Методы выч - Высшая школа экономики

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Московский институт электроники и математики Национального
исследовательского университета "Высшая школа экономики"
Факультет прикладной математики и кибернетики
Программа дисциплины
Методы вычислений
для направления 230400.62 «Информационные системы и технологии»
Автор программы:
Калинин Б.Н., к.т.н., доцент
Одобрена на заседании кафедры Кибернетика
Зав. Кафедрой В.Н. Афанасьев
«___»____________ 20 г
Рекомендована секцией УМС
Председатель
«___»____________ 20 г
Утверждена УС факультета
Ученый секретарь
«___»_____________20 г.
Москва, 2013
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Информатика» для направления 090301.65
«Компьютерная безопасность»
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям
студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления подготовки 230400.62 Информационные системы и технологии, изучающих дисциплину Методы вычислений.
Программа разработана в соответствии с:
 ФГОС ВПО по направлению подготовки 230400.62 Информационные системы и технологии.
 Рабочим учебным планом университета по направлению подготовки 230400.62 Информационные системы и технологии, утвержденным в 2012г.
1
Цели освоения дисциплины
Целью освоения дисциплины «Методы вычислений» является изучение студентами основных положений теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также изучение методов приближенного интегрирования уравнений. Одновременно, целью является получение
практических навыков реализации алгоритмов приближенного интегрирования с использованием пакета математических программ Mathematica.
2
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
Знать
 основные положения теории обыкновенных дифференциальных уравнений;
 теоретические основы методов приближенного интегрирования дифференциальных
уравнений.
Уметь
 грамотно использовать методы приближенного интегрирования дифференциальных
уравнений.
Иметь навыки (приобрести опыт)
 составления и отладки алгоритмов приближенного интегрирования дифференциальных
уравнений с использованием средств пакета Mathematica.
.
Дисциплина «Методы вычислений» способствует формированию у студентов следующих компетенций:
3
Компетенция
Способен к самостоятельному обучению в новой области знаний
Код по Дескрипторы – основные признаки
ФГОС/ освоения (показатели достижения
НИУ
результата)
ОК-2
Демонстрирует способность
самостоятельного поиска, анализа информации по темам, выносимым на самостоятельное
изучение
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Самостоятельная работа
студента
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина является дисциплиной по выбору для студентов, обучающихся по
направлению 230400.62 Информационные системы и технологии.
4
Для наиболее целостного и результативного изучения курса студентам необходимы знания,
полученные в рамках ранее пройденных дисциплин:
 математическая логика и теория алгоритмов;
 алгоритмические языки и программирование;
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Информатика» для направления 090301.65
«Компьютерная безопасность»
 математический анализ;
 линейная алгебра.
Необходимы также знания вычислительных алгоритмов и средств пакета математических
программ Mathematica, изучаемые в параллельно читаемом курсе «Вычислительная математика».
Основные положения дисциплины должны быть использованы при изучении дальнейших
разделов математики.
5
Тематический план учебной дисциплины
№
Название раздела
1
Вводный раздел
Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка
Одношаговые методы решения задачи Коши
Многошаговые методы
решения задачи Коши
Решение краевой задачи
Уравнения, неразрешенные
относительно производной
Линейные дифференциальные уравнения
Жесткие системы уравнений
Итого
2
3
4
5
6
7
8
6
Аудиторные часы
Практические
Семинары
занятия
2
Самостоятельная
работа
Всего
часов
Лекции
6
2
6
2
2
2
6
2
2
2
9
2
2
5
11
3
3
5
6
2
2
2
9
3
3
3
3
1
1
1
56
17
17
22
2
Формы контроля знаний студентов
Текущий контроль
В течение семестра студенты выполняют два домашних задания
Срок выполнения домашнего задания – 3 недели. Максимальная оценка 5 баллов. За
каждую неделю опоздания оценка снижается на 1 балл. Сдача домашнего задания проходит
в компьютерном классе: студент демонстрирует на экране компьютера работу созданной
программы, возможно, корректирует программу и отвечает на вопросы.
Итоговый контроль
Итоговый контроль состоит в подсчете количества накопленных баллов и в проведении зачета. Если итоговая накопленная сумма выше 7 баллов, преподаватель вправе освободить от
сдачи зачета, с выставлением им в зачетную ведомость соответствующего числа баллов (8, 9, 10
баллов). Студент может отказаться и сдавать зачет. На зачете с учетом накопленных баллов
студент может получить максимум 10 баллов.
3
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Информатика» для направления 090301.65
«Компьютерная безопасность»
7
Содержание дисциплины
Тема 1. Вводный раздел.
Содержание дисциплины. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных. Уравнения, разрешенные относительно старшей производной, и сведение их к нормальной системе уравнений. Общий интеграл и общее решение дифференциального уравнения. Поле
направлений. Интегральные кривые. Фазовое пространство и фазовые траектории. Задача
Коши и краевая задача. Теорема об эквивалентности задачи Коши интегральному уравнению. Существование и единственность решения задачи Коши.
(2 часа лекций, 2 часа практических занятий)
Самостоятельная работа:
проработка материала лекции (2 часа)
Литература: 6,10,11.
Тема 2. Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка.
Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные уравнения, уравнения в полных дифференциалах, использование интегрирующих множителей.
Теоремы о существовании интегрирующих множителей. Уравнение, определяющее интегрирующий множитель. Простейшие примеры интегрирующих множителей: множители,
зависящие либо только от x, либо только от y.
(2 часа лекций, 2 часа практических занятий)
Самостоятельная работа:
проработка материала лекции (2 часа)
Литература: 6,10,11.
Тема 3. Одношаговые методы решения задачи Коши
.
Метод Эйлера для решения задачи Коши. Локальная и глобальная погрешности дискретизации. Порядок численного метода. Зависимость погрешности метода Эйлера от шага
дискретизации.
Использование пересчета с половинным шагом для оценки погрешности и уточнения
решения.
Модификации метода Эйлера.
Построение метода Рунге-Кутта произвольного порядка.
Метод Рунге-Кутта-Фельберга для решения задачи Коши с оценкой погрешности
(2 часа лекций, 2 часа практических занятий)
Самостоятельная работа:
проработка материала лекции (2 часа)
Литература: 1, 2, 5, 7 – 9.
Тема 4. Многошаговые методы решения задачи Коши
Явные и неявные многошаговые методы. Метод "предиктор-корректор". Методы
Адамса. Нахождение экстраполяционных и интерполяционных формул для двух- и четырехшагового метода Адамса с помощью интегрирования интерполяционного многочлена Ньютона.
4
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Информатика» для направления 090301.65
«Компьютерная безопасность»
Вывод системы уравнений, определяющих коэффициенты многошагового метода произвольного порядка. Система уравнений для методов Адамса. Примеры одношаговых и
двухшаговых методов.
Устойчивость и сходимость разностных методов. Характеристическое уравнение
многошагового метода. Условие корней. Формулировка теоремы о погрешности решения задачи Коши разностными методами на заданном отрезке. Сравнение одношаговых
и многошаговых методов решения задачи Коши.
(2 часа лекций, 2 часа практических занятий)
Самостоятельная работа:
проработка материала лекции, выполнение домашнего задания ( 5 часов)
Литература: 1 – 5, 7 – 9.
Тема 5. Решение краевой задачи
Краевая задача общего вида. Существование решения краевой задачи. Линейная
краевая задача.
Редукция к задаче Коши двухточечной краевой задачи для линейного уравнения
второго порядка.
Метод конечных разностей для решения линейного дифференциального уравнения
второго порядка; решение получаемой системы алгебраических уравнений методом прогонки. Теорема о порядке погрешности решения краевой задачи методом конечных разностей. Оценка погрешности решения методом Рунге.
Метод пристрелки для решения краевой задачи. Примеры решения краевых задач
методом пристрелки. Решение методом пристрелки систем нелинейных уравнений; количество задач Коши, которые необходимо решить на каждом шаге итерации.
(2 часа лекций, 2 часа практических занятий)
Самостоятельная работа:
проработка материала лекции, выполнение домашнего задания ( 5 часов)
Литература: 1 – 5, 7 – 9.
Тема 6. Уравнения, неразрешенные относительно производной:
Теорема о существовании и единственности решения. Интегрирование дифференциальных уравнений путем введения параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро. Особые решения. P-дискриминантная кривая. Нахождение особых решений.
(2 часа лекций, 2 часа практических занятий)
Самостоятельная работа:
проработка материала лекции (2 часа)
Литература: 6,10,11.
Тема 7. Линейные дифференциальные уравнения.
Существование решения линейного дифференциального уравнения. Сохранение линейности и однородности уравнений при преобразованиях переменных.
Свойства линейного дифференциального оператора и свойства решений линейного однородного уравнения.
Линейно зависимые и линейно независимые функции, примеры. Определитель Вронского. Свойства определителя Вронского для системы решений линейного однородного уравнения.
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Информатика» для направления 090301.65
«Компьютерная безопасность»
Фундаментальные системы решений линейного однородного уравнения.
Решение линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные уравнения. Теорема о сумме решений однородного и неоднородного уравнений. Теорема о суперпозиции решений неоднородного уравнения. Теорема
об общем решении неоднородного уравнения. Метод вариации постоянных для нахождения решения неоднородного уравнения.
Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
(3 часа лекций, 3 часа практических занятий)
Самостоятельная работа:
проработка материала лекции (3 часа)
Литература: 6,10,11.
Тема 8. Жесткие системы уравнений
Примеры неустойчивости решения задачи Коши при неправильном выборе величины шага. Определение жесткой системы уравнений. Абсолютная и условная устойчивость разностных методов решения задачи Коши. Область устойчивости разностного метода. Чисто неявные разностные методы решения задачи Коши.
8
(1 час лекций, 1 час практических занятий)
Самостоятельная работа:
проработка материала лекции (1 час)
Литература: 1, 2, 5, 7 – 9.
:
Образовательные технологии
Занятия проходят в компьютерном классе, оборудованном проектором или программой
Teacher.
Занятия проходят в форме лекций и практических занятий. На практических занятиях
преподаватель демонстрирует методы решения задач и составления компьютерных программ.
Затем студенты выполняют задание самостоятельно и проводится разбор выполнения заданий.
Проводится также разбор выполнении домашних заданий.
Для достижения хороших результатов при изучении дисциплины студентам необходимо
самостоятельно дома выполнять задания, выданные преподавателем, а также разбирать материалы лекций или соответствующие темы в рекомендованных учебниках. Отдельные темы предлагаются студентам для самостоятельного изучения. На занятиях студенты выступают с сообщениями по темам, заданным для самостоятельного изучения.
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
9.1 Темы домашних заданий
1. Составление в среде пакета Mathematica собственных программ для решения задачи Коши. Сравнение с аналитическим решением. Вычисление оценки погрешности решения и
истинной погрешности. Построение графиков
2. Составление в среде пакета Mathematica собственных программ для решения краевой задачи. Сравнение с аналитическим решением. Вычисление оценки погрешности решения
и истинной погрешности. Построение графиков.
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Информатика» для направления 090301.65
«Компьютерная безопасность»
9.2 Примеры вопросов на зачете
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Решение дифференциальных уравнений в полных дифференциалах.
формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
Условие Липшица.
Какой определитель называется определителем Вронского? Какие значения принимает определитель Вронского для систем решений линейного однородного дифференциального уравнения?
Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Из каких слагаемых складывается общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения ?
Сведение дифференциального уравнения n-го порядка к нормальной системе уравнений.
Формулы Рунге для оценки погрешности и уточнения решения.
В чем состоит метод предиктор-корректор для решения дифференциальных уравнений?
В чем состоит метод конечных разностей для решения линейной краевой задачи? Какой порядок точности имеет метод конечных разностей?
10. В чем состоит краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения? Сколько решений может иметь краевая задача?
9.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Основная литература
1. Вержбицкий В.М, Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения, Высшая школа, М, 2001.
2. Пирумов У.Г, Численные методы, Дрофа, Москва, 2004.
3. Калинин Б.Н, Mathematica. Краткая инструкция пользователя, Электронный материал.
4. Калинин Б.Н, Методические указания к курсовым и лабораторным работам, Электронный
материал.
5. Калинин Б.Н, Курс лекций по вычислительной математике, Электронный материал.
6. Калинин Б.Н, Курс лекций по теории дифференциальных уравнений, Электронный материал.
10.2 Дополнительная литература
7. Саиарский А.А., Гулин А.В,.Численные методы, М., "Наука", 1989.
8. Калиткин Н.Н, Численные методы, М, "Наука", 1978.
9. Копченова Н.В, Марон И.А, Вычислительная математика в примерах и задачах, М, "Наука",
1972
10. Степанов В.В., Курс дифференциальных уравнений, М., Физматгиз, 1958.
11. Эльсгольц Л.Э., Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, М., Физматгиз,
1969.
12. Программные средства
При изучении дисциплины используются следующие программные средства:
 Пакет прикладных программ Mathematica.
13. Дистанционная поддержка дисциплины
Доступны электронные версии некоторых пособий (список литературы).
7
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Информатика» для направления 090301.65
«Компьютерная безопасность»
8