4. Групповые свойства уравнений плоского вихревого движения

УДК 517.95+532
О ГРУППОВОЙ КЛАССИФИКАЦИИ ДВУМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ
ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В ПЕРЕМЕННЫХ ТРАЕКТОРИИ-ПОТЕНЦИАЛ
ВЕБЕРА
Козлова С.В.,
научный руководитель доктор физ.-мат. наук Андреев В.К.
Сибирский Федеральный Университет
1. Уравнения Эйлера в лагранжевых координатах
Уравнения идеальной несжимаемой жидкости - уравнения Эйлера

u


 
(1)
 (u  )u   x p = g ( x , t ),
t

(2)
div xu = 0.
 

 
В (1),(2) искомыми являются вектор скорости u ( x , t ) и давление p ( x , t ) , а g ( x , t ) заданные внешние силы.
 
 
Зададим траекторию движения точки жидкости вектором x ( , t ) , где  = x |t =0 
вектор, характеризующий координаты точки в начальный момент времени;  = ( , ,  )
Тогда в лагранжевых координатах система (1),(2) принимает вид
  
(3)
M * ( xtt  g ( x, t ))   p = 0,
| M |= 1,
(4)
где М – матрица Якоби отображения, а М*- транспонированная к M матрица; в (4)
| M |= detM .
Во многих практически важных задачах внешние силы являются

потенциальными, g =  x h. Это равенство в координатах Лагранжа переписывается в

виде g = M *1 h, уравнение импульса (3) интегрируется (Г.Вебер, 1868 г.)


(5)
M * xt =    u0 ( ),



где  ( , t ) - потенциал Вебера, а u0 ( ) - начальное поле скоростей, причем
 
div xu0 ( ) = 0.

Если функция  ( , t ) известна, то давление восстанавливается из (3) в виде


p = 1/2 | xt |2  h( x , t )  t   (t )
(6)
с произвольной функцией времени  (t ) .

Нас будут интересовать двумерные течения, т.е. u = (u1 ( ,, t ), u2 ( ,, t )) ,

p = p( , , t ) и u0  (u( , ), v( , )) , u  v = 0 . В этом случае система (4),(5)
упрощается и принимает вид
1 x   v
x =
 (
 yt ),
y xt
y
1
y = (  v  yt y ),
(7)
xt
1
 = ( xt  x (  v))  u.
y
Производные по переменной  выделены для удобства применения техники
группового анализа.
2. Групповые свойства уравнений плоского потенциального
движения
В случае плоского потенциального движения в (7) следует положить u = v = 0
(достаточно произвести замену     0 , u = 0 , v =  0 ):
1 x 
 (  yt ),
y xt y
1
y = (  yt y ),
xt
1
 = ( xt  x ).
y
x =
(8)
Инфинитезимальный оператор системы (8) ищем в виде


X =  i ( x, u ) i    ( x, u ) 
x
u
i

с неизвестными координатами  , , i  1,2,3,   1,2,3 . Продолженный на первые
производные оператор записывается так
1








X = 1  2
3
1  2  3
  11
  21

t


x
y

xt
x
 31







  12
  22
  32
  13
  23
  33
.
x
yt
y
y
t


1
Подействовав оператором X на систему уравнений (8) и проведя достаточно
длинные выкладки, получим
 i  i  i  i
 3
=
=
=
= 0,
 0.
xi ui
xi
ui
t
1
Значит, все координаты оператора X без ограничения общности можно считать
равными единице. Следовательно, допускаемые системой (8) операторы таковы






X1 = , X 2 =
, X3 =
, X 4 = , X 5 = , X =  (t )
.
t


x
y

Им соответствуют конечные преобразования:
X 1 : t  = t  a1 , X 2 :   =   a2 , X 3 :  =   a3 , X 4 : x = x  a4 , X 5 : y = y  a5 , X :   =   (t )a,
3. Специальные решения
В процессе вывода системы (7) (или (8)) мы производили деление на y и xt ,
поэтому рассмотрим отдельно случаи обращения в ноль этих величин.
Случай
y = 0
 =  (t ) ,  (0) = 0 ,
невозможен;
u ( , ) = 0,
удовлетворять соотношению
если
xt = 0 ,
v( , ) = f t ( ,0) , где
t
то
t
x =  , y =     ( )d ,
функция
0
f ( , t )
должна
f ( , t ) = f t ( ,0)t    ( )d ,  (0)  0. В частности, для
0
потенциального течения
f t ( ,0) = 0 и
t
f ( , t ) =   ( )d . В этом случае получим
0
течение жидкости, параллельное оси y. Давление p восстанавливается по формуле (6)
p = 1/2 f t 2 ( , t )  h( ,  f ( , t ))  t   (t ).
4. Групповые свойства уравнений плоского вихревого движения
Вернемся к системе уравнений (7). В случае плоского вихревого движения
начальное поле скоростей u  v   ( , )  0 , и система (7) запишется в виде:
xt = y (  u )  x (  v),
yt = y (  u )  x (  v),
(10)
x y = 1  x y
Подействуем на (10) уже имеющимся оператором
1








X = 1  2
 3
1  2  3
  11
  21

t


x
y

xt
x
 31







  12
  22
  32
  13
  23
  33
.
x
yt
y
y
t


Снова проведя достаточно длинные выкладки, получим  1 = c1 ,  2 = c3 ,  3 = c3 ,  1 = c4 ,
 2 = c5 ,  3 =  3 ( , , t ), причем имеется классифицирующая система
3  c2u  c3u = 0,
3  c2v  c3v = 0,
Ядро алгербы Ли операторов системы (10) имеет вид
  

L0 = { , , , f (t ) }.
t x y
t
Далее, уравнение совместности для системы (11) дает равенство
c2  c3 = 0,
(11)
(12)
поэтому в данном случае функции u ( , ) = u ( , )  z ( ) , v ( , ) являются
гармоническими: u  u = 0 , v  v = 0 , а
z ( ) =  ( )d .
(13)
Подстановка  ( ) в (12) дает c3 = 0 , или  = 0 = const . Тогда ядро L0
расширяется оператором


 (u ( , )  z ( ))


(14)
с функцией z ( ) из (13). Так как c2 и c3 - произвольные, ядро L0 расширяется двумя
операторами:

 

 (u ( , )  0 )
,
 (v( , )  0 )
.

 

(15)
Для  =  ( ) L0 расширяется оператором


 (v( , )  z ( ))
(16)


При a  0 , b  0 имеем  = (   ),   0 , и ядро L0 расширяется оператором



(17)

 [u ( , )  v( , )  3z (   )]



Функции u ( , ), v( , ) связаны уравнениями u  v = 0, u  v = (   ). В
частности, если u = u ( ), v = v( ) , то u  v = 0 , u  v = ( ) , поэтому
1

u=
z ( ), v = 
z ( )
2
1 
1  2
(18)

с функцией z ( )   ( )d При этом оператор (17) принимает вид




 4 z



(19)
5. Конечные преобразования
Для восстановления группы непрерывных преобразований уравнений
необходимо найти решение уравнений Ли с начальными условиями при a = 0 , именно
(20)
t = t ,  =  , =  , x = x, y = y,  = .
В случае операторов ядра L0 группа Ли такова
t = t  a1 , x = x  a2 , y = y  a3 ,  =   f (t )a4 ,
причем в каждом из случаев остальные переменные преобразуются тождественно.
Для оператора (14) находим
t = t ,  =   a, =  , x = x, y = y,
a
 =  ( , , t )  z ( )a   u(  a, )da.
0
Аналогично, для первого оператора (15) найдем
a
 =   a,  =   0a   u(  a, )da,
0
а для второго a
 =   a,  =   0a   v( ,  a)da,
(21)
0
Для оператора (16) имеем
a
 =   a,  =   z ( )a   v( ,  a)da
(22)
0
и видно, что преобразования (22) есть частный случай преобразований (21).
Наконец, для оператора (19) имеем
a
 =   a, =   a,  =   3z(  )a   [u(  a,  a)  v(  a,  a)]da.
0
Если u,v определяются из (18), то  =   4 z (  )a6 ,
  =   ( =  ) .
где
учтено,
что