сумма и
произведение случайных величин. ЛИТЕРАТУРА: [2, пп. 22.1-22.2], [5, гл. 8], [6, § 13].
Занятие 11 Обзорная контрольная работа.
Занятия 12-13. Выборка, ее представление, статистическое оценивание. ЛИТЕРАТУРА:
[2, пп. 23.1-24.4], [5, гл. 9, 10].
Занятие 14. Проверка статистических гипотез. ЛИТЕРАТУРА: [5, гл. 13].
Занятие 15-16. Элементы теории корреляции. ЛИТЕРАТУРА: [2, пп. 26.1-26.2], [5, гл.
12].
Занятие 17. Обзорное (защита индивидуальных заданий)
4.4. КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
ТРЕБОВАНИЯ К ЭКЗАМЕНУ
Оценка может быть выставлена по итогам семестра или в результате двухступенчатого
письменного экзамена.
А) Условия получения оценки «автоматом». В течение семестра выполнить на положительную оценку три контрольных работы, включающих теоретические вопросы и практические задания (образцы прилагаются). Оценка выводится как среднее арифметическое.
Студент вправе согласиться с оценкой или претендовать на более высокую. В последнем случае он освобождается от первой части экзамена.
Б) Первая часть экзамена состоит из вопросов на знание определений и простейших
заданий. Успешно выполнивший задание студент получает оценку «удовлетворительно» и,
если набрал необходимое количество баллов, допускается ко второй части. В экзаменационные билеты второй части экзамена включаются вопросы на знание теории (с доказательством), умение ее применить и практические задачи.
ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА
1-Я ЧАСТЬ (УРОВЕНЬ «3»)
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ (все без доказательства)
32. Перестановки, сочетания и размещения (определение и примеры).
33. События (достоверные, невозможные, случайные, несовместные). Полная группа событий, противоположные события. Определения и свои примеры.
34. Классическое определение вероятности, свойства вероятности.
35. Условная вероятность, зависимые события, теорема умножения. Независимые события
и вероятность их произведения.
36. Сумма и произведение событий. Формулировки теорем сложения для несовместных и
совместных событий (с соответствующими определениями, включая следствия).
37. Теорема о появлении хотя бы одного события
38. Формула полной вероятности и формула Байеса.
39. Формула Бернулли и формула Пуассона. (с описанием ситуации, в которых они применяются).
40. Локальная теорема Лапласа, функция (x).
41. Интегральная теорема Лапласа, функция (x).
42. Биномиальный закон распределения (постановка задачи, общие формулы, построение
закона распределения в конкретных случаях).
43. Закон Пуассона (постановка задачи, общие формулы, построение закона распределения в конкретных случаях).
44. Геометрический закон распределения (постановка задачи, общие формулы, построение закона распределения в конкретных случаях).
45. Гипергеометрический закон распределения (постановка задачи, общие формулы, построение закона распределения в конкретных случаях).
46. Определения и основные свойства математического ожидания и дисперсии (перечислять, уметь применить).
47. Непрерывная случайная величина (НСВ),ее функция распределения (понятие и основные свойства).
48. НСВ, ее плотность распределения (понятие, связь с функцией распределения, основные свойства).
49. Равномерное распределение (постановка задачи, плотность распределения, функция
распределения, математическое ожидание и дисперсия).
50. Экспоненциальное распределение (постановка задачи, плотность распределения,
функция распределения, математическое ожидание и дисперсия).
51. Нормальное распределение (постановка задачи, плотность распределения, функция
распределения, математическое ожидание и дисперсия).
52. Вероятность попадания нормированной или нормально распределенной НСВ в числовой интервал (три основных задачи, связь с функцией Лапласа, правило трех сигм).
53. Неравенство Чебышёва, теорема Чебышёва и её следствие.
54. Теорема Бернулли и ее следствие. Понятие статистической вероятности.
55. Центральная предельная теорема.
56. Ковариация, ковариационная матрица, коэффициент корреляции. Коррелированные
случайные величины.
57. Функция распределения двумерной случайной величины, формула для определения
вероятности попадания значений случайной величины в заданный прямоугольник.
58. Определения генеральной совокупности и выборки, повторной, бесповторной, репрезентативной выборки.
59. Эмпирическая и теоретическая функции распределения и связь между ними; свойства
эмпирической функции распределения.
60. Определения несмещенных, смещенных, эффективных оценок.
61. Состоятельные оценки (определение) и суть метода моментов.
62. Доверительная вероятность (надежность), доверительный интервал. Определение доверительного интервала для оценки математического ожидания при нормальном распределении.
63. Определение статистических гипотез, нулевой и конкурирующей гипотез, ошибок 1-го
и 2-го рода.
64. Понятия статистического критерия, критической области, области принятия решения,
критических точек и уровня значимости, неравенства для поиска критических точек.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
- задачи на применение утверждений и формул вопросов 1-10;
- составление законов распределения ДСВ, вычисление их числовых характеристик, построение многоугольника распределения и функции распределения;
- вычисление числовых характеристик НСВ, определение плотности распределения по известной функции распределения;
- определение вероятности попадания значения НСВ в заданный числовой интервал (для
произвольного закона по общей формуле, а также для известных по вопросам 18-20 распределений);
- для дискретного вариационного ряда определение частот и относительных частот, построение эмпирической функции распределения, полигона частот (относительных частот),
вычисление точечных оценок;
- для интервального вариационного ряда определение частот и относительных частот, построение гистограммы частот (относительных частот);
- применение метода моментов для оценки параметров распределения генеральной совокупности;
- определение доверительного интервала для оценки математического ожидания при нормальном распределении.
2-Я ЧАСТЬ (УРОВЕНЬ «4» И «5»)
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. Арифметика событий, теоремы умножения и сложения (формулировки и применение).
2. Теорема сложения вероятностей для совместных событий (с доказательством).
3. Полная вероятность и формула Байеса (утверждения, применение).
4. Функции (x) и (x), локальная и интегральная теоремы Лапласа (формулировки,
применение).
5. Геометрическая вероятность и задача о встрече.
6. Геометрическое распределение ДСВ, доказательство факта о сумме pi.
7. Независимые случайные величины, их сумма и произведение, доказательство теорем о
M(X+Y), M(XY).
8. Определение дисперсии, вывод формулы для ее вычисления.
9. Теоремы о математическом ожидании и дисперсии числа появления события А в n независимых испытаниях (с доказательством).
10. Непрерывная случайная величина, функция распределения и ее свойства (с доказательствами).
11. Вывод формул для математического ожидания и дисперсии для экспоненциального,
нормального и равномерного законов распределения.
12. Неравенство Чебышёва (с доказательством).
13. Формулировки предельных теорем и их применение к решению задач.
14. Функция распределения двумерной случайной величины, формула для определения
вероятности попадания значений случайной величины в заданный прямоугольник.
15. Распределение «Хи-квадрат» и распределение Стьюдента.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ (приводятся только ОБРАЗЦЫ)
1. Применение теорем умножения и сложения к доказательству фактов, аналогичных следующим:
- доказать, что если событие А влечет за собой событие В, то P(B)P(A);
- для трех совместных событий P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).
2 . Доказательство дополнительных свойств математического ожидания и дисперсии (задачи в лекциях)
3. Решение задач - см. задачи контрольных работ, а также:
- Что вероятнее: выиграть у равносильного соперника 3 партии из 4 или 5 партий из 6?
- Известно, что 34% людей имеют первую группу крови, 37% - вторую, 21% - третью и
8% - четвертую. Больному с первой группой можно переливать только кровь первой группы, со второй - кровь первой и второй групп, с третьей - кровь первой и третьей групп, и
человеку с четвертой группой можно переливать кровь любой группы. Какова вероятность,
что произвольно взятому больному можно перелить кровь произвольно выбранного донора?
- Некоторое насекомое с вероятностью k e / k ! откладывает k яиц, где k=0,1,2,…, а число положительно. Вероятность развития потомка из яйца равна p. . Какова вероятность
того, что у насекомого будет ровно m потомков? Предположим, что выжило 10 потомков.
Какова вероятность, что при этом было отложено 20 яиц?
- В круг радиуса R наугад бросается точка. Найти функцию распределения и плотность
распределения расстояния этой точки до центра круга.
- Вероятность выхода из строя за время T одного конденсатора равна 0,02. Определить
вероятность того, что за время T из 100 конденсаторов выйдут из строя: а) не менее 20
конденсаторов; б)менее 28 конденсаторов.
- Для лица, дожившего до двадцатилетнего возраста, вероятность смерти на 21-м году
жизни равна 0.006. Застрахована группа 10000 лиц 20-летнего возраста, причем каждый застрахованный внес 120 рублей страховых взносов за год. В случае смерти застрахованного
родственникам выплачивается 10000 рублей. Какова вероятность того, что: а) к концу года
страховое учреждение окажется в убытке; б) его доход превысит 600000 рублей? Какой
минимальный страховой взнос следует учредить, чтобы в тех же условиях с вероятностью
0.95 доход был не менее 400000 рублей?
- Случайная величина X распределена по закону Симпсона (плотность имеет вид равнобедренного треугольника, длина основания которого равна 2a, а вершина лежит на оси ординат). Запишите выражение для плотности распределения, найдите функцию распределения, постройте ее график и найдите P(-a/2<x<a).
- Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, значения которой лежат в
указанном интервале. Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y, являющейся функцией от X: a) Y 1/ X 2 , x (0; ) ; б) Y 1/(1 X 2 ), x (; ) ; в)
1
.
Y X 3 2, x (; ) , f ( x)
(1 x 2 )
4. Нахождение точечных оценок и применение метода моментов.
5. Построение доверительных интервалов (с заданной надежностью) для оценки математического ожидания нормально распределенной СВ X по выборочной средней при известном
(X).
6. Оценка статистических гипотез (как для односторонних, так и для двусторонних критических областей):
- о значении генеральной дисперсии нормальной распределенной X при известной несмещенной выборочной дисперсии;
- о значении математического ожидания нормально распределенной X при известной несмещенной выборочной дисперсии.
(образцы заданий 4-6 смотри в контрольной работе № 3).
ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
Контрольная работа № 1
ЗНАТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФАКТЫ
1. Основные понятия и формулы комбинаторики (перестановки, сочетания, размещения ). Знать
формулы, уметь их применить.
2. События (достоверные, невозможные, случайные, несовместные). Полная группа событий, противоположные события. Определения и свои примеры.
3. Классическое определение вероятности, свойства вероятности (с доказательствами).
4. Сумма событий. Теорема сложения для несовместных событий (с доказательством)
5. Вероятности противоположных событий и событий полной группы (с доказательством).
6. Произведение событий, условная вероятность, теорема умножения.
7. Независимые события, теорема умножения для независимых событий.
8. Формулы полной вероятности, Байеса, Бернулли, Пуассона
9. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
ОБРАЗЦЫ ЗАДАЧ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО УРОВНЯ СЛОЖНОСТИ
1. Условная вероятность, обоснование равенства P ( A) PA ( B ) P ( B ) PB ( A)
2. Теорема сложения совместных событий (с доказательством).
3. Независимые события, доказательство независимости событий
A
и
B
,
A
и
B, A
и
B при условии независимости A и B.
4. Формула полной вероятности и формула Байеса (с выводом).
ОБРАЗЕЦ ВАРИАНТА
Для получения «3» необходимо набрать 7-9 баллов, «4» -10-12 баллов, «5» - 13-14 баллов.
1. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6? Сколько трехзначных
чисел можно составить из этих же цифр, если цифры не должны повторяться? (1б.)
2. Дать определения несовместных событий и противоположных событий. Сформулировать результат о вероятностях противоположных событий (1б.)
3. Из 20 студентов, среди которых 6 отличников, произвольным образом выбрали 5 человек.
Какова вероятность, что среди них окажется 4 отличника? (1б.)
4. Три баскетболиста пробивают по одному штрафному броску. Вероятность попадания первого 0,9; второго – 0,6; третьего 0,7. Какова вероятность того, что удачно выполнили
штрафные: а) хотя бы один баскетболист; б) два баскетболиста. (2б.)
5. Радиолампа может быть изготовлена на первом заводе с вероятностью 0,3 на втором с вероятностью 0,5 и на третьем с вероятностью 0,2. Вероятность того, что радиолампа не бракованная, для
первого завода составляет 0,1; для второго 0,2; для третьего 0,4. Определить вероятность того, что
произвольно взятая радиолампа качественная. Какова вероятность, что качественная радиолампа изготовлена на третьем заводе? (2б.)
6. На базу отправлено 500 изделий, причем вероятность повреждения изделия в пути равна
0,002. Какова вероятность того, что в пути повреждено 4 изделия? (1б)
7. Найти вероятность того, что событие А наступит 1500 раз в 2100 испытаниях, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,7? Какова вероятность, что это событие наступит не
менее 1500 раз? (2б.)
8. Товаровед осматривает 20 деталей. Вероятность того, что каждая деталь будет признана качественной, равна 0,6. Найти вероятность признания годными наивероятнейшего числа деталей. (2б.)
9. Дайте определение независимых событий и докажите независимость событий A и
условии независимости A и B. (2б)
B
при
Контрольная работа № 2
1. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (ДСВ)
- знать определение ДСВ, закона распределения и функции распределения ДСВ;
- уметь по заданному закону распределения построить многоугольник распределения, функцию
распределения и ее график;
- уметь построить закон распределения по текстовым задачам
2. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДСВ.
- биномиальный (знать постановку задачи, общие формулы, уметь строить закон распределения
в конкретных случаях);
- закон Пуассона (знать постановку задачи, общие формулы, уметь строить закон распределения в конкретных случаях);
- геометрический (знать постановку задачи, общие формулы, уметь строить закон распределения в конкретных случаях; уровень «4» и «5» - уметь доказать, что сумма вероятностей
сходится к 1);
- гипергеометрический (знать постановку задачи, общие формулы, уметь строить закон распределения в конкретных случаях);
3. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
знать определения и смысл математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного
отклонения;
- уметь находить M(X), D(X), (X) по заданным законам распределения;
- выводить формулу для вычисления дисперсии ДСВ (уровень «4» и «5»)
- знать основные свойства математического ожидания и дисперсии, связанные с константой
(уровень «4» и «5» - с выводом);
- знать понятия «независимые дискретные величины» и их произведение; знать формулу для
определения математического ожидания произведения независимых ДСВ (уровень «4» и «5»
- с выводом);
- знать понятия «независимые дискретные величины» и их сумма; знать формулу для определения математического ожидания суммы независимых ДСВ (уровень «4» и «5» - с выводом);
- знать формулы для определения математического ожидания и дисперсии ДСВ Х - числа появлений события А в n независимых испытаниях (уровень «4» и «5» - с выводом);
- применять свойства математического ожидания и дисперсии на практике (к задачам, аналогичным N 34 по задачнику Луценко или для вычислений, аналогичных поиску М(5X-3Y));
- уметь решатьзадачи, поставленные на лекции.
4. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (НСВ)
- знать понятие о НСВ и ее функции распределения (понятия);
- знать основные свойства функции распределения НСВ (уровень «4» и «5» - с выводом);
- знать понятие о плотности распределения НСВ и связь между плотностью распределения и
функцией распределения; уметь находить одну характеристику, зная другую, строить их графики;
- знать определения числовых характеристик НСВ, формулу для нахождения дисперсии НСВ
(уровень «4» и «5» - с выводом), уметь их находить;
уметь доказывать свойства математического ожидания и дисперсии (для M(C), M(CX),
D(C), D(CX))/
- равномерное распределение (постановка задачи, плотность распределения, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия - уровень «4» и «5» с выводом, практическое
применение);
- экспоненциальное распределение (плотность распределения, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия - уровень «4» и «5» с выводом, практическое применение,
определение вероятности того, что НСВ X принимает значение в интервале (a;b));
6. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
- знать понятия плотность распределения, математическое ожидание и дисперсия - уровень «4»
и «5» с выводом, смысл параметров в плотности распределения;
- знать понятия общего и нормированного распределений, их функции распределения;
- уметь найти вероятность попадания нормированной или нормально распределенной НСВ в
числовой интервал (связь с функцией Лапласа);
- знать понятие нормальной кривой и уметь охарактеризовать ее поведение по параметрам
плотности распределения;
- уметь находить вероятность отклонения и знать правило трех сигм;
7. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ (знать формулировки)
- неравенство Чебышёва (уровень «4» и «5» с доказательством);
- теорема Чебышёва, следствие теоремы Чебышёва и его суть;
- теорема Бернулли;
-
- основная предельная теорема.
ОБРАЗЕЦ ВАРИАНТА
1. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения
0, x 0
f ( x) x / 8, 0 x 4 . Построить график плотности распределения. Найти функцию распределе 0, x 4
ния и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. (4 балла)
2. Из коробки с пятью синими и тремя зелеными карандашами наугад взяли 2. Составить закон
распределения дискретной случайной величины X - числа синих карандашей из взятых. (2 балла)
3. Дать определение дисперсии для дискретной случайной величины, перечислить свойства (без
дополнительных определений), доказать формулу D(X+Y)=D(X)+D(Y). (2 балла)
X
1
3
5
4. Дискретные случайные величины X и Y заP
0,4
0,4
0,2
даны табличными законами распределения. Не
строя закон распределения дискретной случайY
-2
0
3
ной величины Z=2X-XY+Y, найти M(Z). (1 балл)
Q
0,3
0,6
0,1
5. Все значения дискретной случайной величины находятся в числовом интервале [3; 13]. Докажите, что выполняется неравенство 3M(X)13. (1 балл)
6. Непрерывная случайная величина X распределения по показательному закону с функцией распределения F ( x) 1 e 3 x , x 0 (при x<0 F(x)=0). Записать плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию. Определить вероятность попадания значений X в числовой интервал
(0,2; 0,7). (2 балла)
7. Непрерывная случайная величина X подчинена нормальному закону и имеет математическое
ожидание
m = –2 и дисперсию D=16. Записать плотность распределения, найти границы симметричного относительно m интервала, в который X попадает с вероятностью 0,823. (2 балла)
8. Вероятность появления события в одном испытании 1/4. Определить среднее значение числа
появления события в серии из 100 испытаний и оценить вероятность того, что число появления события в этой серии отклоняется от своего среднего значения не менее чем на 10 раз. (2 балла)
Контрольная работа № 3
1. Двумерные случайные величины (уметь составить закон распределения двумерной случайной
величины; знать определения ковариации, ковариационной матрицы, коэффициента коррелированности.)
2. Функция распределения двумерной случайной величины (знать определение и геометрическую
суть, знать формулу для определения вероятности попадания случайной величины в заданный прямоугольник и уметь применять).
3. Функции случайных величин.
- уметь строить законы распределения для функций от дискретных случайных величин;
- для функций от непрерывных случайных величин уметь находить плотность распределения
(случаи монотонной и кусочно-монотонной функции) и определять математическое ожидание и
дисперсию.
4. Выборки.
- знать понятия генеральной совокупности и выборки, повторной, бесповторной,
репрезентативной выборки; знать понятия «варианта», «частота», «относительная частота»
- уметь строить дискретные вариационные ряды, строить полигоны частот и относительных частот;
уметь строить интервальные вариационные ряды, гистограммы частот и относительных частот;
- знать понятие эмпирической и теоретической функций распределения и связь между ними;
- знать свойства эмпирической функции распределения, уметь ее строить.
5. Статистические оценки.
-знать определения несмещенных, смещенных, эффективных оценок;
- знать основные точечные оценки (понятия, нахождение выборочной средней, выборочной дисперсии и выборочного квадратичного отклонения) и наличие у них свойства смещенности, уметь вычислять точечные оценки и несмещенную дисперсию.
6. Метод моментов (понятие состоятельной оценки, суть метода, решение задач на определение
параметров распределения генеральной совокупности)
7. Интервальные оценки (знать понятия интервальной оценки, доверительной вероятности, доверительного интервала, уметь находить доверительные интервалы для оценки параметров нормального
распределения;
8. Статистические гипотезы
- знать общее определение, понятия нулевой и конкурирующей гипотез, ошибок 1-го и 2-го рода;
статистического критерия, критической области, области принятия решения, критических точек и
уровня значимости;
- знать неравенства для поисков критических точек;
- знать и уметь применять критерий оценки гипотезы о численном значении генерального математического ожидания при неизвестной генеральной дисперсии;
- знать и уметь применять критерий оценки гипотезы о численном значении генеральной
дисперсии при известной несмещенной дисперсии.
ОБРАЗЕЦ ВАРИАНТА (Оценка «3» ставится, если в первых 5 заданиях набрано от 6 до 9 баллов,
оценка «4» если набрано от 10 до 12 баллов, оценка «5» - более 12 баллов.
1. Дайте определение ковариации, запишите ковариационную матрицу для случайной величины
(X,Y). Запишите коэффициент корреляции. Являются ли коррелированными величины X, Y, если
r(x,y)=-0,01? (1балл)
2. Для заданной выборки объема n=40 найдите частоты,
постройте полигон относительных частот, найдите эмпирическую функцию распределения и выборочное среднее (2,5
балла)
x
i
i
0,0
01
w 3/4
0
3. Случайная величина X распределена по нормальному закону.
Запишите общую формулу плотности и найдите оценки параметров
распределения по заданной выборке (2 балла)
0,0
02
7/4
0
x
0,0
05
0,0
06
0,0
09
1/4
3/8
1/8
1
2
3
5
4
3
7
6
i
n
i
4. Из партии электроламп для проверки выбраны 100 штук. Средняя продолжительность их горения
оказалась равной 1000 часов. Найти с надежностью 0,97 доверительный интервал для средней продолжительности горения ламп всей партии, если известно, что продолжительность горения ламп распределена нормально, а среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы равно 40 часам. (1,5 балл).
3e x , x [0, 6]
5. Непрерывная случайная величина X имеет плотность распределения f ( x)
.
x [0, 6]
0,
Случайная величина Y определена соотношением Y 2 X . Найти плотность распределения g(y) и
M(Y). (3 балла)
----------------6. Стандартный (средний) размер подшипника a=35 мм. В выборке из 26 подшипников средний
размер составил 35,3мм при несмещенном среднем квадратичном отклонении 0,1мм. При уровне значимости 1% проверить гипотезу Н0 «станок производит стандартные подшипники» при альтернативной гипотезе Н1 «станок производит подшипники, размер которых больше стандарта». Каким может
быть стандартный размер подшипника, чтобы гипотеза Н0 была принята? (2 балла).
7. . Из коробки с 4 красными, 3 синими карандашами и 5 зелеными карандашами извлечены произвольным образом 3. Пусть X – число красных карандашей, Y – синих (среди этих трех). Составить
закон распределения двумерной случайной величины (X,Y) (2 балла)
ОБРАЗЕЦ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА 1-й ЧАСТИ
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ, специальность МЕНЕДЖМЕНТ ОРГАНИЗАЦИЙ
ЭКЗАМЕН ПО КУРСУ «Высшая математика (теория вероятностей)»
«Тестовая часть» (уровень «3»)
Ф.И.О. ___________________________________________ Курс, группа_______
БИЛЕТ N 1
В таблице приводится ответ, решение – на следующих листах. В случае отсутствия подробного,
с объяснениями, решения, ответ не засчитывается. Для получения оценки «3» необходимо набрать 1015 баллов, для допуска ко второй части экзамена – 16-18 баллов.
ВОПРОС
1. Дайте определение условной вероятности
и зависимых событий. Предположим, что в
коробке лежат 4 зеленых и 6 красных карандашей. По очереди (без возвращения,
произвольным образом) извлечены два карандаша. Найдите вероятность того, что
последовательность извлечения – «зеленый,
красный».
2. Закон Пуассона (постановка задачи, общие формулы). Известно, что станокавтомат производит стандартные детали с
вероятностью 0,99. Определите вероятность
того, что среди 200 деталей окажется ровно
4 бракованных.
3. Сформулируйте локальную теорему
Лапласа. Найдите вероятность того, что в
событие А наступит ровно 500 раз в 1700
событиях, если вероятность его появления в
каждом испытании равна 0,75.
4. Из 10 студентов, среди которых 4 отлич-
ОТВЕТ
ника, произвольным образом выбрали 5 человек. Какова вероятность, что среди них
окажется 2 отличника?
5. Экспоненциальное распределение (постановка задачи, плотность распределения,
функция распределения, математическое
ожидание и дисперсия). Если известно, что
СВ Х распределена по экспоненциальному
закону и ее математическое ожидание равно
3, то как выглядит функция распределения
F(X)?
6. Для заданной выборки найдите относи-
тельные частоты, выборочное среднее и
выборочную дисперсию, постройте полигон
частот.
xi
1
3
7
12
ni
8
16
6
10
7. Дайте понятия доверительной вероятности (надежности) и доверительного интервала. Из партии электроламп для проверки
выбраны 100 штук. Средняя продолжительность их горения оказалась равной 1000 часов. Найти с надежностью 0,97 доверительный интервал для средней продолжительности горения ламп всей партии, если известно, что продолжительность горения ламп
распределена нормально, а среднее квадратическое отклонение продолжительности
горения лампы равно 40 часам
ЭКЗАМЕНАТОР ____________ /Ю.С.Налбандян/
ЗАВ.КАФЕДРОЙ_________ А.В.Абанин
ОБРАЗЕЦ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА 2-й ЧАСТИ
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ, специальность МЕНЕДЖМЕНТ ОРГАНИЗАЦИЙ
ЭКЗАМЕН ПО КУРСУ «Высшая математика (теория вероятностей)»
БЛАНК ОТВЕТА НА БИЛЕТ N 1
Ф.И.О. ___________________________________________ Курс, группа_______
Оценка
по семестру
1
2
3
Итог
Роспись экзаменатора
«5» выставляется в случае полного и обоснованного
ответа на все вопросы; «4» - в случае ответа на все
три вопроса с недочетами или в случае ответа на 2
вопроса (при наличии «4» по семестру). «3» выставляется во всех остальных случаях.
ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте понятие геометрической вероятности и с его помощью решите следующую задачу. Вы с другом договорились встретиться около деканата между 10 и 11 часами дня, причем пришедший первым ждет другого в течение 20 минут и уходит. Какова вероятность того, что встреча
состоится, если время прихода обоих произвольно?
2. Сформулируйте и докажите неравенство Чебышёва, сформулируйте теорему Чебышёва.
3. По выборке объема n=16, извлеченной из нормально распределенной генеральной совокупности, найдены выборочная средняя xв 121,3 и выборочная дисперсия dв 12,15 . При уровне значимости 0,01 проверить гипотезу «математическое ожидание генеральной совокупности равно a0 =120»
при конкурирующей гипотезе «математическое ожидание генеральной совокупности более a0 ».
ТЕКСТ ОТВЕТА (указывать только номер вопроса, порядок произвольный)
