Тема: «Старые методы для решения новых систем уравнений»

Тема: Старые методы для решения новых систем уравнений
Тип урока: урок- исследование.
Класс: 9
Количество часов: 1час.
Цели:



Изучить методы решения систем уравнений, одно из которых является уравнение I-ой
степени, а другое II-ой степени.
Выяснить, сколько решений может иметь такая система.
Отработка навыков решения систем уравнений.
Ход урока:
I. Постановка цели урока.
Учитель: Мы сегодня проведём «урок-исследование», цель которого выяснить: - подходят ли
«старые» методы для решения новых систем уравнений.
Выясним, сколько решений может иметь такая система.
Разберёмся, от чего зависит решение системы.
А начнем мы наш урок с теоретической разминки. Дома вы повторяли тему «Системы
линейных уравнений». Проверим ваши знания.
II. Теоретическая разминка.
Вопросы к учащимся:
1.
2.
3.
4.
5.
Что значит: решить систему уравнений?
Что является решением системы уравнений?
Какие системы называются равносильными?
Перечислить методы решения систем линейных уравнений
В чём заключается сущность каждого метода?
Учитель: Посмотрите на рисунок.
Какие задачи составили бы вы, глядя на этот
рисунок?
Учащиеся:
1) Найти абсциссы точек пересечения графиков.
2) Найти координаты точек пересечения параболы с
прямой.
3) Решить систему уравнений.
4)Указать, сколько решений имеет система.
5) Вычислить площадь фигуры, ограниченной
параболой и прямой.
6) Определить длину отрезка, отсекаемого параболой
от прямой.
Учитель: Итак, среди сформулированных задач вы, наверное, обнаружили те, которые
решали, причем не единственным образом. Нашли задачи, методы, решения которых на
данный момент совершенно не ясны. Увидели и задачи, которые есть смысл решать,
привлекая аналогию. (Это решить систему; найти координаты точек пересечения.) А
подойдут ли «старые» методы для решения систем уравнений?
III. Исследовательская работа учащихся (каждый учащийся выполняет самостоятельно)
Учитель:
2 x 2  y  5,
1. Что из себя представляет система 
2 x  y  1.
Учащиеся: 1 - уравнение 2-ой степени, 2 – уравнение 1-ой степени.
Учитель: Попробуйте решить ее разными способами: (Идет самостоятельная работа в
группах – группы составлены по уровню знаний).
1 группа
Методом сравнения
2 x 2  y  5,

2 x  y  1.
2 группа
Методом сложения
2 x 2  y  5,

2 x  y  1.
3 группа
Подстановкой
2 x 2  y  5,

2 x  y  1.
Решение систем проверяется с помощью кодоскопа.
Решение:
 y  2 x  5,

 y  2 x  1;
2 x  2 x  4,

2 x  y  1.
2 x 2  5  2 x  1,
2 x 2  2 x  4,
2 x 2  2 x  5  1  0,
2 x 2  2 x  1,
2 x  2 x  4  0,
D1  9,
2
2
D1  1  8  9,
1  3
 1,
2
1  3
x2 
 2.
2
y  2 x  1;
y1  2  1  3;
x1 
2
1  3
,
2 1
1  3
x2 
 2.
2
y  2 x  1;
y1  2  1  3;
y2  4  1  3;
x1 
y  2 x  1;
2 x 2  (2 x  1)  5,
2 x 2  2 x  1  5  0,
2 x 2 2 x  4  0,
D
 9,
4
1  3
x1 
 1,
2
1  3
x2 
 2.
2
y1  2  1  3;
y2  4  1  3;
y2  4  1  3;
Учитель: Сверьте решение системы с решением системы, полученным графическим
способом (см. рисунок) и сделайте вывод.
2. Учитель: А сколько же решений может иметь такая система? Решите данную
систему своей группы любым способом.
1 группа
2группа
3группа
2
2
2
 x  2 xy  5 y  20,
 x  3xy  5 y 2  1,
 y  1  2 x  x ,



2
( x  1)  y  0.
 x  2 y  5.
 x  5  2 y.
(1-ая система имеет бесконечно много решений; 2-ая система имеет 1 решение; 3-ья
система вообще не имеет решений).
Делаем общий вывод: Система может иметь: 0 решений, 1 решение, 2 решения, много
решений.
3.Учитель: А сейчас нужно выяснить: сколько решений может иметь система и от чего
это зависит? Рассмотрим систему:
 x 2  y 2  5,

 x  y  m.
Каким способом можно ее решить?
Учащиеся: Подстановкой.
 x 2  ( x  m)2  5,
Получим: 
 y  x  m.
Задания по группам:
1 группа
Чему равен дискриминант
Если D>0, D<0?
 4m 2  40  0,
Ответ 1):
m  ( 10; 10).
2)
 4m 2  40  0,
2 группа
Чему равен дискриминант?
 m  10;
Ответ: Д=0 при 
 m   10.
3 группа
Какое получили квадратное
уравнение?
Ответ: 2 x 2  2mx  m 2  5  0.
m  (; 10; )  ( 10;  ).
2 x  y  2,
4. Решить красиво систему уравнений:  2
2 x  xy  6;
Учитель: Проверим решение систем через кодоскоп.
2 x  y  2, 2 x  y  2, 6  y  2,  y  4,




 x(2 x  y )  6; 2 x  6;
 x  3;
 x  3.
IV. Домашнее задание задается по группам.
 1-ая группа - №116,110,
 2-ая группа - №108,106,
 3-ья группа - №103, 107.
(учебник «Системы уравнений», 9 класс, автор: Гельфман Э.Г. и др.)
V. Подведение итогов урока.