РАБОЧАЯ ПРОГРАММА_спецдисциплины_ЧМ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ
ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО
УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«Башкирский государственный университет»
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
ОБЯЗАТЕЛЬНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Численные методы решения дифференциальных уравнений механики и
физики сплошных сред
наименование дисциплины по учебному плану подготовки аспиранта
модуль основной образовательной программы послевузовского профессионального
образования подготовки аспирантов (ООП ППО)
по научной специальности
05.13.18
Математическое моделирование, численные методы и
комплексы программ
Шифр
наименование научной специальности
1. Цели освоения дисциплины.
Цель преподавания дисциплины «Численные методы дифференциальных
уравнений механики и физики сплошных сред» – дать обучающимся в пользование
инструментарий математической обработки данных, численного решения экономических
и других прикладных задач на ЭВМ – методы и алгоритмы вычислительной математики,
научить их правильно, с учетом погрешности, выбирать метод решения, строить алгоритм
и реализовывать его в виде программы на каком-либо языке высокого уровня.
2. Место дисциплины в структуре ООП.
Дисциплина «Численные методы дифференциальных уравнений механики и
физики сплошных сред» (ОД.А.04) входит в цикл специальной дисциплины отрасли
науки и научной специальности «ОД.А. Обязательная составляющая». Изучается на 1-2
курсах в объеме 36 часов, из которых 18 ч. аудиторных, 18 ч. на самостоятельную работу.
3. Структура и содержание дисциплины (модуля).
Общая трудоемкость дисциплины составляет 1 зачетную единицу, 36 часов.
№
пп
Аудиторных часов
Наименование разделов и тем
Всег Лек Прак КС СР
о
.
.
Р
О
численных
методах
решения
задач
механики
и
1
4
2
2
2
3
4
физики. Роль линейных уравнений математической
физики в моделировании нелинейных процессов.
Уравнения струны, теплопроводности, Пуассона,
система уравнений акустики, линейное уравнение
переноса, постановки задач (краткий обзор).
Разностные схемы - основной инструмент
приближенного решения задач с уравнениями
математической физики.
Исчисление конечных разностей. Конечные и
разделенные разности, их роль в анализе табличных
функций. Уравнения в конечных разностях.
Постановки задач. Теория линейных уравнений.
Основные понятия теории разностных схем:
сходимость приближенного решения задачи к
точному, аппроксимация, устойчивость. Теорема о
сходимости.
Исследование
аппроксимации
дифференциальных
уравнений
разностными.
Примеры разностных схем для одномерных
уравнений переноса, теплопроводности и системы
уравнений акустики.
Устойчивость разностной схемы и ее анализ в
задачах с линейными эволюционными уравнениями.
Оценки нормы оператора перехода. Принцип
максимума.
Области
зависимости
решений
дифференциальных и разностных уравнений,
условие Куранта - Фридрихса - Леви. Примеры.
4
2
2
4
2
2
2
2
Спектральный метод исследования устойчивости
разностных схем в одномерных задачах с
эволюционными уравнениями на бесконечной
прямой, на полупрямой и на конечном отрезке.
Принцип Гельфанда - Бабенко. Энергетический
метод исследования устойчивости разностных схем
и его связь со спектральным методом
5 Неявные разностные схемы для эволюционных
уравнений. Метод прогонки для решения систем
линейных
алгебраических
уравнений
с
трехдиагональной матрицей, анализ условий его
эффективности. Квазилинейное уравнение типа
бегущей волны. Образование разрывов в решении.
Консервативная форма уравнения. Обобщенное
решение. Соотношения на разрывах. Уравнение
Бюргерса.
Уравнения
газовой
динамики.
Простейшая и консервативная формы.
6 Эйлеровы и лагранжевы координаты. Ударные
волны и волны разрежения. Роль вязкости и
теплопроводности в сглаживании разрывов. О
расчетах разрывных решений. Выделение разрыва и
методы сквозного счета. Три типа «вязкости»:
физическая,
схемная
и
искусственная.
Консервативность
разностной
схемы
и
приближенное выполнение законов сохранения в
интегральной форме. Понятие о полностью
консервативных схемах.
7 Разностная схема Лакса - Вендроффа - пример
схемы второго порядка точности, эффект Гиббса.
Разностная схема Годунова для решения уравнений
газодинамики. Монотонность схемы. Развитие и
реализация идей монотонности в схемах TVD, в
методе коррекции потоков и др.
8 Искусственная вязкость Неймана - Рихтмайера в
разностных схемах сквозного счета. Двумерные и
трехмерные задачи с уравнениями акустики и
теплопроводности. Типы
симметрии задач.
Примеры разностных схем и особенности
исследования устойчивости. Геометрический смысл
условия Куранта.
9 Неявные разностные схемы и проблема решения
систем линейных уравнений на слое. Матричная
прогонка.
Методы
10 Продольно-поперечная прогонка.
расщепления. Дискретное преобразование Фурье
для табличных функций. Быстрое преобразование
Фурье. Его применение к решению линейных
стационарных
задач
с
постоянными
коэффициентами. Понятие о насыщении численных
методов.
ИТОГО
4
2
2
2
2
4
4
4
2
2
4
2
2
4
2
2
36
18
18
Литература
(обязательная)
1. Васильев О.В., Аргучинцев А.В. Методы оптимизации в задачах и упражнениях.М: Физматлит, 1999. - 208 с.
2. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. - М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002.
- 824 с.
3. Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации: Учеб. для вузов /
Под ред. Зарубина В.С., Крищенко А.П. - М.: Издательство МГТУ им. Н.Э.
Баумана, 2003. - 440 с.
4. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах. - М.:
Высш. шк., 2005. - 544 с.: ил.
5. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации: Учеб. пособие. М.: Физматлит, 2005. - 304 с.
(дополнительная):
1. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М. 1968.
2. Киселёв Ю.Н. Линейная теория быстродействия с возмущениями. Изд-во Моск.
Ун-та. 1986.
3. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М. 1975.
4. Летов А.М. Динамика полета и управление. М. 1968.
5. Данскин Л. Максимин. М. Изд-во Иностранная Литература, 1970.
6. Киселев Ю.Н., Орлов М.В. Линейно-квадратичная задача оптимального
управления. Методическая разработка. МГУ. 1991.
7. Киселев Ю.Н., Орлов М.В. Задачи оптимального управления с особыми режимами
для одной модели из микробиологии. – Вестник Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл.
матем. и киберн., 1998, N 3, с. 23 – 26.
8. H. van den Berg, Yu.N. Kiselev, S.A.L.M. Kooijman, M.V. Orlov. Optimal Allocation
Between Nutrient Uptake and Growth in a Microbial Trichome. J. Math. Biol., 37, 1998,
p. 28 - 48.
9. Аввакумов С.Н., Киселев Ю.Н., Орлов М.В. Методы решение задач оптимального
управления на основе принципа максимума Понтрягина. Труды Математического
института им, В.А. Стеклова, т. 216. 1995, стр. 3-31.
Автор: профессор кафедры математического моделирования, д.ф.-м.н. Мустафина С.А.
Программа одобрена на заседании кафедры ММ
от _____________ 201_ г., протокол № __.