задания к зачету по математике

1 КУРС
Вопросы для подготовки к зачету по математике.
1. Назовите способы задания множеств. Приведите примеры.
2. В каких отношениях могут находиться множества? Приведите примеры.
3. Что такое подмножество? Примеры.
4. Какие множества называются равными?
5. Когда множества находятся в отношении пересечения?
6. Какие подмножества называются собственными? несобственными?
7. Сколько подмножеств содержит множество, состоящее из «п» элементов?
8. Какое множество называется универсальным?
9. Что называется объединением множеств А и В?
10. Что называется пересечением множеств А и В?
11. Что называется разностью множеств А и В?
12. Что называется декартовым произведением множеств А и В?
13. Что называется дополнением к подмножеству В до множества А?
14. Какими свойствами обладают операции объединения (пересечения) множеств А и В?
Проиллюстрируйте их на диаграмме Эйлера-Венна.
15. Приведите примеры множеств, являющихся подмножествами а) множества
натуральных чисел; б) множества целых чисел; в) множества действительных чисел.
Изобразите их на числовой прямой.
16. Что такое разбиение множества на классы?
17. От чего зависит и чему равно число классов разбиения множества на классы?
18. Чему равно число элементов в объединении трех множеств? двух множеств ?
19. Чему равно число элементов в декартовом произведении двух множеств?
20. Изобразите на диаграмме Эйлера-Венна множество элементов, принадлежащих
а) хотя бы одному из трех множеств А, В, С;
б) только одному из трех множеств А, В, С;
в) не менее, чем двум множествам;
г) более, чем двум множествам;
д) ровно двум множествам;
е) хотя бы двум множествам;
ж) трем множествам.
21. Что называется перестановками без повторений из «п» элементов? Примеры.
22. Чему равно число перестановок без повторений из «п» элементов?
23. Что называется сочетаниями без повторений из «п» элементов по «к»? Примеры.
24. Чему равно число сочетаний без повторений из «п» элементов по «к»?
25. Что называется размещениями без повторений из «п» элементов по «к»? Примеры.
26. Чему равно число размещений без повторений из «п» элементов по «к»?
27. Свойства сочетаний.
28. Что такое факториал?
29. Запишите бином Ньютона.
30. Треугольник Паскаля.
ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЗАЧЕТУ
Вариант 1
1. Пусть: A - множество натуральных однозначных чисел; B - множество натуральных
нечетных однозначных чисел; C – множество натуральных однозначных чисел, кратных 3.
а) Каким способом заданы эти множества? Задайте их другим способом, если это
возможно. Изобразите при помощи кругов Эйлера-Венна;
б) Укажите характеристическое свойство элементов следующих множеств: B'А, C'А, B'А
 C'А, (B  C)'А, (B  C)'А. Задайте их перечислением элементов. Есть ли среди них
равные множества?
2. Докажите, что для любых множеств A и B верно равенство: A  B' = (B\A)'.
3. В классе 25 учащихся. Из них 13 лыжников, 8 пловцов и 17 велосипедистов. Причем
каждый спортсмен занимается только двумя видами спорта и учится на "3" или на "4". В
классе 6 "круглых" отличников. Сколько в классе спортсменов? Сколько в классе
неуспевающих?
4. Изобразите на координатной плоскости декартово произведение множеств X и Y,
если: X = {x|xN, 2 x<4}, Y = {y|y  R, 3<y 7}.
5. Сколько трехзначных чисел, имеющих различные цифры и меньших 300, можно
записать цифрами 0, 1, 2, 3, 4?
Вариант 2
1. Пусть M - множество нечетных натуральных чисел; P – множество натуральных
чисел, кратных 7; K - множество натуральных чисел, кратных 3.
а) Истинны ли высказывания: 5  M  (P'N  K) и
8  M  (P'N  K)?
б) Начертите круги Эйлера для множеств M, P, K и заштрихуйте область,
изображающую множество M  (P'N  K).
в) Проверьте ответы к пункту а) с помощью кругов Эйлера.
2. Докажите, что A\(B  C) = (A\B)  (A\C) для любых множеств A, B и C и дайте
графическую иллюстрацию с помощью кругов Эйлера.
3. В классе 40 учащихся. Из них 25 посещают математический кружок, 12 физический, 5 не посещают ни одного из этих кружков. Имеются ли в классе ученики,
которые посещают оба кружка? Сколько учащихся посещают только математический
кружок? только физический кружок?
4. Изобразите на координатной плоскости декартово произведение множеств X и Y,
если: X = {x|x  R, 0  x  7}, Y = {y| y  Z, -3 < y < 2}.
5. Сколько всего чисел можно записать цифрами 0, 1, 2, 3, если цифра в записи числа
не повторяется?
Вариант 3
1. Даны множества: D - множество нечетных натуральных чисел, E - множество
двузначных чисел, F - множество целых чисел, запись которых оканчивается цифрой "7".
а) Принадлежат ли множеству X = (Z  D)'  (E  F) числа 15, 27, 77?
б) Начертите круги Эйлера для множеств D, E, F и Z и заштрихуйте множество X.
в) Проверьте правильность ответов к пункту а), используя круги Эйлера.
2. Докажите, что для любых множеств A и B верно равенство: (A\B)' = A'  A  B и
проиллюстрируйте его на кругах Эйлера.
3. В детском саду 52 ребенка. Каждый из них любит пирожное или мороженое.
Половина детей любит пирожные, а 20 детей любят пирожное и мороженое. Сколько
детей любят мороженое?
4. Изобразите на координатной плоскости декартово произведение множеств X и Y,
если X = (-4;5), Y = (-;4].
5. В автомашине 5 мест. Сколькими способами в ней могут разместиться 5 человек,
если водить машину могут двое?
2 КУРС
Вопросы для подготовки к зачету по математике
1. Что такое система счисления?
2. Какая система счисления называется позиционной? непозиционной?
3. Что называется р-ичной записью натурального числа?
4. Что называется 10-ичной записью натурального числа?
5. Что показывает число «р» в р-ичной записи числа? Какие значения может принимать?
6. Что показывает любое «а» в р-ичной записи числа? Какие значения может принимать?
7. Правила перехода из р-ичной системы счисления в 10-ичную и наоборот.
8. Что такое «разряд»? «класс»?
9. Какие классы выделяют в 10-ичной записи натурального числа? какие разряды?
10. Как определить, сколько всего в числе десятков, сотен, тысяч и т.д.? сколько в числе
единиц соответствующего разряда?
11. В каком случае говорят, что целое неотрицательное число «а» делится на натуральное
число «в»?
12. Свойства отношения делимости на множестве целых неотрицательных чисел.
13. Теорема о делимости суммы на число.
14. Теорема, обратная к теореме о делимости суммы на число.
15. Теорема о неделимости суммы на число.
16. Теорема о делимости произведения на число.
17. Теорема, обратная к теореме о делимости произведения на число.
18. Теорема о неделимости произведения на простое число.
19. Теорема, обратная к теореме о неделимости произведения на простое число.
20. Теорема о делимости разности на число.
21. Теорема о неделимости разности не число.
22. Теорема, обратная к теореме о делимости разности на число.
23. Теорема о делимости на составное число.
24. Теорема о неделимости на составное число.
25. Признак делимости на 2 (5) в 10-ичной системе счисления.
26. Признак делимости на 4 (25) в 10-ичной системе счисления.
27. Признак делимости на 8 (125) в 10-ичной системе счисления.
28. Признак делимости на 3 (9) в 10-ичной системе счисления.
29. Признак делимости на 6, 12, 15, 18, 24, 36 и др. составные числа.
30 Какое число называется простым?
31. Какое число называется составным?
32. Какие числа называются взаимно-простыми?
33. Что называется наибольшим общим делителем чисел «а» и «в»?
34. Что называется наименьшим общим кратным чисел «а» и «в»?
35. Какие существуют способы нахождения НОД(а,в) и НОК(а,в)?
36. Правило нахождения НОД(а,в).
37. Правило нахождения НОК(а,в).
38. Что такое полная индукция?
39. Что такое неполная индукция?
40. На чем основано доказательство методом математической индукции?
ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЗАЧЕТУ
Вариант 1
1. Доказать, что ( n  N)[n(2n+1)(7n+1) ⋮6].
2. Доказать методом математической индукции, что при
 n  N:
1
1
1
1
n


 ... 

1  6 6  11 11  16
(5n  4)(5n  1) 5n  1 .
3. Не производя вычислений установить, делится ли на 36 значение следующего
выражения: 31724 • 72504 + 378 + 9702.
4. Найти числа a и b, если НОД(a,b)=7, a•b=5390.
5. а) В какой системе счисления верно: 234 -143 =21;
б) сравните 6454 и 32114.
Вариант 2
1. Доказать, что при любом нечетном n  N: (n3 – n) ⋮24.
2. Доказать методом математической индукции, что при
 n  N:
(52n-1 + 1) ⋮6.
3. Не производя вычислений установить, делится ли на 18 значение cледующего
выражения: 51004 + 100002•7059+ 40016.
4. Найти НОД(a,b) и НОК(a,b) двумя способами, где a=154, b=1022.
5. Найти все числа, большие 10000, но меньшие 150000, которые как при делении на
393, так и при делении на 655 дают в остатке 210.
Вариант 3
1. Доказать, что ( n  N)[(n6 –n2) ⋮60].
2. Доказать методом математической индукции, что при
 n  N:
-1 + 3 - 5 + 7 - 9 + ... + (-1)n •(2n - 1) = (-1)n •n.
3. Не производя вычислений установить, делится ли на 12 значение следующего
выражения: 1026•314 + 1035 + 220029.
4. Даны натуральные числа x1 = 920002 и x2 = 134783.
1) Прочитайте эти записи, укажите, сколько в них классов, разрядов, назовите их.
Запишите x1 и x2 в виде суммы разрядных слагаемых.
2) Сравните x1 и x2 .
3) Запишите алгоритм вычитания натуральных чисел и дайте ему обоснование,
используя x1 и x2 .
5. Вычислить в 6-ричной системе счисления:
423·52+5021-322·35.
3 КУРС
Вопросы к зачету по математике
1. Множество положительных действительных чисел. Сравнение положительных
действительных чисел.
2. Правила округления. Десятичные приближения положительного действительного
числа по недостатку и по избытку до k-го десятичного знака.
3. Арифметические операции над положительными действительным числами, их
свойства.
4. Отрицательные действительные числа.
Множество действительных чисел.
Абсолютная величина действительного числа. Сравнение действительных чисел.
5. Арифметические операции над действительными числами.
6. Числовые функции. Основные понятия. Способы задания.
7. Линейная функция, свойства, график.
8. Прямая пропорциональность, свойства, график.
9. Обратная пропорциональность, свойства, график.
10. Квадратичная функция y = ax2 + bx + c, свойства, график.
11. Дробно-линейная функция, свойства, график.
12. Числовое выражение и его значение. Числовые равенства и неравенства, их
свойства.
13. Выражения с переменной. Область определения. Тождественные преобразования
выражений. Тождество.
14. Уравнения с одной переменной. Область определения уравнения, решение,
множество решений, соотношение между ними. Равносильные уравнения.
15. Теоремы о равносильных уравнениях. Следствия из них.
16. Метод интервалов и его применение к решению уравнений и неравенств с одной
переменной.
17. Неравенства с одной переменной. Основные понятия. Равносильные неравенства.
Теоремы о равносильных неравенствах, следствия из них.
18. Системы уравнений с двумя переменными. Основные понятия (область
определения, решение, множество решений, соотношение между ними).
19. Системы линейных уравнений с двумя
переменными,
их
решение
(алгебраические и графический способы). Исследование решения системы линейных
уравнений.
20. Системы и совокупности неравенств с одной переменной, их решение.
21. Взаимное расположение прямых на плоскости (пересечение, перпендикулярность,
параллельность).
22. Уравнение прямой (общее, по угловому коэффициенту и точке, по двум точкам,
угловому коэффициенту и начальной ординате, в отрезках).
23. Уравнение окружности (общий и частные случаи).
24. Понятие величины и ее измерения. Основные свойства скалярных величин.
25. Длина отрезка, ее свойства. Измерение длины отрезка. Единицы длины,
соотношения между ними.
26. Площадь фигуры. Равновеликие, равносоставленные фигуры. Способы измерения
площадей фигур. Площадь прямоугольника.
27. Объем тела и его измерение. Объем прямоугольного параллелепипеда. Единицы
объема, соотношение между ними.
28. Масса тела, ее измерение. Единицы массы, соотношение между ними.
29. Время. Измерение времени. Единицы измерения времени, соотношение между
ними. Календари.
30. Зависимость между величинами, характеризующими равномерное прямолинейное
движение.
31. . Зависимость между величинами, характеризующими процессы:
- купли, продажи (цена, количество, стоимость);
- работы (производительность, объем работы, время работы).
32. Скорость равномерного прямолинейного движения как аддитивно скалярная
величина. Единицы измерения скорости, соотношения между ними.
33. Текстовые задачи. Решение текстовых задач алгебраическим методом.
ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЗАЧЕТУ
Вариант 1
1. Решить уравнение: x4 + 5x3 + 2x2 + 5x + 1 = 0.
2. Решить уравнение: |x + 1| + |x - 3| = 2.
3. Решить графически систему неравенств:
y < x + 3;
y + x < 3;
y > 1.
Вариант 2
1. Решить уравнение: 2x4 + 3x3 - 4x2 + 3x + 2 = 0.
2. Решить уравнение: ( x  1) 2  ( x  2) 2  ( x  2) 2 .
3. Решить графически систему неравенств:
3x - y  2;
2x + y  2;
|x| < 1.
Вариант 3
1. Решить уравнение: x3 + 4x2 + 6x + 4 = 0.
2. Решить уравнение: |x - 2| + |x + 3| = |x - 1|.
3. Решить графически систему неравенств:
|2x - y| < 3;
3x + 2y  1;
|x|  2.