ПРОГРАММА вступительных испытаний по учебному предмету

ПРОГРАММА
вступительных испытаний по учебному предмету
«Математика» для лиц, имеющих общее базовое образование
При подготовке материалов для вступительных испытаний по математике
основное внимание должно быть обращено на проверку понимания
абитуриентом сущности математических понятий, формул и теорем, а также
умений:
выполнять арифметические действия над числами, заданными в форме
десятичных и обыкновенных дробей; округлять с необходимой точностью числа
и результаты вычислений;
выполнять действия над алгебраическими дробями;
проводить тождественные преобразования многочленов, рациональных
выражений, выражений со степенями и корнями;
строить графики функций;
решать уравнения и системы уравнений первой и основные системы
уравнений второй степени, уравнения и системы, которые приводятся к ним;
решать неравенства и системы неравенств первой и второй степени с
одной переменной, неравенства и системы неравенств, которые приводятся к
ним;
решать рациональные уравнения;
решать текстовые задачи арифметическим способом или методом
составления уравнений и их систем;
решать основные задачи на проценты;
решать основные задачи на построение с помощью циркуля и линейки;
решать геометрические задачи на доказательство, вычисление значений
геометрических величин (длин, площадей, углов).
Арифметика и алгебра
Натуральные числа и нуль. Их сложение, вычитание, умножение и
деление. Сравнение натуральных чисел. Квадрат и куб натурального числа.
Простые и составные числа. Делитель, кратное. Четные и нечетные числа.
Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10. Разложение натурального числа на
простые множители. Общий делитель, общее кратное.
Целые числа. Противоположные числа. Арифметические действия над
целыми числами.
Обыкновенные дроби. Правильные и неправильные дроби. Целая и
дробная части числа. Основное свойство дроби. Сокращение обыкновенных
дробей. Сравнение обыкновенных дробей. Их сложение, вычитание, умножение
и деление. Среднее арифметическое нескольких чисел.
Десятичные дроби. Сравнение десятичных дробей. Сложение, вычитание,
умножение и деление десятичных дробей. Приближенное значение числа.
Округление чисел.
Рациональные числа. Арифметические действия над рациональными
числами.
Иррациональные числа. Действительные числа. Представление
действительных чисел в виде десятичных дробей. Числовая прямая.
Изображение чисел на числовой прямой. Модуль действительного числа, его
геометрический смысл.
Проценты. Основные задачи на проценты. Пропорции. Основные
свойства пропорций. Прямая и обратная пропорциональность.
* Степень с натуральным и целым показателями. Свойства степеней с
натуральным и целым показателями.
* Числовые выражения. Алгебраические выражения. Тождественно
равные выражения. Формулы сокращенного умножения:
а2 - b2 = (а - b)(a + b),
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2;
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab+ b2),
a3 - b3= (a - b)(a2 + ab + b2).
Одночлен и многочлен. Сложение, вычитание и умножение многочленов.
Разложение многочленов на множители. Тождественные преобразования
многочленов.
Алгебраическая дробь. Основное свойство дроби. Сокращение
алгебраических
дробей.
Действия
над
алгебраическими
дробями.
Тождественные преобразования рациональных выражений.
* Квадратный корень. Арифметический квадратный корень.
Арифметический квадратный корень из произведения, частного и степени.
Тождество v_а2 = |а|.
* Уравнения. Корень уравнения. Равносильные уравнения. Линейные
уравнения.
* Квадратное уравнение. Формулы корней квадратного уравнения.
Приведенное квадратное уравнение.
Применение теоремы Виета для нахождения корней квадратного
уравнения.
* Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
Уравнения, сводящиеся к квадратным. Биквадратные уравнения.
Решение рациональных уравнений.
* Свойства числовых неравенств.
* Неравенство с одной переменной. Равносильные неравенства. Решение
линейных неравенств вида:
ах > b; ах < b; ах  b; ах . b;
b< ах<c; b  ах < c; b<ах c; b  ах c.
Решение систем линейных неравенств с одной переменной.
Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком
модуля, вида: |х|=а, |х| > а, |x| < а, |х|  а, |х| х2 а .
* Квадратное неравенство. Решение квадратных неравенств вида:
а х2 + bх + с > 0, а х2 + bх + с < 0, а х2 + bх + с  0,
а х2 + bх + с  0, где а  0.
* Прямоугольная система координат на плоскости.
Формула расстояния между двумя точками координатной плоскости.
Уравнение окружности.
Понятие функции. Область определения функции.
Область значений функции. Способы задания функции.
График функции. Возрастание и убывание функции. Четные и нечетные
функции. Точки пересечения графика функции с осями координат.
* Свойства функции у = ах + b и ее график.
* Свойства функции у = k/х (где k  0) и ее график.
* Свойство функции у = ах2+ bх + с (где а  0 ) и ее график.
* Свойства функции у = х3 и ее график.
* Свойства функции у = |x| и ее график.
* Свойства функции у = vх и ее график.
Геометрия
Основные (неопределяемые) понятия планиметрии.
Луч, отрезок; угол, биссектриса угла, вертикальные и смежные углы;
многоугольник, его углы, стороны и диагонали.
Треугольник и его элементы. Медиана, биссектриса, высота
треугольника. Прямоугольный, остроугольный, тупоугольный треугольники.
Соотношения между сторонами и углами произвольного и прямоугольного
треугольников.
* Равенство треугольников. Признаки равенства треугольников.
* Свойства равнобедренного треугольника.
* Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства
параллельных прямых.
Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр и наклонная. Проекция
наклонной.
* Свойства серединного перпендикуляра.
Четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат,
трапеция.
Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках.
* Теоремы о средней линии треугольника и трапеции.
* Свойства и признаки параллелограмма.
* Свойства прямоугольника, ромба, квадрата.
* Сумма углов треугольника.
Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус, дуга.
Касательная к окружности и ее свойства.
* Окружность, описанная около треугольника.
* Окружность, вписанная в треугольник.
* Центральные и вписанные углы. Измерение центральных и вписанных
углов.
Свойство секущих, проведенных к окружности из одной точки. Свойство
пересекающихся хорд.
* Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника.
Решение прямоугольных треугольников.
Значения синуса, косинуса, тангенса для углов 30°, 45°, 60°.
Определение синуса, косинуса, тангенса для углов от 0° до 180°.
Теорема синусов. Теорема косинусов. Следствия из теорем синусов и
косинусов (решение треугольников).
Движения плоскости: центральная и осевая симметрии, параллельный
перенос, поворот.
Преобразование подобия. Примеры преобразования фигур.
* Признаки подобия треугольников.
Подобие прямоугольных треугольников. Свойства высоты, проведенной
из вершины прямого угла прямоугольного треугольника.
Формулы площадей квадрата и прямоугольника.
* Формулы площадей параллелограмма, треугольника, ромба, трапеции.
Многоугольники.
Правильные
многоугольники.
Сумма
углов
многоугольниака. Окружность, вписанная в правильный многоугольник;
окружность, описанная около правильного многоугольника; формулы для
вычисления их радиусов.
Длина окружности. Длина дуги окружности. Площадь круга.
доли и массы растворенного вещества.