Анализ качества выполнения задач по математике

Городская математическая олимпиада школьников 2012 г.
Члены жюри и методическая группа: И.И.Волкова, Е.В. Пластинина, Е.А. Канева.
Анализ качества выполнения олимпиадных задач по математике.
Олимпиада по математике проводилась6марта 2012. в УГТУ. В ней приняли
участие 120 учащихся 11-го класса г.Ухты, г. Сосногорска и Ухтинского района.
Всего было предложено для решения 7 задач.:
1. Найдите минимальное натуральное n, при котором выражение
n(n + 1)(n+ 2)(n + 3) делится на 2012.
(10 баллов)
2. Найти сумму n чисел вида 1, 11, 111, 1111…….
(10 баллов)
3. Решить уравнение 3 sin 0,25x  42  sin 2 0,25x  6 sin 0,25x  9  1  2 .
(10 баллов)
4. Найти наименьшее из расстояний от точки М с координатами (-1;0) до точек ( x; y )
таких что y 
27
2 x  12
, x  1 .
(15 баллов)
5. В соревнованиях по легкой атлетике 82% от числа участников выполнили
норматив II-го разряда по прыжкам в высоту, 65% - по прыжкам в длину и 70% - в
тройном прыжке. Оказалось, что каждый участник выполнил норматив хотя бы по
двум дисциплинам. Спортсмены, выполнившие норматив по всем дисциплинам,
мечтают стать мастерами спорта. Какой процент участников собирается стать
мастерами спорта?
(15 баллов)
6. При каких значениях параметра а неравенство
2
cos x log 3 cos x  a  3log 9 1 sin x  aa  2 
выполняется при всех х из области допустимых значений?
(20 баллов)
7. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка D так, что окружности,
вписанные в треугольники ABD и BDC, касаются. Найти радиусы окружностей,
если известно, что AD=2см, CD=4см, BD=5см.
(20 баллов)
Максимальный балл, который можно было набрать по итогам олимпиады,
составляет 100 баллов. В результате 63 участника олимпиады набрали 0 баллов.
Далее баллы распределились следующим образом:
1-10 баллов набрали 27 участников
11-20 баллов
17 участников
22-30 баллов
5 участников
32-40 баллов
5 участников
42-45 баллов
3 участника
Первое и второе места решено не присуждать, три участника с баллами 45, 43
и 42 заняли третье место.
Вывод: больше 50% участников олимпиады (63 человека) не приступали к
решению задач, 27 школьников решили по одной и менее задачи. Ни один участник
не решил даже половины задач. Хотя задачи по уровню были не сложнее задач
группы В и С заданий ЕГЭ.
Основные ошибки.
Задача 1. Найдите минимальное натуральное n, при котором выражение
n(n + 1)(n+ 2)(n + 3) делится на 2012.
Многие школьники разложили число 2012 на простые множители. Но ответы
были самые неожиданные 0, 1 и даже -3. Т.е. школьники не знают, что такое
натуральное число, путают понятия делимого и делителя.
Задача 2. Найти сумму n чисел вида 1, 11, 111, 1111…….
До ответа не дошел никто, большинство школьников не увидели возможность
использовать понятие
геометрической прогрессии, даже не вспомнили о
прогрессии.
Задача 3. Решить уравнение 3 sin 0,25x  42  sin 2 0,25x  6 sin 0,25x  9  1  2 .
Большинство учащихся не увидели
квадрат под вторым корнем, не
использовали понятие модуля функции при извлечении корня, не исследовали знаки
выражений внутри модулей. Допущено много грубых ошибок при возведении в
квадрат. Даже выражение 1- 2 при возведении в квадрат
превращалось в
1-2=-1. Много было ошибок и при решении простейших
тригонометрических уравнений типа
sin 0,25 x 
2
.
2
Задача 4. Найти наименьшее из расстояний от точки М с координатами (-1;0)
до точек ( x; y ) таких что y 
27
2 x  12
, x  1 .
Большинство школьников сразу начали исследовать на экстремум функцию
y
27
2 x  1 .
2
Несколько учащихся выразили правильно расстояние от точки М до текущей точки
функции у=f(x), но в дальнейшем допустили ошибки при нахождении производной,
совсем не было обоснования достаточных условий минимума.
Задача 5. В соревнованиях по легкой атлетике 82% от числа участников
выполнили норматив II-го разряда по прыжкам в высоту, 65% - по прыжкам в длину
и 70% - в тройном прыжке. Оказалось, что каждый участник выполнил норматив
хотя бы по двум дисциплинам. Спортсмены, выполнившие норматив по всем
дисциплинам, мечтают стать мастерами спорта. Какой процент участников
собирается стать мастерами спорта?
Это новый тип задач, на использование либо теории вероятностей, либо
элементов теории множеств. Такие задачи впервые использовались в заданиях ЕГЭ 2011г. Только 5 участников олимпиады представили обоснованные решения.
Остальные школьники просто складывали проценты, потом что-то вычитали. Этот
тип задач в массе не освоен школьниками, хотя может быть предложен и в ЕГЭ
2012г.
Задача 6. . При каких значениях параметра а неравенство
2
cos x log 3 cos x  a  3log 9 1 sin x  aa  2  выполняется при всех х из области
допустимых значений?
Это базовая задача на параметры, в некоторой степени решена только
победителями. Большинство участников к ней не приступали. Область допустимых
решений (cosx>0, cosx  1 ) практически не указана, много ошибок в
преобразованиях.
Задача 7. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка D так, что
окружности, вписанные в треугольники ABD и BDC, касаются. Найти радиусы
окружностей, если известно, что AD=2см, CD=4см, BD=5см.
Задачу не решил ни один участник олимпиады. Все ошибки начинались на
уровне рисунка. Треугольники у большинства были правильные, у некоторых
равнобедренные. Треугольников общего вида не было совсем, поэтому не было
даже правильных идей. Большинство учащихся за эту задачу не принимались.