Лабораторная работа № 6. ПРИЛОЖЕНИЕ ОСНОВНОГО

Лабораторная работа № 6
ПРИЛОЖЕНИЕ ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ К
ВРАЩАТЕЛЬНОМУ ДВИЖЕНИЮ.
Приборы и принадлежности: маятник Обербека, секундомер,
штангенциркуль, набор грузов по 100-200 г., вертикальный масштаб.
Введение:
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси все
частицы тела совершают вращательное движение, причем линейные
скорости и ускорения различных частиц тела, вообще говоря,
различны. Если угловая скорость изменяется во времени, то это
изменение можно характеризовать угловым ускорением.
Для данного вращающегося тела угловое ускорение
определяется действием суммы моментов сил. Такая зависимость
должна существовать потому, что равновесие тела определяется
равенством нулю моментов сил. Как только момент сил относительно
оси вращения не будет равен нулю, равновесие нарушится, начнется
вращательное движение и возникает угловое ускорение.
Для отыскания связи между угловым ускорением тела и
моментом сил, действующих на него, рассмотрим движение одной
какой-то выделенной частицы вращающегося тела (рис. 1). Пусть
частица массой mi , находиться на расстоянии ri от оси вращения
OO’.
Рис. 1
На частицу могут действовать как внутренние, так и внешние
силы. Внешние силы приложены со стороны других тел, а внутренние
– со стороны других частиц того же тела. Обозначим через f i
величину проекции суммы внутренних сил, действующих на mi , на
направление, перпендикулярное к ri ; Fi – проекция на то же
направление суммы внешних сил.
1
К каждой точке вращающегося тела применим 2-й закон
Ньютона:
Fi  f i  mi ai
(1)
где ai - линейное ускорение точки, связанное с угловым ускорением
вращающегося тела соотношением ai  ri .
Подставляя в (1) значение ai , затем, умножая справа и слева
уравнение (1) на ri , получим:
(1')
Fi ri  f i ri  mi ri 2
2
Величина mi ri численно равная произведению массы частицы
на квадрат расстояния до оси вращения, называется моментом
инерции точки относительно неподвижной оси вращения. Величины
f i ri и Fi ri определяют моменты внутренних и внешних сил,
действующих на i-ю точку. Уравнения типа (1) и (1’) можно записать
для любых точек тела. Суммируя выражение (1’) по всем элементам
тела, получим:
(2)
 Fi ri   fi ri    mi ri 2
i
i
i
Угловое ускорение  постоянно для всех элементов, поэтому
его можно вынести за знак суммы.
Величина I   mi ri 2 равная сумме моментов инерции
отдельных элементов, называется моментом инерции тела
относительно оси вращения. Величина  f i ri равна 0, так как каждая
внутренняя сила имеет равную и противоположную ей силу,
приложенную к другой частице тела с тем же самым плечом.
Величина M   Fi ri определяет полный момент всех сил,
i
приложенных к телу. Вводя обозначение момента инерции тела J и
момента сил M , перепишем уравнение (2) в виде:



d
(3)
M  I  I
dt
Это есть основной закон динамики твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной оси. Этот закон аналогичен
основному закону динамики поступательного движения, но вместо
величины силы в уравнение (3) входит момент сил относительно оси,
вместо линейного ускорения – угловое ускорение, вместо массы –
момент инерции тела относительно оси вращения. Основной закон
вращательного движения в форме уравнения (3) применим для таких
2
вращающихся систем, у которых момент инерции в процессе
вращения остается постоянным.
Если при вращении тела момент инерции изменяется, то
применяются более общая форма основного закона вращения тела –
закон изменения момента количества
движения:


(4)
Mt  ( J )

Величина
Mt называется импульсом моментом сил, а величина


L  I моментом количества движения.
Согласно равенству (4), изменение момента количества
движения твердого тела численно равно импульсу момента
приложенных к нему сил.
При отсутствии момента сил момент количества движения
остается постоянным. Это следствие известно под названием закона
сохранения момента количества движения.
Описание прибора
Проверка основного закона динамики проводится на маятнике
Обербека (рис. 2). По четырем взаимно перпендикулярным стержням
могут перемещаться грузы в форме цилиндра, в результате чего
момент инерции системы изменяется. Стержни укреплены на валике с
наматывающейся на него нитью, к концу которой прикрепляются
сменные грузы. Под действием груза нить, разматываясь с валика,
приводит всю систему во вращательное движение. Определим
основные величины, входящие в уравнение (3), в применении к
маятнику Обербека. В установке маятник Обербека имеет только 2
стержня, что надо учитывать при вычислении момента инерции.
Рис. 2
3
Угловое ускорение
Обозначим через h высоту падения груза, прикрепленного к
концу нити, через t – время падения, тогда линейное ускорение груза
будет равно a  2h / t 2 . С таким же ускорением движутся точки по
поверхности валика. Если радиус валика равен rв , то величина
углового ускорения запишется как:
a 2h
  2
rв rв t
Момент сил
  

Вращательный момент инерции системы равен M  r  T , где T

натяжение нити, r - радиус – вектор точки приложения силы T .
Величину натяжения нити можно определить из второго закона
Ньютона для падающего груза ma  mg  T (натяжение нити
направлено в сторону, противоположную силе тяжести). Отсюда
T  m( g  a) или M  m( g  a)rв .
Момент инерции
Полный момент инерции системы состоит из суммы моментов
инерции валика, стержней, насаженных на них цилиндров:
I  I вал  I ст  I цил
Если составляющие маятник части являются геометрически
правильными и простыми по своей форме, то все три составляющие
можно рассчитать теоретически. В настоящей инструкции прибора
такой расчет для I ст (стержня) и I в ал (валика) несколько затруднен.
Поэтому теоретически рассчитывается только I цил (цилиндра). По
теореме Штейнера для двух цилиндров имеем:
1
m' (r 2  r12 )
2
2
I цил  2m' R  2 m' l  2
(6)
12
4
где m  – масса одного цилиндра, R – расстояние от оси вращения до
центра массы цилиндра, l – длина цилиндра, r и r1 – его внутренний
и внешний радиусы (см. рис. 2). Обозначим
I o  I в ал  I ст
Тогда:
1
(7)
I  I o  2m' R 2  m' l 2  m' (r 2  r12 )
6
4
Значение I o можно определить опытным путем, используя
уравнение (3). Для этого со стержней маятника снимаются четыре
цилиндра, момент инерции такой системы будет равен I o .
Предоставим возможность системе придти во вращательное
движение под действием любого груза. Тогда из соотношения (3)
получим:
M m( g  a )rв2t 2
Io 


2h
Полный момент инерции системы равен:
m( g  a)rв2t 2
1
I
 2m' R 2  m' l 2  m' (r 2  r12 )
2h
6
В данной работе необходимо проверить три соотношения:
M 1 1
 , I  const
M 2 2
I 2 1
 , M  const
I1  2
M 1 I1
 ,  const
M 2 I2
Порядок выполнения работы
M

Проверка соотношения 1  1 при I  const .
M 2 2
Чтобы момент инерции системы оставался неизменным,
необходимо работать с цилиндрами, закрепленными в любом
положении на стержне маятника. Проще начинать работу вообще со
снятыми цилиндрами. Если к концу нити прикрепить последовательно
два разных груза m1 и m 2 то значения моментов будут:
M 1  ( g  a1 )m1rв
M 2  ( g  a2 )m2 rв
Определяя время падения грузов с высоты h , найдем значение:
2h
1  2 ,
rв t1
2h
2  2 .
rв t 2
Составляя отношение моментов и угловых ускорений, получим:
5
m1 ( g  a1 ) t 22
 ,
m2 ( g  a2 ) t12
2h
2h
, a2  2 .
2
t1
t2
Данные заносятся в таблицу. Измерения величин необходимо
повторить несколько раз.
Расчет отношений проводится по средним значениям.

I
Проверка соотношения 1  2 при M  const .
 2 I1
Чтобы момент силы оставался постоянным, необходимо
производить измерения при постоянной нагрузке на конце нити. Тогда
при двух различных положениях цилиндров на стержнях имеем:
1
I1  I o  2m' R12  m' l 2  m' (r12  r 2 )
6
1
I 2  I o  2m' R22  m' l 2  m' (r22  r 2 )
6
Соотношение (3) для этого случая можно записать в виде:
1
I o  2m' R12  m' l 2  m' (r12  r 2 )
t12
6
 2,
1
2
2
2
2
I o  2m' lR2  m' l  m' (r1  r ) t 2
6
где t1 и t 2 - время падения груза m при разных положения цилиндров.
Расчеты ведут по средним значениям измеряемых величин.
Примечание: а) В одном из опытов можно положить I1  I o или
I2  Io .
б) Изменением момента сил при изменении положения цилиндров
можно пренебречь, т.к. оно составляет доли процента от
рассматриваемой величины.
M
I
Проверка соотношения 1  1 при   const
M 2 I2
Чтобы угловое ускорение оставалось постоянным, необходимо
так подобрать положение цилиндров на стержнях и величину грузов
m1 и m 2 , чтобы время движения последних было равным t1  t 2 . Тогда
  const . Соотношение (3) запишется в виде:
где a1 
6
1
I o  2m' R12  m' l 2  m' (r12  r 2 )
m1
6

1
m2 I  2m' R 2  m' l 2  m' (r 2  r 2 )
o
2
1
6
Примечание: в одно из опытов можно положить I1  I o или I 2  I o .
7