МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет
имени Н.Г. Чернышевского»
Балашовский институт (филиал)
УТВЕРЖДАЮ:
Директор БИ СГУ
доцент А.В. Шатилова
_________________
«10» ноября 2014 г.
Рабочая программа дисциплины
Численные методы
Направление подготовки
230700 Прикладная информатика
Профиль подготовки
Прикладная информатика в экономике
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Балашов
2014
СОДЕРЖАНИЕ
1. Цель освоения дисциплины.....................................................................................3
2. Место дисциплины в структуре образовательной программы ..........................3
3. Компетенции обучающегося, формируемые в процессе освоения дисциплины..3
Планируемые результаты обучения по дисциплине.......................................................3
4. Содержание и структура дисциплины .................................................................4
4.1. Объем дисциплины .....................................................................................................4
4.2. Содержание дисциплины ...........................................................................................4
4.3. Структура дисциплины ..............................................................................................5
5. Образовательные технологии, применяемые при освоении дисциплины...........6
Информационные технологии, используемые при осуществлении образовательного
процесса по дисциплине ....................................................................................................6
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины ........................................................6
Самостоятельная работа студентов по дисциплине ........................................................6
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации по дисциплине ................................................................................................7
Темы для самостоятельного изучения ................................................................................................ 10
7. Данные для учета успеваемости студентов в БАРС ......................................... 12
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ............... 13
Литература по курсу ....................................................................................................... 13
Основная литература ............................................................................................................................ 13
Дополнительная литература ................................................................................................................ 13
Интернет-ресурсы ........................................................................................................... 13
Программное обеспечение .............................................................................................. 13
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины ........................................ 14
2
1. Цель освоения дисциплины
Целью освоения дисциплины «Численные методы» является формирование у
студентов комплекса знаний, умений и навыков решения прикладных задач численными
методами с помощью компьютерной техники
2. Место дисциплины
в структуре образовательной программы
Дисциплина
«Численные
методы»
относится
к
вариативной
части
профессионального цикла (Б.3.В.3).
Для освоения дисциплины «Численные методы» студенты используют знания,
умения, навыки, способы деятельности и установки, полученные и сформированные в
ходе изучения следующих дисциплин: «Математика», «Информационные технологии»,
Изучение дисциплины «Численные методы» является базой для дальнейшего
освоения студентами базовых курсов и курсов по выбору математического и
естественнонаучного и профессионального циклов.
3. Компетенции обучающегося,
формируемые в процессе освоения дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих
компетенций:
 способен использовать, обобщать и анализировать информацию, ставить цели и
находить пути их достижения в условиях формирования и развития
информационного общества (ОК-1);
 способен самостоятельно приобретать и использовать в практической
деятельности новые знания и умения, стремится к саморазвитию (ОК-5);
 способен использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в
профессиональной деятельности и эксплуатировать современное электронное
оборудование
и
информационно-коммуникационные
технологии
в
соответствии с целями образовательной программы бакалавра (ПК-3);
 способен ставить и решать прикладные задачи с использованием современных
информационно-коммуникационных технологий (ПК-4);
 способен применять методы анализа прикладной области на концептуальном,
логическом, математическом и алгоритмическом уровнях (ПК-17);
 способен применять системный подход и математические методы в
формализации решения прикладных задач (ПК-21).
Планируемые результаты обучения по дисциплине
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
знать:
основные понятия вычислительной математики, методы и алгоритмы решения
вычислительных задач;
уметь:
применять теоретические знания для решения конкретных задач с применением
прикладных программ ЭВМ;
3
владеть:
технологиями применения вычислительных методов для решения конкретных
задач из различных областей приложений методов математики в экономике; навыками
практической оценки точности результатов, полученных в ходе решения тех или иных
вычислительных задач, на основе теории приближений; основными приемами
использования
вычислительных
методов
при
решении
различных
задач
профессиональной деятельности;
приобрести опыт:
решения прикладных задач, обработки экспериментальных данных численными
методами с использованием компьютерной техники.
4. Содержание и структура дисциплины
4.1. Объем дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 часов, из
них:
– по очной форме обучения: 54 часа аудиторной работы (18 часов лекций и 36
часов лабораторных занятий), 54 часа самостоятельной работы, дисциплина изучается в 5
семестре, ее освоение заканчивается зачетом.
4.2. Содержание дисциплины
Раздел 1. Основы вычислительной математики. Интерполяция функций
Вычислительная математика. Основные разделы вычислительной математики.
Численные методы как раздел вычислительной математики.
Методы решения математических задач. Основные группы методов: графические,
качественные, аналитические, методы возмущений, численные.
Причины возникновения погрешностей. Классификация погрешностей и связь
между ними.
Величина и число. Приближенные числа. Абсолютная и относительная
погрешности. Границы погрешностей. Десятичная запись приближенных чисел. Цифры,
верные в широком и узком смысле. Сомнительные цифры. Значащие цифры. Формы
записи приближенных значений числа. Округление чисел. Правило округления.
Формулы для подсчета погрешностей арифметических действий. Формулы для
подсчета погрешностей вычислений с элементарными функциями.
Интерполирование функций. Математические таблицы. Шаг таблицы. Табличная
разность. Таблица с постоянным шагом.
Задача интерполирования. Узлы интерполирования. Интерполирующая функция.
Линейная интерполяция. Обратная интерполяция.
Интерполяционный полином Лагранжа для произвольных и равноотстоящих узлов.
Оценка погрешности.
Интерполяционные полиномы Ньютона для произвольных и равноотстоящих
узлов. Оценка погрешности.
Раздел 2. Численное дифференцирование и интегрирование, решение ОДУ
Постановка задачи численного дифференцирования.
Дифференцирование полинома Лагранжа для равноотстоящих узлов. Оценка
погрешности.
Дифференцирование полинома Ньютона для интерполирования вперед. Оценка
погрешности.
4
Численное интегрирование Постановка задачи. Формулы прямоугольников.
Формула трапеции. Формула парабол. Квадратурные формулы Ньютона – Котеса.
Правило двойного счета.
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Краевые задачи Постановка задачи. Методы решения уравнений. Методы Эйлера. Метод
Рунге – Кутта.
Раздел 3. Решение нелинейных уравнений, СЛАУ
Задача отделения корней. Графическое отделение корней. Отделение
действительных корней алгебраических уравнений.
Метод деления пополам. Метод Ньютона. Метод хорд.
Принцип сжимающих отображений. Метод простых итераций. Теоремы
сходимости. Теоремы о скорости сходимости. Преобразование уравнения к виду,
удобному для итераций.
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Точные методы.
Обусловленность матриц. Метод Гаусса. Метод квадратных корней. Вычисление
определителей.
Итерационные методы. Метод последовательных приближений. Метод простой
итерации. Сходимость методов. Метод Зейделя.
Раздел 4. Обработка экспериментальных данных
Постановка задачи. Метод наименьших квадратов. Регрессионный анализ:
нахождение приближающей функции в виде линейной функции. Регрессионный анализ:
нахождение приближающей функции в виде квадратного трехчлена.
Лабораторные работы
1. Интерполяционный полином Лагранжа
2. Интерполяционный полином Ньютона
3. Численное дифференцирование функций
4. Численное интегрирование функций
5. Методы решения ОДУ
6. Нелинейные уравнения
7. Численное решение уравнений методом Ньютона и методом хорд
8. Численное решение уравнений методом простой итерации
9. Решение СЛАУ методом Гаусса,
10. Решение СЛАУ методами простой итерации и Зейделя
11. Обработка экспериментальных данных
4.3. Структура дисциплины
Очная форма обучения
Виды учебной работы
№
п/
п
Раздел дисциплины
1
1. Основы
математики.
функций
5
Семе
стр
2
3
вычислительной 5
Интерполяция
Неделя
семест
ра
Всего
часов
4
1,2
5
16
Лек
ции
Пра
кти
ческ
ая
рабо
та
Сам
осто
ятел
ьная
рабо
та
6
4
7
4
8
8
Формы
текущего
контроля
успеваемости (по
неделям
семестра)
Формы
промежуточной
аттестации (по
семестрам)
9
Отчет по
лабораторным
работам
2 Численное дифференцирование
и интегрирование, решение
ОДУ
3 Решение
нелинейных
уравнений, СЛАУ
5
3-6
40
8
12
20
5
7,8
36
4
14
18
4 Обработка экспериментальных
данных
5
9
16
2
6
8
Промежуточная аттестация
Отчет по
лабораторным
работам
Отчет по
лабораторным
работам
Отчет по
лабораторным
работам
Зачет в 5 семестре
5. Образовательные технологии,
применяемые при освоении дисциплины
Традиционные образовательные технологии:
– лекции:
– лабораторные занятия;
Активные и интерактивные формы занятий:
– проблемная лекция;
– занятия в форме конференций, дискуссий;
– разработка проектов по изучаемым проблемам.
Информационные технологии, используемые
при осуществлении образовательного процесса по дисциплине
 Использование информационных ресурсов, доступных в информационнотелекоммуникационной сети Интернет (см. перечень ресурсов в п. 8 настоящей
программы).
 Составление и редактирование текстов при помощи текстовых редакторов.
 Создание электронных документов (компьютерных презентаций, видеофайлов и
т. п.) по изучаемым темам и электронных коллекций.
 Решение задач численными методами с использованием табличного процессора.
Для обеспечения доступности обучения инвалидам и лицам с ограниченными
возможностями здоровья учебные материалы могут быть адаптированы с учетом особых
потребностей: в печатных материалах укрупнен шрифт, произведена замена текста
аудиозаписью, использованы звуковые средства воспроизведения информации.
6. Учебно-методическое обеспечение
самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Самостоятельная работа студентов по дисциплине
Самостоятельная работа студентов включает в себя подготовку к занятиям по
контрольным вопросам, разработку индивидуальных заданий в процессе выполнения
лабораторных работ. Электронные версии лабораторных работ хранятся на факультетском
файл-сервере \\kafpi_serv и содержат все необходимые методические указания и задания
6
для индивидуального выполнения. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной
работы соответствует переченю ресурсов в п. 8 настоящей программы
Оценочные средства
для текущего контроля успеваемости
и промежуточной аттестации по дисциплине
Контрольные задания
Найти значение функции для заданного значения аргумента и определить точность
вычислений (разность между приближенным и точным значением функции в данной
точке) с методами Лагранжа и Ньютона
Вариант 1
Вариант 2
X
Значение
X
1
0
,8 Значение
f(x
) lg
xx2 аргумента
f(x
)
ln
2
,3
x
аргумента
x
x
1,3
2,1
3,7
4,5
1,7777
4,5634
13,8436
20,3952
3,8
1,2
1,9
3,3
4,7
0,3486
1,0537
1,7844
2,2103
3,5
Найти значение производной функции для заданного значения аргумента,
используя заданные узловые значения аргументов, и определить точность вычислений
(для этого необходимо непосредственно продифференцировать данную функцию и найти
ее значение в данной точке)
Вычислить определенный интеграл при делении отрезка на 10 и 20 равных частей
1) методами левых, правых и средних прямоугольников;
2) по формуле трапеций, оценить погрешность интегрирования,
3) по формуле Симпсона, оценить погрешность интегрирования.
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения на заданном отрезке с
указанными в таблице отрезком и шагом. Для решения использовать три метода: метод
Эйлера, метод Эйлера с пересчетом и метод Рунге-Кутта. Результаты решений
представить в виде графиков.
7
Отделить корни заданного уравнения графическим способом. Решить уравнение с
заданной точностью методом деления отрезка пополам.
Найти все корни уравнения подбором параметра.
Решить уравнение методом хорд с заданной точностью.
8
Решить уравнение методом Ньютона с заданной точностью
Решить уравнения методом простых итераций с точностью. Одно уравнение
должно быть решено с помощью итерационной формулы.
Методом Гаусса решить СЛАУ. Выполнить проверку решения
Решить СЛАУ методом последовательных приближений. Оценить погрешность
9
Решить систему методом итераций. Оценить погрешность.
Провести численный эксперимент по нахождению приближающей функции по
следующей схеме:
1) построив график табличной функции, сделать предположение о виде
зависимости;
2) выбрав вид зависимости, перейти с помощью замены к новой таблице значений
и (или) аргументов.
3) построить график табличной функции сделать вывод правильности выбора вида
приближающей функции;
4) найти коэффициенты для СЛАУ и решить ее;
5) при необходимости перейти к исходным коэффициентам a и b;
Темы для самостоятельного изучения
1. Интерполяционный полином Эрмита. Оценка погрешности
10
Интерполяционный полином Гаусса. Оценка погрешности
Интерполяционный полином Стирлинга. Оценка погрешности
Интерполяционный полином Бесселя. Оценка погрешности
Приближенное решение алгебраических уравнений. Метод Бернулли
Приближенное решение алгебраических уравнений. Метод ЛобачевскогоГреффе
7. Решение СЛАУ по схеме Халецкого
8. Приближенные методы решения интегральных уравнений
9. Метод Монте-Карло
Вопросы к экзамену
1. Погрешности вычислений. Источники и классификация ошибок. Абсолютные и
относительные погрешности. Запись приближенных значений. Округление чисел.
2. Интерполяция функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Постановка
задачи интерполирования. Интерполяционная формула Лагранжа. Погрешность
многочленной интерполяции.
3. Интерполяция функций. Первый инреполяционный многочлен Ньютона. Конечные
разности. Формула Ньютона для интерполирования вперед. Погрешность
многочленной интерполяции.
4. Интерполяция функций. Второй интерполяционный многочлен Ньютона.
Конечные разности. Формула Ньютона для интерполирования назад. Погрешность
многочленной интерполяции.
5. Численное
дифференцирование.
Постановка
вопроса.
Формула
дифференцирования, основанная на первой интерполяционной формуле Ньютона.
Погрешность.
6. Численное дифференцирование. Постановка вопроса. Метод неопределенных
коэффициентов.
7. Численное интегрирование. Постановка задачи. Формулы левых, правых и средних
прямоугольников. Погрешность методов.
8. 8. Численное интегрирование. Постановка задачи. Формула трапеции.
Погрешность.
9. Численное интегрирование. Постановка задачи. Формула Симпсона. Погрешность.
10. Численное интегрирование. Постановка задачи. Квадратурные формулы НьютонаКотеса. Погрешность.
11. Численные методы решения ОДУ. Методы Эйлера. Постановка задачи. Метод
Эйлера. Модифицированный метод Эйлера. Геометрическая интерпретация
методов.
12. Численные методы решения ОДУ. Метод Рунге-Кутта. Постановка задачи. Метод
Рунге-Кутты. Геометрическая интерпретация.
13. Решение нелинейных уравнений. Метод бисекций.
Отделение корней.
Графическое отделение корней. Метод бисекций. Погрешность.
14. Решение нелинейных уравнений. Метод Ньютона (вывод). Геометрическая
интерпретация. Теорема о начальном приближении.
15. Решение нелинейных уравнений. Метод Ньютона (формулировка). Теорема о
скорости сходимости. Погрешность метода.
16. Решение нелинейных уравнений.
Метод хорд (вывод). Геометрическая
интерпретация.
17. Решение нелинейных уравнений. Метод хорд (формулировка). Сходимость
метода.
18. Решение нелинейных уравнений.
Метод итераций. Теоремы о скорости
сходимости и скорости сходимости итерационного процесса.
19. Решение нелинейных уравнений.
Метод итераций. Получение сходящейся
формулы.
2.
3.
4.
5.
6.
11
20. СЛАУ. Способы решения матричных уравнений. Метод Гаусса.
21. СЛАУ. Метод последовательных приближений. Сходимость и погрешность
метода.
22. СЛАУ. Метод простой итерации. Сходимость и погрешность метода.
23. СЛАУ. Метод Зейделя. Сходимость и погрешность метода.
24. Обработка экспериментальных данных. Метод наименьших квадратов.
7. Данные для учета успеваемости студентов в БАРС
Очная форма обучения
Таблица максимальных баллов по видам учебной деятельности
1
2
Лекции
Лабораторные
занятия
10
40
3
4
5
Практические Самостоятельная Автоматизирован
занятия
работа
ное тестирование
20
6
7
Другие виды
Промежуточная
учебной
аттестация
деятельности
0
30
8
Итого
100
Программа оценивания учебной деятельности студента
Лекции
Посещаемость, опрос, активность и др. за один семестр – от 0 до 10 баллов.
Лабораторные занятия
Контроль решения текущих задач на лабораторных занятиях, самостоятельность и
правильность из выполнения - от 0 до 40 баллов.
Практические занятия
Не предусмотрены.
Самостоятельная работа
Дополнительные задания к лабораторным работам, проработка
самостоятельного изучения и контрольных вопросов – от 0 до 20 баллов.
тем
для
Автоматизированное тестирование
Не предусмотрено.
Другие виды учебной деятельности
Не предусмотрено.
Промежуточная аттестация
при проведении промежуточной аттестации
ответ на «отлично» оценивается от 25 до 30 баллов;
ответ на «хорошо» оценивается от 20 до 24 баллов;
ответ на «удовлетворительно» оценивается от 15 до 19 баллов;
ответ на «неудовлетворительно» оценивается от 0 до 14 баллов.
Таким образом, максимально возможная сумма баллов за все виды учебной
деятельности студента за 5 семестр по дисциплине «Численные методы» составляет 100
баллов.
12
Пересчет полученной студентом суммы баллов
по дисциплине «Численные методы» в оценку
65 баллов и более
«зачтено»
меньше 65 баллов
«не зачтено»
8. Учебно-методическое и информационное
обеспечение дисциплины
Литература по курсу
Основная литература
1. Амосов, А.А. Вычислительные методы [Электронный ресурс] / А.А. Амосов, Ю.А.
Дубинский, Н.В. Копченова. – М.: Лань, 2014. – 672 с. - URL: http://e.lanbook.com/
(ЭБС «ЛАНЬ»).
2. Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики [Электронный ресурс] / Б.П.
Демидович, И.А. Марон. – М.: Лань, 2011. – 672 с. - URL: http://e.lanbook.com/ (ЭБС
«ЛАНЬ»).
Дополнительная литература
1. Шевцов, Г.С. Численные методы линейной алгебры [Электронный ресурс] / Г.С.
Шевцов, О.Г. Крюкова, Б.И. Мызникова. – М.: Лань, 2014. – 496 с. - URL:
http://e.lanbook.com/ (ЭБС «ЛАНЬ»).
2. Колдаев В.Д. Численные методы и программирование: Учебное пособие
[Электронный ресурс] / В.Д. Колдаев; Под ред. Л.Г. Гагариной. - М.: ИНФРА-М,
2014. - 336 с. . – URL: http://znanium.com (ЭБС «ZNANIUM.COM»).
3. Кетков Ю. MATLAB 7. Программирование, численные методы [Электронный
ресурс] / Кетков Ю., Кетков А., Шульц М. - СПб. : БХВ-Петербург, 2010. – 752 с. –
URL: http://ibooks.ru (ЭБС «IBOOKS»).
Интернет-ресурсы
1. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс]. –
URL: http://scool-collection.edu.ru
2. Единое окно доступа к образовательным ресурсам [Электронный ресурс]. – URL:
http://window.edu.ru
3. Издательство «Лань» [Электронный ресурс]: электронно-библиотечная система. –
URL: http://e.lanbook.com/
4. Издательство «Юрайт» [Электронный ресурс]: электронно-библиотечная система.
– URL: http://biblio-online.ru
5. eLIBRARY.RU [Электронный ресурс]: научная электронная библиотека. – URL:
http://www.elibrary.ru
6. ibooks.ru [Электронный ресурс]: электронно-библиотечная система. – URL:
http://ibooks.ru
7. Znanium.com [Электронный ресурс]: электронно-библиотечная система. – URL:
http://znanium.com
Программное обеспечение
13
Microsoft Word 2007,
Microsoft Excel 2007,
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины






Учебные аудитории, оборудованные комплектом мебели, доской.
Комплект проекционного мультимедийного оборудования.
Компьютерный класс с доступом к сети Интернет.
Библиотека с информационными ресурсами на бумажных и электронных
носителях.
Оборудование для аудио- и видеозаписи.
Офисная оргтехника.
Рабочая программа дисциплины «Численные методы» составлена в соответствии с
требованиями ФГОС ВО по направлению подготовки 230700 Прикладная информатика и
профилю Прикладная информатика в экономике (квалификация (степень) «бакалавр») и
требованиями приказа Министерства образования и науки РФ № 1367 от 19.12.2013 г. о
порядке организации и осуществления образовательной деятельности по образовательным
программам высшего образования – программам бакалавриата, программам специалитета,
программам магистратуры.
Программа разработана в 2011 г. (одобрена на заседании кафедры прикладной
информатики, протокол № 7 от «29» августа 2011 года)
Программа актуализирована в 2014 г. (одобрена на заседании кафедры физики и
информационных технологий, протокол № 2 от «16» октября 2014 года)
14
Автор:
к. ф.-м. н., доцент
Насонова Е.Д.
Зав. кафедрой физики и
информационных технологий
к. пед. н., доцент
Сухорукова Е.В.
Декан факультета математики,
экономики и информатики
к. пед. н., доцент
Кертанова В.В.