мет.ук(произв)

Методические рекомендации по теме: "Производная".
Для усвоения теоретического материала рассмотрим примеры с подробным описанием
каждого шага решения по темам:
1. Определение производной. Геометрический смысл производной.
2. Монотонность и экстремумы функции.
3. Приложения производной.
4. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Пример 1. Найти производную функции y = –x4 + x3 + 2х2 + 3x + 2 в точке x0 = –1.
Решение
y' = (–x4)' + (x3)' + 2(х2)' + 3(x)' + (2)' = –4x3 + 3x2 + 4х + 3.
Тогда
y'(–1) = –4(–1)3 + 3(–1)2 + 4(–1) + 3 = 4 + 3 – 4 + 3 = 6.
1
Пример 2. Найти производную функции y 
4
2x
3

3
2
в точке x0 = 2.
4x
Решение
Преобразуем функцию:
y
1
4

2 x3
2
1  34 2  13

x 3 x .
3
4x 4 2
4
Тогда


 1  34   2  13 
1  3   34 1 2  1   13 1
y   4 x    3 x   4    x
 3   x

2  4
4  3
 2
  4


y(2)  
3
44 2
2

7
4

2
33 4

2

3
44 2
4
3
x

7
4

33 4
4
3
x .
3  74  14 2  43  23
3
2
  2
 2
   22   22 
4
3
4
3
3
2
1 3
1

   .
4  4 3  4 6 16
48

Пример 3. Найти производную функции y  2  6 x  x3
4

2

3
x в точке x0 = 1.
Решение
Преобразуем функцию

y  2  6 x  x3

3
3 1
11
3
 
 1
 1
 1 1
 1

x  2  x6  x 2  x3  2  x 6 3  x 2 3   2  x 2  x 6 .






Тогда
11 
1

 12

 1 1 1 11 111 
 1  1 11 5  11 5
y  2   x  x 6   2   x 2  x 6   2   x 2  x 6   x 6  x 2 ;
6
6  3


 2

 2
y(1) 
11
8
1  .
3
3
Пример 4. Найти производную функции y 
8
в точке x0 = 0.
2 x  3x 2  x  1
3
Решение
y  

8  2 x3  3x 2  x  1
 2 x3  3x2  x  1
y(0)  
Пример 5. Найти производную функции y 
2

 2 x3  3x2  x  1
8  1
 1
2
1
3
8  6 x 2  6 x  1
2 x  3  x2
2
;
 8.
.
Решение
Преобразуем функцию
y
1
3
2 x  3  x2
1
   x 2  2 x  3 3 .

Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции:
(f(g(x)) = f ′ (g(x))g(x).
Тогда
5
y  
1
4
 1


1
1
2
2
2
3

x

2
x

3

x

2
x

3



x

2
x

3

 
 3
 3  2 x  2  
3

2x  2
3 3   x 2  2 x  3
Пример 6. Найти производную функции y  (2  x)2 
4
.
1  x2
.
2
Решение
Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции:
(f(g(x)) = f  (g(x))g (x).
Тогда
1
y   (2  x) 2  
2

1  x2
 2(2  x)  1 
  2(2  x)  2  x   12 2 11 x
2 x
4 1  x2
 2(2  x) 
x
2 1  x2
1  x  
2
2
.
Пример 7. Найти производную функции y = 6xsinx.
Решение
Воспользуемся правилом нахождения производной произведения двух функций:
(uv) = uv + uv.
Тогда
y' = (6x)'sin x + 6x(sin x)' = 6xln6 sin x + 6xcos x.
Пример 8. Найти производную функции y 
1
 log 2 (2 x  3) .
sin 2 x
Решение
Преобразуем функцию
y
1
1
 log 2 (2 x  3)   sin 2 x   log 2 (2 x  3).
sin 2 x
По правилу нахождения производной сложной функции:
6

y   sin 2 x 
1
  log (2x  3)   sin 2x 
   sin 2 x 
2
2
2
 cos 2 x  (2 x) 
sin 2 x  
1
(2 x  3) 
(2 x  3) ln 2
2
2cos 2 x
2


.
2
(2 x  3) ln 2
sin 2 x (2 x  3) ln 2
x  2 1
.
x
Пример 9. Найти производную функции y 
Решение
Воспользуемся правилом нахождения производной частного:

 u  uv  uv
.
  
v2
v
Тогда

y 

x  2 1 x 
 

x  2  1 x
x2
1

 x  2 x 
 2 x2
x2


x  2 1

x
 x  2 1
x  2( x  2)  2 x  2 2 x  2  x  4
2
x

2



.
2
x
2x2 x  2
2x2 x  2
Пример 10. Найти производную функции y  
2
1  cos x 
3
.
Решение
Преобразуем функцию
y
2
 2 1  cos x  .
3
1  cos x 
3
По правилу нахождения производной сложной функции:
y'  2(3) 1  cos x 
31

1  cos x 
 6 1  cos x 
4
 0    sin x    
6sin x
1  cos x 
4
.
7
Пример 11. Найти производную функции y  log 52 (2  x) .
Решение
По правилу нахождения производной сложной функции:
y  5log 42 (2  x)  log 2 (2  x)   5log 24 (2  x)
 5log 42 (2  x)
1
 2  x  
(2  x) ln 2
5log 42 (2  x)
1
.
 1  
(2  x) ln 2
(2  x) ln 2
  x 
Пример 12. Найти производную функции y  ln  tg     .
  8 
Решение
Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции:
(f(g(x))' = f ' (g(x))g' (x),
а также нечетностью функции y = tg x и четностью функции y = cos x.
Тогда
y 

  x  
1
1
 x 
tg





 
x   8 
 x    8 
 x
2
tg   
tg    cos   
 8
 8
 8
1
1
1
1
 1
 

.

x
x
x 8
 x
2 x
2 x
2
8 tg cos
8 tg cos
tg    cos   
8
8
8
8
 8
 8
1
Пример 13. Найти производную функции y  e x  2  2arccos3x .
Решение
По правилу дифференцирования сложной функции:
y 
8
1
2 e x  2
e
x


1
 2  2  
 1  (3x)2


1
23
 (3x) 
e x ( x)  0  


x
2

2
e

2
1

9
x


1
x
2 e 2
6
e x (1) 
1 9x
2

e x
x
2 e 2

6
1  9 x2
.
Пример 14. Найти производную функции y  2log 1 (arcsin 2 x) .
2
Решение
По правилу дифференцирования сложной функции:



1

y  2  log 1 (arcsin 2 x)   2
  arcsin 2 x  
1
 2

arcsin 2 x  ln
2

2

1
1 1  (2 x)
arcsin 2 x ln
2
 2x
2
4

1
1  4 x arcsin 2 x ln
2
.
2
ctg
Пример 15. Найти производную функции y  3
( x 1)2
3x
.
Решение
По правилу дифференцирования сложной функции:
ctg
y  3
( x 1)2
3x

( x 1)2

ctg

( x  1) 2 
1
3x
ln 3  ctg

3
ln
3


2
3x 

 sin 2 ( x  1)

3x

ctg
 3
ctg
 3
ctg
 3
( x 1)2
3x
( x 1)2
3x
( x 1)2
3x

  ( x  1) 2 

 
 3x 


ln 3
1  ( x  1) 2 

 
2
x 
2 ( x  1) 3 
sin
3x
ln 3
1  ( x  1)
( x  1) 2 3
sin 2
3x
2

 x  ( x  1)
x2
2
x

ln 3
2( x  1)( x  1) ' x  ( x  1) 2

2
3x 2
2 ( x  1)
sin
3x
9
ctg
 3
ctg
 3
( x 1)2
3x
( x 1)2
3x
ln 3
2( x  1) x  ( x  1) 2

2
3x 2
2 ( x  1)
sin
3x
( x 1)
ctg
ln 3
( x  1)(2 x  x  1)
( x 2  1) ln 3
3x


3
.
2
2
3x 2
2 ( x  1)
2
2 ( x  1)
sin
3x sin
3x
3x
2
Пример 16. Найти производную функции y  xarctg 2x .
Решение
Данная функция не является ни показательной, ни степенной. Поэтому для нахождения
производной этой функции воспользуемся формулой:
y  y (ln y ).
Тогда
y  xarctg 2 x  ln x arctg 2 x   x arctg 2 x  arctg 2 x ln x  


 xarctg 2 x  arctg 2 x  ln x  arctg 2 x  ln x  

1
1
 x arctg 2 x 
(2 x) ln x  arctg 2 x  
2
x
 1  (2 x)
1
 2

 x arctg 2 x 
ln x  arctg 2 x  .
2
x
 1 4x

1 
Пример 17. Найти производную функции y    1
x 
2 x 3
.
Решение
Функция не является ни показательной, ни степенной. Поэтому для нахождения
производной этой функции воспользуемся формулой:
y  y (ln y ).
Тогда
1 
y    1
x 
10
2 x 3

  1 2 x 3   1 2 x 3 
 1 
(2
x

3)
ln

1
 ln   1
    1

 

 x 

 x 
 x 
1 
   1
x 
2 x 3
1 
   1
x 


 (2 x  3) ln  1  1  (2 x  3)  ln  1  1   



x 
  x  


2 x 3
1 
   1
x 



1  1  
1 
 2 ln   1  (2 x  3) 1   1  
x 

 1  x  
x


2 x 3

x  1 
1 
 2ln  x  1  (2 x  3) 1  x   x 2   





1 
   1
x 
2 x 3

 1  2x  3 
 2ln  x  1  x  x 2  .




Пример 18.
Написать уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции y   3 x  2 в точке с
абсциссой х0 = 0.
Решение
Уравнение касательной
y = f(x0) + f '(x0)(x – x0);
уравнение нормали
(x – x0) + f '(x0)(y – f(x0)) = 0.
Найдем значение функции в точке х0=0:
f ( x0 )  f (0)   3 2.
Найдем производную:
1 
1
2
 
1
1
1


3

f ( x)   x  2     x  2  3     x  2  3    x  2  3 .
3
3




Тогда значение производной в точке х0 = 0:
1  23
1
f ( x0 )  f (0)    2   3 .
3
3 4
Запишем уравнение касательной:
11
 1 
y   3 2    3   ( x  0);
 3 4
x
y  3 2 
33 4
.
Запишем уравнение нормали:
 1 
x  0    3  ( y  3 2)  0;
 3 4
x
x
y
3
3 4
y
3
3 4


3
2
 0;
3 4
3
1
3
3 2
 0.
Итак,
y  3 2 
x
y
3
3 4
x
3
3 4

1
3
3 2
– уравнение касательной;
 0 – уравнение нормали
к графику функции y   3 x  2 в точке с абсциссой х0 = 0.
Пример 19.
Написать уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции y  e1 x в
2
точке с абсциссой х0 = −1.
Решение
Уравнение касательной
y = f(x0) + f '(x0)(x – x0);
уравнение нормали
(x – x0) + f '(x0)(y – f(x0)) = 0.
Найдем значение функции в точке х0 = −1:
f ( x0 )  f (1)  e1( 1)  e0  1.
2
Найдем производную:
12
   e  1  x   e
f ( x)  e1 x
1 x 2
2
1 x 2
2
  2 x  .
Тогда значение производной в точке х0 = −1:
f ( x0 )  f (1)  2  (1)  e1( 1)  2e0  2.
2
Запишем уравнение касательной:
y = 1 + 2 (x + 1);
y = 2x + 3.
Запишем уравнение нормали:
(x + 1) + 2 (y – 1) = 0;
x + 1 + 2y – 2 = 0.
Итак,
y = 2x + 3 – уравнение касательной,
x + 2y – 1 = 0 – уравнение нормали
к графику функции y  e1 x в точке с абсциссой х0 = −1.
2
Пример 20. Вычислить вторую производную функции y  ln 2 x  4 .
Решение
Найдем первую производную, используя правило дифференцирования сложной функции.
y  ( ln 2 x  4) 
1
2 ln x  4
2
(ln 2 x  4) 
2 ln x(ln x)
2 ln x  4
2

ln x
x ln 2 x  4
.
Найдем вторую производную, используя формулы нахождения производной частного,
производной произведения, а также правило дифференцирования сложной функции.






2
2


  ln x  x ln x  4  ln x x ln x  4
ln x
y  

 
2
2
2
 x ln x  4 
x ln x  4

13




1
x ln 2 x  4  ln x  x ln 2 x  4  x
x


x 2  ln 2 x  4 


ln 2 x  4 



1
ln 2 x  4  ln x  ln 2 x  4  x
  ln 2 x  4  
2
2 ln x  4



2
2
x  ln x  4 

1
1 

ln 2 x  4  ln x  ln 2 x  4  x
2 ln x  

x 
2 ln 2 x  4 



2
2
x  ln x  4 

ln x 
ln 2 x  4  ln x  ln 2 x  4 

ln 2 x  4 



x 2  ln 2 x  4 

ln 2 x  4  ln x  ln 2 x  4  ln x 
x 2  ln 2 x  4 
3/ 2


ln 2 x  4  ln 3 x  4ln x  ln 2 x
x 2  ln 2 x  4 
3/ 2
4 ln x  4  ln 3 x
x 2  ln 2 x  4 
3/ 2

.
Пример 21. Вычислить вторую производную функции y  (cos x) x .
Решение
Найдем первую производную функции, по формуле
y  y (ln y ).
Тогда
y  y(ln y)  (cos x) x (ln(cos x) x )  (cos x) x ( x ln cos x) 
( sin x) 

 (cos x) x  (( x) ln cos x  x(ln cos x))  (cos x) x  ln cos x  x

cos x 

 (cos x) x (ln cos x  x tg x).
Найдем вторую производную, применив формулу производной произведения:
y  ((cos x) x (ln cos x  x tg x))  ((cos x) x )(ln cos x  x tg x)  (cos x) x (ln cos x  x tg x) 
14
x 
  sin x
 (cos x) x (ln cos x  x tg x) 2  (cos x) x 
 tg x 

cos 2 x 
 cos x
x 

 (cos x) x  (ln cos x  x tg x) 2  2 tg x 
.
cos 2 x 

Пример 22. Найти производную n-ого порядка функции y  e13x .
Решение
Преобразуем функцию
13 x
2
y  e13 x  e
.
Найдем первую производную:
13 x
13 x
 123 x 
1  3 x 
3
2 
2 

y  e   e 
  e   .
 2 
 2


Тогда вторая производная равна
2
13 x
 3 123 x 
3 123 x  1  3 x 
3

2
y    e    e 
  e   .
2
 2 
 2
 2

Легко увидеть, что каждая последующая производная будет получаться умножением

предыдущей функции на коэффициент  

3
.
2
Следовательно,
y(n)  e
13 x
2
n
 3
  .
 2
Пример 23. Найти производную n-ого порядка функции y 
4x  2
.
2x  5
Решение
Выделим целую часть дроби:
y
4 x  2 2(2 x  5)  8
8

 2
.
2x  5
2x  5
2x  5
15
Найдем первые три производные данной функции и выведем закономерность, по которой
получается n-ая производная:

y   2  8(2 x  5)1   8(1)(2 x  5)2 (2 x  5)  8(1)(2 x  5)2 2.
y  (8(1)(2 x  5)2 2)  8(1)(2)(2 x  5) 3 22.
y  8(1)(2)(3)(2 x  5)4 23.
Тогда легко заметить, что
y ( n )  8(1)(2)(3)
(n)(2 x  5)  n1 2n.
Следовательно,
y ( n )  8(1)n n!(2 x  5) n1 2n  
8  2n (1)n n!
.
(2 x  5)n1
Пример 24. Найти производную n-ого порядка функции y 
1
.
x  x6
2
Решение
Разложим знаменатель на множители:
x 2  x  6  ( x  2)( x  3).
Разложим дробь на сумму простейших дробей:
1
A
B
A( x  3)  B( x  2)



.
x  x 6 x  2 x 3
( x  2)( x  3)
2
Приравняв числители, получим 1 = A(x – 3) +B(x + 2).
При x  3 имеем: 1 = 5B  B = 1/5;
при x  2 имеем: 1 = −5A  A = −1/5.
Тогда
1
1 1
1 
 

.
x  x 6 5 x 3 x  2 
2
Рассмотрим функцию g ( x ) 
1
и найдем ее n-ую производную.
xc
g ( x)  (( x  c)1 )  ( x  c)2 ;
16
g ( x)  (( x  c)2 )  (2)( x  c) 3 ;
g ( x)  ((2)( x  c)3 )  (2)(3)( x  c) 4 .
Легко заметить, что
g ( x)  (2) 
( n)
 (n)  ( x  c)
 n 1
 (1) n!( x  c)
n
 n 1
(1)n n!

( x  c)n1
Тогда
1 1
1 
y(n)  


5 x 3 x  2 
(n)


(1)n  n! 
1
1

.

n 1
n 1 
5
( x  2) 
 ( x  3)
Пример 24. Найти десятую производную функции y = 5x (2x + 4).
Решение
Заметим, что вторая производная от функции u = 2x + 4 равна нулю. Для нахождения
десятой производной произведения функций v = 5x и u = 2x + 4 воспользуемся формулой
Лейбница, заметив, что все слагаемые в этой формуле, начиная с третьего, будут равны нулю, так
как u(k) = 0 при k ≥ 2.
(u  v)( n )  uv ( n )  nuv ( n 1) 
n(n  1)
u v ( n 2)  ...  u ( n ) v.
1 2
Тогда
y (10)  (2 x  4)(5x )(10)  10(2 x  4)(5x )(9) .
Так как
5   5
x
x
ln 5,
5   5
x
x
ln 5  5x ln 2 5,
то легко заметить, что
5 
x (10)
 5x ln10 5; a  5x 
(9)
 5x ln 9 5.
Тогда имеем:
y (10)  5x ln10 5(2 x  4)  20  5x ln 9 x.
Пример 25.
17
Провести полное исследование функции y = (x + 1)2(2x – 3) и построить график.
Решение
1) Область определения функции – вся числовая ось.
2)Функция не является ни четной, ни нечетной, так как
y(–x) = ((–x) + 1)2(2(–x) – 3) = (–x + 1)2(–2x – 3)  y(x).
3) Найдем точки пересечения с осями координат.
С осью OY график пересекается при x = 0, тогда y = –3, т.е. (0, –3) – точка пересечения с
осью OY;
С осью OX график пересекается при y = 0, тогда x = –1 или x = 3/2, т.е. (–1, 0) и (3/2, 0) –
точки пересечения с осью OX.
4) Найдем промежутки постоянства знака значений функции. На числовой прямой
отметим нули функции и определим знаки получившихся интервалов:
−
–
−1
+
3/2
X
Следовательно, на интервалах (−, −1) и (−1, 3/2) график функции расположен ниже оси
OX, а на интервале (3/2,+ ) −выше оси OX.
5) Функция является непрерывной, следовательно, вертикальных асимптот нет.
6) Найдем точки экстремума и промежутки монотонности функции.
y   ( x  1)2 (2 x  3)    ( x  1) 2   2 x  3  ( x  1) 2  2 x  3 
 2( x  1)  2 x  3  ( x  1)2  2  2( x  1)  2 x  3  x  1  2( x  1) 3x  2 .
Найдем нули производной:
y' = 0, тогда 2(x + 1)(3x – 2) = 0;
x + 1 = 0 или 3x – 2 = 0;
x = –1,
18
x = 2/3.
На числовой оси отметим нули первой производной и определим знаки получившихся
интервалов:
f ′(x)
–
+
+
−1
max
f(x)
2/3
X
min
Найдем значения функции в точках экстремума:
у(–1) = 0,
у(2/3) = (2/3 + 1)2(2  2/3 – 3) = (5/3)2(4/3 – 3) = (25  (4 – 9))/(9  3) = –125/27.
Тогда в точке (–1,0) – максимум функции, в точке (2/3, –125/27) – минимум функции.
На интервалах (−, −1) и (2/3, ) функция возрастает; на интервале (−1, 2/3) функция
убывает.
7) Найдем промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.
y   2( x  1)  3x  2   2  x  1  3x  2   2( x  1)  3x  2  
 2  3x  2  2( x  1)  3  6 x  4  6 x  6  12 x  2.
Найдем нули второй производной:
12 x  2  0  x  1/ 6.
Отметим нули второй производной на числовой прямой и определим знаки получившихся
интервалов:
f ′′(x)
–
−1/6
f(x)
2
+
X
2
125
 1   1   2   5   1  25  10 
y        1    3        3       
.
54
 6  6   6
  6   3  36  3 
19
1
 1 125 

 – точка перегиба. На интервале   ,  6  график функции выпуклый


 6 54 
Тогда   ;
1
вверх; на интервале   ,   – выпуклый вниз.
 6

8) Строим график.
Y
−1/6
2/3
−1
3/2
−3
−125/27
Пример 26.
Построить график функции y 
4
с полным исследованием.
3  2x  x2
Решение
1) Найдем область определения функции:
3  2 x  x 2  0;
x 2  2 x  3  0;
x  1 и x  3.
D( f )  (, 3)  (3, 1)  (1, ).
2) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как
y ( x) 
4
4

  y ( x).
2
3  2( x)  ( x)
3  2 x  x2
3) Найдем точки пересечения с осями координат.
20
X
4
 4
При x  0 y  ; тогда A  0,  – точка пересечения с осью OY.
3
 3
Точек пересечения с осью OX нет.
4) Найдем промежутки постоянства знака значений функции.
На числовой прямой отметим нули числителя и нули знаменателя функции и найдем знаки
получившихся интервалов:
–
–
+
−3
1
X
Следовательно, на интервалах (−, −3) и (1, ) график функции расположен ниже оси
OX, а на интервале (−3, 1) −выше оси OX.
5) x = 1 и x = –3 – уравнения вертикальных асимптот.
y = 0 – уравнение горизонтальной асимптоты, так как при x→∞, значения функции
стремятся к нулю.
6) Построим эскиз графика.
Y
−3
О
1
X
Уточним график с помощью первой и второй производной.
7) Найдем точки экстремума и промежутки монотонности, для этого найдем первую
производную:

4
4(3  2 x  x 2 )
4(2  2 x)
8  8x


y  



.
2 
2 2
2 2
(3  2 x  x )
(3  2 x  x )
(3  2 x  x 2 ) 2
 3  2x  x 
Найдем нули числителя:
21
8  8 x  0  x  1 – критическая точка.
На числовой прямой отметим точки, в которых первая производная равна нулю или не
существует, и определим знаки получившихся интервалов:
f ′(x)
–
f(x)
–
+
−1
−3
+
1
X
min
Найдем значения функции в точках экстремума:
y (1) 
4
 1.
3  2 1
Тогда в точке (–1,1) – минимум функции; на интервалах (−, −3) и (−3, −1) функция
убывает, на интервалах (−1, 1) и (1, ) функция возрастает.
8) Найдем промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба, для этого найдем
вторую производную:

2 2
2 2 


  8  8 x  (3  2 x  x )  8  8 x   (3  2 x  x ) 
8  8x
y  


2 2 
(3  2 x  x 2 )4
 (3  2 x  x ) 




8(3  2 x  x 2 ) 2  8  8 x   2(3  2 x  x 2 )  2  2 x 

(3  2 x  x 2 ) 4
8(3  2 x  x 2 )  3  2 x  x 2  2 1  x  2  2 x  
(3  2 x  x 2 )4
8  3  2 x  x 2   2  2 x  2  2 x  
(3  2 x  x 2 )3
8  3x 2  6 x  7 
(3  2 x  x 2 )3


8 3  2 x  x 2  4  8x  4 x 2 
(3  2 x  x 2 )3

.
Найдем нули числителя:
3x 2  6 x  7  0 ;
D  36  4  21  0  корней нет.
На числовой прямой отметим нули знаменателя и определим знаки получившихся
интервалов:
22
f ′′(x)
–
−
+
−3
f(x)
1
X
На интервалах (−, −3) и (1, ) график функции выпуклый вверх, на интервале (–3, 1) –
выпуклый вниз.
9) Построим график функции.
Y
1
−3
−1
О
1
X
Пример 27.
Найти точки экстремума и интервалы монотонности функции y  
x3
.
(2 x  1)2
Решение



x3  (2 x  1) 2  x3  (2 x  1) 2 

 x3 
y   


2 
(2 x  1) 4
 (2 x  1) 

3x 2 (2 x  1)2  2 x3 (2 x  1)  2
x 2 (2 x  1)(3(2 x  1)  4 x)



(2 x  1)4
(2 x  1)4

x 2 (6 x  3  4 x)
x 2 (2 x  3) x 2 (3  2 x)



.
(2 x  1)3
(2 x  1)3
(2 x  1)3
Найдем нули первой производной:
y = 0;
x2(3 – 2x ) = 0;
23
x=0
или
3 – 2x = 0,
3
x ,
2
На числовой прямой отметим нули числителя и нули знаменателя первой производной и
определим знаки получившихся интервалов:
f ′(x)
–
f(x)
–
−
+
1/2
0
3/2
X
max
Найдем значение функции в точке экстремума.
3
3
 
27
27
2
3
y     2  
  ; тогда в точке
8 4
32
 2  (1  3)
 3 27 
 ,   – максимум функции.
 2 32 
На интервалах (−, 0), (0, 1/2) и (3/2, ) функция убывает, на интервале (1/2, 3/2) функция
возрастает.
Итак, на интервалах (−, 0), (0, 1/2) и (3/2, ) функция убывает, на интервале (1/2, 3/2)
 3 27 
функция возрастает;  ,   − точка максимума функции.
 2 32 
Пример 28.
Найти точки экстремума, интервалы монотонности и точки перегиба функции y   3 x( x  3) 2 .
Решение
1) Найдем точки экстремума и промежутки монотонности функции.

y '   x( x  3)
3
1
  x
3
24

2
3
2
 x  3


2
3

 1 
1
2 
2
2 
 13
 3

3

3
3
   x  x  3     x   x  3  x   x  3 3   
  

 




1
3
2
 x  x  3
3
1

3
\


1  3 ( x  3) 2
 
3 2
3
x


3
x 3
\ 3 x2 
23 x

 3
x  3 


1 x  3  2x
x 1

.
3
2
2
3
3 x 3 x3
x ( x  3)
Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует:
x + 1 = 0,
x2(x + 3)  0,
и
x  0, x  –3.
x = –1,
На числовой прямой отметим критические точки и найдем знаки получившихся
интервалов:
f ′(x)
–
f(x)
−
+
−3
min
−1
−
0
X
max
В точке, где x = –1 – максимум функции,
в точке, где x = –3 – минимум функции.
Найдем значения функции в точках экстремума:
y (1)   3 1(1  3) 2  3 4;
y(–3) = 0.
На интервалах (−, −3), (−1, 0) и (0, ) функция убывает; на интервале (–3, –1) функция
возрастает.
2) Найдем промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба, для этого найдем
вторую производную:

2
1 


 

x 1 
3
    ( x  1)  x  ( x  3) 3  
y   
 3 x 2 ( x  3) 






2
1
1
2
1 



 
 
  23 
3
3
3
3

  ( x  1) x ( x  3)  ( x  1)  x  ( x  3)  ( x  1) x  ( x  3) 3   




 


1
1
2
4
 2


  1
 
 2 5 
   x 3 ( x  3) 3  ( x  1)   x 3  ( x  3) 3  ( x  1) x 3   ( x  3) 3   


 3

 3


25
5
4

 
2
1

  x 3 ( x  3) 3  x( x  3)  ( x  1)( x  3)  ( x  1) x  
3
3


5
4

 
2
1

  x 3 ( x  3) 3  x 2  3x  ( x 2  4 x  3)  ( x 2  x)  
3
3


5
4

 
2
8
1
1 
  x 3 ( x  3) 3  x 2  3x  x 2  x  2  x 2  x  
3
3
3
3 


5
 2 x 3 ( x  3)

4
3
2

5
3
x ( x  3)
4
3
.
Найдем точки, в которых вторая производная не существует или равна нулю.
В точках х = 0 и х = –3 вторая производная не существует. Отметим их на числовой
прямой и определим знак получившихся интервалов:
f ′′(x)
f(x)
−
−
−3
+
0
X
На интервалах (–, –3) и (–3, 0) график функции выпуклый вверх; на интервале (0, ) –
выпуклый вниз.
В точках, где х = 0, – перегиб функции.
у(0) = 0;
(0, 0) – точка перегиба.
Итак, на интервалах (−, −3), (−1, 0) и (0, ) функция убывает; на интервале (–3, –1)
функция возрастает, (1, 3 4) − точка максимума функции, (−3,0) – точка минимума функции,
точки (0, 0) – точка перегиба.
Пример 29
Найти точки экстремума и интервалы монотонности функции y 
Решение
26
e2( x 3)
.
x3
Найдем точки экстремума и промежутки монотонности функции, для этого найдем
первую производную.
2( x 3) 
( x  3)  e2( x 3) ( x  3)

 e2( x 3)   e
y  

 
2
 x  3
 x3 


2e 2( x 3) ( x  3)  e 2( x 3)
 x  3
2
e 2( x 3)  2 x  6  1
 x  3
2


e 2( x 3)  2( x  3)  1
 x  3
e 2( x 3)  2 x  5 
 x  3
2
2

.
Найдем точки, в которых производная равна нулю:
2x + 5 = 0  x = –5/2
На числовой прямой отметим нули числителя и нули знаменателя первой производной и
определим знаки получившихся интервалов:
f ′(x)
−
f(x)
–
−3
+
−5/2
X
min
В точке, где x = –5/2 – минимум функции;
e2( 5/ 23)
e
y (5 / 2) 

 2e.
5 / 2  3 1 2
Итак, на интервалах (–, –3) и (−3, −5/2) функция убывает, на интервале (−5/2, ) функция
возрастает, точка (–5/2, 2e)− точка минимума функции.
Пример 30.
Найти точки экстремума, интервалы монотонности и точки перегиба функции y  
x2
2 3 x3  1
.
Решение
1) Найдем точки экстремума и промежутки монотонности функции, для этого находим
первую производную.
27


2  3 3
2
 x2

1  x  x 1  x
y   
  
3 3
2
3 3
 2 x 1 
x 1


1
2
3
x3  1
2
 
2 / 3
1 3
x  1 3x 2

3

2
3
x 1
2 x 3 x3  1  x 2

3

3 3
4
3
1 2 x x  1  x  x  1
 
2
2
3 3
x 1
2 / 3


3
1  x  1

2
2 / 3

3
 2 x  x 1  x  
3
x3  1

4
2
4
4
1  2x  2x  x 
x4  2x


.
4
2 3 x3  1 4
3
3
2  x  1
 
Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует:
y' = 0  x = 0 или x  3 2;
х  1.
На числовой прямой отметим нули числителя и нули знаменателя первой производной и
определим знаки получившихся интервалов:
f ′(x)
–
f(x)
0
min
−
+
+
1
3
2
X
max
В точке, где x = 0 – минимум функции,
у(0) = 0;
В точке, где x =
y ( 3 2) 
3
2 – максимум функции,
3 4
.
2
На интервалах (–, 0) и ( 3 2 , ) функция убывает, на интервалах (0, 1) и (1,
3
2 ) функция
возрастает.
2) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба, для этого найдем вторую
производную функции.
28



1  x4  2х

  2
4

 3  x3  1



3
 x( x  2)
y   
4
 2 3  x3  1

1

2
x
4
3
 2х

4 
3 3
 x  1   x  2 х    x 1 

8
3 x3  1
 
4
3
4
 4 x3  2 3  x3  1   x4  2 х 
4

1
2
3
1  4x


3
 1
8
1
 2  x3  1 3  4  x 4  2 х  x3  1 3 x 2
3
1
3
x
1
4 3
3 3x 2
x

1


3

4
3
2
1 x



=


 1 3
 4x
8
 2  x3  1  4  x 4  2 х  x 2
3
2
3

 x3  1
x
3
 1
8



3
3
4
2
1 2  2 x  1 x  1  2  x  2 х  x


7
2
3 x3  1



2 x 6  x3  2 x3  1  2 x 6  4 x3
3
x
3
 1
7
x3  1

3
x
3
 1
7
.
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:
x3+1 = 0 => x = –1.
На числовой прямой отметим нули числителя и нули знаменателя второй производной и
определим знаки получившихся интервалов.
f ′′(x)
−
f(x)
−
+
−1
1
X
На интервалах (–, –1) и (1, ) график функции выпуклый вверх, на интервале (–1, 1)
график функции выпуклый вниз.
29
В точке, где х = –1 – перегиб функции,
y(1) 
1
1
 3 ;
2 2 2 2
3
1 

 1, 3   точка перегиба .
2 2

Итак, на интервалах (–, 0) и ( 3 2 , ) функция убывает, на интервалах (0, 1) и (1,
функция возрастает, точка ( 3 2, 
3
3
2)
4
) − точка максимума функции, точка (-0,0) – точка минимума
2
1 

функции,  1, 3   точка перегиба .
2 2

Пример 31
Найти точки экстремума, интервалы монотонности и точки перегиба функции
y  3 ( x  1) 2  3 ( x  2) 2 .
Решение
1) Найдем точки экстремума и промежутки монотонности функции, для этого найдем
первую производную:
1
1


2
2
2 1
1 
y  ( x  1) 3  ( x  2) 3   3
3

3
3
3  x 1
x2 
2  3 x  2  3 x 1 
 
.
3  3 ( x  2)( x  1) 
Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует.
y  0;
3
x  2  3 x  1  0;
3
x  2  3 x  1;
x  2  x 1.
Данное уравнение решений не имеет.
30
В точках x = –2 и x = –1 производная не существует, следовательно, x = –2 и x = –1 –
критические точки. На числовой прямой отметим критические точки и определим знаки
получившихся интервалов:
f ′(x)
f(x)
–
+
−2
max
+
−1
X
min
y(–2) = 1,
(–2, 1) – точка максимума функции;
y(–1) = –1;
(– 1, –1) – точка минимума функции
На интервалах (−, −2) и (−1, ) функция возрастает; на интервале (−2, −1) – убывает.
2) Найдем промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба, для этого найдем
вторую производную:

2  3 x  2  3 x 1  2
1/ 3
1/ 3 

y  
   ( x  1)  ( x  2)  

3
3  ( x  2)( x  1)  3

2 1
1
2
1
1
4 / 3
4 / 3 
   ( x  1)  ( x  2)  

4
4
3 3
3
 9 
3
( x  1) 3
 ( x  2)

4
3




4
3
2 ( x  1)  ( x  2)
.
9 3 ( x  2)4 ( x  1) 4
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует:
y   0;
4
3
4
3
4
4
( x  1)  ( x  2)  0;
( x  1) 3  ( x  2) 3 ;
 x  1  x  2,
( x  1)4  ( x  2) 4  
 x  3 / 2.
 x  1   x  2,
Тогда x = −3/2 – критическая точка второй производной.
31
В точках x = –2 и x = –1 производная не существует. Значит x = –2 и x = –1 так же
являются критическими точками второй производной. На числовой прямой отметим критические
точки и определим знаки получившихся интервалов:
f ′′(x)
f(x)
+
−
+
−2
−3/2
−
−1
X
На интервалах (−, −2) и (−2, −3/2) график функции выпуклый вниз, на интервалах
(−3/2, −1) и (−1, ) – выпуклый вверх.
y(−3/2)=0, тогда (−3/2, 0) – точка перегиба.
Итак, на интервалах (−, −2) и (−1, ) функция возрастает; на интервале (−2, −1) –
убывает, (–2, 1) – точка максимума функции; (– 1, –1) – точка минимума функции, (−3/2, 0) –
точка перегиба.
32