Методы вычислений: метод конечных элементов профессор А.М. Мацокин ММФ НГУ 2012-2013 уч.год (6 семестр, 16 лекций) Вводный курс лекций по методу конечных элементов для студентов 3 курса ММФ НГУ посвящен изложению основ построения и применения на практике проекционных и вариационно-разностных методов решения краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений. В предлагаемых лекциях (каждая из которых может излагаться более, чем 2 академических часа) сформулированы задачи и изложены основы построения методов их решения. К программе этого курса прилагаются в файле: <2012-13_Выч.Мет.FEM.zip>: 1. Конспекты лекций: файл <2012-13 лекции Выч.Мет.FEM.pdf>, 2. Файл <билеты+лекции+семинары.zip>, содержащий билеты устных (и письменных) экзаменов, а также конспекты лекций и нескольких семинаров в прошедшем учебном году. ПРОГРАММА 1. 2. 3. Гильбертовы пространства и уравнения в них. 1.1. Предгильбертово пространство, пополнение предгильбертова пространства до гильбертова. Линейный функционал, Линейный оператор. Энергетическое пространство. 1.2. Операторная, проекционная и вариационная формулировка задач в гильбертовом пространстве. Определение метода Ритца для приближенного решения вариационной задачи в гильбертовом пространстве. Эллиптический дифференциальный оператор второго порядка. 2.1. Формула Грина, конормаль, самосопряженность. 2.2. Положительная определенность оператора в пространстве функций равных нулю на границе. Неравенство Фридрихса. 2.3. Положительная определенность оператора в пространстве функций с равными нулю на границе производными по конормали. Неравенство Пуанкаре. 2.4. Положительная определенность оператора в пространстве функций с равными нулю на границе суммами производных по конормали и функций с заданным весом. Формулировки эллиптических краевых задач. 3.1. Однородная краевая задача Дирихле: операторная формулировка, энергетическое пространство o оператора, след на границе (теорема Фишера), проекционная формулировка в W 12 () . 3.2. Однородные вторая и третья краевые задачи: операторная формулировка, энергетическое 4. 5. 6. 7. пространство оператора, проекционная формулировка в W 12 () . Приближенное решение эллиптических краевых задач в проекционных и вариационных формулировках. 4.1. Метод Галеркина и его эквивалентность методу Ритца. 4.2. Лемма Вишика-Сеа. Предельная плотность последовательности подпространств в энергетическом пространстве − достаточное условие сходимости метода Ритца-Галеркина. 4.3. Число обусловленности матрицы жесткости. МКЭ в одномерном случае. 5.1. Двухточечная краевая задача. 5.2. Подпространство кусочно–линейных восполнений. Подпространство кусочно–лагранжевых восполнений. Базис в подпространстве кусочно–лагранжевых восполнений. 5.3. Система сеточных уравнений метода Галеркина в подпространстве кусочно–лагранжевых восполнений. Число обусловленности матрицы. Вычисление компонентов вектора правой части и элементов матрицы системы. 5.4. Разрешимость задачи при приближенном вычислении интегралов. Оценка. Обусловленность матрицы. МКЭ в многомерном случае. 6.1. Триангуляция области. Невырожденный m -мерный симплекс. Разбиение невырожденного 2мерного симплекса. Разбиение невырожденного 3-мерного симплекса. 6.2. Кусочно-линейные восполнения на триангуляциях. Линейное восполнение на треугольнике. Оценка точности линейной интерполяции. 6.3. Система сеточных уравнений метода Галеркина в подпространстве кусочно-линейных восполнений для первой краевой задачи. Число обусловленности матрицы жесткости. 6.4. Локальные вектор нагрузки и матрица жесткости, алгоритмы сборки вектора правой части и матрицы системы сеточных уравнений метода Галеркина. МКЭ в многомерном случае (пример: решение системы метода Галеркина для уравнения Пуассона в единичном квадрате (задача Дирихле) методом Фурье). 7.1. Собственные функции (векторы) и числа оператора приближенной задачи. 7.2. Разложение по базису из собственных векторов решения и правой части системы метода Галеркина. Алгоритм вычисления решения системы проекционно-разностных уравнений. Оценка числа арифметических действий. 7.3. Быстрое дискретное преобразование Фурье. Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы. m 1. Когда билинейная форма a(u, v) ( a i, j i, j1 2. Доказать, что оператор L i, j1 m u v a 0 uv) dx симметрична ? x j x i ( a i, j (x) a 0 (x) будет симметрическим на линейных xi x j ) множествах функций: D1 (L) { v(x) C2 () : v(x) | 0} , D2 (L) { u(x) C2 () : m u(x) u a i, j cos(n, x i ) N xj i, j1 0} 3. u(x) D3 (L) { u(x) C2 () : [ (x)u(x)] 0} для заданного (x) C() . N Доказать положительную определенность оператора Лапласа на множестве функций 4. D1 () { v(x) C2 () : v(x) | 0} . Доказать положительную определенность оператора Лапласа на множестве функций D2 () { v(x) C2 () : 5. v(x) dx 0} . Доказать положительную определенность оператора Лапласа на множестве функций D3 () { v(x) C2 () : (v(x) / N v(x)) |x 0} . 6. Оператор следа tr : W21 () L2 () непрерывен или нет? 7. Совпадает или нет пополнение множества D3 (L) { u(x) C2 () : [ (| u | 2 8. u(x) u(x)] 0} в норме N | u |2 ) dx с W21 () ? Написать проекционную и вариационную формулировки краевой задачи: u(x) f (x), x , а) u(x) 0, x . u(x) f (x), x , b) u(x) / n u(x) 0, x . 9. Какой краевой дифференциальной задаче удовлетворяет гладкое решение проекционной задачи: o 1 u(x) W 2 (0,1) : а) o 1 u (x)v (x) dx 1 f (x)v(x) dx v(x) W 12 (0,1). 0 0 u(x) W 12 (0,1) : b) 1 1 1 0 [u (x)v (x) u(x)v(x)] dx 0 f (x)v(x) dx v(x) W 2 (0,1). 10. Какой краевой дифференциальной задаче удовлетворяет гладкое решение вариационной задачи: o u(x) W 12 (0,1) : F(u) inf F(v), o vW 12 (0,1) а) 1 1 F(v) | v (x) |2 dx 2 f (x)v(x) dx. 0 0 u(x) W 12 (0,1) : F(u) inf F(v), vW 12 (0,1) b) 1 1 F(v) ( | v (x) |2 | v(x) |2 ) dx 2 f (x)v(x) dx. 0 0 11. На сетке h {0 x 0 , x1 h, ..., xi ih, ..., x n nh 1} построить базис в пространстве непрерывных, линейных на каждом интервале (xi , xi 1 ) , функций, обращающихся в нуль в конце интервала (0, 1). 12. На сетке h {0 x 0 , x1 h, ..., xi ih, ..., x n nh 1} построить базис в пространстве непрерывных, квадратичных на каждом интервале (xi , xi 1 ) , функций, обращающихся в нуль в конце интервала (0, 1). 13. На сетке h {0 x 0 , x1 h, ..., xi ih, ..., x n nh 1} построить базис в пространстве непрерывных вместе с первой производной, кубических на каждом интервале (xi , xi 1 ) , функций, обращающихся в нуль в конце интервала (0, 1). 14. Построить систему уравнений методом Галеркина с использованием кусочно-линейных восполнений, аппроксимирующих задачу 9.a). 15. Построить систему уравнений методом Ритца с использованием кусочно-линейных восполнений, аппроксимирующих задачу 10.a). 16. На сетке h {0 x 0 , x1 h, ..., xi ih, ..., x n nh 1} построить базис в пространстве непрерывных, линейных на каждом интервале (xi , xi 1 ) , функций. 17. Построить систему уравнений методом Галеркина с использованием кусочно-линейных восполнений, аппроксимирующих задачу 9.b). 18. Построить систему уравнений методом Ритца с использованием кусочно-линейных восполнений, аппроксимирующих задачу 10.b). 19. Что такое кусочно-линейный интерполянт гладкой функции, и с какой точностью он приближает o 20. 21. 22. 23. функцию в норме W 12 (0,1) ? Лемма Вишика-Сеа и кусочно-линейный интерполянт гладкой функции в оценке точности решения задач 9 − 10 методом Ритца-Галеркина с использованием кусочно-линейных восполнений. Симплекс: треугольник, тетраэдр. Триангуляция многомерной области. Кусочно-линейные восполнения. Построить систему уравнений методом Галеркина с использованием кусочно-линейных восполнений, аппроксимирующих задачу Неймана для уравнения Пуассона на квадрате. Исследовать разрешимость системы. Построить систему уравнений методом Ритца с использованием кусочно-линейных восполнений, аппроксимирующих задачу Дирихле для уравнения Пуассона на квадрате. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Список основной и дополнительной литературы. С.Г. Михлин. Вариационные методы в математической физике. – М.: Наука, 1970. Л.А. Оганесян, Л.А. Руховец. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. – Ереван: изд. АН Арм.ССР, 1979. Г.И. Марчук, В.И. Агошков. Введение в проекционно-сеточные методы. – М.: Наука, 1981. Ж. Деклу. Метод конечных элементов. – М.: Мир, 1976. Г. Стренг, Дж. Фикс. Теория метода конечных элементов. – М.: Мир, 1976. Ф. Сьярле. Метод конечных элементов для эллиптических задач. – М.: Мир, 1982. Ю.М. Лаевский. Метод конечных элементов (основы теории, задачи). НГУ, А.М. Мацокин. Методы вычислений: метод конечных элементов (конспект лекций). mmfd.nsu.ru