Построение и преобразование графиков функции

МОУ «Тюрлеминская СОШ»
Проект
Построение и преобразование графиков функций
Выполнила учитель математики
Григорьева Нина Анатольевна
Тюрлема 2006г.
1
Введение.
Настоящая проектная работа есть учебное пособие, дающее надежду
успешнее справляться с рядом «вечных» образовательных проблем;
включение этого средства в учебный процесс дает учащимся жизненнопрактические навыки, полезные каждому ученику, независимо от
способностей, от уровня знаний, от выбранной специализации.
При разработке данного проекта были учтены факторы, влияющие на
успешное усвоение данной темы. Он способствует созданию особой
творческой атмосферы в классе, удовлетворяет реальные школьные
потребности, является образовательной ситуацией для формирования
профессиональной ориентации.
Осуществление проекта предоставляет любому учителю возможность
выбора в проведении уроков. Автор проектной работы стремится к развитию
у учащихся навыков:
- самостоятельной работы с источниками информации;
- коммуникативности;
- информационного обмена;
- анализа и самоанализа;
- расширения кругозора.
Проектный замысел показывает, что и как надо сделать для его
реализации.
Цель проекта.
Разработать комплект заданий для систематизации знаний учащихся по
теме «Построение и преобразование графиков функций».
Задачи.
1. Разработать комплект заданий для контроля знаний учащихся с учетом их
способностей.
2. Разработать задание, способствующие повышению степени увлеченности
учащихся в учебно-творческой деятельности, стимулирующие изучение
предмета.
3. Разработать методическое пособие для учителя и учащихся с применением
информационных технологий, направленных на интеграцию предметов
математики и информатики.
4. Способствовать развитию желания учащихся к расширению собственного
мировоззрения, самостоятельного поиска научных фактов.
5. Способствовать развитию логического мышления, речи, умения
анализировать полученную информацию.
6. Способствовать профессиональной ориентации.
Внутренние ресурсы.
1. Интеллектуальный уровень учащихся.
2. Методические разработки, литература, оборудование.
3. Практические навыки учащихся.
2
4. Оборудование кабинета.
Анализ внутренних ресурсов.
Наличие учителей математики и информатики с высшим образованием.
Ученики ознакомлены с основными графиками функций.
В классе имеется:
- комплект учебников «Алгебра» под ред. Теляковского;
- дидактические материалы;
- журнал «Математика в школе»;
- таблицы;
- приложение «Математика» к газете «1 сентября»;
- электронный учебник – справочник «Алгебра» 7-11 класс;
- контрольные и проверочные задания:
- обучающего характера;
- для (проведения) повторения ранее пройденного материала;
Наличие компьютерного класса.
Помощь родителей в приобретении научной литературы.
Помощь библиотекаря в обеспечении дополнительной литературой.
Внешние ресурсы.
1) Родители.
2) Учителя-предметники.
3) Компьютерный класс.
4) Методический кабинет.
Анализ внешних ресурсов.
Положительные факторы влияния внешней среды.
1. Наличие оборудованного кабинета.
2. Наличие раздаточного материала.
3. Умение строить основные графики.
4. Умение пользоваться учебниками.
5. Оказание методической помощи со стороны администрации школы.
6. Благоприятный климат в коллективе.
Отрицательные факторы влияния внешней среды.
1. Отсутствие родительского взаимопонимания к помощи учащимся.
2. Недостаточное обеспечение технического оборудования в кабинете.
3. Недостаточное обеспечение методической литературой.
Полезные последствия.
1. Благоприятный психологический климат в условии темы.
2. Повышенный интерес к изучению этой темы.
3. Умение применять знания по этой теме на других уроках.
Угроза.
1. Возможность плохой посещаемости из-за состояния здоровья, из-за
отсутствия контроля со стороны родителей.
3
2. Недостаточная доступность предполагаемого материала.
Пути решения.
1. Провести родительское собрание.
2. Систематические проходят курсы повышения квалификации при ЧРИО.
3. Подписка учителей на методическую литературу.
4. Применять индивидуальный подход к слабоуспевающим, организовать
дополнительные занятия.
Социальный заказчик.
- Министерство Образования Чувашской Республики;
- МОУ «Тюрлеминская СОШ»
- Учителя-предметники;
- Родители;
- Учащиеся.
Анализ заказа.
- Ученик заказывает хорошие прочные знания.
- Родители заказывают подготовить учащихся для сдачи ЕГЭ и поступления
в ВУЗ. Родители заинтересованы в профориентации своих детей, в
получении ими прочных знаний, в успешной сдаче ЕГЭ.
- Школа заказывает успеваемость без неуспевающих.
- Министерство Образования – единый стандарт образования.
- Институт образования, МОУ «Тюрлеминская СОШ», как заказчик,
заинтересован в том, чтобы учителя, прошедшие курсы повышения
квалификации, вносили свои знания в школьный процесс образования.
Анализ достижений.
Сильные стороны.
1. При изложении материала опираемся на знания учеников, полученных
раньше на уроках математики.
2. Желание учиться.
3. Оснащение кабинета математики.
4. Возможность использования в своей работе новых технологий: кодоскопы,
компьютеры.
5. Проведение внеклассных мероприятий, факультативных занятий.
Слабые стороны.
1. Пройденный ранее материал может быть плохо усвоен или же немного
забыт.
2. Отсутствие навыков в поиске дополнительной литературы, неумение
работать самостоятельно.
3. Недостаточное оснащение кабинета техническими средствами (нет
компьютера).
4. Недостаточное количество часов для глубокого изучения материала.
5. Незаинтересованность детей в изучении предмета.
4
Анализ проблем. Занжировка проблем.
Проблема
1. Несоответствие знаний учащихся
требованиям стандарта образования при
изучении данной темы.
2. Неумение излагать свои знания,
мыслить логически, вести дискуссию у
учеников.
3. Неумение пользоваться научной
литературой и конспектировать ее.
4. Многообразие выбора учебников для
преподавания предмета.
5. Затруднена интеграция уроков, так как
многие взаимосвязанные темы других
предметов изучаются в другой период
учебного процесса.
6. Плохо усваиваются практические
навыки.
7. Отсутствие компьютера в кабинете.
8. Малое количество часов для более
глубокого
изучения
темы,
как
практических, так и теоретических.
Ранг
Исполнители
1
Педагог, родители.
7
Педагог, ученик.
6
Педагог, ученик,
родители, библиот.
Методкабинет, ИО,
учитель.
3
5
Учителя-предметники.
4
8
Родители, ученик,
учитель.
Администрация школы.
2
Завуч, директор, учитель
Стратегия.
Решая задачи, для достижения поставленной цели, педагог сталкивается с
рядом проблем, которые он решает совместно с кем-то. Это могут быть его
коллеги, его ученики и их родители, администрация школы, библиотека,
методический кабинет, институт образования, РУО района.
Эффективное решение возникающих проблем придет лишь тогда, когда
все «исполнители» будут работать сообща. Конечно, важную роль будут
играть психологическая совместимость учителя и учащихся, помощь
родителей, взаимопонимание коллег.
В данном проекте помощь педагогу разработан комплект заданий, который
поможет лучше сориентироваться в сути возникновения проблемы. Данные
задания помогут сформулировать и поставить перед собой цель, которую
педагог сможет решить с помощью нашего проекта.
Построение и преобразование графиков функций вызывает затруднение у
учащихся. В результате чего графический способ решения уравнений,
неравенств, задач практически не используется, хотя это метод облегчает
решение уравнений и неравенств, например, с параметрами.
В школьной программе теме «Преобразование и построение графиков
функций» уделено очень мало времени.
Учитывая задания ЕГЭ и результаты его проведения в 2001-2005 годах я
просто вынуждена взяться за эту тему.
5
В ходе реализации данного проекта нужно добиться следующих
результатов:
- преодоление психологического барьера перед графическими методами
решения уравнений, неравенств, задач;
- 100% усвоение базового уровня знания по данной теме;
- внедрение метода проекта в систему обучения.
6
Несоответствие знаний
учащихся базовому уровню
знаний, предложенному
стандартом образования.
Неутешительные
результаты ЕГЭ в 20012005 годах по математике.
Многообразие выбора
учебников затрудняет
выбор методики
преподавания данной темы.
Разработанная методика
для изучения темы
«Построение графиков»
функций не удовлетворяет
современным требованиям,
которые ставят перед нами
жизнь.
Недостаточное количество
часов преподавания
практике препятствует
полноценному усвоению
материала.
Отсутствие интереса к
задачам на преобразование
графиков функций.
Отношение учащихся к
теме Построение
графиков» как к
второстепенному, а не
базовому материалу.
Отсутствие навыков
решения задач разного типа
на построение графиков.
Психологический барьер
перед задачами на
построение графиков.
Древо проблем.
7
Систематизировать знания
учащихся по теме
«Построение и
преобразование графиков
функций».
Многообразование выбора
учебников затрудняет
выбор методики
преподавания данной темы.
Использовать новые
информационные
технологии при
систематизации знаний по
теме «Построение и
преобразование графиков».
Способствовать развитию
речи и логического
мышления учащихся.
Выработать навыки для
решения задач данного
типа.
Повысить уровень усвоения
учебного материала по теме
«Построение графиков» на
20%.
Недостаточное количество
практических занятий
препятствует
полноценному усвоению
данного материала.
Возможность ведения
мониторинга знаний по
разным аспектам данной
темы.
Проведение
интегрированных уроков.
Сформулировать
отношение к теме
«Построение графиков
функций» как к базовой, а
не второстепенной.
Создать условия для
изучения некоторых
моментов темы
самостоятельно.
Разработать систему
проведения практических
работ по теме «Построение
графиков».
Древо целей.
8
Концепция.
Современная школа требует новых форм обучения в образовании детей,
поскольку уровень знаний детей разного жизненного уклада различен и
требует особого подхода. Сегодня в школу пришло новое поколение детей,
чье детство проходит у экранов телевизоров, у многих рядом с компьютером.
Наши сегодняшние дети растут в другом информационном пространстве.
Учебный материал по теме «Построение и преобразование графиков
функций» разбит на несколько лет обучения: изучение линейной функций и
начальные сведения о степенной функции (y=x2 и y=x3) изучаются в 7 классе;
обратная пропорциональность, функция y  x и в 8 классе; квадратичная
функция – в 9 классе; преобразование графиков этих функций (растяжение,
сжатие, параллельный перенос, модуль) – в 9 и 10 классах.
Отношение к теме «Линейная функция» у учащихся формируется, не как к
основной, а второстепенной теме, что приводит к неправильному ее
восприятию и быстрому забыванию. Затем, в 8 классе при изучении
квадратного трехчлена, квадратных уравнений и неравенств, тема
«Квадратичная функция» тоже является, как бы вспомогательной, а уж об
обратной пропорциональности и говорить не приходится. График
k
x
функции y  , его построение, способы его задания и преобразование
вообще вызывают у учащихся стойкое отвращение.
Часто, требование учителя к оформлению чертежей остаются без
вниманий. Как следствие, задачи на преобразование графиков сложных, а
также задачи, требующие графического решения, как более рационального,
становятся для учащихся часто непреодолимым препятствием. Возникает
психологических барьер перед решением таких задач. Поэтому, в расчете на
то, сто учителя – народ творческий и благодаря наработанному опыту сами в
состоянии разработать поурочное планирование, составить планы уроков, с
учетом разнообразия их форм и видов, я предлагаю задания, которые можно
использовать при организации повторение и подготовке к итоговой
аттестации в 9 классе. Задания содержит для повторения теоретического
материала, самостоятельные работы, контрольные работы, индивидуальные
задания, тесты, вопросы для зачета.
Общеобразовательная школа должна формировать новую систему
универсальных знаний, умений, навыков. Не секрет, что в одном и том же
классе дети ведут себя по-разному, поэтому разработан проект для учителей,
которые готовы находиться рядом со своими учениками, когда те учатся
говорить, читать, слушать других, ставить вопросы и искать на них ответы,
решать задачи.
Надо учитывать то, что любой вид информации ребенок усваивает в свое
время и примерно в той последовательности, которая приведена в таблице 1,
поскольку у учащегося развиваются и формируются те или иные
интеллектуальные умения, которые современный школьник осваивает,
обучаясь в массовой школе (таблица 2).
9
Таблица 1.
Способы
Комментарий
Вербальный (устная речь) Учит говорить, выражать свои мысли, задавать
вопросы и слушать собеседника, обеспечивает
возможность обмена информацией.
Знаковое представление Умения
читать,
пересказывать,
писать,
информации
использовать
распространенные
источники
информации.
Схема, рисунок.
Повышает
наглядное
представления
информации,
обнаруживает
особенности
индивидуального
восприятия,
развивает
воображение и фантазию.
Таблица
Содержит результаты вычислений, устное
проговаривание
позволяет
выявить
закономерности изучаемого явления, проясняет
свойства объекта.
График
Позволяет установить вид зависимости между
величинами, выявляет вид закономерности
изучаемой величины.
Аналитическое
Позволяет «заговорить» на языке математики.
представление
информации (формула,
уравнение)
Таблица 2.
Интеллектуальные умения
Умение описать то, что было обнаружено
(устная речь)
Умение проводить сравнения и
противопоставления (находить сходства
и различия в объектах и явлениях)
Умение расчленять целое на составные
части (анализ) и наоборот.
Умение проводить рассуждения от
частного к общему (индукция) и
наоборот (дедукция).
Умение проводить обобщение,
абстрагирование, моделирование,
классификацию. Умение
конкретизировать.
Комментарий
Следует вернуть на уроки
вербальное описание явлений.
Учащиеся должны научиться
перечислять всевозможные
свойства изучаемых объектов.
Полезно научить
анализировать определение
терминов, формулировку
законов, задач обнаруживая
«ключевые» слова.
При построении модели
следует в явном виде назвать
факты, которые должны
найти отражение в ней.
10
Все данные познания можно представить в виде цепочки, которую
учащимся необходимо освоить по мере изучения излагаемого материала.
Освоение методом научного познания – очень важный результат обучения.
Учащиеся могут забыть со временем названия величины, формулировку
закона, математическую формулу, но отличать факт от вымысла, причину от
следствия, модель от реального объекта всегда смогут.
Важно, чтобы наши дети понимали, что знания имеют приблизительный
характер, более или менее точное описание и объяснение свойств возможно
только в конкретных границах. Некоторые элементы цепочки приводятся в
таблице 3.
Таблица 3.
Элемент цепочки
Комментарий
Наблюдения
Это вся информация, полученная при
помощи органов чувств.
Рефлексия: мысль, фантазия, Из всех возможных способов рефлексии
воображение, мечта и др.
только мысль, приводящая к постановке
вопроса, продолжает процесс познания.
Постановка вопроса (вопрос на Обычно дети задают вопрос «Почему?», но
языке науки)
ответ можно получить только на вопрос
«Как?» и «При каких условиях?» Именно
такие вопросы им нужно учить задавать.
Подводя итоги, Хочу отметить, что современные дети не стали хуже или
лучше, просто они другие, чем мы, когда были в их возрасте, поэтому
учитель должен меняться сам, а не менять детей, он должен использовать в
своей работе разнообразия форм преподавания, можно сказать даже
«фантастические». Выражаю надежду, что наш проект поможет в этом
коллегам.
План мероприятий по реализации проекта.
Мероприятия
Цели
№
п/п
1
Повторение пройденного
теоретического материала.
2
Самостоятельные работы
3
Тестовые задания
4
5
6
Контрольные задания
Индивидуальные задания
Зачеты
Кол-во
часов
Систематизировать знания по
построению основных видов
графиков функций; привить
интерес к математике; обеспечить
закрепление материала.
Проверить уровень усвоения
знаний; выявить пробелы.
Проверить степень усваиваемости
материала.
Определение качества знаний.
Оказание своевременной помощи.
Проверка теоретических и
практических знаний.
11
Литература.
1) Методология учебного проекта, М., 15.02.2000.
2) Дерево познаний, научно-познавательная коллекция.
«Маршалл Кавендин», М., 2002, №2-№4.
3) Журнал «Квантор» №4, 1991г.
4) Алгебра 8-11. Контрольные работы. М., «Просвещение», 2000г.
5) Алгебра. Тесты к школьному курсу. 9 класс. АСТ – Пресс, М., 1998.
12
Организация выполнения работ.
I. Повторение пройденного теоретического материала.
Вопросы: y=kx+b
1) Дать определение линейной функции.
2) Что является графиком линейной функции?
3) Сколько точек достаточно для построения графика линейной функции?
y
k
c
ax  b
Функция какого вида называется дробно-линейной?
Какая кривая является графиком этой функции?
Как строится гипербола?
Пусть известен вид графика функции y=ƒ(x). Как получается из
данного графика графики функций:
а) y=-ƒ(x); б) y=ƒ(-x); в) у=ƒ(х)+а, а-const; г) у=ƒ(х+а); д) у=к ƒ(х), к-const;
е) у=ƒ(кх); ж) у=|ƒ(x)|; з) у=ƒ(|x|).
1)
2)
3)
4)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
y=ax2+bx+c
Как называется функция вида y=ax2+bx+c ?
Как называется кривая, являющаяся графиком квадратичной функции?
как найти координаты вершины параболы?
Что такое нули функции?
Как расположены ветви параболы в зависимости от коэффициентов?
Как располагается парабола в зависимости от Д?
Как строится парабола?
у
1)
2)
3)
4)
5)
х
Какова область определения функции у  х ?
Как расположен график функции у  х ?
Принадлежит ли графику функции у  х начало координат?
Какие значения принимает функция при х>0?
Когда функция у  х обращается в новь?
II. Самостоятельные работы.
y=kx+b
1) Постройте графики функций, заданные формулами:
а) у=2х+5; б) у=2х+2; в) у=2х-2; г) у=2х-6.
2) Не выполняя построения графика функции у=1,2х-7, выясните,
проходит ли этот график через точку: а) А(100;113); б) В (-15;-25);
в) С (-10;5); г) Д (300; 353).
у  ах 2  bx  c
13
1) В одной координатной плоскости постройте график функций
у=-х2+2х+8 и у=2х2.
2) В одной координатной плоскости постройте графики функций у=2х 2-2
и у=2(х-3)2.
у
к
c
ах  b
Используя график функции постройте графики следующих функций:
2
4
3
3
х3
2х 1
 4 ; 5) у 
; 2) у 
; 3) у   3 ; 4) у 
; 6) у 
;
х
х2
х2
х2
х2
4 х
2
3х  1
3
2
2
3
1 ;
7) у 
; 8) у 
; 9) у  ; 10) у   ; 11) у 
; 12) у 
4х  3
2х  5
х2
х
х
х 2
1) у 
13) у 
х 2
х 2
х2
; 14) у 
; 15) у 
.
х 2
х2
х 2
у х
1) Пользуясь графиком функции у  х , найдите:
а) значения х при х=1; 2,5; 4; 5,5; 7; 9.
б) значение х, к которому соответствует х =1; 1,2; 2; 2,4; 3; 4.
2) Принадлежит ли графику функции у  х точка А (64; 8); В (10000;
100); С (-81; 9); Д (2,5; -5)?
3) С помощью графика функции у  х сравните числа а) 0,5 и 0,8 ;
б) 4,2 и 5,7 ; в) 7 и 8 .
4) Пересекает ли график функции у  х прямая у=1; у=4; у=-10; у=100?
III. Тестовые задания.
1) Какая из ниже перечисленных функций, является линейной:
а) у=2х-3
а) у=-х2
а) у=х3+1
б) у=х2
б) у=7-9х
б) у=0
2
3
в) у=1-х
в) у=4х+х
в) у=5х-х4
г) у=5х-х2
г) у 
10 х  7
х
г) у 
 х5
2
2) Даны функции: а) у=2х+5; у=2х+2; у=2х-2; у=2х-6.
а) Запишите функцию, график которой будет параллелен любой из
перечисленных выше функций;
б) Запишите формулу функции, график которой параллелен графикам у=2х+6
и у=2х+2, и проходящей между ними.
3) Не выполняя построения, найдите координаты точек графика функции у=2,4х+9,6 с осями координат:
а) (0; 9,6) и (0; 4)
в) (0; 9,6) и (4; 0)
б) (9,6; 0) и (4; 0)
г) (9,6; 0) и (0; 4)
14
4) Является ли прямой пропорциональностью функция, заданная формулой:
а) у=2х
а) у=-1
а) у=х+5
б) у==х+1
в) у=х2
х
5
5
в) у 
х
б) у 
б) у=4х2
в) у=-7х
г) у=5
г) у=х2-1
г) у=7-х2
5) Чему равен угловой коэффициент линейной функции, заданной формулой
у=-х+0,5.
а) К=1; б)К=-1; в) К=0; г) К=0,5.
6) Выберите верное утверждение:
а) Если К≠, то график функции у=кх+b пересекает ось х;
б) Если К=0, b≠0, то график функции у=кх=b параллелен оси х;
в) Если К=0, b=0, то график функции у=кх+b совпадает с осью х.
7) График какой функции пересекает ось абсцисс:
а) у=5х-3; б) у=3; в) у=3-х; г) у=-5.
8) График какой функции параллелен оси абсцисс:
а) у=6; б) х=6; в) у=х+1; г) у=-х+1.
9) График какой функции совпадет с осью абсцисс:
а) у=0; б) х=0; в) у=х; г) у=-х.
10) График линейной функции пересекает оси координат в точках (-5; 0) и
(0; 11). Задайте данную функцию формулой: а) у=22К+11; б) у=2,2х-11;
в) у=2,2К+1; г) у=-2,2К-11.
11) Задайте формулой линейную функцию, график которой изображен на
рисунке: а) у=-2х; б) у=2х; в) у=х+2; г) у=2-х..
у
12)
Выберите
уравнение
функции
параллельной изображенной на рисунке и
проходящей через точку (0; 3)
а) у=2х-3; б) у=2х+3; в) у==2х-3; г) у=-2х-3
х
у=ах2+bx+с.
1) Выбрать четные и нечетные функции:
а) ƒ(х)=(3х+2)2; б)ƒ(х)=х4-х2+9; в) ƒ(х)=(х-5)2+(х+5)2.
2) Выбрать верное утверждение:
а) График функции у=ах2 является параболой, которую можно получить
растяжением параболы у=х2 от оси х в а раз, если а>1, или сжатием к оси х
в
1
раз, если 0<а<1.
а
15
б) График функции у=ах2 является параболой, которую можно получить
расстоянием параболы у=х2 от оси у в а раз, если а>1, сжатием к оси у в
1
а
раз, если 0<а<1.
3) Выбрать верное утверждение:
а) График функции у=-ах2 является параболой, которая может быть
получена из графика функции у=ах2 на основании свойства симметрии
относительно оси у.
б) График функции у=-ах2 является параболой, которая может быть
получена из графика функции у=ах2 на основании свойства симметрии
относительно оси х.
4) Заполнить пропуски так, чтобы получить верное высказывание:
График функции у=ах2+n является параболой, которую можно получить из
графика функции у=ах2 с помощью
вдоль оси
на n единицу
,
если n>0, или на n единицу
, если n<0.
Заполнить пропуски так, чтобы получилось верное высказывание:
5) График функции
является параболой, которую можно
получить из графика функции у=ах2 методом параллельного переноса
вдоль оси х на m единицу вправо, если m>0, или на –m единицу влево,
если m<0.
у
к
с
ах  b
1) Среди графиков, изображенных на рисунке, найдите график функции
у
3
х3
б)
а)
у
у
х
х
в)
у
г)
х
у
х
16
2) Среди графиков, изображенных на рисунке, найдите график функции
у  2
5
х
б)
а)
у
у
х
х
в)
у
г)
у
х
х
3) Среди графиков, изображенных на рисунке, найдите график функции
у
4
1
х2
у
у
х
х
у
у
х
х
17
у
х
1) Для функции у  х : если х=0, то а) у<0; б) у=0; в) у>0; г) у≠0.
2) Для функции у  х : если х>0, то а) у=0; б) y=>; в) у<0; г) у≠0.
3) График функции у  х принадлежит точка: а) А (5; 25); б) В (25; 5);
в) С (-5; 25); г) Д (-5; 10).
4) Числа расположены в порядке возрастания. Выберите правильный
ответ: а) 0,5;
1
;
2
1
; б)
3
1
;
2
1
; 0,5; в) 0,5;
3
1
;
3
1
; г)
2
1
; 0,5;
2
1
.
3
5) Сравните числа. Выберите правильный ответ:
а) 10 <3; б) 5  6 ; в)
1

5
1
; г) 10  11 .
6
IV. Контрольные задания.
у=кх+b.
1) Постройте прямой пропорциональности, заданной формулами: а) у=2х;
б) у=-2х; в) у=3|x|; г) у=-3|x|.
2) Напишите общую формулу, которой задается линейная функция,
расположенная в I и III коорд. четвертях, II и IV коорд. четвертях.
3) Выполните построение графиков:
а) у=0,5х-2; б) у=0,5х+2; в) у=-0,5х-2; г) у=-0,5х+2; д) у=0,5|x|+2;
е) у=-0,5|x|-2; ж) у=|-0,5х+2|.
у=ах2+bх+с
В-1.
1. Постройте график функции:
а) у=х2-4х+3; б) у=х2-4|x|+3; в) у=|х2-4х+3|; г) у=|х2-4|x|+3|.
2. Постройте график функции у=2х|x|+х2-6х и найдите: а) область
определения и множество значений; б) промежутки монотонности; в) точки
пересечения с осями координат; г) промежутки знакопостоянства.
3. Найдите такую квадратичную функцию у=ах2+bх+с, чтобы ее график
пересекал ось абсцисс в точках (-3; 0) и (1; 0), а ось ординат в тоске (0; -9).
4. Дана квадратичная функция у=ах2+bx+с такая, что у(-2) <0, y(3)>0,
y(1)>0. Сравните с нулем: а) а; б) b2-4ас; в) у(-4)×у(6).
В-2.
1.
2.
3.
4.
у
а) у=х +4х-5; б) у=х +4|x|-5; в) у=|x2+4x-5|; г) у=|x2+4|x|-5|.
у=3х|x|+x2-8х.
у=ах2+bx+c
(2; 0) и (-5; 0)
(0; 20)
2
у=ах +bx+c
у(-2)>0, y(3)<0, y=(7)>0. Сравните с нулем:
2
а) а; б) b -4ac; в) у(-5)+у(8).
2
2
к
c
ах  b
18
1) Используя график функции у 
к
постройте следующие графики:
х
3
1
х2
; 2) у  
; 3) у 
.
х3
х 1
х 1
2
x 1
2
2
II 2) у 
; 2) у 
; 3) y 
.
 3 ; 4) y 
x 1
x 1
| x | 1
| x 1|
I 1) у 
III 1) y 
у
| x | 1
| x | 1
; 2) y 
.
| x | 1
| x | 1
х
1) При каком значении х точка А (х; 36) принадлежит графику функции
у х?
2) При каких значениях у точка В (-7; у) принадлежит графику функции
у х?
3) Постройте график функции у=0,5 х .
V. Индивидуальные задания.
у=кх+b.
1) Постройте график линейной функции
а) у=|2|x-3|+4|; б) y=|2|x-3|-4|.
2) Используя функции предыдущего задания, напишите формулы линейных
функций
а) параллельных данным функций.
б) параллельных данным функциям и проходящим через начало координат.
у=ах2+bx+c.
1. Постройте график функции:
а) у=х2+2х-3
в) у=|x2+2x-3|
б) у=х2+2|x|-3
г) у=|x2+2|x|-3|
2. Построить график функции: у=4х|x|+x2-15x и найдите: а) Д(у) и Е(у);
б) промежутки знакопостоянства.
3. Найти такую квадратичную функцию у=ах2+bx+c, чтобы ее график
пересекал ось абсцисс в точках (-2; 0) и (4; 0), а ось ординат в точке (0; 24).
4. Дана квадратичная функция у=ах2+bx+c такая, что у(-4)>0, y=(2)>0,
y=(0)<0. Сравните с нулем: а) а; б) b2-4ac; в) у(-5):у(3).
у
к
с
ах  b
6
х
1. Пусть данная функция ƒ(х)= . Постройте графики функций: а) ƒ(х)-1;
1
1
ƒ(х); в) ƒ(х)-1; г) ƒ(-х); д) ƒ(|x|); е) |ƒ(x)|.
2
2
4
2. Пусть Даная функция ƒ(х)=  . Постройте график функций: а) ƒ(-х);
х
б)
б) –ƒ(х); в) ƒ(х)+2; г) ƒ(х-1); д) |ƒ(x-1)+2|; е)ƒ(|x|)-3.
19
5
х
3. Пусть дана функция ƒ(х)=  . Постройте графики функций: а) ƒ(х)-2; б)
ƒ(х-2); в) ƒ(х-2)+3; г) ƒ(-х); д) ƒ(|x|)+4; е) |ƒ(|x|)|.
у х.
1) Какой из этих графиков является функцией у  х ?
у
у
х
х
у
х
2) Постройте график функции у  х  2  1  3 .
VI. Зачет.
у=кх+b.
1) Сформулируйте определение линейной функции.
2) Что является графиком линейной функции? Как построить график
линейной функции?
3) Как расположен в координатной плоскости график функции у=кх при к>0
и при к<0?
4) В каком случае графики двух линейных функций пересекаются? Как найти
координаты их точки пересечения?
5) В каком случае графики двух линейных функций являются
параллельными?
Постройте графики функции: 1) у=|x|-3; 2) у=4-|x|; 3) y=|2,5x-2|; 4) y=|x-3|+4;
5) y=|0,5|x|-3|-1; 6) х2+ху=0; 7) (х-2)(у+3)=0; 8) у+|y|=x; 9) y=x|y|.
у=ах2+bx+с.
1. 1) Пусть известен вид графика функции у=ƒ(х). Как построить график
функции у=-ƒ(х).
2) Дана функция ƒ(х)=2х2-3х-14. Построить графики функций: а) –ƒ(х);
б) ƒ(-х); в) 2ƒ(х); г) |ƒ(-x)|.
20
2. 1) Пусть известен вид графика функции у=ƒ(х). Как построить график
функции у=ƒ(-х).
2) Дана функция ƒ(х)=2х2-15х+28.
Построить графики функции: а) ƒ(-х); б) ƒ(х)+1; в) ƒ(х-2); г) ƒ(|x|).
3. 1) Пусть известен вид графика функции у=ƒ(х). Как построить график
функции у=ƒ(х)+а.
2) Дана функция ƒ(х)=-4х2-4х+3. Построить функций: а) ƒ(х)+2; б)
1
ƒ(х);
2
в)ƒ(|x|)-1; г) |ƒ(x)|.
4. 1) Пусть известен вид графика функции у=ƒ(х). Как построить график
функции у=ƒ(х+а).
2) Дана функция ƒ(х)=10х2+5х-5. Построить графики функций: а) ƒ(х+4);
б) -ƒ(х); в) ƒ(|x|-1); г) |ƒ(x)|+1.
5. 1) Пусть известен вид графика функции у=ƒ(х). Как построить график
функции у=кƒ(х).
2) Дана функция ƒ(х)=-х2+2х+4. построить графики функций: а)
б)
1
ƒ(х);
2
1
1
1
ƒ(-х); в) | ƒ(x)|; г) |- ƒ(x)+3|.
2
2
2
6. 1) Пусть известен вид графика функции у=ƒ(х). Как построить график
функции у=ƒ(кх).
2) Дана функция ƒ(х)=2х2-4х=10. Построить график функции: а) ƒ(2х);
б) –ƒ(х); в) –ƒ(|x|); г) |ƒ(x)+1|.
7. 1) Пусть известен вид графики функции у=ƒ(х). Как построить график
функции у=|ƒ(x)|.
2) Дана функция ƒ(х)=5х2+2х-3. Построить графики функций: а) ƒ(х)+2;
б) ƒ(х-1)+2; в) ƒ(|x|); г) |ƒ(x)|.
8. 1) Пусть известен вид графика функции у=ƒ(х). Как построить функции
у=ƒ(|x|).
1
2
2) Дана функция ƒ(х)=4х2-9х+7. Построить график функций: а) - ƒ(х);
1
2
1
2
б) - ƒ(х+3); в) - ƒ(х+3)-1; г) ƒ(|x|).
у
к
с.
ах  b
9. 1) Пусть известен вид графика функции у=ƒ(х). Как построить график
функции у=-ƒ(х).
2) Дана функция ƒ(х)=-
3
. Построить графики функций: а) –ƒ(х); б) ƒ(-х);
х2
в) 2ƒ(х); г) |ƒ(-x)|.
10. 1) Пусть известен вид графика функции у=ƒ(х). Как построить график
функции у=ƒ(-х).
4
х
2) Дана функция ƒ(х)= . Построить графики функций: а) ƒ(-х); б) ƒ(х)+1;
в) ƒ(х-2); г) ƒ(|x|).
21
11. 1) Пусть известен вид графика функции у=ƒ(х). Как построить график
функции у=ƒ(х)+а.
5
х
2) Дана функция ƒ(х)=- . Построить график функций: а) ƒ(х)+2; б)
1
ƒ(х);
2
в) ƒ(|x|)-1; г) |ƒ(x)|.
12. 1) Пусть известен вид графика функции ƒ(х)=у. Как построить график
функции у=ƒ(х+а).
3
х
2) Дана функция ƒ(х)= . Построить графики функций: а) ƒ(х+4); б) –ƒ(х);
в) ƒ(|x|-1); г) |ƒ(x)|+1.
13. 1) Пусть известен график функции у=ƒ(х). Как построить график функции
у=кƒ(х).
3
х
2) Дана функция ƒ(х)=- . Построить графики функции: а)
1
2
1
1
ƒ(х); б) ƒ(-х);
2
2
1
2
в) |- ƒ(x)|; г) |- ƒ(x)+3|.
14. 1) Пусть известен вид графика функции у=ƒ(х). Как построить график
функции у=ƒ(кх).
4
х
2) Дана функция ƒ(х)=- . Построить графики функций: а) ƒ(2х); б) –ƒ(х); в) –
ƒ(|x|); г) |ƒ(x)+1|.
15. 1) пусть известен вид графика функции у=ф(х). как построить график
функции у=|ƒ(x)|.
6
х
2) Дана функция ƒ(х)=- . Построить графики функций: а) ƒ(х)+2;
б) ƒ(х-1)+2; в) ƒ(|x|); г) |ƒ(x)|.
16. 1) Пусть известен вид графика функции у=ƒ(х). Как построить график
функции у=ƒ(|x|).
8
х
1
2
2) Дана функция ƒ(х)= . Построить графики функций: а) - ƒ(х);
1
2
1
2
б) - ƒ(х+3); в) - ƒ(х+3)-1; г) ƒ(|x|).
у
х
1. Как расположен график функции у  х в координатной плоскости?
2. Какова область определения функции у  х ?
3. Что из себя представляет график функции у  х ?
4. При каких значениях х выражение х имеет смысл?
5. Принадлежит ли начало координат графику функции у  х ?
6. какова область значения функции у  х ?
7. Какой значение функции соответствует большему значению аргумента
функции у  х ?
8. когда функция обращается в ноль?
22
Построить графики функций:
1
х ; 4) ƒ(х)=
2
1
х  2.
х  3 ; 6) ƒ(х)= 2 х  1  1 ; 7) ƒ(х)=  0,5 х  1  1; 8) ƒ(х)= 
2
1) ƒ(х)=
5) ƒ(х)=
2 х  3 ; 2) ƒ(х)=
 3  х  1 ; 3) ƒ(х)=
2
х  3 1 ;
23