технические теории деформируемого тела

9 часть
9-1
ТЕХНИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА
Введение
Модели непрерывной среды, рассмотренные в предыдущих
частях наглядно показывали, что соответствующие системы математических
уравнений очень сложны. Их решения для конкретных случаев можно получить
практически только с помощью специальных компьютерных программ
(например, МКЭ). Реально инженеры используют такие компьютерные
программы только последние двадцать лет. До этого компьютерная техника и
соответствующее математическое обеспечение с такими сложными задачами не
справлялась. Не смотря на это, инженеры были в состоянии с достаточной
точностью предсказать поведение кранов, машин, роботов и даже космических
аппаратов, т.е. произвести необходиные расчеты.
В основе этих расчетов лежат предположения об отдельных неизвестных
функциях. В системе уравнений модели твердой среды есть 18 неизвестных
функций и каждая из них является функцией от x, y, z и t. Сложность решения
заключается в том, что необходимо искать 72 неизвестных функциональных
зависимости (18 (количество неизвестных функций)  4 (координаты x, y, z и
время
t). В технических теориях с помощью разных предположений
существенно снижается количество неизвестных зависимостей. В простейших
из теорий удается задачу свести к системе уравнений с небольшим количеством
неизвестных зависимостей, которые удается найти с помощью аналитических
математических методов. Такие решения конечно имеют большую погрешность
и может показаться, что эти методы надо забыть и работать с точными
методами с помощью компьютерной техники.
Но по крайней мере по двум причинам инженеру технические теории
надо знать сегодня и наверно в ближайшем будущем:
1) Создавая новую конструкцию, надо понимать, как будут работать ее
элементы (где и какие нагрузки они будут воспринимать). Только тогда, когда
конструкция придумана (нарисована), ее можно рассчитывать с помощью
точных методов
2) Процесс создания любой конструкции (машины, устройства,
постройки и т. д.) состоит из сравнения разных вариантов, постепенно
приближаясь к оптимальному варианту. На первых шагах есть только наброски,
которые нет смысла и часто невозможно решать с помощью точных методов.
В этой главе рассмотрим только некоторые технические теории,
показывая их полезность как способов мышления.
9.1 Технические теории
Технические теории применимыдля таких реальных объектов,
пропорции размеров которых позволяют принять, что зависимость выражение
неизвестной функции (напр. прермещение) от одной или нескольких координат
известна до решение задачи. Как эти приемы упрощают расчеты видно уже из
плоских задач (см. например параграфы 8.5 и 8.9). Технические теории
используют для элементов конструкций, один или два размера которых
заметно меньше других. В основе технических теорий лежит
предположение о том, что в направлении малого размера инженера
удовлетворяет точность, которую дает линейная аппроксимация.
9.2 Теория стержней
Стержень – элемент конструкции, один размер (длина l) которого много
больше двух других (ширины a и высоты h). На рис. 9.1
9-2
y
x
h
z
l
a
Рис. 9.1.
показан стержень или балка. Оба этих термина используются для одного и того
же объекта. Название “стержень” обычно используют если этот элемент тянут
или поворачивают . Если этот элемент изгибают, то его называют “балка”. В
основе упрощений теории стержней есть предположение, что нас устраивает
погрешность, при которой можно не считаться с величинами a/l и h/l по
сравнению с единицей. Можно сказать что погрешность составляет a/l*100%
(или h/l*100%). Можно сказать и по другому : a + l  l и h + l  l.
Если размеры a и h малы по сравнению с l, тогда можно принять, что в
направлении осей y и z (см. рис. 9.1.) искомые функции можно описать с
помощью простейших математических зависимостей. Принимая, что в
направлении осей y и z соотношения линейны и известны, задачу удается свести
к одномерной, то есть неизвестные функции являются функциями только от x.
Гипотеза плоских сеяений. Линейные математические соотношения
проще представить с помощью гипотезы плоских сечений. Эта гипотеза
Рис.9.2.
x
9-3
утверждает, что сечение стержня (балки), которое в недеформированном
состоянии было плоским и перпендикулярным оси стержня (ось x),
остается плоским и перпендикулярным оси стержня и в деформированном
состоянии. На рисунках 6.2 показаны три основных вида нагружения:
растяжение, изгиб, кручение.
9.2.1 Основные виды нагружения стержня.
Различают три основных вида нагрузки стержня: растяжение (сжатие), изгиб и
кручение.
y
x
z
Растяжение - сжатие (плоское сечение перемещается в направлении оси x )
F
x
Изгиб (плоское сечение поворачивается вокруг оси z или y)
x
F
Кручение (плоское сечение поворачивается вокруг оси x)
M
x
Рис.9.3.
9-4
9.2.2 Растяжение – сжатие
Растяжение (сжатие) появляется в том случае, если сила приложение в
направлении оси стержня (в напрвлении оси x). Сечение перпендикулярное оси
стержня перемещается в направлении оси стержня (см.рис.9.4).
F
x
S
ux
F
x
F
 xx
S
Рис.9.4.
Такое перемещение плоского сечения определяет то, что перермещение в
направлении оси x u x не есть функция ни y ни z, т.е..
u x  f ( x)
Соответственно
x 
u x
 f ( x )
x
(1)
Если известна экспериментальная кривая напряжения и деформации
можем найти также напряжение.
( x )

 xx  ( x )  (f (x))
(2)

f ( x)  f (a) и f (x)  f (a)
В определенном сечении ( x  a )
постоянные величины, т.е. в случае растяжения – сжатия и перемещения, и
деформации, и напряжения в любом сечении – константы.
Чтобы
определить f ( x) рассмотрим равновесие части стержня (см. рис. 9.4).
9-5
Запишем сумму проекций всех сил на ось x
F    xx dS
  xx  const   xx  dS   xxS
S
(3)
S
 xx 
и получаем
F
S
9.2.3 Изгиб
Балка изогнута в том случае. если к ней приложен момент силы вокруг
оси y или z (см.рис. 9.5.)
x
x
y
x
ux
Рис.9.5.
Как всегда система уравнений модели непрерывной среды создается из
трех групп уравнений. Также в случае растяжения – сжатия система образуется
из:
геометрические соотношения – гипотеза плоских сечений (1),
уравнение свойств материала (2),
уравнение равновесия (3),
По этому плану действуем также в случае изгиба.
Геометрические соотношения – гипотеза плоских сечений
На рис. 9.5. показано как поворачивается сечение в соответствии с
гипотезой плоских сечений при изгибе балки. Видим, что
u x  y f ( x)
и соответственно
x 
u x
 y f ( x)
x
(1)
9-6
Уравнение свойств материала
Материал тот же самый при любой нагрузке (см. случай растяжения –
сжатия).
(2)
 xx  ( x )  (f (x))
Для очень многих материалов на значительной части диаграммы можно
использовать линейную зависимость.
(2a)
 xx  E x
Пока мы еще не получили формулу для определения напряжений, но из
уравнений (1) и (2) уже следует ряд интересных следствий. Подставим
уравнение (1) в соотношение (2a).
 xx  yE f ( x)
и видим, что в определенном сучении ( x  a ) напряжение пропорционально
расстоянию от y (изгибающий момент вокруг оси z) (см. рис. 9.6).
y
x
 max
 xx
Рис. 9.6
Мы еще не получили формулу изгибающих напряжений (и не знаем, что
такое f ( x) ), но из этого следует:
1) Наибольшие напряжения действуют на внешних волокнах балки;
2) В железнобетонной балке железную арматуру надо располагать по
возможности ближе к краю в растянутом волокне (бетон плохо воспринимает
растягивающие напряжения).
Уравнение равновесия
Уравнение равновесия получим также как в случае расяжения – сжатия,
рассматривая часть стержня ( от интересующего нас сечения до конца стержня
см. рис. 9.7. В сечении x должен быть момент напряжений, который
уравновешивает внешний приложенный момент M ( x ) . Плечо внешней силы F
относительно z, в сечении с координатой x есть L  x . Поэтому изгибающий
момент M( x )  F( L  x ) . При умножении напряжения  xx на площадь
поперечного сечения dS получим силу . Умножив эту силу на плечо y
относительно оси z, получаем момент напряжения, который действует на
бесконечно маленькую площадку dS относительно оси z. Интегрируя по всей
площади поперечного сечения S, находим полный момент напряжений
относительно оси z:  y xxdS . Мы получили уравнение равновесия:
S
k
(3)
 M z  0  F(L  x)   y xxdS  0
k
S
9-7
L
x
F
y
y
 xx
z
Рис. 9.7
dS
Система уравнений модели изгиба балки деформируемой среды
1) Уравнение равновесия
 ydS  M( x)
S
  E
2) Свойства материалов
3) Гипотеза плоских сечений
Решение
f ( x) 
  yf (x)
M( x)
M( x)
; 
y; J z   y 2dS ;
EJ Z
Jz
S
Число J z характеризует площадь сечения, точнее как это сечение расположено
относительно оси z и называется моментом инерции сечения.
Выбор рационального поперечного сечения изогнутой балки
Выражение для напряжения показывет, что
1) Наибольшее напряжение будет там, где координата x самая большая, т. е. в
месте закрепления( x = l).
2) Площадь сечения балки надо выбирать такой, чтобы момент инерции ее
2
площади сечения Jy =  y dS был по возможности большим.
S
Это значит, что площадь сечения балки надо размещать так, чтобы ее длинная
грань была в той плоскости, в которой балку изгибают (см. рис. 9.8a).
9-8
.
A
z
A
y
y
F
z
Рис.9.8a
Рис.9.8b
На рис. 9.8b. показаны профили прокатной стали, у которых момент
инерции площади сечения при том же количестве использованного
материала (веса) является достаточно большим. Располагая одну и
ту же плоскость сечения S на большем расстоянии y от оси z,
существенно увеличивается y2 и Jz. Это значит, что балка того же
веса может выдерживать намного большие нагрузки.
Расчет изгиба балки
Теория балки позволяет найти и изгиб балки. Обозначим его u=u(x) (см. рис.
9.9a). Сечение А в деформированном состоянии поворачивается на угол .


 d 
y
dx
F
C
u=u(x)

x
y
D

 d 
x
A
B
A
Рис.9.9a.
d x
B
Рис.9.9b.
Сечение B, которое находится на расстоянии dx от сечения A, повернется на
угол +d (см. рис. 9.9b). Слой балки CD , который находится на расстоянии y
от оси балки, удлинился на d. Продольную деформацию слоя CD, как видно из
рис. 69.9b, можно выразить
=
d (  d )  
=
dx
dx
Рассматривая случаи малой деформации (как это бывает в реальных
конструкциях), величину  можно выразить как произведение длины дуги с
радиусом y на центральный угол .   y и, соответственно, d  yd .
Подставляя эти зависимости в выражение , получим:  
d
y и, сравнивая
dx
это выражение с гипотезой плоских сечений для прогиба, имеем
f ( x) 
d
dx
9-9
Осталось только выяснить отношение между углом поворота  и
функцией изгиба u(x) сечения. Сечение перпендикулярно оси балки
в недеформированном и деформированном состояниях. Поэтому
угол поворота равен углу между осью недеформированного
состояния балки и касательной
к линии изгиба u(x).Угол
du(x)
касательной функции u(x) равен первой производной =
.
dx
Подставим f (x) в выражение
f ( x) 
d d 2 u ( x )
=
dx dx 2
Выводя вырахение напряжения, получим f ( x) 
M( x )
;
EJ Z
Где M ( x ) момент внешних сил, действующий на мысленно
отсеченную часть балки. В общем случае может быть приложено
много разных сил. Все возможные моменты сил обозначим M(x).
Выражая f (x) через вторую производную u(x), получим
дифференциальное уравнение второго порядка для определения
u(x):
d 2 u (x )
dx 2
=
M(x )
EJ z
9.2.4 Кручение круглых стержней
Кручение тонкостенной трубы   r  Гипотеза
   const
M


r
x
Рис.9.10.
dS
9-10
Гипотеза о том, что напряжения можем считать равномерно распределенными,
если трубка тонкостенная и в направлении толщины различия напряжений
меньше чем ошибка расчета, делает задачу статически неопределимой и
напряжения
рассчитываем
из
уравнения
равновесия
k
 M z  0   rdS  M  0  r  dS  M
k
S
S
 dS  2r

S
M
2r 2 
Кручение круглого стержня
  (r )
M
d


dS
r
x
Рис.9.11.
Система уравнений модели кручения круглого стержня деформируемой среды
1)Уравнение равновесия
k
 M z  0   rdS  M  0 ;
k
S
2) Свойства материала   G .
3) Гипотеза плоских сечений
Решение
GC  r 2dS  M  C 
S
  Cr ;
M
GJ p
9-11
где
2
 r dS  J p
полярный момент инерции площади. В сплошном круглом
S
стержне напряжения кручения пропорциональны радиусу, и это подтверждает
решение системы уравнений:

M
r
Jp
9.3 Теория оболочек
Оболочка – элемент конструкции, один размер которого много меньше
двух других.
9.3.1 Безмоментная теория
Если оболочка (пластина также по определению оболочка) тонкая, тогда
она практически не сопротивляется изгибу, так как толщина плечо момента
напряжений. Рис. 9.12.
y
 liec
 xx
x
Рис. 9.12.
Гипотеза
 liec  stiep
  liec  0
Пример
Рассмотрим, изображенный на рис.
внутренныее давление в котором p.
y
A
A
p
Рис. 9.12b
резервуар,
s
A-A
B
x
Рис. 9.12a
цилиндрический
B-B
P
B
9.12a.
g
g
p
g
s
Рис. 9.12c
9-12
Примем, что диаметр резервуара равен D,, длина - L и толщина
стенки - . Если длина L достаточно велика, то можно не учитывать
закругления концов резервуара. Представим, что резервуар разрезан
пополам. Рассматриваем равновесие верхней половины (см. рис.
9.12b.). Площадь сечения равна D, умноженное на L. На него
действует давление p. Тогда общая сила равна F=p D L. Его можно
уравновесить напряжениями g. Эти напряжения действуют в двух
сечениях стенки с общей площадью 2L. Из уравнения равновесия
k
 Fy  0   g 2L  pL 2r
k
g 
находим
pr

Напряжения действуют не только в продольных, но и в
поперечных сечениях (см. рис. 9.12c). Результирующую силу
давления получим, умножив площадь поперечного сечения
резервуара на давление p. В равновесии эту силу удерживает сила,
которую создает напряжение s , т. е
k
2
 Fx  0  s 2r  pr
k
s 
Отсюда
pr
2
Видно, что продольные напряжения в два раза больше, чем
поперечные. Поэтому при замерзании воды в водопроводе трубы
всегда лопаются в продольном направлении (сосиски, если их
переварить также лопаются в продольном направлении).
9.3.2 Общая теория оболочек
Теория оболочк = гипотеза прямых нормалей
Прямая, которая внедеформированном состоянии перпендикулярна
середине плоскости оболочки, остается перпендикулярной и в
деформированном состоянии.
1
A
A A
B
B
B
B
A
Рис.9.15a.
1
A
A
9-13
z
y
x
u z  w ( x, y )
Рис.9.15b.
На рис.9.15a. и 9.15b. показана пластина, смотря на которую сбоку мы видим
как бы балку (гипотеза плоских сечений). Но на пластину можно посмоьреть с
двух сторон, и мы видим поворот прямых, а не пластин. В отличии от балки, для
пластины неизвестная функция – изгиб срединной поверхности пластины
w ( x, y ) , которая является двумерной функцией.
z
z
y
x
uy
ux
Рис.9.16.
Поэтому гипотеза прямых нормалей для изгиба пластины формулируется
следующим образом.
x  z
w ( x , y )
;
x
y  z
w ( x , y )
;
y
9.4 Использование МКЭ для изгиба балки
Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки
2
d u( x)
dx
2

M( x )
EJ z
~ ( x)  ???
u
показывает, что единственная неизвестная функция одномерная кривая. В этом
случае будет дифференциальное уравнение второго порядка, поэтому
граничные условия должны удовлетворять как самой функции, так и ее первой
производной, т. е. углу поворота. Как выполнить эти условия мы уже
показывали в параграфе 8.8. Это фактически тоже параграф об использовании
МКЭ для изгиба балки.
9.5 Мкэ для оболочек
Оболочки – конструкции, доминирующие и в машиностроении (см. рис.
9.16), и в строительстве (выставочный зал на Кипсале).
9-14
9.5.1 МКЭ для пластины
Неизвестная функция двумерная поверхность w ( x, y )  ??? Итак
граничные условия должны удовлетворять как самой функции, так и ее первой
производной. Производных две, т. е. есть два угла поворота, относительно оси x
и относительно оси y.
A
w ( x , y )
x
w ( x , y )
y  z
y
B
x  z
B
A
Рис.9.17.
Форму конечного элемента можем выбирать достаточно произвольно. Если
выберем прямоугольники как показано на рис. 9.18.
y
r-1
r
x
Zīm.9.18.
Условия стыковки
1)Должны совпасть изгибы пластины
wr ;
2)Должны совпасть углы поворота вокруг оси
3)Должны совпасть углы поворота вокруг оси
r+
1
~ ( x, y )
w
;
x
x
~ ( x, y )
w
y
;
y
Так как у элемента четыре угла и в каждом должны выполнится три условия
стыковки, у аппроксимирующего полинома должно быть 4x3=12 членов.
9-15
~ (x, y )  C  C x  C y  C xy  C x2  C y 2 
w
1
2
3
4
5
6
C7 x2y  C8xy2  C9x2y 2  C10x3y  C11xy3  C12x3y 3
Вопросы для проверки
1)Зачем необходимы технические теории деформируемого тела?
2)Для каких элементов конструкций можно использовать технические теории?
3)Что такое балка и стержень?
4)Гипотеза плоских сечений как основа теории стержней.
5)Каковы основные виды нагружения стержней
6)Вывести формулу напряжений растяжения – сжатия для стержней.
7)Вывести формулу напряжений изгиба балки.
8)Как распределяются по поперечному сечению балки напряжения изгиба?
9)Рациональный выбор поперечного сечения при изгибе.
10)Где нужно размещать железную арматуру в железобетонной балке, почему?
11)Возможности расчета изгиба балки с помощью теории стержней.
12)Вывод формулы напряжений кручения тонкостенной трубки.
13)Вывод формулы напряжений кручения круглого стержня.
14)Как распределяются по сечению напряжения кручения, почему?
15)Что такое оболочка?
16)Что такое безмоментная оболочка?
17)Почему при замерзании водопроводные трубы лопаются в продольном
направлении?
18)Гипотеза прямых нормалей – основа теории оболочек.
19)Использование МКЭ для расчета изгиба балки.
20)Использование МКЭ для оболочек и пластин.