Б3.В.24 Теория фукций действительной переменной

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся
по дисциплине (модулю):
Общие сведения
1.
Кафедра
2.
Направление подготовки
3.
Дисциплина
4.
Тип заданий
Количество этапов формирования компетенций
(ДЕ, разделов, тем и т.д.)
5.
Математики и математических методов в
экономике
050100 «Педагогическое образование»,
профиль «Математика, информатика»
Б.3.В.24 Теория функций действительной
переменной
Контрольная работа
6
Перечень компетенций
ОК-1: владеет культурой мышления, способен к обобщению,
анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей её достижения
ОК-6: умеет логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь
ОПК-3: владеет основами речевой профессиональной культуры
Критерии и показатели оценивания компетенций
Знания: основные понятия теории множеств, свойства счётных множеств и множеств мощности
континуума, строение открытых, замкнутых и совершенных множеств на прямой, меру Лебега
линейного множества, свойства измеримых функций, определение и свойства интеграла Лебега,
определения метрического, банахова, гильбертового пространства, свойства полных пространств,
ряды Фурье в гильбертовом пространстве.
Умения: доказывать равенство множеств, устанавливать взаимно-однозначное соответствие между
эквивалентными множествами, различать счётные множества и множества мощности континуума,
находить полное изменение функции, уметь представлять функцию с ограниченным изменением в
виде разности двух монотонных функций.
Навыки: владение современными знаниями о теории функций действительной переменной и ее
приложениях; основными понятиями школьного курса «Алгебра и начала анализа».
Опыт деятельности: в результате освоения дисциплины студент должен приобрести опыт,
позволяющий, опираясь на традиционные подходы, получать положительные результаты,
отвечающие современным требованиям.
Этапы формирования компетенций
1. Общая теория множеств.
2. Строение открытых и замкнутых множеств на прямой.
3. Функции.
4. Мера Лебега.
5. Интеграл Лебега.
6. Метрические пространства.
Шкала оценивания (за правильный ответ дается 1 балл)
«2» – 60% и менее
«3» – 61-80%
Типовое контрольное задание
1. Доказать равенство:
«4» – 81-90%
«5» – 91-100%
( A \ B)
(B \ C)
(C \ A)
(A
B
C)  A
B
C.
2. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех положительных
рациональных чисел и множеством всех натуральных чисел.
3. Найти взаимно однозначное отображение отрезка [ a; b] на отрезок [0; 1].
4. Какова мощность множества всех окружностей на плоскости, радиусы которых
рациональны и координаты центра которых – рациональные числа?


 x cos , 0  x  1
5. Доказать, что функция f ( x)  
не имеет ограниченного изменения.
2x
0,
x  0.
Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний
1.
Решения типовых контрольных заданий
Решение. Пусть x принадлежит левой части равенства. По определению объединения
множеств x принадлежит по крайней мере одному из четырёх множеств. Пусть, например,
x  A / B. Тогда x  A и, следовательно, принадлежит правой части равенства. Аналогично
рассматриваем случаи x  B / C и x  C / A. Если x  A B C , то x принадлежит всем
множествам, поэтому x принадлежит правой части.
Обратно. Пусть y принадлежит правой части. Тогда y принадлежит по крайней мере
одному из множеств A, B, C. Пусть, например, y  A. Если y  B , то y  A / B и
принадлежит левой части равенства. Пусть теперь y  B . Если y  C , то y  B / C и,
следовательно, принадлежит левой части. Пусть, наконец, y  A, y  B, y  C. В этом
случае y  A
B
C и принадлежит левой части. Равенство доказано.
p
p
, где p, q  N и дробь
несократима,
q
q
поставим в соответствие число n  p  q - «вес» числа r . Далее все положительные
2. Решение. Каждому рациональному числу r 
рациональные числа запишем в порядке возрастания их «веса», а в случае равенства веса
меньшее число предшествует большему. Получили последовательность
1 1 1 2 3
1, ,2, ,3, , , ,4,... Этим самым мы показали, что множество всех положительных
2 3 4 3 2
рациональных чисел – счётное, т.е. установили взаимно однозначное соответствие.
1  1,
1
1
1
 2, 2  3,  4, 3  5,  6,...
2
3
4
3. Решение. Взаимно однозначное отображение отрезка [ a; b] на отрезок [0; 1] можно
осуществить, например, с помощью линейной функции y   x   . При этом будем
 a    0
 b    1.
1
a
xa
Решая систему, найдём  
.
,  
. Таким образом, y 
ba
ba
ba
считать, что точка a переходит в 0, а b в 1. Получим систему уравнений 
2
4. Решение. Каждая окружность на плоскости определяется упорядоченной тройкой чисел
( x, y, r ) - где x и y  абсцисса и ордината центра окружности, r  радиус окружности. По
условию - x, y, r  рациональные числа, т.е. принимают счётное множество значений. На
основании теоремы: «если элементы некоторого множества A можно занумеровать с
помощью конечного числа индексов, каждый из которых принимает счётное множество
значений, то множество A  счётное» делаем вывод о счётности множества окружностей.
5. Решение. Для x  0 функция f непрерывна как произведение двух непрерывных
lim f ( x)  lim x cos

 0  f (0)
(произведение
бесконечно
малой
на
2x
ограниченную). Отсюда следует, что функция f непрерывна на отрезке [0; 1]. В качестве
функций.
x 0
x 0
1
1
1 1 


 ...    1 , где n .
разбиения T возьмём следующее разбиение: T2 n  0 
2n 2n  1
3 2 

Составим
сумму
2n
1

1

1

v( f , T )   k 1 | f ( xk )  f ( xk 1 ) | 
cos  2n  0 
cos  (2n  1)  cos  2n 
2n
2
2n  1
2
2n
2

1

1

1

1

 1

cos  (2n  2) 
cos  (2n  1)  ...  cos  2  cos  3  cos  cos  2 
2n  2
2
2n  1
2
2
2
3
2
2 2
2
1   1
1 
1 1
1
 1
1 1
   

  ...      1    ...  . v( f , T )   при n   , как
2 3
n
 2n 2n   2n  2 2n  2 
2 2
частная сумма гармонического ряда. Величины v ( f , T ) неограниченны, а значит, f не имеет
ограниченного изменения.
Вопросы к экзамену
Общая теория множеств
1.Эквивалентность множеств. Понятие мощности.
2. Счётные множества и их свойства.
3.Сложение и умножение мощностей.
4. Арифметика счётной мощности.
5. Мощность множества рациональных чисел.
6. Мощность множества алгебраических чисел.
7. Существование несчётных множеств
8. Арифметика мощности континуума.
9. Сравнение мощностей. Теорема Кантора – Бернштейна.
10. Мощность множества всех подмножеств.
11. Мощность континуума, как мощность множества всех подмножеств счётного множества.
12. Мощность множества иррациональных и трансцендентных чисел
Строение открытых и замкнутых множеств на прямой
1. Основные определения. Теорема о верхней грани.
2. Открытые и замкнутые множества.
3. Теоремы о пересечении и объединении открытых и замкнутых множеств.
4. Строение открытых, замкнутых и совершенных множеств.
5. Множество Кантора.
Функции
1. Функции с ограниченным изменением.
2. Свойства функций с ограниченным изменением.
3. Аддитивность полной вариации.
4. Спрямляемые кривые.
3
Мера Лебега (линейного множества)
1. Мера открытого множества.
2. Мера замкнутого множества.
3. Внутренняя и внешняя мера произвольного множества.
4. Мера Лебега и её свойства.
5. Отделимость замкнутых множеств.
6. Аддитивность меры.
7. Операции над измеримыми множествами.
Измеримые функции
1. Понятие измеримой функции.
2. Свойства измеримых функций.
3. Сходимость почти везде.
4. Сходимость по мере.
Интеграл Лебега
1.Определение интеграла Лебега.
2. Свойства интеграла Лебега.
3. Сравнение интегралов Римана и Лебега.
Метрические пространства
1. Определение и примеры метрических пространств.
2. Линейные нормированные пространства.
3. Пространства со скалярным произведением.
4. Полные метрические пространства. Банахово пространство. Гильбертово пространство.
5. Теорема Банаха о сжимающих отображениях.
4