А - Ya-geniy.ru

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
«Юрлинская средняя общеобразовательная школа им. Л. Барышева»
Естественно-математический: математика
Методы решения уравнений,
неравенств и систем с параметрами
Цой Артем Евгеньевич
Юрлинская средняя школа им. Л.Барышева
11б класс
Фурт Татьяна Васильевна
Юрлинская средняя школа им. Л.Барышева
Учитель математики
2015
Оглавление
Введение ............................................................................................................... 3
Глава 1. Основные понятия и определения ...................................................... 5
Глава 2. Аналитические методы решения уравнений, неравенств,
систем с параметрами .......................................................................................... 7
Глава 3. Графические методы решения уравнений, неравенств,
систем с параметрами ....................................................................................... 11
3.1 Построение на координатной плоскости Oxy ...................................... 11
3.2 Построение на координатной плоскости Oxa. Метод областей......... 14
Глава 4. Примеры сравнения аналитического и графического
методов решения одной задачи ...................................................................... 18
Заключение ....................................................................................................... 27
Библиографический список ............................................................................ 28
Приложение ...................................................................................................... 30
2
Введение
Единый государственный экзамен – это словосочетание знакомо едва ли
не каждой семье, в которой есть школьник. Благодаря данному экзамену,
государство
стремится
улучшить
качество
российского
образования,
мотивируя выпускников на успешную сдачу ЕГЭ.
Одним из наиболее трудных экзаменов ЕГЭ является экзамен по
математике. Выпускник, чтобы успешно сдать данный экзамен, должен
идеально знать множество теорем, формул, определений, обладать гибким
логическим мышлением и уметь применять полученные
знания в новых
условиях, что не по силам большому количеству учеников.
Одно из
малорешаемых заданий ЕГЭ по математике – задание с параметром. По
статистике в 2010 году это задание решили полностью только 0,5 %
выпускников, в 2012 – 1,1 %, а в 2014 – только 0,2 % (Приложение 1)[1]. У
школьников решение задач с параметром часто вызывает затруднения – ведь
каждая задача требует рассмотрения целого класса задач, для каждой из
которых должно быть получено решение, а в школьном курсе им отводится
незначительное место. Поэтому, мы решили выявить самый простой и
понятный способ решения уравнений, неравенств и систем с параметрами,
который может быть использован к различным типам задач.
Цель: выбрать рациональный метод решения уравнений, неравенств,
систем с параметрами.
Гипотеза:
если
изучить
различные
методы
решения
задач
с
параметрами, то это позволит нам найти рациональный метод для успешной
сдачи ЕГЭ.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие
задачи:
 Изучить литературный материал по данной теме;
 Провести анализ различных методов и приемов решения задач с
параметрами;
3
 Выбрать наиболее рациональное решение, быстро приводящее к
ответу.
Объект исследования: уравнения, неравенства, системы с параметрами.
Предмет
исследования:
методы
и
приемы
решения
задач
с
параметрами.
В
исследовании
использовались
методы:
анализ,
сравнение,
самостоятельное решение уравнений, неравенств, систем различными
методами.
Методы и приёмы решения задач с параметрами широко освещены в
трудах учёных-математиков. Например, в книге автора Горнштейна П. И.
рассмотрены примеры решения одной задачи разными способами. В трудах
Крамора В. С. приведены не только примеры решения задач с параметрами и
задачи для самостоятельного решения, но и обширный справочный материал.
Прокофьев А. А. описывает некоторую классификацию задач, и показывает,
что существуют стандартные приемы и методы, а также определенный набор
опорных задач, на которых базируются или к которым сводятся многие
разнообразные задачи.
4
Основные понятия и определения
Пусть дано уравнение или неравенство с двумя переменными:
Задача
о
решении
уравнения
(неравенства)
(1)
может
быть
сформулирована одним из двух следующих способов.
1. Найти все пары чисел (x,a), удовлетворяющие этому уравнению
(неравенству). В этом случае выражение (1) называется уравнением
(неравенством) с двумя переменными x и a , в котором обе переменные a и
x играют одинаковую роль.
2. Для каждого значения переменной из некоторого числового множества
A решить уравнение (неравенство) относительно x. Тогда выражение (1)
называют уравнением (неравенством) с переменной x и параметром, а
множество A – областью изменения параметра. При отсутствии
ограничений под областью изменения параметра подразумевается множество
всех действительных чисел.
Если параметру, содержащемуся в уравнении (неравенстве), придать
некоторое конкретное числовое значение, то возможен один из случаев:
а) получится уравнение или неравенство с одной неизвестной x;
б) получится выражение, лишенное смысла.
В первом случае значение параметра называется допустимым, во втором
– недопустимым. Решить уравнение или неравенство с параметром – это
значит, для каждого допустимого значения параметра найти множество всех
удовлетворяющих уравнению или неравенству значений неизвестного.
Выражение (1) – это, по существу, краткая запись семейства уравнений
(неравенств), получающихся из него при заданных значениях параметра.
Поэтому решить уравнение (неравенство) (1) (с переменной x и
параметром a) – это значит, на множестве действительных чисел
решить семейство уравнений (неравенств), получаемых из (1) при всех
допустимых значениях параметра а. [11, с. 5]
5
Существует несколько методов решения задач с параметрами. Мы
рассмотрим два основных: аналитический и графический.
6
Аналитические методы решения уравнений, неравенств, систем с
параметрами
Аналитический метод является обязательной составной частью многих
методов. Его основой является приведение эквивалентных преобразований,
т.е. заменой одного математического высказывания на другое равносильное
математическое высказывание. На основе данного метода существуют
следующие:
Метод замены основывается на введение в пример одной или
нескольких новых переменных. В таких случаях область изменения новых
переменных требуется исследовать. Чаще всего метод замены используется
при решении показательных, логарифмических и тригонометрических
уравнений или неравенств. Он позволяет сводить их к алгебраическим
уравнениям или неравенствам, анализ которых осуществить намного проще.
[10, с. 63], [6, с. 19]
Пример 1. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решение: Пусть
y>1,
, y ≥1.
x=
x=
y=1,
Обозначим f(y)=y2 -
y+
Исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда
уравнение f(y)=0 имеет единственный корень больше 1, или уравнение имеет
два корня, один из которых больше 1, другой меньше 1.
Когда имеет один корень. D=0, D=
,
a= -2, a=-170.
7
При а= - 2, получаем уравнение y2 – 2y + 1 = 0, которое имеет единственный
корень y = 1. В этом случае исходное уравнение имеет единственный корень
х = 1.
При а= - 170 уравнение y2 -
имеет единственный корень y =
3,4. В этом случае исходное уравнение имеет два корня.
Графиком функции f(y) является парабола, её ветви направлены вверх. Для
того чтобы уравнение f(y)=0 имело два корня, один из которых дольше 1, а
другой меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы f(1)<0.
-2<a<5
Ответ: а= - 170, -2 < a < 5
(Приложение 3, пример 1)
Метод изменения ролей переменных основывается на замене роли
искомой переменной и одного из параметров, чтобы иметь возможность
провести анализ представленного условия. Достаточно часто бывает, что
степень искомой переменной гораздо выше, чем степень входящего в
условие параметра. Изменение ролей в этом случае приводит к реальному
упрощению процесса решения. [10, с.63]
Пример 2. Решить уравнение 2х3 – (а + 2)х2 – ах + а2 = 0.
Решение. Перепишем уравнение в виде
2х3 – ах2 - 2х2 – ах + а2 = 0
а2 – (х2 + х)а + 2х3 - 2х2 = 0
Решим уравнение относительно параметра а.
D = (х2 + х)2 – 4(2х3 - 2х2) = х2(х + 1)2 – 8х2(х – 1) = х2(х2 + 2х + 1 – 8х + 8) =
= х2(х2 – 6х + 9) = х2(х – 3)2
8
а1, 2 
х  х  ( х( х  3))
;
2
2
х 2  х  х 2  3х
 х2  х
2
х 2  х  х 2  3х
а2 
 2х
2
а1 
Тогда (а – х2 + х)(а – 2х) = 0
Осталось решить полученные уравнения относительно х.
х2 – х – а = 0
а – 2х = 0
а
2
имеет корни при
х= .
D = 1 + 4а ≥ 0,
4а ≥ -1,
1
4
х1, 2 
т.е. при а ≥ при а < -
1
4
1
4
1  1  4а
2
корней нет.
Ответ: 1) если а < х3 =
а≥-
1  1  4а
1
1
, то корней нет; 2) если а ≥ , то х1, 2 
,
2
4
4
а
.
2
(Приложение 3, пример 2,3)
Метод инвариантности основан на замене знака одной или нескольких
переменных на противоположный («симметрия относительно знака»), либо
на
перестановке нескольких переменных («симметрия относительно
перестановки переменных»). [10, с. 63]
Алгоритм решения задач методом инвариантности:
1. Проверить инвариантность переменных;
2. При «симметрии относительно знака» переменной подставить ее
нулевое
значение; при
«симметрии относительно
перестановки»
переменных все переменные обозначить одной буквой;
3. Для найденных допустимых значений параметра выполнить проверку
того, что при полученных значениях параметра уравнение (система и
т.д.) действительно имеет требуемое число решений.
9
Пример 3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение х2+(а+5)2=|х+а+5|+|х – а – 5| имеет ровно три корня. [3, с.137]
Решение:
Если число х0 является корнем данного уравнения, то и число – х0 также
является корнем этого уравнения. Значит, если уравнение имеет ровно три
корня, то один из корней – это х=0.
При х=0 уравнение примет вид
(а+5)2=|а+5|+| - а – 5 |
(а+5)2=2|а+5|
|а+5|(|а+5| - 2) = 0
а= - 5, а= - 3, а= - 7
При а= - 3, а= - 7 исходное уравнение примет вид х2+4=|х+2|+|х-2|.
При х < - 2 х2+4= - х – 2 – х + 2, х2 + 2х+4=0, D=4 – 16= - 12, нет корней
При – 2 ≤ х≤ 2 х2+4=х+2 – х+2, х2+4=4, х = 0.
При х >2
х2+4=х+2+х-2, х2 – 2х+4=0, нет корней.
Значит, при а= - 3, а= - 7 исходное уравнение имеет единственное значение.
При а= - 5 исходное уравнение примет вид х2=|х|+|х|, х2=2|х|, х2 - 2|х|=0,
|х|(|х| - 2)=0, х=0, х=2, х= - 2. Исходное уравнение имеет ровно три корня.
Ответ: а= - 5
(Приложение 3, пример 4)
Изучив эти методы, мы убедились в их точности. Однако при решении
задач с параметрами аналитическими методами, необходимо обладать
большим объемом теоретических знаний, и на их решение уходит много
времени.
10
Графические методы решений уравнений, неравенств, систем с
параметрами
При решении уравнений, неравенств, систем с параметрами необходимо
уметь строить их графики, которые сводятся к построению графиков
функций.
Графиком функции
называется множество всех точек
координатной плоскости Oxy вида (х, f(x)), где
.
Для овладения графическими методами решения задач с параметрами и
построения графиков функций используются преобразования графиков
функций. (Приложение 2)
Рассмотрим приемы и методы решений задач с параметрами с
использованием метода наглядной графической интерпретации и метода
областей. В зависимости от того, какая роль отводится параметру в задаче,
можно выделить два основных графических приема: первый – построение
графического образа на координатной плоскости Oxy, второй – на
координатой плоскости Oxa [11, с.55].
Построение на координатной плоскости
.
Данный прием заключается в следующем. Исходное уравнение (или
неравенство) преобразуют к виду
Строим графики функций
(или
и
. Функция
).
задает
определенное семейство кривых, зависящих от параметра а. Кривые этого
семейства получаются из кривой
с помощью некоторого
элементарного преобразования. В зависимости от параметра а графики
данных функций будут иметь различное количество точек пересечения, а это
и определяет количество корней уравнения
11
. Аналогично, для
неравенства
можно выяснить, что представляет собой
множество его решений [11, с.55].
Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение
имеет два корня. [9, с.106]
Решение:
Рассмотрим функции g(x) =
и
f(x) =
y
f(x) =
x
g(x) =
Построим график функции f(x) =
g(x) =
, график функции
получается из графика функции
h(x) =
параллельным переносом вдоль прямой х = 2 на а единиц.
G(x) =
Значения функций f(x) =
и g(x) =
в точке х=2 равны.
В этом случае одна точка пересечения, а значит одно решение. Найдём, при
12
каком значении параметра
Получаем
а =
.
а это выполняется из условия f(2) = g(2).
И при а>
исходное уравнение вообще не имеет
корней.
Найдём значение параметра а, при котором график функции
касается графика функции f(x) =
g(x) =
(в этом случае
три точки пересечения, а следовательно и три решения) из условий:
При х<0 функция f(x) =
= -1, x =
Осталось найти значение параметра а, при котором график функции
проходит через точку (0;0).
g(x) =
.
Таким образом, получаем, что
при а
нет корней;
(
при а=
один корень;
при а
(- ; -2
при а
(-2;
Ответ: а
два корня;
четыре корня.
(- ; -2
(Приложение 3, пример 5)
13
Построение на координатной плоскости
При
использовании
данного
приема
неравенство) преобразуют к виду
строят графики функции
. Метод областей.
исходное
(или
уравнение
(или
). На плоскости Oxa
f(x) , а затем, пересекая полученный график
прямыми, параллельными оси Ох, получают необходимую информацию.
Пример 1. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение
имеет одно решение?
Решение:
Разложим числитель
x2-(3b-1)x+2b2-2
на множители. Найдём корни
квадратного трёхчлена.
X12=
x1=2b-2, x2 =b + 1
Данное уравнение равносильно системе
Построим данные прямые в координатной плоскости Оbx
х
,х
b
с учётом, что
b=1/2
x
b= -2
14
Исходное уравнение имеет единственное решение при b= и b=-2.
Ответ: b= и b=-2.
Метод областей (Координатно-параметрический метод)
Данный метод представляет собой некоторое обобщение графического
метода решения уравнений и неравенств, основанного на использовании
координатной плоскости Оха. В последнем случае ось Ох называют
координатной, ось Оа – параметрической, а плоскость Оха – координатнопараметрической (или КП-плоскостью).
При решении конкретной задачи методом областей в ходе решения
плоскость Оха разбивается на «частичные области», внутри каждой из
которых геометрически интерпретируется и решается поставленная задача.
Алгоритм решения неравенств с параметрами методом областей:
1) разложить данное неравенство на множители;
2) найти и построить уравнения заданных функций, разбивающих
координатную плоскость на «частичные области»;
3) определить знак неравенства в каждой из получившихся областей;
4) ответить на заданный вопрос.
Пример 2. Найдите все значения а, при каждом из которых общие решения
неравенства х2 – 2х ≤ а – 1 и х2 – 4х ≤ 1 – 4а образуют на числовой оси
отрезок длины единица [2, с. 86]
Решение:
1. х2 – 2х ≤ а – 1
х2 – 2х + 1≤ а
а= х2 – 2х + 1
2. x2 – 4х ≤ 1 – 4а
а=
х2+х+
х0=2, а0=1
а=(х – 1)2
15
а
а=(х – 1)2
а=1
а=1/4
х
а=
х2+х+
Ответ: а= , а=1
Пример
3.
При
каких
значениях
параметра
имеет решение?[8, с.88]
Решение:
Разложим на множители левую часть неравенства
,
,
x1=2a – 1, x2=a
Таким образом, система примет вид
х – а=0
х – 2а + 1=0
а=х
а = х+
а=
16
а
система
а
а=х
а=1
а=
х
а=-1/2
а=-1
а = х+
Ответ: а
(Приложение 3, пример 6, 7, 8)
Прорешав определенное количество задач, мы убедились, что лучше
всего приведенные графические методы работают в тех случаях, когда в
условии задачи ставится вопрос о количестве корней в зависимости от
значений параметра или определения значений параметра, при которых
решение отсутствует или единственно.
17
Примеры сравнения аналитического и графического методов
решения одной задачи
Пример 1. Найдите все значения параметра р, при каждом из которых
множество решений неравенства (р – х2)(р + х – 2)<0 не содержит ни
одного решения неравенства х2 1. [5, с. 26]
Решение:
Аналитический.
Задачу можно переформулировать так: найти все решения неравенства
(р – х2)(р + х – 2)<0, удовлетворяющие неравенству х2>1. Разложим
неравенство (р – х2)(р + х – 2)<0 на множители.
Если р<0, то р – х2 разложить на множитель не удастся. И при этом р –
х2
будет меньше нуля при любом х. Поэтому неравенство окажется
равносильным неравенству р + х – 2>0 или х>2 – p. Так как р<0, то 2 – р>2
и х2>4>1.
Если р=0, то – х2(х – 2)<0, х2(х – 2)>0, х>2.
Если р>0, то р – х2 = - (x –
(x –
)(x +
>-
)(x +
) и неравенство примет вид
)(р + х – 2)>0. Решим его методом интервалов. Очевидно, что
, остаётся сравнить числа
,2–ри
, 2 – р.
Отсюда, видно, что нужно разбирать случаи 0 < p < 1, p = 1, 1 < p < 4, p = 4
и p > 4.
18
Пусть 0 < p < 1. Тогда
_
+
_
+
Следовательно, множество 0<p<1 не является решением, т. К. х=0 –
решение исходного неравенства.
Если р=1, х=0 опять корень.
Пусть 1<p<4 , тогда
_
+
_
х
+
.
Данные значения х удовлетворяют неравенству х2>1 в случае, если
Следовательно все р
Пусть р
удовлетворяют условию задачи.
, тогда
, то все р
тоже удовлетворяют
условию задачи.
_
+
_
+
Ответ: р
Графический.
(р – х2)(р + х – 2)<0
Выполним построения графиков функций р = х2 и р=-х+2 на плоскости Охр.
19
р
р=3
р = х2
х
х=-1
х=1
р=-х+2
Отметим решение неравенства х2 1.
Запишем ответ р
.
Пример 2. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет более двух корней [ЕГЭ: вторая волна, июль 2012]
Решение:
Аналитический.
Рассмотрим функции h(x)=
уравнение h(x) = g(x).
и
g(x)=
и исследуем
При х < 0 функция g(x)=
возрастает, а h(x)=
убывает.
Поэтому уравнение h(x) = g(x) имеет не более одного решения при х<0,
причём решение будет существовать тогда и только тогда, когда g(0)>h(0), т.
Е. а>1.
При х ≥ 0 уравнение примет вид
х>
. Если
, то уравнение решений не имеет.
20
, т. Е
При а ≤ это уравнение сводится к квадратному а2 – 14ах + 49х2 – 1 + 2х = 0,
49х2 + (2 – 14а)х + (а2 – 1) = 0,
D = (2 – 14а)2 – 4 49(а2 – 1) = 4 – 56а + 196а2 – 196а2 + 196 = 200 – 56а
Если 200 – 56а < 0, а>
При
При а<
а=
, уравнение не имеет корней.
уравнение
имеет
единственный
корень
х
=
Тогда меньший корень х2 всегда меньше
, а
уравнение имеет два корня.
Пусть уравнение имеет два корня х1 =
х2 =
.
и
больший корень х1 не превосходит , если
По теореме Виета: х1+ х2 =
от выражений
и
х1 х2 =
, т. Е.
.
, поэтому знаки корней зависят
. При a<-1 оба корня отрицательны, при -1≤ а< 1
один из корней отрицательный, а другой не отрицательный, при а ≥ 1 оба
корня отрицательные.
Таким образом, уравнение
корней:
имеет следующее количество
- нет корней при а<1;
- один корень при а=1 и а> ;
- два корня при 1< а <
и а= ;
- три корня при
Ответ:
21
Графический.
Рассмотрим функции h(x)=
и
графики. График функции g(x)=
f(x)=
g(x)=
и построим их
получается из графика функции
параллельным переносом вдоль оси Oy на а единиц. В
зависимости от того сколько точек пересечения будут иметь графики
функций h(x)=
уравнений
и
, столько и решений будет иметь
g(x)=
.
Рис.1
у
h(x)=
g(x)=
х
Рис. 1 Если график функции g(x)=
уравнение
параметра а.
проходит через точку (0;1), то
имеет один корень. Найдём значение
, а = 1. При а < 1 корней нет.
22
Если график функции
проходит через точку (
g(x)=
уравнение
), то
имеет три корня. Найдём значение параметра
а.
, а = . Три точки пересечения графиков будет до тех
пор пока график функции g(x)=
h(x)=
не будет касаться графика функции
. (рис. 2)
Рис. 2
у
h(x)=
g(x)=
х
Из условия
найдём при каком значении параметра а это
выполняется.
23
,
,
1 – 2x =
x=
.
A=
Ответ:
Пример 3. При каких значениях параметра а уравнение
(а+4х – х2-1)(а+1 - |х – 2|)=0 имеет ровно три корня?
Решение:
Аналитический.
(а+4х – х2-1)(а+1 - |х – 2|)=0
Чтобы данное уравнение имело три корня нужно рассмотреть следующие
случаи:
1. Уравнение а+4х – х2-1=0 имеет два корня, уравнение а+1 - |х – 2|=0
имеет один корень.
Уравнение - х2+4х +а-1=0 имеет два корня тогда, когда D>0, 12+4a>0,
a> - 3.
Уравнение |х – 2|=а +1 имеет один корень тогда, когда а+1 =0, а = -1
Получаем, уравнение (а+4х – х2-1)(а+1 - |х – 2|)=0 имеет три корня при
а = -1.
2. Уравнение а+4х – х2-1=0 имеет один корень, уравнение а+1 - |х – 2|=0
имеет два корня.
Уравнение
- х2+4х +а-1=0 имеет один корень тогда, когда D=0,
12+4a=0, a= - 3.
Уравнение |х – 2|=а +1 имеет два корня тогда, когда а+1 >0, а> -1
Этот случай не подходит, т. К. одновременно a= - 3 и а> -1 быть не
могут.
Ответ: а= -1.
24
Графический.
(а+4х – х2-1)(а+1 - |х – 2|)=0
а+4х – х2-1=0
а+1 - |х – 2|=0
а=х2 – 4х +1
а=|х – 2|- 1
Построим графики данных функций в координатной плоскости Оха. Только
прямая а= - 1 пересекает графики в трёх точках.
а
а=х2 – 4х +1
а=|х – 2|- 1
х
а=-1
Ответ: а= -1.
Исходя из приведенных выше примеров, видно, что графическое
представление уравнения или системы уравнений с параметром обладает
несколькими несомненными преимуществами:
 Построив график (графики), можно определить, как влияет на них и,
соответственно, на решение уравнения изменение параметра;
25
 График дает возможность сформулировать аналитически необходимые
и достаточные условия решения поставленной задачи;
 Ряд теорем позволяет на основании графической информации делать
вполне строгие и обоснованные заключения о количестве корней
уравнения, об их границах и т.д.
Конечно, что при использовании графического метода возникает вопрос
о строгости решения. Поэтому, когда результат, полученный с помощью
графического метода, вызывает сомнения, его необходимо подкрепить
аналитически.
Таким образом, изучив аналитические и графические методы решения
задач с параметрами, наиболее рациональным, на наш взгляд, является
графический, т.к. при решении данным методом нужно следовать строго по
алгоритму, что нельзя сказать об аналитическом.
26
Заключение
При выполнении работы была изучена и проанализирована научно –
популярная и учебная литература по данной теме, в том числе и примеры
решений уравнений, неравенств, систем из ЕГЭ (задания C5, задание 20).
Из полученной информации можно сделать следующие выводы:
1. При решении задач с параметрами используются различные методы,
среди которых аналитические (метод замены, метод изменения ролей
переменных, метод инвариатности) и графические (координатная
плоскость Оху, координатная плоскость Оха, метод областей).
2. Графическое решение задач с параметрами по своей наглядности и
рациональности превосходит аналитическое, поэтому в случаях, где
есть возможность решить данную задачу графически, следует
применить этот метод.
3. В олимпиадных заданиях и заданиях Единого государственного
экзамена
логическое
встречаются
мышление,
задачи
с
параметрами.
прививают
навыки
Они
развивают
самостоятельной
исследовательской работы в математике, способствуют развитию у
старшеклассников нового, нешаблонного мышления, которое можно
успешно применять и в других сферах человеческой деятельности.
В ходе выполнения данной работы выдвинутая гипотеза подтвердилась
частично. Существуют
задачи с параметрами, при решении которых
используются только аналитические методы. Но когда можно решить задачу
и аналитически и графически, то более рациональным будет графический
метод.
Этот материал может быть интересен и полезен учащимся. Материал
данной работы можно использовать для изучения на элективных занятиях,
при подготовке к олимпиадам и к централизованному тестированию, а также
для самостоятельного изучения.
27
Библиографический список
1. Аналитические отчеты о результатах ЕГЭ 2011, 2013, 2014. www.fipi.ru
2. Высоцкий И.Р., Ященко И.В. ЕГЭ 2012. Самое полное издание типовых
вариантов заданий ЕГЭ: 2011: Математика / авт.-сост. Высоцкий И.Р.,
Д.Д. Гущин и др.; под редакцией Семенова А.Л., И.В.Ященко – М.: АСТ:
Астарель, 2011. – 95 с.
3. Высоцкий
И.Р.,
Ященко
И.В.
ЕГЭ.
Математика:
типовые
экзаменационные варианты: 36 вариантов / под редакцией И.В.Ященко. –
М.: Издательство «Национальное образование», 2015. – 272 с.
4. Горнштейн П.И. , Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – К.:
РИА «Текст»; МП «ОКО», 1992. – 290 с.
5. Козко А.И. , Чирский В.Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи.
– М.: МЦНМО, 2007. – 296 с.
6. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами:
количество решений, 2011. – 79 с.
7. Крамор В.С. Задачи с параметрами и методы их решения / В.С.Крамор. –
М.:
ООО
«Издательство
Оникс»:
ООО
«Издательство
«Мир
и
Образование» », 2007. – 416 с.
8. Лысенко Ф.Ф., Кулабухов С.Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012:
учебно-методическое
пособие
/
Под
редакцией
Ф.Ф.Лысенко,
С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. – 416 с.
9. Лысенко Ф.Ф., Кулабухов С.Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012.
Учебно-тренировочне
тесты:
учебно-методическое пособие
/
Под
редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион-М,
2012. – 144 с.
10. Мирошин В.В. Решение задач с параметрами. Теория и практика /
В.В.Мирошин – М.: Издательство «Экзамен»; 2009. – 286 с.
11. Прокофьев А.А. Задачи с параметрами – М.: МИЭТ, 2004. – 258 с.
28
12. Сергеев И.Н. ЕГЭ. Математика. Задания типа С / И.Н.Сергеев – 4-е изд.,
перераб. и доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2011. – 334с.
29
Приложение 1
Средние результаты выполнения задания С5 с 2010 года по 2014 год.
4,0%
3,7%
3,5%
3,1%
3,0%
2,5%
2,5%
2,0%
1б
2б
1,7%
3б
1,4%
1,5%
1,4%
1,1%
0,9%
0,7%
1,0%
0,5%
0,5%
0,4%
0,2%
0,9%
0,8%
0,6%
0,7%
0,3%
0,2% 0,2%
0,1%
0,0%
2010
2011
2012
2013
30
2014
4б
Приложение 2
Простейшие преобразования графика функции y = f(x).
Функция
Преобразование графика функции y = f(x)
Параллельный перенос его вдоль оси Oy на А единиц
вверх при А > 0 и на |A| единиц вниз при A < 0.
Параллельный перенос его вдоль оси Ох на а единиц
вправо при а > 0 и на |a| единиц влево при a < 0.
Растяжение его вдоль оси Оу на k раз, если k > 1, и
сжатие в 1/k раз, если 0 < k < 1.
Сжатие его вдоль оси Ох в k раз, если k > 1, и
растяжение в 1/k раз, если 0 < k < 1.
Симметричное отражение его относительно оси Ох.
Часть
графика,
симметрично
расположенная
отражается
ниже
оси
Ох,
относительно
этой
оси,
остальная его часть остается без изменений.
Симметричное отражение его относительно оси Oy.
Часть графика, расположенная в области х ≥ 0, остается
без изменения, а его часть для области x < 0 заменяется
симметричным отображение относительно оси Oy части
графика для x > 0.
31
Приложение 3
Пример 1. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство
не имеет решений. [12, с. 170]
Решение:
1. f(x)=2sin
E(sin
-3, x 1:
=[-1;1], E(f)=[-5;-1]
2.
=t +
, t=
(>2, т. к. 3
3.
неверно ни при одном х тогда и только тогда,
когда
Ответ:
-1
-1
.
.
Пример 2. Решить уравнение 3х4 + х3 – 2(а + 1)х2 + 3ах – а2 = 0.
Решение. Заменим уравнение как квадратное по отношению к параметру а:
3х4 + х3 – 2ах2 – 2х2 + 3ах – а2 = 0
-а2 – (2х2 – 3х)а + 3х4 + х3 – 2х2 = 0
а2 + (2х2 – 3х)а – 3х4 – х3 + 2х2 = 0
D = (2х2 – 3х)2 – 4(2х2 – х3 – 3х4) = х2(2х – 3)2 – 4х2(2 – х – 3х2) =
= х2(4х2 – 12х + 9 – 8 + 4х + 12х2) = х2(16х2 – 8х + 1) = х2(4х – 1)2
32
3 х  2 х  х(4 х  1)
 2 х 2  3х  4 х 2  х
2
 2 х 2  3х  4 х 2  х
а2 
2
а1 
2
а1, 2 
2
;
а 1 = х2 + х
а2 = -3х2 + 2х
Тогда
(а – х2 – х)(а + 3х2 – 2х) = 0
а – х2 – х = 0
3х2 – 2х + а = 0
х2 + х – а = 0
D = 4 – 12а
D ≥ 0 при а ≤
D = 1 + 4а
D ≥ 0 при а ≥ х1, 2 
1
4
х1, 2 
1
3
2  4  12а 1  1  3а

6
3
 1  1  4а
2
Произведя развертку по параметру а, получили
Ответ: 1) при а < -
1  1  3а
1
, х
;
3
4


2) при а   ;  , то х1, 2 
 4 3
1 1
3) при а >
1  1  3а
 1  1  4а
, х 3, 4 
;
3
2
1  1  3а
1
, то х 
.
3
3
Пример 3. Найти все значения x, которые удовлетворяют неравенству
(2a – 1)x2 < (a + 1)x + 3a при любом значении параметра а, принадлежащему
промежутку (1;2). [12, с. 155]
Решение:


где
33
,
Неравенство выполнено при всех 1 < a < 2 тогда и только тогда, когда
выполнены два условия:
(f – на обоих концах меньше или равна нулю)
1.




(f – не обнуляется сразу на обоих концах)
2.



Ответ:
Пример 4. Найдите все значения а, при каждом из которых система
имеет единственное решение. [12,с. 320]
Решение:
Если пара (x; y) – решение системы, то пара (-х; у) – тоже. Поэтому если
система имеет единственное решение (х; у), то х = 0 , откуда
=>
=>
1. При а = 0 система принимает вид
и имеет, по меньшей мере, два решения:
2. При a = 4 система принимает вид:
34


поскольку если х ≠ 0, то
что невозможно.
Ответ: а = 4.
Пример 5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
на промежутке [0;+
имеет ровно три корня.
[3, с. 51]
Решение:
Рассмотрим функции g(x) =
и
Построим график функции f(x) =
g(x) =
f(x) =
, график функции
получается из графика функции h(x) =
путём
сжатия или растяжения вдоль Оy.
g(x) =
f(x) =
х
35
Если график функции g(x) =
проходит через точку (0;5), то
будет три точки пересечения, а значит уравнение
три корня. Найдем из условия
при каком
будет иметь
значении а это
выполняется. При а=2,5. Если а>2, 5, то на промежутке [0;+
графики
будут иметь две точки пересечения.
Из условия
найдём точку касания графиков функций.
x=
a=
Ответ:
Пример 6. Найдите все значения a, при каждом из которых система
а) не имеет решений; б) имеет решение.
Решение:
1. (х – а)(ах – 2а – 3)=0
х – а =0,
2. ах = 4
ах – 2а – 3=0
a=
а=х
36
а
а=х
х
a=
а = -2
Ответ: а) -2 < a ≤ 0
б) а ≤ -2, a > 0
Пример 7. При каких значениях параметра а система
имеет решение?
Решение:
Разложим на множители левую часть неравенства
,
,
x1=3a – 1, x2=a
Таким образом, система примет вид
х – а=0
х – 3а + 1=0
а=х
а = х+
а=
37
а
а=х
а=2
а = 4/3
х
а = -1
а = -2
а=
Ответ: а
Пример 8. Найдите все значения а, при каждом из которых ровно одно
решение неравенства
x2+(10+3а)х+2а2+12а+16 ≤ 0
удовлетворяет
неравенству ах(х – 8 – а) ≤ 0.
Решение:
1. x2 +(10+3а)х+2а2+12а+16 = 0
D=(10+3а)2 – 4(2а2+12а+16)=100+60а+9а2 – 8а2 – 48а – 64=а2+12а+36=
=(а + 6)2
(x+a+2)(x+2a+8)≤0
(x+a+2)(x+2a+8)=0
x+a+2=0, x+2a+8=0
a= - x – 2
a=- x-4
2. ах(х – 8 – а) ≤ 0, ах(х – 8 – а) = 0,
ах=0,
a=0, x=0
38
х – 8 – а= 0.
a= x - 8
а
a= -x - 2
х
a= x - 8
a=- x-4
Ответ: -4, -5, -6.
Пример 9. Для каждого допустимого значения а решите неравенство
[8]
Решение:
ОДЗ:
x>2
Ограничения на а:
sin a ≠ 1
0<sin a<1
2πn < a < π + 2πn, n Z
, x2-4x+4 – 5x – 8
, x2 - 9x - 4
D=81-4 (-4)=81+16=97
x1 =
,
x2 =
, с учётом ОДЗ:
39
a≠
Ответ: при а
Пример 10. Найти все пары чисел а и b, при которых неравенство
|2x2 + ax +b|>1 не имеет решений на отрезке [1;3]. [4]
Решение:
Переформулируем задачу: Найти все пары чисел а и b, при которых
неравенство |2x2 + ax +b|≤1 выполняется при всех х из рассматриваемого
промежутка.
|2x2 + ax +b|≤1
Подставим х=1 и х=3 в первое неравенство системы, а х=2 подставим во
второе неравенство системы.
Получим a +b ≤ -1, 3a + b ≤ -17, 2a + b≥ -9. Из второго поочерёдно вычтем
первое и третье.
3a + b ≤ -17
3a + b ≤ -17
a +b ≤ -1
2a + b≥ -9
2a ≤ -16
a ≥-8
a≤ - 8
Получаем а= - 8. Тогда
b=7
Для проверки получили пару чисел а= - 8, b=7
[1;3]
(-∞;+∞}
Решение системы является [1;3].
Ответ: а= - 8, b=7
40