Проверка основного закона вращения твердого тела на

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
УТВЕРЖДАЮ
Проректор-директор ФТИ
_____________________ В.П.Кривобоков
« »
2012 г.
ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО
ТЕЛА НА КРЕСТООБРАЗНОМ МАЯТНИКЕ
Методические указания к выполнению лабораторных работ М–09
по курсу общей физики
для студентов всех специальностей
Составитель Н.С. Кравченко, Н.И.Гаврилина
Издательство
Томского политехнического университета
2012
1
УДК 53.076
Проверка основного закона вращения твердого тела на крестообразном
маятнике: Методические указания к выполнению лабораторной работы
М–09 по курсу общей физики / сост. Н.С. Кравченко, Н.И. Гаврилина;
Национальный исследовательский Томский политехнический университет. –
Томск: Изд-во Томского политехнического университета,2012.–12с.
Методические указания рассмотрены и рекомендованы
к изданию методическим семинаром кафедры
теоретической и экспериментальной физики ФТИ.
«___»___________2012 г.
Зав. кафедрой ТиЭФ
доктор физ.-мат. наук,
профессор
___________
В.Ф. Пичугин
Председатель
учебно-методической комиссии
___________
С.И. Борисенко
Рецензент
доц. доктор, физ.-мат. наук С.И. Борисенко
© Составление. ГОУ ВПО «Национальный
исследовательский Томский политехнический
университет», 2012
© Н.С. Кравченко, Н.И. Гаврилина составление,
2010
© Оформление. Издательство Томского
политехнического университета, 2012
2
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М-09
ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО
ТЕЛА НА КРЕСТООБРАЗНОМ МАЯТНИКЕ
Цель работы: проверка основного закона вращения твердого тела на
крестообразном маятнике.
Приборы и принадлежности: крестообразный маятник, 4 одинаковых
груза и 2 груза разных масс, штангенциркуль, секундомер, рулетка (или
сантиметр), технические весы.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
Момент силы относительно неподвижной точки О – это физическая

величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора
,
r

проведенного
из точки О в точку

 А приложения силы, и силы F (рис.1 б)

или M  [ r F ] . Направление M совпадает с направлением поступательного



движения правого винта при его вращении от
к
.
Вектор
направлен
M
r
F


перпендикулярно плоскости векторов r и F .
Момент силы относительно неподвижной оси Z (рис. 1 в) – это
скалярная величина Mz, равная проекции на эту ось вектора M момента
силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси Z.
Значение момента Mz не зависит от выбора положения
точки О на оси Z.

Если
 ось Z совпадает с направлением вектора M , то Mz=M и момент силы
совпадающего
с осью Z:
M можно представить в виде
 вектора,



M z  [ r F ] z или M  [ r F ] .
Длина перпендикуляра l, опущенного из точки О (лежащей на оси) на
направление силы, называется плечом силы. Произведение силы на плечо

определяет модуль момента силы относительно точки О: M  Fr sin   Fl .
Произведение r sin   l (рис.1 б).
Рассмотрим вращение твердого
тела вокруг неподвижной оси ОО'

рис.1а под действием силы
 F . Рассмотрим только тангенциальную
составляющую этой силы F и найдем основное уравнение движения
твердого тела. Мысленно разобьем тело на материальные точки массой mi.
Каждая материальная точка движется
 по окружности радиуса ri с линейной

скоростью i под действием силы Fi  . Кинетическая энергия вращающегося
тела равна сумме кинетических энергий этих точек:
mi i2
Eк  
.
2
i
3

M

M
O

F

r
O

r

M

r

А
m i F
d


l
α
A
б)
Z
A

F

MZ

r

M
O
O
в)
a)
Рис. 1
Линейная скорость материальной точки зависит от расстояния до оси
вращения ri: i  ri , где ω – угловая скорость вращения тела.
2
 mi ri2 .
2 i
Момент инерции материальной точки относительно оси вращения
равен произведению массы этой точки на квадрат расстояния от оси:
I i  mi ri2 .
Момент инерции тела относительно оси вращения равен сумме
моментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело:
I   mi ri2 .
Отсюда Eк 
i
I2
Таким образом :
,
Eк 
2
где I – момент инерции тела относительно оси вращения.
Момент инерции твердого тела зависит от распределения
материальных точек тела относительно оси вращения. В общем случае, если
тело сплошное и представляет собой совокупность точек с малыми массами
dm , момент инерции определяется интегрированием: I   r 2 dm , где r –
m
расстояние от оси вращения до элемента массой dm.
4

При вращательном движении твердого тела под действием силы F ,

сила F совершает работу по повороту тела вокруг оси.
Найдем работу этой силы при повороте тела на бесконечно малый угол
dφ. На рисунке 1 сила приложена в плоскости, перпендикулярной оси
вращения. Направление силы совпадает с вектором линейной скорости точки
А. Элементарная работа силы равна: dA  F dS , где dS - элемент дуги
окружности, описываемой точкой при движении.
dS  rd .
Тогда dA  F rd или dA  Md , где M – момент силы.
При вращении твердого тела его потенциальная энергия не изменяется,
поэтому элементарная работа внешних сил равна элементарному изменению
кинетической энергии тела:
dA=dEк
(1)
Элементарное изменение кинетической энергии равно:
 I2 
  Id .
dEк  d 
2


Тогда Md  Id . Разделим полученное выражение на dt:
d
d
,
M
 I
dt
dt
d
d
Так как
 , а
 ,
dt
dt
то
M  I ,
где  – угловое ускорение.
Учитывая, что угловое ускорение и момент силы – это коллинеарные
векторы, запишем:



 M
M  I или  
.
(2)
I
Это уравнение – основное уравнение динамики вращательного
движения твердого тела.
Из уравнения (2) следует что, угловое ускорение твердого тела
относительно неподвижной оси вращения прямо пропорционально
суммарному вращающему моменту сил и обратно пропорционально моменту
инерции твердого тела относительно оси вращения.
Момент инерции служит мерой инерции при вращательном движении.
Из анализа уравнения (2), следует, что:

1. Если на тело действует момент сил
M 1 , то тело вращается с


угловым ускорением 1 . Если на это же тело действует момент сил M 2 , то
5

тело вращается с угловым ускорением  2 . Согласно уравнению (2) можно
1 M 1
записать
, при этом I=const.

2 M 2

2. Если на тело действует постоянный момент сил M  const , а момент
инерции тела может изменяться от I1 до I2, то тело, имеющее момент
инерции I1, под действием момента сил приобретает ускорение 1 , а тело,
имеющее момент инерции I2, под действием того же момента сил
1 I 2
приобретает ускорение 2 . Тогда согласно уравнению (2)
 , при
2 I1
M  const .
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА
Прибор, используемый в данной работе, представляет собой маховик с
четырьмя взаимно перпендикулярными стержнями (крестообразный
маятник) (рис.2).
По четырём взаимно перпендикулярным стержням могут
перемещаться четыре груза массой m. Маятник может вращаться вокруг
горизонтальной оси (перпендикулярной плоскости чертежа). На общей оси с
маховиком находится валик D, на который наматывается нить с
привязанным на ее конец грузом m0 . Под действием падающего груза m0
нить разматывается и приводит маховик в равноускоренное вращательное

движение. Маховик вращается под действием силы натяжения нити F ,
приложенной к валику в точке А (рис.3).
m
C
A
m
D
m
m
m0
h
Рис. 2
6

F
А
С
R2
D
m0 B
R1

P0

a

N
h
Рис. 3
Радиус валика r является
силы F (рис. 3) и момент силы
 плечом

(3)
M  r F или M  rF

Сила натяжения нити F приложена к нити. По третьему закону Ньютона F
численно равна реакции нити N (N приложена к грузу m0 со стороны нити)
и может быть определена из уравнения движения груза m0 .
По второму закону Ньютона в проекциях на направление движения
груза, имеем:
и отсюда
P0  N  m0 a , где P0  m0 g ,
 
(4)
N  P0  m0 a  m0 ( g  a )
Подставив в (4) формулу (3) (так как F=N), получаем формулу для
расчета момента силы М:
(5)
M  m0 ( g  a )r
Если высота падения груза m0 равна h , а время падения t , то,
используя уравнение равноускоренного движения груза без начальной
at 2
скорости h 
, найдем линейное ускорение падающего груза m0
2
2h
(6)
a 2
t
Тангенциальное ускорение точки А на поверхности валика D равно а.
Измерив радиус валика r, найдем угловое ускорение маятника
a

(7)
r
Вращающий момент, действующий на маятник можно изменить, если
вместо падающего груза массой m0 , взять груз массой (m0+m1). Маховик
будет вращаться с другим угловым ускорением, т.к. изменится линейное
ускорение падающего груза.
7
Момент инерции маятника можно изменять за счет дополнительных
грузов m, которые можно надевать на стержни маятника и закреплять их на
определенном расстоянии R от оси вращения маятника.
Обозначим I 0 момент инерции
маятника (маховика, валика и
стержней маховика без грузов m на них).
Момент инерции 4-х грузов массой m , закрепленных на стержнях на
расстоянии R от оси вращения, если их рассматривать как материальные
точки, равен
(8)
I   4mR 2
Тогда момент инерции системы (валик, стержни и грузы) равен сумме
моментов инерции ее частей (по теореме Штейнера), т.е.
(9)
I  I 0  4mR 2
ПОРЯДОК РАБОТЫ
I ЧАСТЬ
Проверка соотношения
1 :  2  M1 : M 2
( при I 0  const )
Постоянство моментов инерции (при I 0  const ) при выполнении 1-ой
части работы создается тем, что вращается маятник с "чистыми" стержнями
(без грузов m ) при разных моментах сил М1 и М2, получаемых при двух
падающих грузах m0 и ( m0  m1 ) . В этом случае I  I 0
1. Сняв со стержней грузы m , подвешивают на нить груз m0 и
наматывают ее на валик D, нить перекидывают через неподвижный блок С.
2. Заметив положение груза m0 (например, от кромки консоли или
стола), включают секундомер в момент начала падения m0 и выключают в
момент достижения грузом m0 пола. Определяют время падения груза t1.
3. Добавляют груз m1 к m0 и повторяют измерения, указанные в п. 2.
Определяют время t 2 падения груза ( m0+m1).
4. Измеряют рулеткой расстояние h от кромки консоли (или стола) до
пола.
5. Измеряют штангенциркулем диаметр d валика, на который была
d
намотана нить, и вычисляют радиус валика r  .
2
6. Взвешивают на технических весах грузы m0 и m1 .
7. Все измерения повторяют 3 раза и данные измерений записывают в
таблицу 1.
8. По формулам (6) и (7) определяют: ускорения а1 и а2, угловые
ускорения ε1 и ε2.
8
Таблица 1.
п/п
t1
c
t2
c
h
м
m0
кг
m1
кг
d
м
r
м
1
2
3
сред.
знач.
По формуле (5) M1  m0 ( g  a1 )r определяют момент силы M1, а по
формуле M 2  m0  m1  ( g  a2 )r момент силы M2 и записывают в таблицу
2.
Таблица 2.
а1
м/с2
а2
м/с2
9. Находят отношения
приблизительно равны.
2
с-2
1
с-2
М1
Нм
М2
Нм
 1 :  2 и M1 : M 2 и убеждаются, что они
II ЧАСТЬ
Проверка соотношения:
1 : 2  I 2 : I1
( при M  const )
Постоянство момента силы М достигается тем, что падает один и тот
же груз m0 при двух моментах инерции I1 и I 2 системы.
1. Закрепляют на стержнях 4 груза массой m каждый на расстоянии R1
(расстояние указывает преподаватель) от оси вращения (рис.4, положение
1). Проводят измерения с падающим грузом m0 , т.е. измеряют время
падения t 1 груза m0 . Расстояние R1 устанавливают с помощью
штангенциркуля. Данные измерений записывают в таблицу 3.
9
2. По формулам (6) и (7) определяют ускорения а'1 и '1 при данной
высоте падения h груза m0 .
3. Грузы m располагают на расстоянии R2 (по указанию
преподавателя) от оси вращения (рис.3 положение 2) и измеряют время
падения t 2 груза m0 . Измеренные значения записывают в таблицу 3.
4. По формулам (6) и (7) определяют ускорения a2 и 2
5. Взвешивают на технических весах все 4 груза m .
6. По формуле M1  I 01 вычисляют I 0 (момент инерции «чистых»
стержней) (значения M 1 и 1 , берут из таблицы 1).
7. По формуле (8) вычисляют моменты инерции грузов I1 и I 2 , где
индекс 1 соответствует данным опытов с расстоянием грузов от оси R1 , а
индекс 2 с расстоянием грузов от оси R2 .
8. Моменты инерции всей системы I1 и I 2 определяются по формуле
(9) и записывают в таблицу 4.
I 1  I 0  I1 и I 2  I 0  I 2
9. Находят отношения I 2 : I1 и 1 : 2 , и убеждаются, что они
приблизительно равны.
Таблица 3.
п/п
t1
c
t2
c
h
м
a1
м/с2
1
с-2
a2
м/с2
2
с-2
4m
кг
R1
м
R2
м
1
2
3
Средн.
знач.
Таблица 4.
I1 кгм2
I 2 кгм2
I 0 кгм2
2
I1 кгм
I 2 кгм2
10. На основании полученных результатов по первой и второй частям
делают вывод по проверке основного закона динамики вращательного
движения абсолютно твердого тела.
10
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называют моментом силы?
2. Какая разница между моментом силы относительно точки и
относительно оси?
3. Что называют плечом силы?
4. Каков физический смысл момента инерции тела.
11
Учебное издание
ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО
ТЕЛА НА КРЕСТООБРАЗНОМ МАЯТНИКЕ
Методические указания к выполнению лабораторной работы М-09
Составители: Надежда Степановна Кравченко
Нина Ивановна Гаврилина
Владимир Федорович Пичугин
Отпечатано в Издательстве ТПУ в полном соответствии
с качеством предоставленного оригинал-макета
Подписано к печати _____ ___ 2012. Формат 60х84/16. Бумага «Снегурочка».
Печать XEROX. Усл.печ.л. 9,01. Уч.-изд.л. 8,16.
Заказ . Тираж ____ экз.
Национальный исследовательский Томский
политехнический университет
Система менеджмента качества
Томского политехнического университета
сертифицирована
NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту
ISO 9001:2008
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30
Тел./факс: 8(3822)56-35-35, www.tpu.ru
12