Дискретная математика зачет. Ответы_mob

1. Понятия множества
Множество – любая определенная совокупность элементов обладающих общим свойством.
Подмножество – Множество А называется подмножеством В тогда и только тогда, когда из
элемента а  А следует, что а  В
Примеры множеств:
1. Множество натуральных чисел N
2. Множество натуральных положительных чисел N+
3. Множество целых чисел Z
4. Множество рациональных чисел RC…
Способы задания множеств:
1. Перечисление элементов
2. Характеристический свойства
Принцип объемности.
Два множества равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов
т.е. если каждый элемент одного из них является элементом другого и на оборот.
Операции.
Пересечением двух множеств А и В называется множество, которое состоит из элементов
входящих в состав как А, так и В. А  В = {a | a  A и a  B}.
Объединением двух множеств А и В называется множество, в состав которого входят те и
только те элементы, которые входят в состав хотя бы одного из этих множеств. А  В = {a |
a  A или a  B}.
Разность: А \ В = {a | a  A или a  B}.
Симметрическая разность: А Δ В = (А  В) \ (А  В) = {a | (a  A или a B) и (a  A или
a  B))
Эти операции называются теоретико-множественными.
Диаграммы Эйлера-Венна. Примеры.
Все теоретико-множественные операции можно иллюстрировать графически с помощью
диаграмм Венна. На этих диаграммах множества-аргументы изображаются в виде областей
плоскости, а результат выполнения операции - в виде заштрихованной области.
3. Основные тождества алгебры множеств (с
доказательством).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
А  В = В  А, А  В = В  А. (коммутативность)
А  (В  С) = (А  В)  С, А  (В  С) = (А  В)  С. (ассоциативность)
А  (В  С) = (А  В)  (А  С), А  (В  С) = (А  В)  (А  С). (дистрибутивность)
А  А` = U, A  A` =  .
A   =A, A  U = A.
A  A = A, A  A = A. (идемпотентность)
А  (A  B) = A, А  (A  B) = A.
A  U = U, A   = 
9. (  )` = U, U` =  , (A`)` = A
10. (А  В)`= А`  В`
4.Понятия бинарного отношения
Бинарным отношением р называется множество упорядоченных пар
Обозначение <x,y>  p или xpy
Произвольное подмножество множества A1xA2x…An называется отношением, заданным на
множествах А1, А2, …, Аn. Если А1=А2=…=Аn=А, то отношение R называется n-арным
отношением на множестве А. При n=1 отношение унарное, при n=2 отношение бинарное, при
n=3 отношение тернарное.
Обратное отношение, композиции отношений.
Отношение R-1, заданное на множестве ВхА называют обратным к R, если R-1 = {(b,a) | aRb}.
Отношение R*R1 заданное на АхС называют произведением или суперпозицией отношений R
и R1, если R*R1 = {(a,c) | a  А, с  С и (  b  B)(aRb и bR1c).
Способы задания бинарных отношений.
1. Перечисление.
2. Указание характеристического свойства.
3. Стрелочные диаграммы.
4. Графический.
Свойства бинарных отношений.
1. Отношение р на множестве х называется рефлексивным если x  Xxpx
2. Отношение р на множестве х называется симметричным если x, y  X из xpy  ypx
3. Отношение р на множестве х называется транзитивным если x, y, z  X из
xpy, ypz  xpz
5. Специальные бинарные отношения
Отношение эквивалентности
Бинарное отношение R, заданное на множестве А, называется отношением эквивалентности
или эквивалентностью на А, если для любых элементов a, b, c из А справедливо:
1. aRa (рефлексивность)
2. aRb => bRa (симметричность)
3. из aRb и bRc следует aRc (транзитивность)
Отношение порядка.
p   x, y / x, y  Z , x  y
Отношение подобия на множестве треугольников
Отношение принадлежности к одной студенческой группе
6. Разбиение множества.
Разбиением множества А называется семейство его частей В1, В2,…,Вn обладающих след
свойствами:
Bi  
Bi  Bj  , i  j
k
 Bi  A
i 1
Bi  A, i  1, k
Всякое отношение эквивалентности R, определенное на множестве А, задаёт разбиение
множества А на классы.
Свойства разбиения.
Между разбиениями множества на классы и отношениями эквивалентности, заданными на
этом множестве, существует взаимно однозначное соответствие.
Всякое разбиение множества А на классы задаёт на множестве А отношение
эквивалентности.
Числа Стерлинга и числа Белла.
Число Стерлинга - число разбиений n-множества на k-блоков
Число Белла - сумма чисел Стирлинга от нуля до k
7. Классы эквивалентности
Пусть р-отношение эквивалентности порожденным элементом х называется подмножество
множества Х состоящее из элементов для которых справедливо xpy
x  y / y  X , xpy
Примеры:
p   x, y  / x, y  Z , x  y
Р=отношение принадлежности к одной студенческой группе. Класс ~-ти множество
студентов принадлежащих одной группе
8. Теорема о взаимосвязи между отношением
эквивалентности и разбиением множеств
Всякое отношение эквивалентности на множестве А задает разбиение множества А блоками
которого являются классы эквивалентности.
Верно и обратное. Всякому разбиению множества А соответствует отношение
эквивалентности, классы эквивалентности которого совпадают с блоками разбиения.
Доказательство:
1. необходимость.
Дано: р – отношение эквивалентности. Надо доказать: оно задает разбиение блоками
которого являются классы эквивалентности, т е надо доказать:
Если apb то a  b где a, b элементы множества А.
Это будет следовать из утверждения 1 (пусть р – отношение эквивалентности из
множества Х, тогда:
Если x  X то x  x
Если x, y  X и xpy то x  y
То есть каждый класс эквивалентности порождается своими элементами) если доказать
что
Если  a, b  p То a b   Докажем методом от противного.
Пусть  a, b  p  x, x  a b  x  a и  x  b  apx и bpx  apx и xpb (по
свойству симметричности)  apb ( по свойству транзитивности)
Получим противоречие.
В силу утверждения 1 любой класс эквивалентности не пуст а в сумме все классы
эквивалентности дают множество А.
2. достаточность.
Дано: отношение р задает разбиение блоками которого является классы эквивалентности.
Надо доказать: р - отношение эквивалентности.
Рассмотрим отношение р такое что apb Тогда и только тогда когда a И b принадлежат
одному блоку разбиения.
Для того чтобы доказать, что р – отношение эквивалентности надо доказать наличие у
него 3 свойств:
1. рефлексивность. apa т к  a, a  из одного блока разбиения
2. симметричность. Пусть apb По определению отношения р это значит a и b
принадлежат одному блоку разбиения, но b и a тоже принадлежат одному блоку
разбиения  bpa
3. транзитивность. Пусть apb и bpc  a, b  Ai, b, c  Aj ( Ai и Aj - блоки разбиения А)
 Ai  Aj (т к пересекаться не могут  a, c  Ai  apc
Теорема доказана
9. комбинаторика
Подсчитать число возможных способов размещения некоторых предметов конечного
множества или число всех возможных способов выполнения определенного действия из
конечного множества таких действий.
Основные правила комбинаторики.
Пусть необходимо выполнить последовательно k действий. Если первое можно выполнить n1
способами, второе - n2 способами и т.д. до k-го действия, которое можно выполнить nk
способами, то все k действий можно выполнить n1*n2*…*nk способами.
Для размещения с повторениями:
Каждое (n,k) - размещений с повторениями является упорядоченной последовательностью
длиной в к. Причем 1-й элемент может быть выбран n-способами k-й тоже n способами. По
правилу произведения получим nk.
Правило суммы. Если объект х может быть выбран m способами а объект у n способами то
выбор либо х либо у n+m способами.
Основные комбинаторные объекты.
1. Система подмножеств множества
2. Размещение элементов множества
3. Перестановки элементов множества
4. Сочетание элементов множества
5. Разбиение множества
10. Размещение элементов с повторениями
Произвольное k-элементное подмножество множества А называется комбинацией, или
выборкой. любое упорядоченное k-элементное подмножество множества А, все элементы
которого не обязательно различны, называется размещением с повторением.
Количество размещений c повторениями равно Ank = nk.
Доказательство.
Каждое n, k  размещение с повторением является упорядоченной последовательностью
длины k причем первый элемент может быть выбран n способами второй n способами k -ый
n способами. по правилу произведения получим n k
11. Размещение элементов без повторений
Упорядоченное k-элементное подмножество множества А, все элементы которого различны,
называется размещением без повторений, Количество размещений без повторения равно
n!
Ank = n*(n-1)*…*(n-k+1) =
если k  n
(n  k )!
Доказательство.
1. k  n
Каждое n, k  размещение без повторений является упорядоченной последовательностью
длины k . Члены ее различны и выбираются из множества состоящих из n элементов. Тогда
первый член может быть выбран n способами второй n 1 способами k -ый n  k  1
способами. по правилу произведения получим
Ank = n*(n-1)*…*(n-k+1)
Умножим и разделим полученное выражение на 1 2  3  ...  n  k 
nn  1...n  k  11 2  3  ...  n  k 
n!
Получим Ank 
=
n  k !
1 2  3  ...  n  k 
2. k  n Утверждение очевидно так как невозможно найти ни одного размещения из 3-х
элементов по 5 элементов без повторения.
12.Перестановки. оценки для n!
(n,n) размещение без повторения называется перестановкой.
Ann  n!
Оценки для n!
n
n
 1
n! >   , где e = lim 1  
n
e
 n
n
n! < 2 
2
n
n
13. Сочетание элементов множества с повторениями.
Неупорядоченная n, k  выборка элементы в которой могут повторятся называется n, k 
сочетанием с повторениями.
Cnk  Cnk k 1
Доказательство.
Каждому n, k  сочетанию с повторениями В поставим в соответствие
вектор  длины n  k 1, состоящий из k нулей и n 1 единицы. Причем число нулей
находящихся между i  1и i единицами, где 2  i  n 1будет равно числу элементов xi
входящих в сочетание. Число нулей стоящих перед 1-ой единицей равно количеству
элементов x1 входящих в сочетание. Число нулей стоящих после n 1 -ой единицы равно
количеству элементов xn входящих в сочетание. Такое соответствие является взаимно
однозначным. Сколько сочетаний – столько двоичных наборов и наоборот. Сколько таких
двоичных наборов? Число векторов с k нулями и n 1 единицами равно числу k элементных множеств являющихся подмножествами n  k 1-элементного множества –
множества всех компонент-векторов. Следовательно имеет место формула
Cnk  Cnk k 1
14 . Сочетание элементов множества без повторений
Неупорядоченная n, k  выборка элементы в которой попарно различны называется n, k 
сочетанием без повторений.
Akn
n!
=
если k  n
k! n  k !k!
Доказательство.
1 . k n
Сочетание получается из размещения, если из него удалить все ненужное. Если k  n то
каждое такое n, k  сочетание можно упорядочить k! способами. Объединение получает т о
попарно непересекающихся множеств n, k  размещений для всех возможных
n, k  сочетаний дает n, k  размещение.
Тогда по правилу суммы
Ank =  k!= Cnk k!
C nk =
Где сумма берется по всем n, k  сочетаниям без повторений
Т о получим:
An
C nk = k
k!
Учитывая что
n!
n!
Ank 
 Cnk 
n  k !
n  k !k!
2. k  n невозможно.
15. Разбиение множеств
Разбиением множества Х будет называться неупорядоченная система непустых подмножеств
множества Х обладающих 2 свойствами:
x ...  xk  X
1. 1
x  x j   i  j
2. i
k
Тогда если
Cnn1 ,n2 ,..., nk
xi  n
То
n!
= n1!n2 !...nk !
Доказательство.
1.
n
i 1
i
n
Cnn1 ,n2 ,..., nk
n
=
n
C n 1 C n 2 n1 ...Cnnk n1 n2 ... nk 1
Исходное множество: 1,2,3,..., n каждый из X i – это сочетание без повторений.
Для того чтобы получить все X i необходимо все исходное множество Х последовательно
разбить на блоки. Значит будет работать правило произведения.
Для образования сочетания, соответствующего множеству X1 смогут быть использованы все
n
1
элементы множества Х т е множество X1 может быть выбрано Cn
После выбора X1 множество X 2 выбирается из n  n1  Элементов множества Х и т д.
По правилу произведения выбор последовательности множеств X 1 , X 2 ,..., X k Может быть
n
n
C n 1 C n 2 n1 ...Cnnk n1 n2 ... nk 1
осуществлен
способами.
2.
Распишем полученное произведение
n!
k
C
Т к n = n  k !k! то
C
n1 , n2 ,..., nk
n
n  n1  ...  nk 1 !
n  n1 !
n!
n!
= n  n1 !n1! n  n1  n2 !n2 ! … n  n1  ...  nk !nk ! = n1!n2 !...nk !
16. Формула включений и исключений.
|A  B|=|A|+|B|-|A  B|
17. Определение графа.
Графом G(V,E) называется совокупность двух множеств – непустого множества V
(множество вершин) и множества Е неупорядоченных пар различных элементов множества V
(Е – множество ребер)
Неупорядоченная пара вершин называется ребром, упорядоченная пара - дугой.
Типы графов.
Полный граф - граф, у которого любые две вершины смежные.
Регулярные или однородные графы - граф, все вершины которого имеют одну и ту же
степень.
Кубический или трех валентный граф - регулярный граф степени 3.
Полностью несвязанный или пустой граф - граф, у которого множество ребер пусто.
Платонов граф – граф, образованный вершинами и ребрами пяти правильных
многогранников – Платоновых тел: тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра.
Двудольный граф – граф, в котором существует такое разбиение множества его вершин на
два класса, при котором концы каждого ребра лежат в разных классах.
Ориентированный граф – граф G=(V,E), если E  V2, то есть вершины его ребер упорядочены.
Способы задания графов.
1. Графический
2. Описание множеств вершин V и множеств ребер Х
3. Матричный
18. изоморфизм графов
Графы (орграфы) изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы инцидентности можно
получить одну из другой произвольными перестановками строк и столбцов.
20. Понятия маршрута на графе.
Маршрутом в заданном графе G = (V,E) называется конечная последовательность его ребер
вида (v0,v1),(v1,v2),…,(vk-1,vk).
Маршрут – последовательность вершин v0,v1,…,vk графа G = (V,E), соединяющая вершины v0
и vk.
Одна и та же вершина может быть начальной, конечной и внутренней. Число рёбер (дуг) в
маршруте (пути) называется длиной маршрута (пути). Маршрут (путь) называется
замкнутым, если его начальная вершина совпадает с конечной. Не замкнутый маршрут
(путь), в котором все рёбра (дуги) попарно различны, называется цепью. Цепь, в которой все
вершины попарно различны, называется простой. Замкнутый маршрут (путь), в котором все
рёбра (дуги) попарно различны, называется циклом (контуром). Цикл, в котором все
вершины попарно различны, называется простым. Цепью называется незамкнутый маршрут в
котором все ребра различны.
Алгоритм Терри поиска маршрута в связном графе.
Алгоритм поиска маршрута в связанном графе G, соединяющего заданные вершины v и w О
V, где v ≠ w.
1. Идя по произвольному ребру, всякий раз отмечать направление, которое оно прошло.
2. Исходя из некоторой v' , всегда следовать только по тому ребру, которое не было
пройдено или было пройдено в противоположном направлении.
3. Для всякой вершины v', отличной от v отмечать первое заходящее в v' ребро, если v'
встречается первый раз.
4. Исходя из некоторой вершины v', отличной от v по первому заходящему ребру идти
лишь тогда, когда нет других возможностей.
21. Минимальные пути.
Расстояние между вершинами u и v – длинна кратчайшего маршрута, соединяющего
вершины u и v, и обозначается d(u,v).
Алгоритм фронта волны определения минимальных путей на графе.
24. Понятие связности.
Граф называется связанным, если произвольные две его вершины связаны маршрутом.
Максимальный связный подграф графа называется компонентом связности.
Матрица сильной связности.
Матрицей сильной связанности орграфа D называется квадратная матрица S(D)=[sij] порядка
n, у которой sij=1, если вершина vi достижима из vj и одновременно vj достижима из vi, sij=0 в
противном случае. Пусть G=(V, X) граф. Матрицей связанности графа G называется
квадратная матрица S(G)=[sij] порядка n, у которой sij=1, если j = i или существует маршрут
соединяющий vi и vj, sij=0 в противном случае.
Матрицей достижимости графа Gбудет называться квадратная матрица
T G   tij i 1 , j  1
n
Где t ij =1 если V j достижима из Vi , t ij =0 если V j не достижима из Vi
27. Высказывания.
Высказыванием называется утверждение, о котором можно определенно сказать, истинно
оно или ложно. Если высказывание истинно, то говорят, что его значение истинности равно
единице. Если же высказывание ложно, - его значение истинности равно нулю.
Логические операции.
Логическое отрицание или инверсия некоторой логической переменной, например
переменной А, это также логическая переменная, принимающая значение обратное значению
переменной А, и обозначаемая как A .
Дизъюнкция (логическое сложение) или функция ИЛИ (OR) - это функция, которая
истинна тогда, когда истинна хотя бы одна из ее переменных(\/).
Конъюнкция (логическое умножение) или функция И (AND) - это функция, которая
истинна тогда, когда все ее переменные одновременно истинны (/\).
Функция (штрих) Шеффера или функция И-НЕ - это функция, которая ложна тогда, когда
все переменные истинны.
Функция (стрелка) Пирса (Вебба) или функция ИЛИ-НЕ - это функция, которая истинна
только тогда, когда все переменные ложны.
Импликация или функция ЕСЛИ-ТО (IF-THEN) это функция, которая ложна тогда и
только тогда, когда x1 истинно и x2 ложно. Аргумент х1 называется посылкой, а х2 следствием.
Исключающее ИЛИ (XOR) - это функция, которая обозначается знаком . Эта операция,
реализует функцию неравнозначности, т.е. фактически реализуется процедура
суммирования по модулю 2, которая обозначается знаком 
Все рассмотренные операции являются элементарными.
0011х
0101у
0 0 0 1 /\
0 1 1 1 \/
0110
1000
1001~
1101→
1110|
29. Способы задания булевых функций. Примеры.
Представление (описание) функции на словах.
Например: функция трех аргументов принимает значение 1, если два любых аргумента или
все три равны 1. Во всех остальных случаях функция рвана 0.
Табличный способ.
Для представления логической функции можно использовать, так называемый, табличный
способ, когда функция представляется своей таблицей истинности.
Обычно в таблице истинности столбец с номером набора не приводится.
Алгебраический или аналитический способ. Табличный способ максимально наглядный,
но в случае сложных функций алгебры логики достаточно некомпактный. Проще выглядит
аналитическая запись в виде формул.
30. равносильность
Основные равносильности
1. коммутативность a  b  b  a a  b  b  a
2. идемпотентность a  a  a
aa  a
3. ассоциативность a  b  c  a  b  c
a  b  c  a  b  c
4. дистрибутивность a  b  c  a  b  a  c a  b  c  a  b  a  c
5. законы поглощения a  a  a  b a  a  a  b
6. снятие двойного отрицания a  a
7. законы де Моргана a  b   a  b a  b   a  b



8. расщепление a  a  b   a  b a  a  b   a  b
9. взаимосвязь логических связок
a ~ b  a  b  b  a  a  b  a  b

a  b  ab  a b

ab  a  b  a b

 


a b  a  b  ab




33. Дизъюнктивная нормальная форма
Формулу называют элементарной конъюнкцией если она является конъюнкцией переменных
и отрицания переменных.
Формула находится в дизъюнктивной нормальной форме если она является дизъюнкцией
элементарных конъюнкций.
Алгоритм приведения формул булевых функций к ДНФ
(КНФ).
Шаг 1. Все подформулы A вида B  C (т.е. содержащие импликацию) заменяем на B \/C или
на  Β/ \ C  .
Шаг 2. Все подформулы A вида B~C (т.е. содержащие эквивалентность) заменяем на
(A/\B)\/ (  / \   или на  Α \ /Β/ \ Α \ /Β .
Шаг 3. Все отрицания, стоящие над сложными подформулами, опускаем по законам де
Моргана.
Шаг 4. Устраняем все двойные отрицания над формулами.
Шаг 5. Осуществляем раскрытие всех скобок по закону дистрибутивности конъюнкции
относительно дизъюнкции для ДНФ или по закону дистрибутивности дизъюнкции
относительно конъюнкции для КНФ.
35. конъюнктивная нормальная форма
Формулу называют элементарной дизъюнкцией если она является дизъюнкцией переменных
и отрицания переменных.
Формула находится в конъюнктивной нормальной форме если она является конъюнкцией
элементарных дизъюнкций.
37. СДНФ
Пусть есть формула А которая зависит от списка переменных  xi1 , xi 2 ,..., xik  тогда А
находится в СДНФ если
1. А – ДНФ
2. Каждый дизъюнктивный член формулы А является k-членной конъюнкцией причем на l ом месте 1  l  k  обязательно стоит переменная xil или ее отрицание.
3. все дизъюнктивные члены должны быть попарно различны.
Формула А находится в СДНФ если она представлена в виде:
F ~
x k   x1 1  x2 2  ...  xkk где
 
~:F ~ 1
 xi , если i  1
xii  
 xi , если i  0
1. Построить таблицу истинности
2. Взять те наборы, где f=1, элементы набора соединить конъюнкцией (/\), причем: если
переменная = 1, то берем переменную, если =0, то ее отрицание
3. Соединить конъюнкции (/\) дизъюнкциями (V)
39. СКНФ
Пусть есть формула А которая зависит от списка переменных  xi1 , xi 2 ,..., xik  тогда А
находится в СКНФ если
1. А – КНФ
2. Каждый конъюнктивный член формулы А является k-членной дизъюнкцией причем на l ом месте 1  l  k  обязательно стоит переменная xil или ее отрицание.
3. все конъюнктивные члены должны быть попарно различны.
Формула А находится в CRYA если двойственная к А формула А* находится в СДНФ
Формула А находится в СДНФ если она представлена в виде:
F ~
x n    x1 1  x2 2  ...  xkk где
~:F ~  0
 xi , если i  0
xii  
 xi , если i  1
Построение СКНФ (по табл. ист.)
1. Построить таблицу истинности
2. Взять те наборы, где f=0, элементы набора соединить дизъюнкцией (V), причем: если
переменная = 0, то берем переменную, если =1, то ее отрицание
3. Соединить дизъюнкции (V) конъюнкциями (/\)
Понятия тавтологии
Пусть формула А зависит от списка переменных <x1, x2, …, xn>, тогда
Формула А тавтология (тождественно истинная), если на любых оценках списка
переменной она принимает значение «истина».
Формула А выполнима, если на некоторых оценках списка переменой она принимает
значение «истина».
Формула А тождественно ложная, если на любых оценках списка переменной она
принимает значение «ложь».
Формула А опровержимая, если на некоторых оценках списка переменой она принимает
значение «ложь».
Примеры. Правильные рассуждения.
Формулу называют элементарной дизъюнкцией, если она является дизъюнкцией (может быть
одночленной) переменных и отрицания переменных.
Формулу называют элементарной конъюнкцией, если она является конъюнкцией (может
быть одночленной) переменных и отрицания переменных.
41-42. Полные системы функций. Определение и примеры.
Способы выявления полноты системы.
Система булевых функций {f1, f2, … , fn} называется полной, если любая булева функция
может быть выражена в виде суперпозиции этих функций. Из равносильностей следует, что
все логические операции могут быть выражены через операции конъюнкции, дизъюнкции и
отрицания. Поэтому система функций {, &, V} является полной. Также полными являются
следующие системы функций:
а){, V}; б) {, &}; в) {, }.
43. Теорема о выявлении полноты системы
Пусть система функций F1 , F2 ,.., Fn  где Fi  P2 является полной и любая функция из
Fi
может быть выражена через g1....g l (с помощью операции суперпозиции). Тогда система
g1....gl  тоже является полной.
Доказательство.
Возьмем произвольную функцию h P2
Т к F1 , F2 ,.., Fn  полная тогда h  C F1 , F2 ,.., Fn  где С – суперпозиция.
По условию
F1  C1 g1....gl 
F2  C2 g1....gl 
…….
Fn  Cn g1....gl 
Подставим в h эти суперпозиции. Получим:
h  C ( C1 g1....gl  , C2 g1....gl ,..., Cn g1....g l )
Т о мы получили что h произвольная функция и она может быть записана через функции
системы g1....g l 
Следовательно по определению g1....g l полная система
45. Полином Жегалкина
Полиномом Жегалкина называется многочлен, являющийся суммой констант и различных
многочленов в которых каждая из переменных входит не выше чем в первой степени.
Теорема Жегалкина:
Каждая булева функция может быть представлена в виде полинома Жегалкина причем
единственным образом. f(x1, x2,…,xn)=a0  a1x1  …  anxn  anx1x2  …  a2n-1x1x2…xn, где
a0,a1,…,an,…, a2n-1  {0,1}, где знак  обозначает сложение по модулю 2.
Способы построения.
1. элементарные преобразования
2. способ неопределенных коэффициентов Алгоритм построения полинома Жегалкина.
1. Построить таблицу истинности данной булевой функции.
2. Каждому единичному значению булевой функции будет соответствовать
конъюнкция x1 1 x2 2 … xn n , где (  1 ,  2 , …,  n ) - соответствующий булев набор.
Конъюнкции соединяются знаком 
3. Заменить выражения xi по формуле: xi =xi  1. Раскрыть скобки и привести
подобные слагаемые по правилу: x  x=0.
46. монотонные функции
Важнейшие замкнутые классы.
1. Т0 – класс функций, сохраняющих 0
Опр. F  P2 , F  T0  F (0...0)  0
Утверждение: Т0 – замкнутый класс.
Док-во
Надо доказать: суперпозиция класса Т0 совпадает с самим классом Т0
G  F ( F1...Fm )
Fi  T0 (i  1...m)
F  T0 , G  T0
G (0...0)  F ( F1 (0...0), F2 (0...0),..., Fm (0...0))  F (0...0)  0
Утверждение доказано.
2. Т1 – класс функций сохраняющих 1
Опр. F  P2 , F T1  F (1...1)  1
Утверждение: Т1 – замкнутый класс. Док-во аналогично.
Монотонные функции.
Опр.
F  P2 , F  M 
~
~
~
~ n ,  n из того что ~ n включено в  n  F ~ n  F  n
Примеры:
1. 0,1,x, x1x2 , x1  x2  M
 
2. x1  x2 , x  M
Способы выявления монотонности
1. Эквивалентные преобразования. Если функция содержит только конъюнкцию и
дизъюнкцию, то она монотонна.
2. С помощью таблицы истинности.
М – замкнутый класс
Док-во. Надо доказать: суперпозиция класса М совпадает с самим классом М.
Рассмотрим функцию G  F F1...Fm  - суперпозицию монотонных функций. Т.е.
Fi  M i  1...m таким образом, надо показать, что если F  M то и G M
Пусть G определена на наборе переменных ~
x  x ...x
1
 
n
x i будет определена на наборе ~
x i  xi1...xipi И т.д.
Тогда Fi ~
F ~
x m будет определена на наборе ~
x m  x ...x
m
 
m1
mpmi
~
Возьмем две оценки списка переменных ~
x и обозначим их ~ n и  n
~
Причем: ~ n   n
~
~
~
Аналогичным образом получим наборы ~1 и  1 , ~ 2 и  2 … ~ m и  m
~
~
~
Кроме того ~1   1 , ~ 2   2 ,.... ~ m   m
~
Таким образом в силу того что функции F монотонные и ~ i   i получим:
~
F1 ~1   F1  1
~
F2 ~ 2   F2  2
~
F ~ m  F  m
m
 
 
   
m
Тогда если составить наборы из соответствующих наборов функций то будет иметь место
следующее соотношение
F1 ~1 , F2 ~ 2 ...Fm ~ m 
~
~
~
 F1  1 , F2  2 ...Fm  m
А в силу того что функция F монотонная получим что
F F ~1 , F ~ 2 ...F ~ m 
      
1
2
m
      
~
~
~
 F F1  1 , F2  2 ...Fm  m
F F1 ~1 , F2 ~ 2 ...Fm ~ m 
 G~ 
~
~
~
F F1  1 , F2  2 ...Fm  m
~
G 
      
 
 
~
Таким образом G ~   G   G  M
Таким образом в силу произвольности выбора функции F мы доказали что суперпозиция
класса М совпадает с самим классом М.
47.Лемма о несамодвойственной функции.
Если функция F x1 , x2 ,..., xn  S то из нее путем подстановки
x и x можно получить
несамодвойственную функцию одного переменного – константу
Док-во.
Если F  S , то  двоичный набор
1, 2 ,..., n  / F x1,..., xn
 F x1 ,..., xn 
Рассмотрим подобранные функции которые конструируются следующим образом
i  xi , i  1...n


x   x,   0; x,   1
Рассмотрим  x   F 1 x ,..., n x 
Рассмотрим значение  x  при x  1 и x  0
 0 
F 1 0,..., n 0


 F 01 ,...,0 n 
Если 1  0 , 00  0  1
 01   i
Если 1  1 , то 01  0


 F  1 ,...,  n
 F 1 ,...,  n  
Если 1  0 , то 10  1  0
 1 i   i
Если 1  1 , то 11  1
 F 11 ,...,1 n
 F 1 1,..., n 1


  1
Таким образом  –константа.
48.Лемма о немонотонной функции
Если функция F x1 , x2 ,..., xn   M То из нее путем
немонотонную функцию одного переменного - x
подстановки 0,1, x можно получить
Док-во
~
1 этап. Покажем что если F  M , то  два двоичных набора ~1 и  1
~
~1   1 , F ~1 
~
 F 1 и
~
p ~1 ,  1  1
~
1 случай p ~1 ,  1  1 доказывать ничего не надо
~
~
2 случай p ~1 ,  1  1 это значит, что p ~1 ,  1  t  1

 







Покажем что можно выбрать другие наборы и они будут соседними
0

 

1
~

  11, 12 , 13 ,..., 1n 




1
 

~1   ,  ,  ,...,  
   11 12 13
1n




~1
1
~
Между  и  Мы можем взять t  1 промежуточных набора, причем таких что
~1  ~ 2   3 
~
... t   1 и p ~ i , ~ i 1 
~
p ~ i ,  1 
~
F ~1   F  1




 
~
Значит хотя бы для одной пары промежуточных наборов ( обозначим их ~ и  ) будет
выполняться неравенство:
~
F ~   F 
Пусть данные наборы имеют соседство по i-ой координате
~  11,... i 1 ,0,  i 1 ,...,  n 
~
  11,... i 1 ,1,  i 1 ,...,  n 
2этап
Рассмотрим функцию, которая конструируется следующим образом
 x  F 1 ,...,  i 1 , x,  i 1 ,...,  n 
Рассмотрим значения  x  при x  0 и x  1
0 
F 1 ,...,  i 1 ,0,  i 1 ,...,  n 
~
 F ~   F 
 
 
 F 1 ,...,  i 1 ,1,  i 1 ,...,  n 

Учитывая, что мы работаем с булевыми функциями, это становится возможным только если
 0  1 а  1  0
Следовательно  x   x .
49. Лемма о нелинейной функции
Если функция F x1 , x2 ,..., xn  L То из нее путем
подстановки 0,1, x можно получить не
линейную функцию - x1  x2
Док-во
Для любой функции можно построить полином Жегалкина, притом единственный. Построим
его для функции F.
F x1 ,..., xn  
 a ...a
i1
is
xi1 ...xis
i1 ..is
Так как F  L то в полиноме найдется член, содержащий не менее двух множителей. Без
ограничения общности можно считать, что среди этих множителей присутствуют x1 и x2 .
Тогда можно преобразовать полином следующим образом.
F x1 ,..., xn  
x1 x2 F1 x3 ,..., xn 
 x1F2 x3 ,..., xn 
 x2 F3 x3 ,..., xn 
 F4 x3 ,..., xn 
Очевидно, что F1 x3 ,..., xn   0 так как F  L
Выберем такой двоичный набор  3,  4,..., n на котором F1  1
Пусть функция
 x1, x2  
F x1 x2 3 ... n 
 x1 x2  x1
 x2  
 ,  ,   E2  0,1
Рассмотрим функцию которая конструируется следующим образом
 x1x2  
 x1  x2   
   
Подставим в функцию  Формулу для функции 
  x1    
 x2     
    
 x1 x2  x1  x2
   x1  
 x2    
    
 x1 x2  x1  x2 Лемма доказана.
51.Таблица Поста. Алгоритм построения базисов
Дана система функций A  F1 , F2 ,..., Fk 
Таблица Поста:
На пересечении класса и функций ставится “+” если функция принадлежит классу. Иначе – “”
Критерий Поста:
Для того чтобы система функций была полно, необходимо и достаточно чтобы она целиком
не содержалась ни в одном из 5 важнейших замкнутых классов.
Алгоритм построения базисов.
1. Построить таблицу Поста.
2. По таблице Поста составить КНФ, в которой элементарные дизъюнкции
соответствуют столбцам таблицы и включены в качестве дизъюнктивных членов
символы тех функций, которые не входят в класс, соответствующий столбцу.
3. Применяя дистрибутивный закон, законы идемпотентности и поглощения привести
КНФ к ДНФ
53. К-значная логика. Определения. Способы задания.
Элементарные функции.
F  R2 – булевая функция
F  Pk – функция k-значной логики.
Обозначим Ek  0,1,..., k  1
Опр. функция k-значной логики – это произвольная функция, область определения
которой – декартово произведение Ek , а область значения – само Ek .
Способы задания
1. таблица истинности T  f 
Другие способы задания функции, понятие равносильности, операция суперпозиции,
замыкания, замкнутый класс, базис для функций аналогичны этим понятиям в 2-значной
логике.
Элементарные функции.
1. Константы 0,1,..., k  1
2. Отрицание Поста (циклический сдвиг) x  x  1 ( сложение осуществляется по модулю
k)
3. Отрицание Лукасевича ( операция зеркального отражения) ~ x  k 1  x
1, x  i
4. Характеристическая функция 1 рода ji x   
0, x  i
k  1, x  i
5. Характеристическая функция 2 рода J i x   
0, x  i
6. Функция min x1 ,..x2  (первое обобщение конъюнкции)
7. Второе обобщение конъюнкции x1  x2
8. Функция max x1,..x2  (обобщение дизъюнкции)
9. Сложение по модулю k x1  x2
10. Импликация
k  1,0  x  y  k  1
x y
k  1  x  y ,0  y  x  k  1
11. Усеченная разность
12. Разность по модулю
0,0  x  y  k  1
x y  
 x  y,0  y  x  k  1
k   y  x ,0  x  y  k  1
x y 
 x  y,0  y  x  k  1
13. Функция Вебба Vk x, y   max x, y   1
54. Первая и вторая форма функций
Первая форма
F x1 , x2 ,..., xn  
 
 J1 x1   ...J n xn 
F  1... n   max
min F  1 ,...,  n , J 1x1,..., J xn 
n
Вторая форма
F x1 ,..., xn  
F ~  j1 x1 

 ... j  x 
~
n
n
56. Детерминированные функции
 
Опр. Функция F ~
x  Называется детерминированной, если каково бы ни было число m и
каковы бы ни были последовательности  и  такие что:
 1   1,
 2    2 ,...,
 m    m 
Значения  и  функции F, где   F   и   F   , представляют собой последовательности,
у которых тоже совпадают первые m членов, т.е.:
 1   1,  2 
 2,...,  m   m
Опр. Функция называется детерминированной, если для i  1 и для любой входной
x  , i-тый член выходной последовательности ~
последовательности ~
y   F ~
x  является
однозначной функцией первых i символов входной последовательности.
Способы задания детерминированных функций
Для детерминированных функций имеется более наглядный способ задания.
При описании детерминированных функций используют бесконечные информативные
деревья.
Так как деревья информативные, то должен быть задан алфавит из которого берется
информация, отображаемая на них.
Опр. Бесконечное ориентированное корневое дерево DA - это дерево удовлетворяющее
условиям:
1. из каждой вершины выходит ровно N дуг.
2. в каждую вершину входит только одна дуга. В корень ни одной.
3. каждой дуге приписана некоторая буква алфавита А , причем разным дугам из одной
вершины разные буквы.
Деревья
Опр. Два поддерева с корнями 1 И 2 Исходного дерева называются
эквивалентными, если
 
 
F 1 ~
x   F 2 ~
x
Опр. Число r классов эквивалентности, на которое разбивается множество всех поддеревьев
данного
дерева
называется
весом
дерева
и
соответственно
весом
детерминированной функции.
F1
F2
детерминированные
функции
и
называются

~
эквивалентными, ясли при любой входной последовательности x Значения функции
Опр.
2
 
 
совпадают F1 ~
x   F2 ~
x
В противном случае – они разные.
Опр. Пусть у нас есть две детерминированные функции F1 , g  PA1
x0s (конечное число) такое что
Если ~
F ~
x s~
x    F ~
x s g~
x 
0
0
~
x   A
x0s
То g Называется остаточной функцией для F1 , порожденная словом ~
Опр.
Множество
всех
остаточных
функций
для
функции
F1 ~ F~x s образую
класс
0
эквивалентности, который называется состоянием функции
остаточную функцию F~x s
F1 ,
содержащим
0
Опр. Функция называется ограниченно детерминированной, если она имеет
конечное число попарно различных состояний.
Опр. Число различных состояний ограниченно детерминированной функции называется
ее весом.
ОПР Число различных состоянии огрнич - дет-ой функции называется ее весом.
Если 2 остаточные ф-ии F~x s и F~x s эквивалентны, то соответствующие им вершины V ~
x1s и
1
2
V ~
x s растущим из под них поддеревья называются эквивалентными.
 
 
2
ОПР Функция наз-ся огр-дет если она имеет конечный вес.
Способы задания
1 способ. усеченное дерево . Для любой усеченной детермин. функции соответствующее ей
бесконечное информативное дерево можно свести к конечному. Для этого надо :
1
2
3
Перенумеруем классы эквивалентности таким образом что бы класс в которое попадет
исходное дерево имело № 0
Берем произвольную вершину  и присваиваем ей № q класса в которое попадает
дерево с корнем в вершине 
Берем произвольную ветвь
 0 , 1 ,...
q, q,...
Т.к ф-ия огр.-дет. то найдется такое число j что qi  q j ( то есть
номера начнут
повторяться) и для всех пар ij  так что qi  q j номер о является наименьшим
4
Проведем усечение ветви сохранив ее нач-ый отрезок до вершины 
2 способ
Выписываем номера всех состояний и расписываем каждое из них. После того как состояние
расписано оно зачеркивается.
Расписать состояние значит указать состояние в котором можно попасть из него
57.Диаграмма МУРА
Если в усеченном дереве отождествить вершины с одинаковыми номерами то получим
диаграмму мура. Для построения Д.М необходимо осущ. следующие действия
1. Наносим произ-ым образом на плоскость сост. в виде точек, нумеруем их №, соотв. №
состояний. Корневая вершина получается «*».
2. Идем от корня по усеченному дереву и каждую дугу дерева отображаем на диаграмме.
При этом важно указывать направление.
Диаграмма Мура.
3. способ Канонические уравнения
Пусть F - огр.дет ф-ия. Рассмотрим диаграмму мура.
Предположим что в момент времени (t-1) мы нах. в вершине q(t-1) тогда при поступлении в
момент времени t числа  (t) мы переместимся в диаграмме по ребру  (t) выходящему из
вершины q (t) при этом получим выходное значение  (t) и перейдем в вершину q (t)
Т.о величины  t , qt 1 однозначно опр. величины  t , qt 
Введенные величины  и  будем называть соотв. входной и выходной величинами, а q
состоянием.
Пусть переменные X Y Q таковы что : Х описывает значение входной величины  ,Q
описывает состояние q и Y опис. значение выходной величины  .
Получаем что с помощью Д.М можно создать две функции.
F: A  Q  B функция выходов
G: A  Q  Q функция переходов
На основании приведенных выше рассуждений мы приходим к след. уравнениям.
 y t   F xt , qt  1

qt   G xt , qt  1
q0  q
0

(1)
Где
xt  A
yt  B
qt  Q
Q  0,1,..., r t  1
Это канон. урав. с в векторной форме с начальным условием q,
5 способ Канонические таблицы
6 способ Аналитические задания.
7 способ. Бесконечное информ. дерево.
Вместо канон. урав.(1) бывает удобно рассматривать канон. урав. в которых функция
выходов и переходов явл. формулами K-значной логики.
Для получения соотв.
представления ф-ии F алфавиты A, B, Q кодируется векторами (наборами) координаты
(компоненты которых пренад. множеству Ek  0,1,..., k  1
Если F – ограничено-детерм. ф-ия
и n  [log k A ] , m  [log k B ] , r  [log k Q ] то для
кодирования букв из алфавита A, B, Q достаточно взять векторы имеющие длины n, m, r
соответственно.
Система (1) преобразуется тогда в следующую
Используются такие векторная запись систем аналогичных системе (2) При такой записи
система (2) примет вид
Ф-ии Fi и Gi в системе (2) явл-ся частичными, т.е не всюду определенными.
Обычно их доопределяют так. чтобы правые части уравнения в (2) имели по возможности
более простой вид.
59. Операции над детерминированными функциями.
Пусть детерминированная ф-ия F задана системой (2) и каждая из функций Fi и Gi всюду
определенные функции к-значной логики.
Будем рассматривать ф-ию f как элемент мн-ва Pkn,l,m,
Обозначим

Схему 
будем изображать в виде прямоугольника с n входами и m выходами. Входы
f
f
схему реализующую ф-ию f.
изображаются в виде стрелок исходящих из входных
выходных. Полюса- кружочки.
Если m=1 то схему 
f
полюсов. Выходы
-
стрелки из
реализующую ф-ию.f иногда изображают в виде треугольника с n
входными и одним выходным полюсами.
Считаем что в каждый момент времени t=1, 2 на i-ый вход xi поступает входной символ
xi t   Ek а на j-ом выходе yi выдается значение.
y j t   F x t ,..., x t , q t  1,..., q t  1
j
1
n
1
r
ОПЕРАЦИИ
1) Операция O1 отождествление 2-х или > или числа входных переменных в ф-ии f
В результате этой операции происходит отождествление в схеме

f
соотв-х этим
переменным входных полюсов.
2) Операция O2 удаление некоторой выходной переменной y j . Данная операция эквивалентна
выбрасыванию из системы (2) уравнения
y j t   F j ( x n  t ,
q n  t  1)
И удаление из схемы

f
выходного канала и полюса y1 .
3) Операция O3 введение обратной связи по одной входной и 1ой выходной переменным.
4) Операция O4 операция объединения 2х или > функций.
5) Операция S-суперпозиция
60. Машина Тьюринга
Опр. М.Т-это абстрактное устройство
сост. ее из бесконечной ленты считывающей
головки и управ-го устройства или конечного автомата.
Лента разбита на ячейки. Во всякой ячейке в каждый дискретный момент времени находится
в точности один символ из внешнего алфавита. Управляющее устройство в каждый момент
времени находится в некотором состоянии qi . Головка считывает содержимое обозреваемой
ячейки и записывает вместо обозреваемого символа символ из внешнего алфавита. В
процессе работы управляющее устройство в зависимости от состояния в котором оно
находится и символа обозреваемого головкой изменяет свое внутреннее состояние или нет,
выдает головке приказ напечатать в обозреваемой головке определенный символ из внешнег
алфавита и приказывает головке либо оставаться на месте, либо на шаг вправо, либо на шаг
влево.
61. команда, программа, порядок работы
Работа управляющего устройства характеризуется 3 функциями.
G :Q A  Q
F :Q A  A
D : Q  A  S , L, R
Функция G – функция переходов
F - выходов
D – движения
Эти функции можно задать списком пятерок вида
qi a j G qi , a j  F qi , a j  D qi , a j 
Или
qi a j qij aij d ij
qi - состояние, в котором машина находится в данный момент времени
a j - значение, которое находится в ячейке, которую обозревает считывающая головка.
q ij - состояние, в которое перейдет машина
a ij - значение, которое будет записано в ячейку
d ij - указание, в какую сторону должна сдвинуться головка.
Эти пятерки называются командами.
Список всех пятерок называется программой
Опр. пусть в этот момент времени упр-е устройство нах. в сост. qi и головка образовывает
символ a jl слова Р тогда слово
a j1 , a j 2 ,...,
a jl1 ,..., q1 ,
...a jl ,..., a js )
называется конфигурацией машины
62. Операции над машиной Тьюринга
1. Пусть машины Т1 и Т2 имеют соответственно программы П1 и П2. предположим что
внутренние алфавиты этих машин не пересекаются и q0' некоторое заключительное
состояние машины Т1 а q1'' начальное состояние машины Т2. заменим всюду в программе П1
состояние q0' на q1'' и полученную программу объединим с П2. Новая программа П определяет
машину Т называемой композицию машин Т1 и Т2 по паре состояний q0' , q1'' 
обозначаемую T 1  T 2 или Т1Т2 или T  TT 1, T 2, q0' , q1'' 
2. Пусть q ' некоторое заключительное состояние машины Т а q '' просто какое либо
состояние машины Т. Заменим всюду в программе П машины Т q ' на q '' получим программу
П1 определяющую машину Т1 q ' , q '' Машина Т1 называется итерацией машины Т по паре
состояний q ' , q ''
3. Пусть машины Т1 Т2 Т3 определяются программами П1 П2 П3 считаем что внутренние
алфавиты попарно не пересекаются пусть q0' и q0'' какие либо различные заключительные




состояния машины Т1. Заменим всюду в программе П1 состояние q0' некоторым начальным
состоянием q1' машины Т2 а состояние q0'' состоянием q1'' машины Т3. Затем новую программу
объединим с П2 и П3 получим программу П задающую машину Т след образом
T  T ( T 1q0' , q1'  , T 2q0'' , q1'' ,Т3)
она называется разветвлением машин Т2 и Т3 управляемым машиной Т1
64, 65. Суперпозиция, минимизация, рекурсия
Опр. Функция F ( x1 , x2 ,..., xn ) = f ( g1 ( x1 , x2 ,..., xn ) g 2 ( x1 , x2 ,..., xn ) … g n ( x1 , x2 ,..., xn ) ) И
определяемая как F называется суперпозицией функций f и g1 , g 2 ,..., g n и иногда
обозначается S  f m  , g n  ,..., g n   Причем функция F определена на наборе ~ n т и т т к каждая
m
функция gi определена на наборе ~ n и кроме того функция f определена на
наборе g ~ n ,..., g ~ n  и в этом случае F ~ n  f g ~ n ,..., g ~ n 
1
m
 
1
m
Опр. Пусть функция g x1 , x2 ,..., xn1  зависит от n 1 переменных, и функция
hx1 , x2 ,..., xn1  зависит от n  1 переменных. Определим 3-ю функцию f x1 , x2 ,..., xn  с
помощью след схемы
f ( x1 ,..., xn1 ,0) = g x1 ,..., xn1 
f ( x1 ,..., xn1 , y  1) = h( x1 ,..., xn1 , y, f ( x1 ,..., xn1 , y)) (1)
 
Схема (1) называется схемой примитивной рекурсии для функции f ~ n по переменной xn и
задает примитивно рекурсивное описание функции f с помощью g и h
f  R ( g , h) и отдельно указывается, по какой переменной ведется рекурсия
Пусть функция, зависящая от n переменных некоторая частичная числовая функция,
определим функцию g x1 , x2 ,..., xn  след образом
~ n  ( ,...,  ) рассмотрим уравнение f ( ,..,  , y)   (2)
1
n
1
n 1
n
а) Если уравнение (2) имеет решение y0  N и при y  N т ч 0  y  y0 функция f (1 ,..,  n1 , y)
определена и ее значение отлично от  то полагаем что функция g ~ n   y
0
n
б) Если уравнение (2) не имеет решения в целых неотрицательных числах, то считаем, что
g ~ n Неопределено.
в) Если y 0 Наименьшее целое неотрицательное решение уравнения (2) и при
некотором y  N и  y значение f ( ,..,  , y) неопределено то полагаем что g ~ n не
 
1
0
1
 
n1
определено
Опр. О функции g ~ n построенной указанным способом из функций f ~
x n говорят что она
получена из функции f с помощью операции минимизации по xn
Операции минимизации и рекурсии можно применять по любым переменным входящим в
f , g и h ,но всегда надо указывать по каким переменным эти операции производятся.
 
 
66. Неразрешимые алгоритмические проблемы
1) Проблема распознавания выводимости.
Вопрос о логической выводимости следствия В из посылки А является вопросом о
существовании дедуктивной цепочки ведущей от формулы А к В. В связи с этим возникает
проблема распознавания выводимости. Существует ли для двух формул А и В дедуктивная
цепочка ведущая от А к В или нет. Решение этой проблемы понимается в смысле вопроса о
существовании алгоритма дающего ответ при любых А и В.
Теорема Черча.
Проблема распознавания выводимости алгоритмически не разрешима.
2) Проблема распознавания самоприменимости.
Программу машины Тьюринга можно закодировать каким либо шифром. На ленте машины
можно изобразить ее же собственный шифр, записанный в алфавите машины. Возможны 2
случая:
- машина применима к своему шифру
- машина не применима к своему шифру
Т о машины и их шифры разбиваются на 2 класса:
Самоприменимых
Несамоприменимых
Суть проблемы:
Как по любому заданному шифру установить к какому классу относится машина.
Теорема:
Проблема распознавания самоприменимости алгоритмически не разрешима.
3) Проблема эквивалентности слов для ассоциативных исчислений.
А, В
Рассмотрим некоторый алфавит A  a, b, c,... и множество слов в этом алфавите.
Будем рассматривать преобразование одних слов в другие с помощью некоторых
допустимых подстановок
 
 ,  -два слова в том же алфавите
Если некоторое слово  содержит  как код слова
12 3
То возможны следующие подстановки:
12 3
12 3 
12 3 
Ассоциативным исчислением называется совокупность всех слов в некотором алфавите
вместе с какой-нибудь конечной системой допустимых подстановок.
Если слово R может быть преобразовано словом S путем однократного применения
определенной подстановки то слова R и S называются смежными.
R1R2 ...Rn1R n – последовательность слов таких что каждая пара этих слов называется
дедуктивной цепочкой ведущей от слова R1 к слову R n
Если существует цепочка ведущая от слова R к слову S , то эти слова эквивалентные.
Для любых двух слов в данном исчислении требуется узнать эквивалентны они или нет.
Теорема:
Проблема эквивалентности слов для ассоциативных исчислений алгоритмически не
разрешима.
70. Теорема о дедукции
Если Г – это множество формул а А и В формулы из Г и при этом А ├ В, то Г ├А  B (
А  B является следствием из Г). В частности, если Г -  , то А ├В  ├ А  B
Доказательство:
Используем метод мат индукции по i 1  i  n - длине вывода формулы В
i  1 B1 , которая может быть
-Г
- аксиомой
-А
В 1 и 2 случае из А1 получим


A  B1   Г ├  A  B1 
B1   


B
A 

A
В 3 случае очевидно A  A
Пусть теперь утверждение Г ├А  Bk для всех k  i
Докажем что справедливо утверждение Г ├А  Bi
Bi может быть
- аксиомой
- элемент Г
-А
- следствием по правилу МР некоторой формулой B j и Bm
 j, m  i  ,
Bm имеет вид B j  Bi
Доказательство первых 3х случаев аналог доказательству при i  1
Докажем для 4 СЛУЧАЯ
Г ├А  B j и Г ├А  B j  Bi 



По А2  
A   B j  Bi    A  B j    A  Bi 
A
   
C 
 B

По МР. Г ├ A  B j    A  Bi 
По МР.Г ├А  Bi
71. Следствие из теоремы дедукции.
1) A  B , В  С ├ А  С
2) А  В  С  , В ├ А  С
Лемма  функции А,В след формулы являются теоремой.
1) В  В
2) В  В
3) А   А  В 


4) В  А   А  В


6) А  В   А  В 
7)  А  В  А  В   В 
5)  А  В  В  А
Доказательство:
3) ├ А   А  В 
1. А - гипотеза
2. А - гипотеза


3. А1: 
А 
В
А
А
А
В


4. А2: 
А 
В
А
А
А
В
5. на основании 2 и 3 по МР: В  А
6. на основании 1 и 4 по МР: В  А
7.А3: В  А  В  А  В

 




8. на основании 6 и 7 по МР: В  А  В
9. на основании 5 и 8 по МР: В
10. А , А ├ В
76. Интерпретация, равносильность.
Значение формулы определено лишь тогда когда задана когда задана какая-нибудь
интерпретация входящих в нее слов.
Опр. Под интерпретацией понимают систему вида M  M , f  непустое множество M и
соответствие f сопоставляющее каждому предикатному символу Atj определенный t местный предикат.
При заданной интерпретации считают что предметные переменные пробегают множество… а
символы логических переменных ,,, , ~, ,  имеют свой обычный смысл.
Для заданной интерпретации каждая формула без свободных переменных представляет собой
высказывание, которое истинно или ложно, а всякая формула со свободными переменными
выражает некоторый предикат на множестве М который принимает значение истины при
одних значениях переменных из этого множества и значение ложь при других.
Равносильность формул.
Пусть формулы F и G имеют одно и то же множество свободных переменных.
Опр. Формулы F и G равносильны в заданной интерпретации, если на любом наборе
значений свободных переменных они принимают одинаковые значения, т е формулы
выражают в данной интерпретации один и тот же предикат.
Опр. Формулы F и G равносильны на множестве М если они равносильны во всех
интерпретациях заданных на множестве М
Опр. Формулы F и G равносильны (в логике предикатов) если они равносильны на всех
множествах.


77. Основные равносильности.
1) перенос
Пусть формула А содержит свободную переменную x
xA x   x A x 
xA x   x A x 
2) вынос квантора за скобки. Пусть Ax содержит свободную переменную x , а В не
содержит этой переменной причем в А и В нет таких переменных которые были бы
свободными в одной и связанными в другой формуле
x Ax   B  xAx  B
x Ax  B  xAx  B
3) Перестановка одноименных кванторов
yxAx, y   xyAx, y 
yxAx, y   xyAx, y 
4) Переименование связанных переменных. Заменяем связанную переменную формулы А
другой переменной, не входящей в эту формулу, в кванторе и всюду в области действия
квантора, получим формулу равносильную А
xAx, y   xAz, y 