Задача 4.2. Для системы уравнений с симметричной

Задача 4.2. Для системы уравнений Ax  b с симметричной положительно
определенной матрицей найти решение методом простой итерации с точностью
  106 , взяв нулевое начальное приближение. При программировании учесть
разреженность матрицы A.
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:
1. Составить расчетные формулы покоординатной формы записи метода простой
итерации для индивидуального варианта.
(см.ПРИЛОЖЕНИЕ 4B).
2. Составить программу вычисления решения системы методом простой итерации с
заданной точностью  с учетом
выведенных формул п.1. В программе предусмотреть подсчет количества итераций,
потребовавшихся для достижения заданной точности.
3. Составить тестовый пример и отладить программу на тестовом примере.
4. Решить указанную задачу.
4.2.27
60
на главной диагонали элементы равны 140, на 8-ой
наддиагонали элементы равны 5, на 30-ой наддиагонали
элементы равны 40.
bi  i 3
ПРИЛОЖЕНИЕ 4.В.
Построение тестового примера.
1.Пусть задана матрица A, у которой на главной диагонали элементы равны 20, на второй
наддиагонали 2.
Матрица симметричная. Пусть размерность матрицы равна 10. Тогда система уравнений имеет
следующий вид :
 20 x1  x3  b1
 20 x  x  b
2
4
2

  x120 x3  2 x5  b3
  x  20 x  x  b
2
4
6
4

  x3  20 x5  2 x7  b5

  x4  20 x6  x8  b6
  x5  20 x7  2 x9 b7

  x6 20 x8  x10 b8
  x  20 x  b
7
9
9

  x8  20 x10  b10
Преобразуем систему к виду удобному для итерации :

 x1x3 b1 
 x x b 
4
2
 2
 x3  x1 x5 b3 
 x x x b
2
6
4
 4
 x5 x3 x7 b5 

 x6 x4  0.1x8 b6
 x x x b 
5
9
7
 7
 x8 x6  x10 b8 
 x   0.1x  b 
7
9
 9
 x10 x8 b10 

 
В покоординатной форме записи метод простой итерации примет следующий вид:
i  1,2
( n  1)
xi
xi  2 b1
(n)
i  3,..8
( n  1)
xi
 xi  2 xi  2 bi
(n)
(n)
i  9,10
( n  1)
xi
(n)
 xi  2 bi 
Выберем вектор решения x произвольным образом, например, так:
x1  1x2  x3 0x4  1x5  2x6  3x7  1x8  2 x9  3 x10  1
Теперь построим вектор b таким образом, чтобы выбранный вектор x был решением системы
Ax=b. Очевидно, что вектор b следует принять равным
b1  20b2  b3 b4  18b5  42b6  62b7  30b8  44b9  62b10  16