ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Предлагаемый курс «Модуль» своим содержанием может привлечь внимание учащихся 9
класса, которым интересна математика. Данный элективный курс направлен на расширение
знаний учащихся, повышение уровня математической подготовки через решение большого
количества задач. Следует отметить, что навыки в решении уравнений, неравенств,
содержащих модуль, и построение графиков элементарных функций, содержащих модуль,
совершенно необходимы любому ученику, желающему не только успешно выступить на
математических конкурсах и олимпиадах, но и хорошо подготовиться к сдаче ЕГЭ и
поступлению в высшие учебные заведения. Материал данного курса содержит
нестандартные методы, которые позволяют более эффективно решать широкий класс
заданий, содержащих модуль, и, безусловно, может использоваться учителем как на уроках
математики в 8-9-х классах, так и на факультативных и дополнительных занятиях. Наряду с
основной задачей обучения математики – обеспечением прочного и сознательного овладения
учащимися системой математических знаний и умений, данный курс предусматривает
формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических
способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой,
выбору профиля дальнейшего обучения.
Цели курса:
 Помочь повысить уровень понимания и практической подготовки в таких
вопросах, как:
а) преобразование выражений, содержащих модуль;
б) решение уравнений и неравенств, содержащих модуль;
в) построение графиков элементарных функций, содержащих модуль;
 Создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития
способностей учащихся;
 Помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности
овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы.
Задачи курса:
 Научить учащихся преобразовывать выражения, содержащие модуль;
 Научить учащихся решать уравнения и неравенства, содержащие модуль;
 Научить строить графики, содержащие модуль;
 помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне
свободного их использования;
 помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной
перспективы.
Данный курс рассчитан на 13 часов, предполагает четкое изложение теории вопроса,
решение типовых задач, самостоятельную работу. В программе приводится примерное
распределение учебного времени, включающее план занятий. Каждое занятие состоит из
двух частей: задачи, решаемые с учителем, и задачи для самостоятельного (или домашнего)
решения. Основные формы организации учебных занятий: лекции, объяснение, практическая
работа, семинар, творческие задания. Все занятия направлены на развитие интереса
школьников к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решении
новых и интересных задач.
Программа может быть использована в классе с любой степенью подготовленности,
способствует развитию познавательных интересов, мышления учащихся, предоставляет
возможность подготовиться к сознательному выбору профиля обучения и дальнейшей
специализации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. – Тбилиси,
1992.
2. Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для
учащихся и классов с углубленным изучением математики. – 12-е изд. – М.: Просвещение,
2006. – 301 с.
3. Макрычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Дополнительные главы к школьному
учебнику 9 кл.: Учебное пособие для учащихся школы и классов с углубленным изучением
математики / Под редакцией Г.В.Дорофеева. – М.: Просвещение, 1997. – 224 с.
4. Садыкина Н. Построение графиков и зависимостей, содержащих знак модуля
//Математика. - №33. – 2004. – с.19-21.
5. Виленкин Н.Я., Виленкин Л.Н., Сурвилло Г.С. и др. Алгебра. 8 класс: чебн. Пособие
для учащихся и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1995.-256
с.
6. Егерман Е. Задачи с модулем. 9-10 классы // Математика. - №23. – 2004. – С.18-20.
7. Егерман Е. Задачи с модулем. 10-11 классы // Математика. - №25-26. – 2004. – С.2733.
8. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. – М.: Илекса,
2005. – 320 с.
9. Электронный учебник «Алгебра 7 –9» из серии «Все задачи школьной математики».
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ.
Данный элективный курс «Модуль» дает примерный объем знаний, умений и навыков,
которым должны овладеть школьники. В этот объем входят те знания, умения и навыки,
обязательное
приобретение
которых
предусмотрено
требованиями
программы
общеобразовательной
школы,
однако
предполагается
высокое
качество
их
сформированности. Учащиеся должны научиться решать задачи более высокой по
сравнению с обязательным уровнем сложности, овладеть рядом технических и
интеллектуальных умений на уровне их свободного их использования. Следует заметить, что
требования к знаниям и умениям ни в коем случае не должны быть завышены. Чрезмерность
требований порождает перегрузку и ведет к угасанию интереса. Одна из целей преподавания
данного курса ориентационная – помочь осознать ученику степень значимости своего
интереса к математике и оценить свои возможности, поэтому интерес и склонность
учащегося к занятиям на курсах должны всемерно подкрепляться и развиваться.
В методической литературе «модулю» уделяется немало внимания, однако наблюдения
показывают, что задания с модулем вызывают у учащихся затруднения, и они допускают
ошибки. Одна из причин таких ошибок кроется, на мой взгляд, в непонимании учащимися
определения модуля числа:
х, если х ≥ 0
|x| =
-х, если х < 0
При работе над определением модуля числа учитель должен обратить внимание
учащихся на то, что число х может быть как отрицательное, так и положительное. Для
построения всех типов графиков учащимся
достаточно хорошо понимать определение
модуля и знать виды простейших графиков, изучаемых в школе. Целесообразно познакомить
учащихся с определением четной и нечетной функции.
В каждой теме курса имеются задания на актуализацию и систематизацию знаний и
способов деятельности, что способствует эффективному освоению предполагаемого курса.
На уроках можно использовать фронтальный опрос, который охватывает большую часть
учащихся класса. Эта форма работы развивает точную, лаконичную речь, способность
работать в скором темпе, быстро собираться с мыслями и принимать решения.
Можно рекомендовать комментированные упражнения, когда один из учеников
объясняет вслух ход выполнения задания. Эта форма помогает учителю «опережать»
возможные ошибки. При этом нет механического списывания с доски, а имеет место процесс
повторения. Сильному ученику комментирование не мешает, среднему – придает
уверенность в себе, а слабому – помогает. Ученики приучаются к вниманию,
сосредоточенности в работе, к быстрой ориентации в материале.
Поурочные домашние задания являются обязательными для всех. Активным учащимся
можно предложить творческие задания. Проверка заданий для самостоятельного решения
осуществляется на занятии путем узнавания способа действия и называния ответа.
Проверочные работы рассчитаны на часть урока, целиком проверочная или самостоятельная
работа может быть предложена для домашнего решения. Задания выбираются по
усмотрению учителя, в зависимости от состава слушателей курса и их подготовленности.
Ученики самостоятельно, в микрогруппах, в сотрудничестве с учителем выполняют
различные задания в соответствии со своими познавательными возможностями, на занятиях
организуется обсуждение результатов этой работы, а также разнообразных творческих
заданий.
Программа данного элективного курса позволяет организовать повторение и закрепление
понятия модуль, решение заданий, содержащих модуль «блоками» и на занятиях в старших
классах.
Для учащихся, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти
занятия могут стать толчком в развитии интереса к предмету и вызвать желание узнать
больше. Хотя при изучении курса не ставится цель выработки каких-либо специальных
умений и навыков, при достаточно полном рассмотрении вопросов курса несомненно
появится прогресс в подготовке учащихся.
В результате изучения курса учащиеся должны уметь:
 Точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать
собственные рассуждения в ходе решения задач;
 Применять изученные алгоритмы для решения соответствующих заданий;
 Преобразовывать выражения, содержащие знак модуля;
 Решать уравнения и неравенства, содержащие знак модуля;
 Строить графики элементарных функций, содержащих модуль.
УЧЕБНО – ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
элективного курса по алгебре в 9 классе по теме
№
1
1.
Количество
часов
«Модуль»
Тема
Тип
урока
или
форма проведения
занятия,
виды
деятельности
Формы
контроля
Модуль: общие сведения.
Преобразование выражений, решение уравнений и неравенств,
содержащих модуль. (7 ч)
Определение модуля числа и его
применение
при
решении
уравнений.
1 Лекция,
Проверка
самостоятельно
решенных задач
Метод
интервалов
решения
уравнений
и
неравенств,
содержащих модуль.
1
Решение неравенств вида |х| > а,
|х| < а посредством равносильных
переходов.
1
Решение контрольных
заданий.
Проверка
самостоятельно
решенных задач.
Проверка
контрольных заданий
для домашней работы.
Решение уравнений и неравенств с
модулями
на
координатной
прямой
1
Модуль
и
уравнения
1
иррациональные
Преобразование
содержащих модуль
выражений,
1
объяснение,
выполнение
тренировочных
упражнений
Объяснение,
выполнение
тренировочных
упражнений.
Объяснение,
выполнение
тренировочных
упражнений.
Беседа,
объяснение,
выполнение
тренировочных
упражнений.
Беседа,
объяснение,
выполнение
тренировочных
упражнений.
Объяснение,
выполнение
тренировочных
упражнений.
Математический
диктант
Проверка
самостоятельно
решенных задач.
3
2.
Графики функций, содержащих модуль (4 ч)
Построение графиков функций,
содержащих модуль, вида у =|f(х)|;
у=f(|x|); |у|=f(x); |y|=|f(х)|.
Решение уравнений и неравенств
графическим способом
Контрольная работа
4
3.
3 Лекция,
объяснение, Проверка
выполнение
самостоятельно
тренировочных
решенных задач.
упражнений.
1
1
Модуль в заданиях единого государственного экзамена (2 ч)
Решение
заданий
государственного
содержащих модуль.
единого
экзамена,
2 Объяснение,
выполнение
тренировочных
упражнений.
Проверка
самостоятельно
решенных задач.
Материалы для занятий.
Занятие 1.
Определение модуля и его применение при решении
уравнений.
Определение. Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а называется само
число, если оно неотрицательное, и число противоположное а, если а отрицательное.
х, если х ≥ 0
|x| =
-х, если х < 0
Модулем числа называется расстояние от начала отсчете до точки, изображающей это
число на координатной прямой.
Отметим, что термин «модуль» (от лат. Modulus – мера) ввел английский математик
Р.Котес (1682 – 1716), а знак модуля немецкий математик К.Вейерштрасс (1815 – 1897) в
1841. пользуясь приведенным определением, можно решать уравнения и неравенства,
содержащие модуль.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие методы решения таких уравнений и неравенств.
1. Решите уравнение х  2  4.
Исходя из определения модуля, приходим к выводу, что значение выражения х  2
может быть равно 4 или -4. Иными словами, данное уравнение равносильно совокупности
уравнений х  2 = 4 или х  2 = -4. Решая их получим х  6 или х  2 . Корни уравнения
х  6 есть 6 и -6. уравнение х  2 не имеет корней, так как модуль не может быть
отрицательным числом. Таким образом, числа 6 и -6 корни данного уравнения.
2. Решите уравнение х 2  х  1  2 х  1
В правой части данного уравнения содержится выражение с переменной. Поэтому
уравнение имеет решение при условии, что 2х – 1 ≥ 0. В этом случае равенство возможно,
если значения выражений х2 + 2х – 1 и 2х – 1 одинаковы либо противоположны. Иными
словами, данное уравнение равносильно системе:
2х – 1 ≥ 0,
х2 + х – 1 = 2х – 1,
х2 + х – 1 = -(2х – 1),
 3  17
.
решая которую, получим корни этого уравнения: 1;
2
3. Найдите целые корни уравнения х3 - х  1  1 .
Представим данное уравнение в виде х  1  х3  1 . Повторяя рассуждения, приведенные
выше, получим решение:
х3 - 1≥ 0,
х – 1 = х3 – 1,
х – 1 = -(х3 – 1);
х ≥ 1,
х = 1,
х = 0,
х = -1.
Ответ: 1.
4. Решите уравнение х  х 2  1  2 х  3  х 2 .
Используя определение модуля, приходим к выводу, что равенство возможно, если
значение выражения х – х2 -1 и 2х + 3 – х2 равны или противоположны, т.е. данное
уравнение равносильно совокупности уравнений
х – х2 – 1 = 2х + 3 – х2,
х – х2 – 1 = -(2х + 3 – х2).
Решая совокупность, получим корни данного уравнения: -4; -0,5; 2.
5. Решите уравнение: 3х  1  2 х 2  2 х 2  3х  1.
обозначим выражение 3х – 1 – 2х2 буквой а. тогда данное уравнение примет вид а  а.
исходя из аналитической записи определения модуля, можно сделать вывод, что данное
уравнение равносильно неравенству 3х – 1 – 2х2 ≤ 0, решая которое, получим ответ:
1

  ;   1; .
2

Упражнения для самостоятельной работы
Решите уравнения.
2 х  х 2  3  1.
1  1  х  0,5.
х  3  х  4.
3  2 х  3х.
х 2  2 х  3  х 2  х  20.
4  у  2 у  1.
х  2  х.
х 2  1   х  1 х  1.
2 х х2

.
х3
х3
Метод интервалов решения уравнений и
неравенств, содержащих модуль.
Занятие 2.
Рассмотрим
метод
интервалов
на
примере
решения
уравнения
х  1  х  3 х  1  2 х  2  х  2.
Чтобы решить данное уравнение, необходимо раскрыть модули. Для этого выделим
интервалы, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, принимают
только положительные или отрицательные значения. Отыскание таких интервалов основано
на теореме: Если на интервале (а;в) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на
этом интервале сохраняет знак.
Чтобы выделить интервалы знакопостоянства, найдем точки, в которых выражения,
записанные под модулем, обращаются в нуль: х + 1 = 0, х = -1; х = 0; х – 1 = 0, х = 1; х - 2= 0,
х = 2.
Полученные точки разбивают координатную прямую на искомые интервалы.
Определим знаки выражений х + 1, х -1, х -2 на этих интервалах:
х + 1:
+
+
+
+
-1
0
1
2
х:
-
-1
х- 1:
-
-
+
1
-
-1
-
+
0
0
-
+
1
-
+
2
+
2
-
+
х– 2:
-1
0
1
2
Учитывая знаки, раскроем модули. В результате получим совокупность систем,
равносильную данному уравнению:
х ≥ 2,
х+ 1 – х + 3(х – 1) – 2(х – 2) = х + 2;
1 ≤ х ≤ 2,
х+ 1 – х + 3(х – 1) +2(х – 2) = х + 2;
0≤ х < 1,
х+ 1 – х – 3(х– 1) +2(х – 2) = х + 2;
-1 ≤ х< 0,
х+ 1 + х – 3(х– 1) +2(х – 2) = х + 2;
х < -1,
-(х + 1) + х – 3(х – 1) + 2(х – 2) = х + 2.
Последняя совокупность приводится к виду:
х ≥ 2,
0 ∙ х = 0;
1 ≤ х ≤ 2,
х = 2;
0≤ х < 1,
х = - 1;
-1 ≤ х< 0,
0 ∙ х = 2;
х < -1,
х = - 2.
Решение совокупности систем и данного уравнения: - 2; [2; +∞).
Использованный прием решения называется методом интервалов. Он применяется и
при решении аналогичных неравенств.
1. Решите неравенство х 2  3 х  х  2 < 0.
1) Найдем нули выражения х2 – 3х.
х1 = 0, х2 – 3.
2) Разобьем координатную прямую на интервалы и установим знак выражения
х2 – 3х на каждом интервале:
+
+
0
3
х
3) Раскроем модуль:
х ≤ 0 или х ≥ 3,
х2 – 3х + х – 2 < 0;
0 < х < 3,
-(х2 – 3х) + х – 2 < 0.
4) Решим совокупность систем неравенств, равносильному данному неравенству:
х ≤ 0 или х ≥ 3,
х2 – 2х – 2 < 0;
0 < х < 3,
- х2 + 4х – 2 < 0.


Решение второй системы: 0;2  2  .
Решение данного неравенства: 1  3;2  2 .
Решение первой системы: 1  3;0 .
Упражнения для самостоятельной работы
Решите уравнение.
х  1  х  2  х  3  4.
6  2 х  3х  7  2 4 х  11  х  3.
3х  1  2 х  1  1.
Решите неравенства:
х  1  х  2  3.
х  1  2х  3  х  2 .
х 2  3  х 2  х  7.
Решение неравенств вида
равносильных переходов
Занятие 3.
х  а, х  а
Рассмотрим неравенства вида х  а, х  а
Неравенство х  а равносильно системе неравенств
х < а,
х > - а.
А неравенство х  а равносильно совокупности неравенств
х > а,
х < - а.
посредством
1. Решите неравенство.
х 2  3 х  х  2  0.
Данное неравенство решено выше методом интервалов. Рассмотрим иное решение,
посредством
равносильных переходов. Данное неравенство равносильно системе
неравенств
х2 – 3х < 2 – х,
х2 – 3х > -(2 – х), решая которые получим:
1  3  х  1  3,
х2 – 2х – 2 < 0,
х  2  2 , или
х  2  2.
2
х – 4х + 2 > 0;
Решение системы:
1- 3
1+
2Ответ: (1 -
3;2-
х
3
2
2+
2
х
2 ).
2. Решите неравенство 2 х  1  3х  1  х  2.
Перейдем к совокупности неравенств:
2х + 1 - 3х  1 ≥ х + 2,
2х + 1 - 3х  1 ≤ - х – 2;
3х  1 ≤ х -1,
3х  1 ≥ 3х + 3;
Зх + 1≤ х -1,
Зх + 1 ≥ -(х – 1),
Зх + 1 ≥ 3х + 3,
Зх + 1 ≤ - (3х + 3);
х ≤ - 1,
х ≥ 0,
0 ∙ х ≥ 2,
2
х≤ .
3
Система
х ≤ - 1,
х ≥ 0, и неравенство 0 ∙ х ≥ 2 не имеют решений. Следовательно,
решением совокупности и данного неравенства является числовой луч (-∞;
2
].
3
Упражнения для самостоятельной работы
Решите уравнения.
х 2  5 х  6.
х 2  8  1.
3х
 1.
х 4
2
х 2  3 х  2  х  3.
х 2  4 х  3  х  3.
Решение уравнений и неравенств с модулями на
координатной прямой.
Занятие 4.
Расстояния между двумя точками А(х1) и В(х2) координатной прямой вычисляется по
формуле АВ = х1  х2 . Используя эту формулу, можно решать уравнения и неравенства
вида х  а  в, х  а  х  в , х  а  в, х  а  х  в , х  а  х  в , а также уравнения и
неравенства, к ним сводимые.
Рассмотрим примеры.
1. Решите уравнения.
а) х  3  1.
Переводя запись данного уравнения на «язык расстояний», получим предложение
«расстояние от точки с координатой х до точки с координатой 3 равно 1».
Следовательно, решение уравнения сводится к отысканию точек, удаленных от точки
с координатой 3 на расстояние 1. обратимся к геометрической иллюстрации.
2
3
Корнями уравнения являются числа 2 и 4.
б) 2 х  1  3.
х
4
1
3
Приводя данное уравнение к виду х  ( )  , используем формулу расстояния:
2
2
-2
-
1
2
1
х
Ответ: -2; 1.
в) х  2  х  1.
запишем данное уравнение в виде х  (2)  х  1. исходя из геометрических
представлений, корнем уравнения является координата точки, равноудаленной от
точек с координатами 1 и -2, т.е. число – 0,5.
Используя аналогичные рассуждения, можно решать и неравенства
2. Решите неравенства.
а) х  1  2.
Исходя из геометрических представлений, приходим к выводу, что решениями
данного неравенства являются координаты точек, удаленных от точки с координатой
1 на расстояние, меньшее 2. Чтобы изобразить эти точки на координатной прямой,
первоначально отметим точки, удаленные от 1 на расстояние, равное 2, а затем
меньшее 2.
-1
1
3
Решения данного неравенства состоят из чисел, принадлежащие интервалу (-1;3).
б) х  1  2.
Представим данное неравенство в виде
х  (1)  2 . Рассуждения аналогичные
приведенные выше, и их геометрическая интерпретация
-3
-1
1
Позволяют получить решение неравенства: ( -∞; - 3)U(1; +∞)
в) х  1  х  2 . Данное неравенство имеет следующий геометрический смысл:
расстояние точки с координатой х до точки с координатой – 1 меньше ее расстояния до
точки с координатой 2. Отметим на прямой точку, равноудаленную от точек с
координатами – 1 и 2, а затем точки, расположенные ближе к -1, чем к 2.
-1
0,5
Решения данного неравенства: (-∞; 0,5).
2
Упражнения для самостоятельной работы.
Решите уравнения и неравенства.
1. х  2  0,4.
2. х  3 0,7.
3. х  2,5  0,5.
4.10  х  7.
5. х  1  1.
6. х  8  0,7.
7. х  4  х  4.
8. х  2,  х  3,3 .
9. х  х  2 .
10  х  1 .
х
Занятие 5. Модуль
и иррациональные уравнения.
Ситуация, связанная с необходимостью использования модуля, может возникнуть и при
решении иррациональных уравнений.
1. Решите уравнение
х  5  4 х  1  х  10  6 х  1  1.
х  1 через у, где у ≥ 0. тогда х+1 = у2; х+5 = у2 + 4; х+10 = у2 + 9. Данное
Обозначим
уравнение примет вид: у 2  4  4 у  у 2  9  6 у  1. последнее уравнение равносильно
уравнению у  2  у  3  1, решая которое методом интервалов получим:
у ≥ 3,
у ≥ 3,
у – 2 +у – 3 +1;
у = 3;
2 ≤ у < 3,
у - 2 – у + 3 = 1;
2 ≤ у < 3,
0у = 0;
0 ≤ у < 2,
-у + 2 – у + 3 = 1;
0 ≤ у < 2,
у = 2.
[2; 3)
Таким образом, 2 ≤ у ≤ 3, т.е. 2 ≤ х  1 ≤ 3. последнему неравенству удовлетворяют
значения х, принадлежащие отрезку [3; 8].
Упражнения для самостоятельной работы.
При решении уравнений, приведенных ниже для самостоятельной работы, также
используется модуль.
1. х2 - 5 х 2  6  0 .
2. х 2  8 х  16  1  4 х  4 х 2  10.
3.


2
х 1  2 


2
х  1  5  3.
4. х  5  4 х  1  х  2  2 х  1  1
5. х  2 х  1  х  2 х  1  1.
6.
х  2 х  1  х  2 х  1  2.
7. х  6 х  9  х  6 х  9  6.
Занятие 6.
Преобразование выражений.
Понятие модуля находит применение при оперировании арифметическими корнями.
Так как арифметический квадратный корень из числа может принимать лишь
неотрицательное значение, то при записи этих значений используется модуль. Так,
например:
2
(2) 2   2  2, 3  2 2  1  2 2  2  (1  2)  1  2  2  1.
В общем случае справедливо тождество: а 2  а .
Рассмотрим примеры заданий на преобразование выражений, при решении которых
используется модуль и преобразование выражений, содержащих модуль
1. Упростите выражение
2
(в  2) 2  8в : ( в 
).
в
при в > 0, в  0 получим:
(в  2) 2  8в : ( в 
в2  в
2
в2
в
)  в 2  4в  4 : (
 (в  2) 2 


в2
в2
в
в
в , еслив  2,
 в , если 0  в  2.
а2  4
.
2. Упростите выражение а  2
Дробь определена для любых значений а.
а 2  4 а 2  4 (а  2)( а  2)
а0


 а  2.
а 2
а2
а2
приа  0
а 2  4 а 2  4 (а  2)( а  2)


 (а  2).
а 2 а2
 (а  2)
Возможно другое решение.
Учитывая свойство а 2  а 2 , имеем
2
а2  4 а  4

 а  2.
а 2
а 2
Ответ : а  2приа  0,
 (а  2)приа  0.
3. Упростите выражение
а2  а  1  а
.
а 1
Дробь определена при а  1. нули подмодульных выражений: 0; 1. данные точки делят
числовую ось на интервалы  ;0; 0;1; 1;.
-
(I)
+
0
(II)
Упростим дробь на каждом из интервалов:
+
1
+
(III)
а
а2  а  1  а а2  1

;
 а 1
1 а
а2  а  1  а
(а  1) 2
()0  а  1 :

 1  а.;
 а 1
а 1
а 2  а  1  а (а  1) 2
()а  1 :

 а  1.
а 1
а 1
( ) а  0 :
а2  1
приа  0;
1 а
1  апри 0  а  1;
Ответ :
а  1приа  1.
Упражнения для самостоятельной работы.
Упростите выражения:
а2  4
а)
.
а2  4 2
а (
) 4
2а
б)
х
х2  1 2

1

(
).
х2  1
2х
х2  6х  9
в)

3 х
х3
х  4х  4
2
.
( х  2) ( х  2) 2  8 х
г)
.
х2  4 х  1
д)
х х3
( х  х  6)  х
2
Занятие 7-8.
Построение графиков функций, содержащих
модуль.
Построение графиков функций вида у =
f ( x ); y  f ( x) . у  f ( x ) .
Когда в стандартные функции, которые задают прямые, параболы, гиперболы,
включают знак модуля, их графики становятся необычными. Чтобы научиться строить такие
графики, надо владеть приемами построения графиков элементарных функций, а также
твердо знать и понимать определение модуля числа.
Методические рекомендации.
для построения всех типов графиков учащимся достаточно хорошо понимать определение
модуля и знать виды простейших графиков, изучаемых в школе.
Построение графиков следует осуществлять двумя способами:
1) на основании определения модуля;
2) на основании правил (алгоритмов) геометрического преобразования
графиков функций.
Построение графика функции у  f ( x ) .
f(x), при х ≥ 0,
у  f ( x ) = f(-x), при х < 0.
Следовательно, график функции у  f ( x ) состоит из двух графиков: у = f(x) – в
правой полуплоскости, у = f(-x) – в левой полуплоскости.
Исходя из этого можно сформулировать правило (алгоритм).
График функции у  f ( x ) получается из графика функции у = f(x) следующим образом:
при х ≥ 0 график сохраняется, а при х < 0 полученная часть графика отображается
симметрично относительно ОУ.
1. Постройте график функции у  2 х  2.
Построение.
1-й способ.
у  2 х  2.  у = 2х – 2, х ≥ 0,
у = -2х – 2, х < 0.
2-й способ.
а) строим график функции у = 2х – 2 для х ≥ 0.
б) достраиваем его левую часть для х < 0, симметрично построенной относительно оси
ОУ.
у
у  2 х  2.
1
-1
х
-1
Упражнения для самостоятельной работы.
Постройте график функции.
1. у  х  6.
2. у  х 2  х  6.
Построение графика функции у  f (x) .
f(x), где f(x) ≥ 0
f (x)  - f(x), где f(x)< 0.
Отсюда вытекает алгоритм построения графиков функции у  f (x) .
а) строим график функции у = f(x).
б) часть графика у = f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под
осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ.
1.Постройте график функции у = х  2 .
Построение.
1-й способ.
а) строим график функции у = х – 2.
б) график нижней полуплоскости отображаем вверх симметрично относительно оси ОХ.
2-й способ.
у = х – 2, х ≥ 2,
у = х  2  у = - х + 2, х < 2.
у
у = х2
2
0
1
2
Упражнения для самостоятельной работы.
Постройте график функции.
1) у  х  6
2) у  х 2  х  6 .
Построение графика функции у  f ( x ) .
Алгоритм построения.
Чтобы построить график функции у  f ( x ) . , надо сначала построить график функции у =
f(x) при х > 0, затем при х < 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси
ОУ, а затем на интервалах, где f ( x )  0 , построить изображение, симметричное графику
f ( x ) относительно оси ОХ.
1. Постройте график функции.
у  1 х .
Построение.
у = 1 – х, 0 ≤ х ≤ 1,
у = 1 + х, х > 1,
у  1 х , х  0
1. у  1  х . 
у  1 х , х  0

у = 1 + х, -1 ≤ х < 0,
у = 1 – х, х < -1.
у
-1
0
1
х
2. 1) Строим график функции у = 1 – х.
2) График функции у = 1 - х , получаем из графика функции у = 1 – х отображением
симметрично (при х ≥ 0) относительно оси ОУ.
3) График функции у  1  х . получаем из графика функции у = 1 - х
отображением симметрично оси ОХ нижней части графика.
Упражнения для самостоятельной работы
1) у  х  6
2) у  х 2  х  6
Занятие 9. Построение графиков функции вида
у  f1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f n ( x) , y  f ( x).
Самостоятельная работа
Построить графики функций:
а ) у  х 2  х  6;
б) у  х2  х  6 ;
в) у  х 2  х  6 ;
г ) у  х 2  х  6  1;
д) у  х 2  2 х  4 х 2  16 х  16 .
Построение графиков вида у  f1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f n ( x)
При построении графиков функции такого рода наиболее распространенным является
метод, при котором знак модуля раскрывается на основании самого определения модуля.
Как правило, область допустимых значений данной функции разбивают на множества, на
каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. На каждом
таком множестве функцию записывают без знака модуля и строят график. Объединение
множества решений, найденных на всех частях области допустимых значений функции,
составляет множество всех точек графика заданной функции.
Пример.
Построить график функции у  х  1  х  3 .
Решение. Точки х = 1 и х = 3 разбивают числовую ось на три промежутка, для
каждого запишем функцию:
1) при х ≤ 1 имеем у = 4 – 2х;
2) при 1 < х ≤ 3 имеем у = 2;
3) при х > 3 имеем у = 2х – 4.
4
2
0
1
3
Упражнения для самостоятельной работы
1) у  х  2  х  1  х  3 ;
2) у  х  1  х  2 .
Построение графиков вида у  f (x) .
Учитывая, что в формуле у  f (x) , f(x)≥ 0, и на основании определения модуля
у, если у ≥ 0,
у  - у, если у < 0.
Перепишем формулу у  f (x) в виде где f(x)≥ 0.
Исходя из этого, сформулируем правило.
Для построения графиков вида у  f (x) достаточно построить график функции у =f(x) для
тех х из области определения, при которых f(x)≥0, и отразить полученную часть графика
симметрично относительно оси абсцисс.
Таким образом, график зависимости у  f (x) состоит из графиков двух функций: у = f(x) и
у = - f(x).
1. Постройте график функции у  1  х.
Решение.
1-й способ.
у  1 х 
у = 1 – х, у ≥ 0,
у = х – 1, у < 0.
2-й способ.
1) Строим график функции у = 1 – х.
2) Отражаем ту часть графика, которая находится выше оси абсцисс симметрично
относительно оси абсцисс.
у
0
1
х
Упражнения для самостоятельной работы
Постройте график функции
а ) у  х  1;
б ) у  2 х  3;
в ) у  х 2  5 х  6;
г ) у  1  2 х  3.
Занятие 10. Решение уравнений и неравенств
способом.
1. Решите уравнение х  1  2 х  5  0
Решение.
Решим уравнение графически. Представим уравнение в виде:
х  1  5  2х .
Строим два графика у = х  1 и у = -2х + 5.
Графики функций пересекаются в точке х = 2.
х = 2 – корень исходного уравнения.
графическим
у = х 1
0
1
2
х
у = -2х + 5
2.Решите уравнение 5  х  3.
3. Решите неравенство 3 х  2  2  х .
Строим график функции у = 3 х  2 и у = 2 – х.
Решением данного неравенства является промежуток ( -2; 1).
у = 3х 2
-2
0
х
1
у = 2 – х.
4. Решите уравнение х  6  х  2 .
Решение. Построим графики у = х  6 и у = х  2 . Решением данного уравнения
является число -2.
у = х6
у = х2
0
-2
х
5. Решите уравнение х  1  х  3 х  1  2 х  2  х  2  0 .
Для этого построим график функции у = х  1  х  3 х  1  2 х  2  х  2  0 .
Строим используя метод вершин.
-2
0
2
-2
Заполним таблицу:
х
-2
у
0
-1
-2
0
-2
1
-4
Ответ: х = - 2; х ≥ 2.
Упражнения для самостоятельной работы
Решите уравнения:
2
0
3
0
а ) х  х  5  5;
2
б ) х 2  4 х  х  3  3  0;
в ) х 2  х  3  х;
г ) 5 х  2  3  3 х;
д ) х  3   х 2  4 х  3.
Занятие 11. Контрольная работа.
1. Решите уравнение.
а) х  2 = 2(3 – х).
б) 2 х 2  5 х  3  2 х  1 .
2. Решите неравенство.
а)  3х 2  х  1  5.
б) 0,5 х 2  3х  6  2 .
3. Упростите выражение.
4  4а  а 2 а  2
 2
.
а2
а 4
4.Решите уравнение.
а)
х  2 х  1  х  2 х  1  2.
б)
х  2 х  1  4  х  3 2 х  1  32.
5. Решите систему уравнений.
25  10 х  х 2  у  4,
у  3х  11  0
Занятие 12-13. Модуль в заданиях единого государственного
экзамена.
1. При каких значениях параметра а число корней уравнения х 2  2 х  7  а в четыре
раза больше а?
Решение.
Построим график у = х 2  2 х  7 .
-2
0
4
Проводим горизонтали у = а при различных значениях а, получаем информацию о
числе пересечений этой горизонтали с графиком левой части.
Значения а
Число корней
(-∞; 0)
0
0
2
(0; 6)
4
6
5
(6;7)
6
7
4
(7; +∞)
2
Во второй строке таблицы есть ровно два числа, кратные четырем: 0 и 4. ситуация из
первого столбца невозможна, так как а < 0 и 4а = 0 одновременно. Также невозможна
ситуация из предпоследнего столбца. В случае с третьим столбцом есть число а, для
которого 0 < а < 6 и при этом 4а = 4.
Ответ: 1.
2. Решить уравнение 2  х2  2 х  1  3х  1 .
Решение.
2  х2  2 х  1  3х  1 ,
2  ( х  1) 2  3х  1
2  х  1  3х  1,
х  1  3х  1
х + 1 = 3х – 1,
х ≥ -1,
-2х = -2,
х ≥ -1
х = 1,
х ≥ -1
Ответ: 1.
или
или
-х – 1 = 3х – 1,
х < 1,
или
-4х = 0,
х < -1,
х = 0,
х < -1.
3. Решите уравнение 3 + 16 х х  2  9  4 х
Решение.
Данное уравнение равносильно
16 х х  2  9  4 х - 3.
По определению получаем:
х ≥ 2,
х < 2,
или
16 х( х  2)  9  4х  3
16 х(2  х)  9  4х  3
Решим первую систему:
16х2 – 32х + 9 = 16х2 – 24х + 9.
х ≥ 2,
отсюда получаем: х = 0,
х ≥ 2.
Нет решений.
Решаем вторую систему:
32х - 16х2 + 9 = 16х2 – 24х + 9,
х < 2,
7
отсюда получаем: 32х (х - )  0 ,
4
х < 2,
т.е.
Решением системы является только число
Ответ:
х = 0 или х =
7
4
х < 2.
7.
4
7.
4
4. При каких значениях х функция у = 2 х  3  3 х  1  х  2 имеет наименьшее
значение. Найдите это значение.
Решение.
Найдем нули подмодульных выражений и запишем функцию на каждом из полученных
интервалов.
- - (I)
3
,
2
у = -4х – 2.
(I)
х< -
(II)
-
(III)
1 ≤ х ≤ 2,
у = 6х – 2.
(IV)
+ - -
3
2
(II)
+ + 1 (III)
+ + +
х
2 (IV)
у
3
≤ х < 1,
2
у = 4.
х ≥ 2,
у = 4х + 2.
0
х
Итак, min у = 4.
 3 
 2 ;1


 3 
Ответ:  ;1
 2 
Упражнения для самостоятельной работы
1. Для каждого значения с укажите число корней уравнения:
а) 4х х  х 2  15х  с;
б) 2 х х  х2  6х  с;
в) 3х х  х 2  8х  с.
2. Найдите сумму корней уравнения
а) 2 х 2  3х  4  3х  2  2 х 2  2 на отрезке [-5; 5].
3.При каких значениях параметра а сумма целых корней уравнения
а) х  3  х  2  а равна – 3.
5. Найдите площадь фигуры, заданной неравенством
а ) х  1  у  10;
а)
б ) х  1  у  1  8.