Управление структурой двухвидовой системы хищник

УПРАВЛЕНИЕ СТРУКТУРОЙ
ДВУХВИДОВОЙ СИСТЕМЫ
«ХИЩНИК-ЖЕРТВА» С МИГРАЦИЕЙ
Иванова А.С., Кириллов А.Н.
Институт прикладных математических исследований КарНЦ РАН
Пусть имеется некоторый ареал, n – максимально
возможное число популяций, обитающих в этом
ареале.
Структурой будем называть вектор   ( 1 ,...,  n ),
где  i  1, если популяция i-го вида присутствует в
ареале;  i  0, если нет.
Если n~   :
x1  x1 (a  bx2  u1 ),
x 2  x2 (kbx1  m  u2 ),
n~  x1  x 2 ,
(1)
где x1  x1 (t ), x2  x2 (t ) – численности жертв и хищников,
n~  n~ (t ) – структурная переменная – пищевая привлекательность,
a  0 – коэффициент прироста жертв в отсутствие хищников,
bx1 – количество жертв, потребляемых одним хищником за единицу
времени (b  0),
m  0 – коэффициент смертности хищников в отсутствие жертв,
k  0 – доля полученной с потребляемой хищником биомассой
энергии, которая расходуется им на воспроизводство (k  1),
u1 , u2  0 – управляющие параметры – коэффициенты изъятия
жертв и хищников (a  u1 ), ,   0.
Система (1) описывает взаимодействие между хищником и
жертвой (полный режим P2 ).
Если n~  , x2   * ( x1 ) :
x1  x1 (a  u1 ),
x 2  x2 (m  u 2 ),
если n~  ,0  x2   * ( x1 ) :
x1  0,
x 2  c,
n~  x1  x 2 ,
(2)
n~  0,
(3)
*
где ñ  0,  ( x1 ) – непрерывная пороговая функция:
где   0.
 x1
 , 0  x1  ,
*
 ( x1 )   
 ,
x1  ,
Система (2) описывает миграцию хищника (переходный
режим P21 ),
(3) – исчезновение хищника из сообщества (минус-скачок P ).
~  , x  0 :
Если n
2
x1  x1 (a  u1 ),
x 2  0,
*
~
если n  , x2   ( x1 ) :
x 2  c,
x1  0,
n~  x1  x 2 ,
n~  0,
(4)
(5)
Система (4) описывает динамику жертвы в отсутствие
хищника (нулевой режим P1 ),
(5) – появление хищника в сообществе (плюс-скачок P ).
~  :
Если n
x1  x1 (a  bx2  u1 ),
если
x 2  x2 (m  u 2 ),
(1)
n~  x1  x 2 ,
(2)
n~  0,
(3)
n~  x1  x 2 ,
(4)
~  0.
n
(5)
n~  ,0  x2   * ( x1 ) :
x 2  c,
x1  0,
~  , x  0 :
если n
2
x1  x1 (a  u1 ),
если
n~  x1  x 2 ,
n~  , x2   * ( x1 ) :
x1  x1 (a  u1 ),
если
x 2  x2 (kbx1  m  u2 ),
x 2  0,
n~  , x2   * ( x1 ) :
x1  0,
x 2  c,
m

ak
m

ak
m

ak
Для системы (1)-(5) множество ( x1 , x2 , n~) : x1  0, x2  0
инвариантно, поэтому далее x1  0, x2  0.
Плоскость P  {( x1 , x2 , n~) : n~  } называется
дискриминантной.
Пусть M ( x1 , x2 ) – точка плоскости P.
Определение. Если траектория системы (1)-(5),
начавшаяся в M ( x1 , x2 ), содержится в полупростран~
n
стве   , то M называется точкой сохранения
режима P2 .
Постановка задачи:
требуется найти значения управляющих параметров
u1 , u2 , при которых точки плоскости P являются
точками сохранения режима P2 .
Пусть   ( x1, x2 ) : x1  x2  0,
m
a

  ( x1 , x 2 ) : x1 
,   x 2  ,
bk
b

M 0 ( x10 , x20 )    .
Утверждение 1. Если
u1  a  bx20 , u 2  bkx10  m,
то M 0 является точкой сохранения режима P2 .
Замечание. Любая точка множества int( P \  )
является точкой режима P21.
Далее считаем,
Пусть   m ,
a
b
что   .
ak
a
K 1  {( x1 , x 2 ) : x1  x 2  0, x 2  }.
b
Утверждение 2. Для любой точки M 0 ( x10 , x20 )  K1
существует такое u 2* , что при u1  0, u 2  u 2*
M 0 является точкой сохранения режима P2 . При этом
u 2* – решение уравнения:
a ln x20  bx20  (m  u 2 )(ln x10  ln  )  kbx10
a  m  u2
ln
 1
.
b(1  k )
a  m  u2
Пусть
m
K 2  {( x1 , x 2 ) : x1  x 2  0, x 2   , x1  }.
bk
Утверждение 3. Для любой точки M 0 ( x10 , x20 )  K 2
*
существует такое u1 , что при u1  u1* , u 2  0
M 0 является точкой сохранения режима P2 . При этом
u1* – решение уравнения:
(a  u1 ) ln x20  bx20  m(ln x10  ln  )  kbx10
a  u1  m
ln
 1
.
b(1  k )
a  u1  m
Пусть (O, O1 )  {( x1, x2 ) : x1  x2  0,0  x1   },
E  {( x1 , x2 ) : 0  x 2   * ( x1 )}.
Утверждение 4. Любая фазовая точка на
интервале (O, O1 ) достигает в скользящем режиме
точки O1 – неустойчивого положения равновесия.
Утверждение 5. Пусть M 0 ( x10 , x20 )  E. Тогда
при x10   точка M 0 является точкой сохранения
режима P2 , а при x10   точка M 0 достигнет
неустойчивого положения равновесия O1 .
Пусть O1h  {( x1 , x2 ) : x1  x2  0, x1   }.
m
Утверждение 6. Если   , u1 , u 2 удовлетворяют
ak
m  u2
уравнению  
, то луч O1h состоит из
(a  u1 )k
положений равновесия системы (1)-(5).
m
Утверждение 7. Если   , то любая фазовая
ak
точка на луче O1h покидает его, достигнув точки O1 .
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!